Teoremas Gerais - Cinemática e Dinâmica - MED110 - Resumo

Teoremas gerais Cinemática e Dinâmica 1 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Introdução Objetivos Revisão dos teoremas gerais da dinâmica Aplicação vetorial nos teoremas gerais 2 200 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Quantidade de movimento 3 A derivada do vetor quantidade de movimento do ponto 𝑃 é igual à resultante das forças que agem neste ponto 𝑄 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝑚 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 𝑚 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Pela Segunda Lei de Newton ሶ𝑄 Ԧ𝐹𝑅𝐸𝑆 Se a força resultante for nula a quantidade de movimento se conserva 𝑄 𝑑 𝑑𝑡 0 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝐹𝑅𝐸𝑆 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Momento angular 4 A derivada do momento da quantidade de movimento momento angular do ponto 𝑃 em relação a 𝑂 é igual ao momento da força resultante em relação a 𝑂 Pela segunda lei de Newton Se o momento da força resultante for nulo o momento angular se conserva 𝐻𝑂 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝐻𝑂 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 𝑚 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑎 ሶ𝐻𝑂 𝑀𝑂𝑅𝐸𝑆 𝑄 𝑑 𝑑𝑡 0 Ԧ𝐹𝑅𝐸𝑆 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Trabalho e potência Em geral o trabalho de uma força depende do caminho percorrido pelo ponto material 5 Exemplo Uma força Ԧ𝐹 10Ԧi 10Ԧj é responsável por manter o bloco de massa 𝑚 2 kg se movimentando com velocidade constante de 𝑣 05 ms Determine a potência 𝑃 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑃 10Ԧi 10Ԧj 05Ԧ𝑖 0Ԧ𝑗 𝑃 5 W 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 Se a força aplicada é perpendicular à trajetória de P isto é Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 o trabalho da força é nulo Ex força de reação normal A potência é dada por 𝑃 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑄 e 𝐻𝑜 são grandezas vetoriais 𝑊 e 𝑃 são grandezas escalares 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑 Ԧ𝑟 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 𝑑 Ԧ𝑟 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 10Ԧi 10Ԧj 05Ԧ𝑖 10 05 10 0 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Energia 6 Lembrando Energia potencial Se o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final e não da trajetória do ponto material a força F é conservativa Energia mecânica Energia cinética A variação da energia cinética de um ponto material é igual ao trabalho das forças atuantes sobre ele durante este deslocamento 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝐹 𝑚 ሶԦ𝑣 Ԧ𝐹 𝑚 ሶԦ𝑣 Ԧ𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 ሶ𝑣𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 ሶԦ𝑣 Ԧ𝑣 ሶ𝑣 𝑣 𝑣2 𝜌 0 ሶԦ𝑣 Ԧ𝑣 ሶ𝑣 𝑣 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 න 𝑣 𝑡0 𝑣 𝑡𝑓 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑚𝑣 𝑡𝑓 2 2 𝑚𝑣 𝑡0 2 2 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 Se 𝐸𝑐 𝑚𝑣2 2 Energia cinética Ԧ𝑣 𝑣Ԧ𝑡 ሶԦ𝑣 Ԧ𝑎 ሶ𝑣Ԧ𝑡 𝑣2 ρ 𝑛 ሶԦ𝑣 Ԧ𝑣 ሶ𝑣Ԧ𝑡 𝑣2 ρ 𝑛 𝑣Ԧ𝑡 0𝑛 Teorema da energia cinética 𝐸𝑐 𝑡𝑓 𝐸𝑐 𝑡0 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑟 Definindo 𝐸𝑝 𝑈 Energia potencial 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝐸𝑐 𝑡0 𝐸𝑝 𝑡0 𝐸𝑐 𝑡𝑓 𝐸𝑝 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝑐 𝑡𝑓 𝐸𝑐 𝑡0 𝐸𝑝 𝑡0 𝐸𝑝 𝑡𝑓 𝐸𝑚 𝐸𝑐 𝐸𝑝 Concluise que para um ponto material sujeito apenas à forças conservativas a variação da energia mecânica é nula ou seja Δ𝐸𝑚 0 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝑐 𝑡𝑓 𝐸𝑐 𝑡0 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 1 A partir da força peso e da definição de energia potencial determine a energia potencial gravitacional 7 𝑥 𝑦 𝑧 Ԧ𝐹 𝑚𝑔𝑘 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑥Ԧ𝑖 𝑑𝑦Ԧ𝑗 𝑑𝑧𝑘 𝑊 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑚𝑔𝑘 𝑑𝑥Ԧ𝑖 𝑑𝑦Ԧ𝑗 𝑑𝑧𝑘 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑚𝑔𝑘 𝑑Ԧ𝑟 𝑊 න 𝑧0 𝑧𝑓 𝑚𝑔𝑑𝑧 𝑚𝑔𝑧𝑓 𝑚𝑔𝑧0 𝑚𝑔𝑧𝑓 𝑚𝑔𝑧0 𝑊 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝑈 𝑚 𝑔 𝑧 𝐸𝑝 𝑈 Energia potencial 𝐸𝑝𝑔 𝑈 𝑚 𝑔 𝑧 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 2 A partir da força elástica e da definição de energia potencial determine a energia potencial elástica do sistema ilustrado 8 Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 ℓ0 Δℓ 𝑢 𝜏 Ԧ𝐹 𝑘 Δℓ 𝑢 𝑊 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝑊 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑘 Δℓ 𝑢 𝑑Ԧ𝑟 𝑑ℓ𝑢 𝑑ℓ 𝑊 න Δℓ0 Δℓ𝑓 𝑘 Δℓ 𝑑ℓ 𝑘Δℓ𝑓 2 2 𝑘Δℓ0 2 2 𝑊 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝑈 𝑘Δℓ2 2 𝐸𝑝 𝑈 Energia potencial 𝐸𝑃𝑒 𝑈 𝑘Δℓ2 2 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝑂 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Enunciado Considere uma esfera de 06 kg presa a um elástico de constante 𝑘 100 Nm que está relaxado quando a esfera está na origem 𝑂 A esfera pode deslizar sem atrito sobre a superfície horizontal Na posição mostrada na figura a velocidade de 𝑣𝐴 200 ms Determine As distâncias máxima e mínima em relação à origem e as correspondentes velocidades 9 Mola MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes e 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑚𝐶 𝐸𝑐𝐵 1 2 𝑚𝑣𝐵 2 Exercício 3 Resolução 12 10 Energia mecânica se conserva Em B Em C Como o sistema é conservativo Quantidade de movimento angular se conserva 𝐻𝑜 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑣 ሶ𝐻𝑜 𝑀𝑜𝑅𝐸𝑆 0 𝐻𝑜𝐴 𝑟𝐴 𝑚 𝑣𝐴 sin 60𝑜 52 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠 Em A 𝐻𝑜𝐵 𝑟𝐵𝑚𝑣𝐵 𝐻𝑜𝐶 𝑟𝐶𝑚𝑣𝐶 Como 𝑀𝑜𝑅𝐸𝑆 0 𝐻𝑜 se conserva 𝐸𝑐𝐴 1 2 𝑚𝑣𝐴 2 𝐸𝑝𝑒𝐴 1 2 𝑘𝑟𝐴 2 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑐𝐴 𝐸𝑝𝑒𝐴 𝐸𝑚𝐶 𝐸𝑐𝐶 𝐸𝑝𝑒𝐶 𝐸𝑝𝑒𝐶 1 2 𝑘𝑟𝐶 2 𝐸𝑐𝐶 1 2 𝑚𝑣𝐶 2 Sim A partícula está submetida a uma força conservativa 𝐸𝑚𝐵 𝐸𝑐𝐵 𝐸𝑝𝑒𝐵 𝐸𝑝𝑒𝐵 1 2 𝑘𝑟𝐵 2 120 𝐽 125 𝐽 1325 𝐽 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑚𝐵 Mola Temos 2 equações e 4 incógnitas Ԧ𝑓𝐴 Ԧ𝑟𝐴 Ԧ𝑟 Ԧ𝑓𝑅𝐸𝑆 Ԧ𝑟𝐵 Ԧ𝑓𝐵 Ԧ𝑟𝐶 Ԧ𝑓𝐶 𝑟 𝑓𝑅𝐸𝑆 sin 𝜃 Ângulo formado entre os vetores ሶ𝐻𝑜 Ԧ𝑟𝐶 Ԧ𝑓𝐶 ሶ𝐻𝑜 Ԧ𝑟𝐵 Ԧ𝑓𝐵 ሶ𝐻𝑜 Ԧ𝑟𝐴 Ԧ𝑓𝐴 0 0 0 Em B Em C Em A Sim O momento da força resultante é nulo 𝐻𝑜𝐴 𝐻𝑜𝐵 e 𝐻𝑜𝐴 𝐻𝑜𝐶 Temos 4 equações e 4 incógnitas MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Resolução 22 11 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑚𝐵 e 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑚𝐶 𝐻𝑜𝐴 𝐻𝑜𝐵 e 𝐻𝑜𝐴 𝐻𝑜𝐶 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑚𝐵 𝐸𝑚𝐴 𝐸𝑐𝐵 𝐸𝑝𝑒𝐵 𝐸𝑚𝐴 1 2 𝑚𝑣𝐵 2 1 2 𝑘𝑟𝐵 2 𝐻𝑜𝐴 𝐻𝑜𝐵 𝐻𝑜𝐴 𝑟𝐵𝑚𝑣𝐵 𝐻𝑜𝐴 2 𝑟𝐵 2𝑚2𝑣𝐵 2 𝑣𝐵 2 𝐻𝑜𝐴 2 𝑟𝐵 2𝑚2 𝐸𝑚𝐴 1 2 𝑚 𝐻𝑜𝐴 2 𝑟𝐵 2𝑚2 1 2 𝑘𝑟𝐵 2 𝑟𝐵 2 1 2 𝑘𝑟𝐵 4 𝐸𝑚𝐴𝑟𝐵 2 1 2 𝐻𝑜𝐴 2 𝑚 0 𝑟𝐵 2 𝑟𝐵 2 2 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑟𝐵12 2 𝑎2 𝑎2 2 4𝑎1𝑎3 2𝑎1 𝑟𝐵 157 ou 043 m A solução de 𝑟𝑐 é análoga 𝐶 𝐶 e 𝐵 é mais afastado 𝑟𝐵 157 m e 𝑟𝐶 043 m 𝑣𝐵 𝐻𝑜𝐴 𝑟𝐵𝑚 𝑣𝐶 𝐻𝑜𝐴 𝑟𝐶𝑚 𝑣𝐵 55 ms Mola 𝐶 𝐶 𝐶 e 𝑣𝐶 203 ms MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Teorema do movimento do baricentro 12 4635 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Movimento do baricentro 13 Forças internas Forças externas Somatório das forças sobre 𝑚𝑖 num sistema de 𝑁 partículas Ԧ𝐹𝑖 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑗 1 Ԧ𝑓𝑖1 𝑗 2 Ԧ𝑓𝑖2 𝑗 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑁 Somando todos os pontos do sistema Segunda Lei de Newton para a partícula 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Ԧ𝐹𝑖 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑖1 𝑁 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 Ԧ𝑓12 Ԧ𝑓21 Ԧ𝑓1𝑁 Ԧ𝑓𝑁1 Ԧ𝑓12 Ԧ𝑓12 0 0 0 0 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 Definição de baricentro 𝐶 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑚𝑖 𝑚1𝑃1 𝑚2𝑃2 𝑚1 𝑚2 167 𝑚 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝐶 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑚 𝑚 Ԧ𝑎𝐶 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 0 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Definição do TMB 14 O baricentro C de qualquer sistema material movese como se fosse um ponto material de massa igual a m sujeito à resultante de forças externas ao sistema Para um sistema de partículas 𝑚 Ԧ𝑎𝐶 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 𝑚 Ԧ𝑎𝐶𝐺 𝑅 Para um corpo rígido Força resultante Aceleração do CG MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 4 Enunciado Considere um barco de massa 𝑀 e comprimento 𝐿 Uma pessoa de massa 𝑚 se encontra inicialmente 𝑡 𝑡0 na popa do barco O sistema está inicialmente em repouso Se a pessoa deslocarse da popa para a proa do barco qual será o deslocamento do barco Considerar o atrito entre a água e o barco desprezível 15 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 4 Resolução 16 Forças internas 0 𝑥𝐵𝑡𝑖 𝑥𝐵𝑡𝑓 Δ𝑥𝐵 𝑥𝐵 𝑡𝑓 𝑥𝐵𝑡𝑖 TMB para o sistema pessoabarco 𝑚 𝑀 Ԧ𝑎𝐶 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑋𝑇 Na horizontal a resultante de forças externas é nula න 𝑡𝑖 𝑡𝑓 𝑎𝐶𝑥𝑑𝑡 0 𝑚 𝑀 𝑎𝐶𝑥 0 𝑎𝐶𝑥 0 𝑣𝐶𝑥 𝑡𝑓 𝑣𝐶𝑥 𝑡𝑖 0 න 𝑡𝑖 𝑡𝑓 𝑣𝐶𝑥𝑑𝑡 0 𝑥𝐶 𝑡𝑓 𝑥𝐶 𝑡𝑖 0 𝑥𝐶 𝑡𝑓 𝑥𝐶 𝑡𝑖 𝑥𝐶𝑥 𝑡𝑖 𝑀 𝑥𝐵 𝑡𝑖 𝑑 𝑀 𝑚 𝑚 𝑥𝐵 𝑡𝑖 𝐿 𝑀 𝑚 𝑥𝐶𝑥 𝑡𝑓 𝑀 𝑥𝐵 𝑡𝑓 𝑑 𝑀 𝑚 𝑚𝑥𝐵 𝑡𝑓 𝑀 𝑚 𝑑 𝐿 𝑥𝐶𝑥 𝑡𝑓 𝑥𝐶𝑥 𝑡𝑖 𝑀 𝑥𝐵 𝑡𝑓 𝑥𝐵 𝑡𝑖 𝑀 𝑚 𝑚 𝑥𝐵 𝑡𝑓 𝑥𝐵 𝑡𝑖 𝐿 𝑀 𝑚 𝐶 Δ𝑥𝐵 0 𝑀 𝑚 𝛥𝑥𝐵 𝑀 𝑚 𝑚 𝐿 𝑀 𝑚 Δ𝑥𝐵 𝑚 𝑀 𝑚 𝐿 0 parte do repouso 𝑣𝐶𝑥 𝑡𝑓 0 0 𝑀 𝛥𝑥𝐵 𝑀 𝑚 𝑚 𝛥𝑥𝐵 𝑀 𝑚 𝑚 𝐿 𝑀 𝑚 Definição de baricentro 𝐶 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑚𝑖 𝑑 𝐿 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 5 Uma bala de 30 𝑔 possui velocidade horizontal de 450 𝑚𝑠 e colide com um bloco de 3 𝑘𝑔 em repouso Supondo que não houve dissipação de energia determine a velocidade do conjunto após o impacto Despreze a massa do carrinho 17 𝐶 Ԧ𝑣𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐴 Ԧ𝑣𝐶 𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑚𝐴𝑣𝐴 𝑚𝐵𝑣𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣 0 Quantidade de movimento Baricentro 𝐶 𝑚𝐴𝑥𝐴 𝑚𝐵𝑥𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝐶 𝑚𝐴𝑣𝐴 𝑚𝐵𝑣𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 0 𝑣 𝑚𝐵𝑣𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐶 𝑚𝐵𝑣𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes