Cinematica e Dinamica - Composicao de Movimentos e Aceleracao de Coriolis

Composição de movimentos Cinemática e Dinâmica MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 1 Introdução Objetivos Análise geral da cinemática com movimento relativo Aceleração de Coriolis MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 2 Tipos de movimentos Considere a partícula ilustrada abaixo Ver animação Movimento relativo de P Seu movimento em relação ao referencial móvel Movimento de arrastamento de P Movimento de P se ele estivesse ligado rigidamente ao referencial móvel no instante considerado Movimento absoluto de P Seu movimento em relação ao referencial fixo MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 3 Composição de velocidades Considere o vetor velocidade Ԧ𝑣𝑃 ሶԦ𝑟 onde Ԧ𝑟 Ԧ𝑞 Ԧ𝑝 𝑄 𝑂 Ԧ𝑝 Derivando em relação ao tempo ሶԦ𝑟 Ԧ𝑣𝑝 Ԧ𝑣𝑄 ሶԦ𝑝 Assumindo um vetor Ԧ𝑝 genérico Ԧ𝑝 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 Derivando em relação ao tempo ሶԦ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 𝑥 ሶԦ𝑖 𝑦 ሶԦ𝑗 𝑧 ሶ𝑘 ሶԦ𝑖 𝜔 Ԧ𝑖 ሶԦ𝑗 𝜔 Ԧ𝑗 ሶ𝑘 𝜔 𝑘 𝑥𝜔 Ԧ𝑖 𝑦𝜔 Ԧ𝑗 𝑧𝜔 𝑘 𝜔 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 𝜔 Ԧ𝑝 ሶԦ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 𝜔 Ԧ𝑝 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 𝜔 Ԧ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 𝜔 Ԧ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Arrastamento Relativa Absoluta MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 4 Exercício Velocidade no carrossel Um carrossel gira com velocidade angular constante 𝜔 Uma pessoa no carrossel representada pelo ponto 𝑃 se locomove sobre uma faixa radial pintada no chão do carrossel com velocidade constante 𝑣 𝑑𝑟𝑑𝑡 em relação ao carrossel Determine as componentes da velocidade absoluta de 𝑃 em relação ao referencial fixo escritas na base móvel Base fixa 𝑂Ԧ𝐼 Ԧ𝐽𝐾 Base móvel 𝑂Ԧ𝑖Ԧ𝑗𝑘 Velocidade Relativa Arrastamento Absoluta Ԧ𝑣𝑟 ሶ𝑟Ԧ𝑖 𝑣Ԧ𝑖 Ԧ𝑣𝑎 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 Ԧ𝑟 0 𝜔𝑘 𝑟Ԧ𝑖 𝜔𝑟Ԧ𝑗 Ԧ𝑣𝑝 Ԧ𝑣𝑟 Ԧ𝑣𝑎 𝑣Ԧ𝑖 𝜔𝑟Ԧ𝑗 𝑄 Ԧ𝑟 Ԧ𝑣𝑟 𝑣Ԧ𝑖 Ԧ𝑣𝑎 𝜔𝑟Ԧ𝑗 𝜔𝑟Ԧ𝑗 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 5 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 𝜔 Ԧ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Composição de acelerações Partindo do vetor velocidade Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 𝜔 Ԧ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Arrastamento Relativa Absoluta Derivando em relação ao tempo Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑄 ሶ𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 ሶԦ𝑝 ሷ𝑥Ԧ𝑖 ሷ𝑦Ԧ𝑗 ሷ𝑧𝑘 ሶ𝑥 ሶԦ𝑖 ሶ𝑦 ሶԦ𝑗 ሶ𝑧 ሶ𝑘 ሶԦ𝑝 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 𝜔 Ԧ𝑝 Lembrando 𝜔 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑄 ሶ𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 𝜔 Ԧ𝑝 ሷ𝑥Ԧ𝑖 ሷ𝑦Ԧ𝑗 ሷ𝑧𝑘 𝑥 ሶԦ𝑖 𝑦 ሶԦ𝑗 𝑧 ሶ𝑘 𝑥𝜔 Ԧ𝑖 𝑦𝜔 Ԧ𝑗 𝑧𝜔 𝑘 𝜔 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 ሶԦ𝑖 𝜔 Ԧ𝑖 ሶԦ𝑗 𝜔 Ԧ𝑗 ሶ𝑘 𝜔 𝑘 2𝜔 ሶ𝑥Ԧ𝑖 ሶ𝑦Ԧ𝑗 ሶ𝑧𝑘 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑄 ሶ𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 𝜔 Ԧ𝑝 ሷ𝑥Ԧ𝑖 ሷ𝑦Ԧ𝑗 ሷ𝑧𝑘 2𝜔 Ԧ𝑣𝑅𝐸𝐿 Arrastamento Relativa Absoluta Ԧ𝑣𝑅𝐸𝐿 Coriolis MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 6 Exercício Aceleração no carrossel Um carrossel gira com velocidade angular constante 𝜔 Uma pessoa no carrossel representada pelo ponto 𝑃 se locomove sobre uma faixa radial pintada no chão do carrossel com velocidade constante 𝑣 𝑑𝑟𝑑𝑡 em relação ao carrossel Determine as componentes da aceleração absoluta de 𝑃 em relação ao referencial fixo escritas na base móvel Base fixa 𝑂Ԧ𝐼 Ԧ𝐽𝐾 Base móvel 𝑂Ԧ𝑖Ԧ𝑗𝑘 Aceleração Relativa Arrastamento Absoluta Ԧ𝑎𝑟 0 Ԧ𝑎𝑎 Ԧ𝑎𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑝 0 𝜔𝑘 𝜔𝑘 𝑟Ԧ𝑖 𝜔2𝑟Ԧ𝑖 Ԧ𝑎𝑝 Ԧ𝑎𝑟 Ԧ𝑎𝑎 Ԧ𝑎𝑐 𝜔2𝑟Ԧ𝑖 2𝜔𝑣Ԧ𝑗 Ԧ𝑟 Ԧ𝑣𝑟 𝑣Ԧ𝑖 Ԧ𝑣𝑎 𝜔𝑟Ԧ𝑗 𝜔2𝑟Ԧ𝑖 0 𝜔𝑘 𝜔𝑟Ԧ𝑗 Coriolis Ԧ𝑎𝑐 2 𝜔 Ԧ𝑣𝑟 2 𝜔𝑘 𝑣Ԧ𝑖 2𝜔𝑣Ԧ𝑗 Ԧ𝑎𝑐 2𝜔𝑣Ԧ𝑗 Ԧ𝑎𝑎 𝜔2𝑟Ԧ𝑖 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑄 ሶ𝜔 Ԧ𝑝 𝜔 𝜔 Ԧ𝑝 ሷ𝑥Ԧ𝑖 ሷ𝑦Ԧ𝑗 ሷ𝑧𝑘 2𝜔 Ԧ𝑣𝑅𝐸𝐿 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 7 httpsyoutubePUJQlyO6QEs Exercício Guindaste A figura abaixo ilustra um guindaste que é capaz de girar com velocidade angular constante 𝜔1 em torno do eixo vertical Simultaneamente a lança do guindaste pode girar com velocidade angular constante 𝜔2 em relação à cabine Por fim o comprimento da lança pode variar a uma taxa constante dada por 𝑢 A operação considerada nesta questão possui 𝜔1025 rads 𝜔204 rads 𝑢05 ms e o comprimento inicial da lança é 20 metros AB Determine a velocidade absoluta ms e a aceleração absoluta ms2 do ponto 𝐵 Resolucaopng MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 8