Cinemática e Dinâmica - Leis Fundamentais e Graus de Liberdade

Leis Fundamentais Cinemática e Dinâmica 1 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Introdução Objetivos Formulação vetorial da Segunda Lei de Newton Obtenção da equação de movimento 2 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Graus de liberdade 3 Definição Número mínimo de coordenadas independentes capazes de descrever o movimento de todas as partes de um sistema em qualquer instante de tempo MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Ponto livre no espaço 4 3 graus de liberdade 𝑥 𝑦 𝑧 Ԧ𝑟 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Corpo livre no espaço 5 6 graus de liberdade 𝜃1 𝜃2 𝜃3 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Pêndulo simples 6 1 graus de liberdade httpsyoutubejyHFXTZmWgI 𝑧 𝑦 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Pêndulo duplo 7 2 graus de liberdade httpsyoutubeAeWAzKu9Itw MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Mecanismo de quatro barras 8 1 graus de liberdade httpdynrefengrillinoiseduamlhtml 𝜃 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Manipulador 9 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Juntas 10 Corpos no espaço 𝑓 6𝑝 𝑞 Movimento planar 𝑓 3𝑝 𝑞 Revolução Prismática Cilíndrica Planar Esférica 𝑓 número de graus de liberdade 𝑝 número de corpos 𝑞 número de vínculos MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Diagrama de corpo livre DCL 11 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Procedimento DCL é um desenho esquemático de todos os esforços forças e momentos que atuam em um corpo Passos principais para construção do DCL Desenhar os corpos isolados não é necessário fazer um desenho em escala Indicar as dimensões do corpo e a localização dos pontos de aplicação dos esforços Indicar todos os esforços forças e momentos aplicados no corpo observando direção sentido e ponto de aplicação Em sistemas com mais de um corpo o DCL deve ser construído observando o princípio da ação e reação Mesmo que o sentido de uma força não seja conhecido adotase um sentido qualquer Durante a resolução do problema se um valor negativo for obtido o sentido é oposto ao adotado Exemplos de forças típicas que atuam em sistemas mecânicos Peso Força normal corpo em contato com outro corpo Força de atrito corpo em contato com outro corpo e atrito não desprezível Força em uma única direção cabo ou barra com extremidade articulada Força ou momento devido à mola 12 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exemplos 13 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 1 Desenhe o diagrama de corpo livre de um carro de tração dianteira acelerando Considere o sistema composto por três corpos rígidos carroceria eixo dianteiro e eixo traseiro 14 Ԧ𝑝 𝑅𝑟𝑥 𝑅𝑟𝑦 𝑅𝑓𝑥 𝑅𝑓𝑦 𝑀 𝑀 𝑁𝑟 𝑁𝑓 𝑅𝑟𝑦 𝑃𝑟 𝑃𝑓 𝑅𝑓𝑦 𝑅𝑓𝑥 𝑅𝑟𝑥 Ԧ𝐹𝑥 Ԧ𝑓𝑎𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 1 cont Ԧ𝑝 peso do chassi Ԧ𝑝𝑓 peso do eixo dianteiro Ԧ𝑝𝑟 peso do eixo traseiro 𝑅𝑓𝑥 Reação horizontal no eixo dianteiro 𝑅𝑟𝑥 Reação horizontal no eixo traseiro 𝑅𝑓𝑦 Reação vertical no eixo dianteiro 𝑅𝑟𝑦 Reação vertical no eixo traseiro 𝑁𝑓 Normal no eixo dianteiro 𝑁𝑟 Normal no eixo traseiro Ԧ𝐹𝑥 força de tração no eixo dianteiro Ԧ𝑓𝑎𝑡 Força de atrito no eixo traseiro 𝑀 Torque gerado pelo motor do carro na roda 15 Ԧ𝑝 𝑅𝑟𝑥 𝑅𝑟𝑦 𝑅𝑓𝑥 𝑅𝑓𝑦 𝑀 𝑀 𝑁𝑟 𝑁𝑓 𝑅𝑟𝑦 𝑃𝑟 𝑃𝑓 𝑅𝑓𝑦 𝑅𝑓𝑥 𝑅𝑟𝑥 Ԧ𝐹𝑥 Ԧ𝑓𝑎𝑡 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Leis fundamentais da mecânica 16 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Definições Primeira Lei de Newton Uma partícula livre da ação de forças permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a um referencial inercial Segunda Lei de Newton Em um referencial absoluto ou inercial um ponto material de massa 𝑚 sujeito à força resultante 𝒇𝑹𝑬𝑺 movese com aceleração Terceira Lei de Newton Princípio da ação e reação A cada força proveniente da ação de um corpo A sobre um corpo B corresponde a uma força diretamente oposta proveniente da ação de B sobre A 17 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Equação fundamental da dinâmica 18 𝑚 Ԧ𝑎 𝑖1 𝑛 Ԧ𝑓𝑖 Ԧ𝑓𝑅𝐸𝑆 Note que a equação fundamental da dinâmica é uma expressão vetorial logo num espaço tridimensional temos três expressões escalares Graus de liberdade Equações de movimento MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 2 Enunciado Considere o ponto P de massa 𝑚 que desliza sem atrito ao longo da barra que gira com velocidade angular constante A figura ilustra o sistema visto de cima Determine Equação de movimento do ponto P Força de reação em P Força transversal aplicada pela barra no ponto P Aceleração de Coriolis do ponto P 19 1 grau de liberdade 1 equação de movimento Vetor aceleração da gravidade entrando na imagem MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes ሷԦ𝑟 ሷ𝑟𝑢 ሶ𝑟 ሶ𝑢 ሶ𝑟𝜔Ԧ𝜏 𝑟 ሶ𝜔Ԧ𝜏 𝑟𝜔 ሶԦ𝜏 Exercício 2 resolução 20 Aplicando a 2ª Lei de Newton ሶ𝑢 𝜔 𝑢 𝜔𝑘 𝑢 𝜔 Ԧ𝜏 𝑢 𝜏 𝑟 Equação de movimento ሷ𝑟 𝜔2𝑟 0 Força de reação em P Ԧ𝑓 2 ሶ𝑟𝜔𝑚Ԧ𝜏 Aceleração de Coriolis Ԧ𝑎𝑐 2𝜔 Ԧ𝑣𝑅𝐸𝐿 Ԧ𝑎𝑐 2𝜔𝑘 ሶ𝑟𝑢 2𝜔 ሶ𝑟Ԧ𝜏 Aceleração de Coriolis Ԧ𝑎𝑐 2𝜔 ሶ𝑟Ԧ𝜏 0 𝜔 constante ሶ𝑢 𝜔 Ԧ𝜏 ሶԦ𝜏 𝜔𝑢 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝑓 Vetor posição Ԧ𝑟 𝑟𝑢 ሶԦ𝑟 ሶ𝑟𝑢 𝑟 ሶ𝑢 ሶԦ𝑟 ሶ𝑟𝑢 𝑟𝜔Ԧ𝜏 Vetor aceleração Ԧ𝑎 ሷ𝑟 𝑟𝜔2 𝑢 2 ሶ𝑟𝜔Ԧ𝜏 Vetor força Ԧ𝑓 𝑓Ԧ𝜏 Cont da 2ª Lei de Newton 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝑓 𝑚 ሷ𝑟 𝑟𝜔2 𝑢 2 ሶ𝑟𝜔Ԧ𝜏 𝑓Ԧ𝜏 𝑚 ሷ𝑟 𝑟𝜔2 𝑢 2 ሶ𝑟𝜔𝑚Ԧ𝜏 𝑓Ԧ𝜏 Em 𝑢 𝑚 ሷ𝑟 𝑚𝑟𝜔2 0 Em Ԧ𝜏 2 ሶ𝑟𝜔𝑚 𝑓 Ԧ𝑓 Vetor velocidade MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Enunciado Conforme ilustração abaixo considere o ponto P que desliza sobre uma superfície cônica sob o efeito da aceleração da gravidade e força de arrasto dada por Ԧ𝐹a cv 21 Determine as equações de movimento do ponto P e a força normal N MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Ilustração 22 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Resolução 23 Aplicando a 2ª Lei de Newton 𝑚 Ԧ𝑎 𝑃 𝑁 Ԧ𝐹𝑎 𝑁 𝑃 Ԧ𝐹𝑎 2 graus de liberdade 𝜃 𝑟 ou 𝑧 𝑚 Ԧ𝑎 𝑚𝑔𝑘 𝑁 cos 45𝑜 𝑘 𝑁 sin 45𝑜 𝑢 𝑐 Ԧ𝑣 𝑃 𝑁 Ԧ𝐹𝑎 2 2 2 2 Cinemática Ԧ𝑣 ሶ𝑟𝑢 𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝜏 ሶ𝑧𝑘 Ԧ𝑎 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 𝑢 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑟 ሷ𝜃 Ԧ𝜏 ሷ𝑧𝑘 𝑚 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 𝑢 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑟 ሷ𝜃 Ԧ𝜏 ሷ𝑧𝑘 𝑚𝑔𝑘 𝑁 2 2 𝑘 𝑁 2 2 𝑢 𝑐 ሶ𝑟𝑢 𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝜏 ሶ𝑧𝑘 Em 𝑢 Em Ԧ𝜏 Em 𝑘 𝑚 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑟 𝑚 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑟 ሷ𝜃 𝑐𝑟 ሶ𝜃 𝑚 ሷ𝑧 𝑚𝑔 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑧 1 2 3 Para eliminarmos N somamos as equações 1 e 3 2𝑚 ሷ𝑟 𝑚𝑟 ሶ𝜃2 2𝑐 ሶ𝑟 𝑚𝑔 Equações de movimento 2 e 4 𝑚𝑟 ሷ𝜃 2𝑚 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑐𝑟 ሶ𝜃 0 2𝑚 ሷ𝑟 𝑚𝑟 ሶ𝜃2 2𝑐 ሶ𝑟 𝑚𝑔 0 Lembrando número de graus de liberdade número de equações de movimento 𝑟 𝑧 ሶ𝑟 ሶ𝑧 ሷ𝑟 ሷ𝑧 Base móvel Base móvel 4 𝑟 𝑧 ሷ𝑟 ሷ𝑧 ሶ𝑟 ሶ𝑧 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Exercício 3 Resolução cont 24 Subtraindo a equação 3 de 1 isto é 13 Força normal 𝑚𝑟 ሶ𝜃2 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑟 𝑚𝑔 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑟 𝑟 𝑧 ሶ𝑟 ሶ𝑧 ሷ𝑟 ሷ𝑧 2𝑁 𝑚𝑟 ሶ𝜃2 𝑚𝑔 Força normal 𝑁 2 2 𝑚𝑟 ሶ𝜃2 2 2 𝑚𝑔 𝑁 𝑃 Ԧ𝐹𝑎 2 graus de liberdade 𝜃 𝑟 ou 𝑧 Base móvel Base móvel Em 𝑢 Em Ԧ𝜏 Em 𝑘 𝑚 ሷ𝑟 𝑟 ሶ𝜃2 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑟 𝑚 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 𝑟 ሷ𝜃 𝑐𝑟 ሶ𝜃 𝑚 ሷ𝑧 𝑚𝑔 2 2 𝑁 𝑐 ሶ𝑧 1 2 3 ሶ𝑟 ሶ𝑧 ሷ𝑟 ሷ𝑧 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes