Teorema do Momento Angular - Cinemática e Dinâmica - Exercícios Resolvidos

Teorema do momento angular Cinemática e Dinâmica 1 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Introdução 2 Objetivos Primeira Parte Introdução ao movimento rotativo Segunda Parte Variação da quantidade de movimento angular Dedução do tensor de inércia Propriedades do momento de inércia Balanceamento MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes TMA no plano 3 TMA em relação ao centro de massa TMA em relação a um ponto fixo 𝑀𝐺 𝐼𝐺 ሶ𝜔 𝐼𝐺 Ԧ𝛼 𝐺 Centro de massa do corpo rígido 𝐼𝐺 momento de inércia em torno de um eixo que passa por 𝐺 e é perpendicular ao plano em que o movimento ocorre 𝑀𝑂 𝐼𝑂 ሶ𝜔 𝐼𝑂 Ԧ𝛼 𝑂 Ponto fixo 𝐼𝑂 momento de inércia em torno de um eixo que passa por 𝑂 e é perpendicular ao plano em que o movimento ocorre 𝜃 𝜃 𝜔 Ԧ𝛼 𝜔 Ԧ𝛼 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Momento de inércia 4 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 1 Enunciado Um disco homogêneo de raio 𝑅 massa 𝑚 e momento de inércia 𝐼𝑍 𝑚𝑅2 2 é puxado pelo centro de massa 𝐺 com a aplicação de uma força 𝐹 e rola sem escorregar Determine o diagrama de corpo livre e a equação de movimento do sistema 5 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 1 Resolução 12 6 Ԧ𝐹 𝑅 𝜃 𝑥 𝑚 𝑥 𝜃𝑅 Ԧ𝐹 𝑃 𝑁 Ԧ𝑓𝑎𝑡 Diagrama de corpo livre DLC Ԧ𝑖 𝑗 Relação cinemática 𝜔𝑧 ሶ𝜃 𝜔𝑧 𝜔𝑧𝑘 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝐶 𝜔𝑧 𝐺 𝐶 ሶ𝑥Ԧ𝑖 0 ሶ𝑥Ԧ𝑖 𝜔𝑧𝑘 𝑅Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑅Ԧ𝑖 ሶ𝑥 𝜔𝑧𝑅 ሶ𝜃𝑅 ሶ𝜃 ሶ𝑥 ሶ𝜃𝑅 TMB 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝐹 Ԧ𝑓𝑎𝑡 𝑁 𝑃 TMA 𝑚 ሷ𝑥Ԧ𝑖 𝐹Ԧ𝑖 𝑓𝑎𝑡Ԧ𝑖 𝑁Ԧ𝑗 𝑚𝑔Ԧ𝑗 Em Ԧ𝑖 Em Ԧ𝑗 𝑚 ሷ𝑥 𝐹 𝑓𝑎𝑡 𝑁 𝑚𝑔 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧𝑘 𝐶 𝐺 𝑓𝑎𝑡Ԧ𝑖 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑅𝑓𝑎𝑡 𝑅Ԧ𝑗 𝑓𝑎𝑡 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 Continuação 𝑅𝑓𝑎𝑡𝑘 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes ሷ𝜃 ሷ𝑥 𝑅 Exercício 1 Resolução 22 7 Ԧ𝐹 𝑅 𝜃 𝑥 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑅𝑓𝑎𝑡 TMB 𝑓𝑎𝑡 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 TMA 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑅 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 𝜔𝑧 ሶ𝜃 ሶ𝜔𝑧 ሷ𝜃 𝐼𝑧 ሷ𝜃 𝑅 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 ሶ𝑥 ሶ𝜃𝑅 ሷ𝑥 ሷ𝜃𝑅 𝐼𝑧 ሷ𝑥 𝑅 𝑅𝐹 𝑅𝑚 ሷ𝑥 𝐼𝑧 ሷ𝑥 𝑅 𝑅𝑚 ሷ𝑥 𝑅𝐹 𝑅 𝑅 𝑅 2 𝐼𝑧 𝑅2 𝑚 ሷ𝑥 𝐹 𝐼𝑍 𝑚𝑅2 2 𝑚𝑅2 2 𝑅2 𝑚 ሷ𝑥 𝐹 3 2 𝑚 ሷ𝑥 𝐹 Puxar um disco homogêneo que rola sem escorregar de massa m é equivalente a puxar um bloco que escorrega sem atrito de massa 50 maior 15 m Ԧ𝐹 Ԧ𝐹 𝑚 3 2 𝑚 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 2 Enunciado Considere o experimento realizado no vídeo abaixo Utilizando o TMB e o TMA mostre que a aceleração dos cilindros não depende da massa nem do raio um cilindro oco sempre vai demorar mais para descer a rampa em comparação com um cilindro maciço 8 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 2 Resolução 9 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑃 𝑁 Ԧ𝑓𝑎𝑡 𝐺 𝐶 𝛽 𝜃 TMB G 𝑚 Ԧ𝑎 𝑃 𝑁 Ԧ𝑓𝑎𝑡 𝑚𝑎Ԧ𝑖 𝑚𝑔 sin 𝛽 Ԧ𝑖 𝑚𝑔 cos 𝛽 Ԧ𝑗 𝑁Ԧ𝑗 𝑓𝑎𝑡Ԧ𝑖 Em Ԧ𝑖 Em Ԧ𝑗 𝑚 ሷ𝑥 𝑚𝑔 sin 𝛽 𝑓𝑎𝑡 0 𝑚𝑔 cos 𝛽 𝑁 TMA G 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧𝑘 𝐶 𝐺 𝑓𝑎𝑡Ԧ𝑖 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧𝑘 𝑅 𝑓𝑎𝑡 𝑘 𝑅Ԧ𝑗 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑅 𝑓𝑎𝑡 ሶ𝜔𝑧 ሷ𝜃 ሷ𝑥 𝑅 𝑓𝑎𝑡 𝐼𝑧 𝑅2 ሷ𝑥 𝑓𝑎𝑡 𝐼𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑅 Substituindo 2 em 1 ሷ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑚𝑔 sin 𝛽 𝐼𝑧 𝑅2 ሷ𝑥 𝑚 𝐼𝑧 𝑅2 ሷ𝑥 𝑚𝑔 sin 𝛽 Se for maciço 𝐼𝑧 1 2 𝑚𝑅2 Se for oco 𝐼𝑧 𝑚𝑅2 𝑚 1 2 𝑚𝑅2 𝑅2 ሷ𝑥 𝑚𝑔 sin 𝛽 𝑚 𝑚𝑅2 𝑅2 ሷ𝑥 𝑚𝑔 sin 𝛽 3 2 2 ሷ𝑥𝑚𝑎𝑐𝑖ç𝑜 2 3 𝑔 sin 𝛽 ሷ𝑥𝑜𝑐𝑜 1 2 𝑔 sin 𝛽 ሷ𝑥𝑚𝑎𝑐𝑖ç𝑜 ሷ𝑥𝑜𝑐𝑜 Oco demora sempre mais a descer a rampa em comparação com o maciço 𝑥 1 2 Não depende da massa nem do raio 𝑅 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Balanceamento Cinemática e Dinâmica 10 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Introdução Objetivos Movimento de rotação de um corpo rígido Momento resultante Balanceamento estático de rotores Balanceamento dinâmico de rotores 11 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Estabilização Mecanismos rotativos podem reduzir significativamente as oscilações laterais de embarcações e aumentar o conforto dos tripulantes Os conceitos de torque o quantidade de movimento angular são necessários para o projeto adequado dos controladores envolvidos 12 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Balanceamento Elementos rotativos devem ser balanceados dinamicamente para que não haja esforços cíclicos excessivos nos mancais 13 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Teorema do momento angular Forças internas Forças externas Quantidade de movimento angular para uma partícula 𝐾𝑂 𝑃 𝑂 𝑚 Ԧ𝑣 Quantidade de movimento angular para um sistema de N partículas 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 2ª Lei Derivando em relação ao tempo ሶ𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 ሶ𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Baricentro 𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓21 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑃1 𝑃2 Ԧ𝑓12 𝑂 1 2 Ԧ𝑓12 𝑃1 𝑃2 0 Ԧ𝑓12 0 Teorema do momento angular TMA ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 14 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes TMA geral para um corpo rígido 15 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Quantidade de movimento angular Corpo rígido Quantidade de movimento angular para um corpo rígido 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 Baricentro 𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝐶 𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔𝑥Ԧ𝑖 𝜔𝑦Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑘 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝑃𝑖 𝑂 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔 𝜔𝑥Ԧ𝑖 𝜔𝑦Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑘 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔𝑦𝑧𝑖 𝜔𝑧𝑦𝑖 Ԧ𝑖 𝜔𝑧𝑥𝑖 𝜔𝑥𝑧𝑖 Ԧ𝑗 𝜔𝑥𝑦𝑖 𝜔𝑦𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 𝑁 𝜔𝑥 𝑦𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑦𝑦𝑖𝑥𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑧𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑖 𝜔𝑦 𝑥𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑧𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑗 𝜔𝑧 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑦𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑘 16 𝑚 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Tensor de Inércia Formulação matricial Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Tensor de inércia 𝐼𝑂 𝐼𝑂 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 17 𝑖1 𝑁 𝜔𝑥 𝑦𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑦𝑦𝑖𝑥𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑧𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑖 𝜔𝑦 𝑥𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑧𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑗 𝜔𝑧 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝜔𝑦𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑘 1x3 3x3 3x1 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑖1 𝑁 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑚𝑖 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Momentos de inércia Produtos de inércia MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Representação vetorial 18 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝐶 𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑂 𝑚 𝐾𝑂 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝐾𝑂 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑣𝑂𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Teorema do momento angular TMA para um corpo rígido ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝑑 𝑑𝑡 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Representação matricial 19 Teorema do momento angular TMA ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 Teorema do momento angular TMA para um corpo rígido ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 𝑚 Ԧ𝑣𝐶 Ԧ𝑣𝑂 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 TMA geral para um corpo rígido 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 Se 𝑂Ԧ𝑖Ԧ𝑗𝑘 for solidária ao corpo rígido 𝑚 𝐶 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 𝜔 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐼𝑂 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 ሶ𝜔𝑧 ሶԦ𝑖 ሶԦ𝑗 ሶ𝑘 TMA geral para um corpo rígido Matricial 𝑚 ෫ 𝐶 𝑂 𝑎𝑂 𝜔 𝐼𝑂 𝜔 𝐼𝑂 ሶ𝜔 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 𝜔 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝜔 0 𝜔𝑧 𝜔𝑦 𝜔𝑧 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑥 0 Exemplo Ԧ𝑎 𝑎𝑥Ԧ𝑖 𝑎𝑦Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑘 𝑏 𝑏𝑥Ԧ𝑖 𝑏𝑦Ԧ𝑗 𝑏𝑧𝑘 Ԧ𝑎 𝑏 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ԧ𝑖 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ԧ𝑗 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑘 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 0 𝑎𝑧 𝑎𝑦 𝑎𝑧 0 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥 0 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑦 1x3 3x3 3x1 1x3 3x1 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑧 Ԧ𝑖 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ԧ𝑗 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑘 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício Enunciado Nos virabrequins massas de contrapeso e furos de balanceamento desempenham a função de reduzir os esforços cíclicos sobre os mancais Aplique o TMA no virabrequim simplificado abaixo e analise o efeito dos produtos de inércia 20 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício Resolução 21 𝐶 Como 𝐶 𝑂 o sistema está balanceado estaticamente Entretanto o sistema não está balanceado dinamicamente 𝑚 ෫ 𝐶 𝑂 𝑎𝑂 𝜔 𝐼𝑂 𝜔 𝐼𝑂 ሶ𝜔 𝑀𝑂 𝐸𝑋𝑇 Aplicando o TMA geral Ԧ𝑖 0 𝜔 0 𝜔𝑧 𝜔𝑦 𝜔𝑧 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑥 0 𝜔 Rotação em torno de um eixo rígido 𝑎𝑂 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 0 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 0 0 𝜔 0 𝜔 0 0 0 0 0 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 0 0 𝜔 𝐼𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧 0 0 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑋𝑇 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑋𝑇 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑋𝑇 𝜔 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝜔 3x3 3x3 3x3 3x1 3x1 3x1 0 𝜔 0 𝜔 0 0 0 0 0 𝐼𝑥𝑧𝜔 𝐼𝑦𝑧𝜔 𝐼𝑧𝜔 𝐼𝑥𝑧 ሶ𝜔 𝐼𝑦𝑧 ሶ𝜔 𝐼𝑧 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑋𝑇 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑋𝑇 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑋𝑇 𝐼𝑦𝑧𝜔2 𝐼𝑥𝑧 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑋𝑇 𝐼𝑥𝑧𝜔2 𝐼𝑦𝑧 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑋𝑇 𝐼𝑧 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑋𝑇 Balanceamento dinâmico 𝐼𝑥𝑧 𝑖1 𝑁2 𝑥𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 0 ℓ 𝑚 0 ℓ 𝑚 0 1 2 1 2 𝐼𝑦𝑧 𝑖1 𝑁2 𝑦𝑖𝑧𝑖𝑚𝑖 𝑅 ℓ 𝑚 𝑅 ℓ 𝑚 2𝑚𝑅ℓ 1 2 2𝑚𝑅ℓ𝜔2 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑋𝑇 2𝑚𝑅ℓ ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑋𝑇 Para balancear dinamicamente é preciso zerar os produtos de inércia 𝑚𝑅𝜔2 𝑚𝑅𝜔2 Centrípeta Inercial 𝑚𝑅 ሶ𝜔 𝑚𝑅 ሶ𝜔 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes