Cinematica e Dinamica - Movimento do Corpo Rigido

Movimento geral do corpo Cinemática e Dinâmica MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 1 Introdução Objetivos Definição de corpo rígido Obtenção da expressão fundamental da cinemática de um corpo rígido Análise do movimento plano a partir da fórmula fundamental da cinemática Determinação do centro instantâneo de rotação CIR MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 2 Understanding PLANETARY GEAR set As engrenagens planetárias epicicloidal formam um dos principais mecanismos de transmissão de movimento da engenharia A fórmula fundamental da cinemática é capaz de relacionar a movimentação de cada componente deste sistema MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 3 KUKA omniMove Universal Transport Vehicle As rodas omnidirecionais conferem às plataformas robóticas um alto nível de manobrabilidade Os conceitos de cinemática estudados neste curso servem de base para o desenvolvimento dos modelos matemáticos destes equipamentos MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 4 Fórmula Fundamental da Cinemática MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 5 Movimento de translação Definição de corpo rígido Movimento de translação pura Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 𝑃 𝑄 Ԧ𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ԧ𝑟 Ԧ𝑐 Ԧ𝑟 Ԧ𝑐 𝑃 𝑄 𝑑 𝑑𝑡 0 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑄 No movimento de translação pura todos os pontos possuem o mesmo vetor velocidade MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 6 Rotação em Torno de um Eixo Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 Ԧ𝑟 𝜃 𝑟 𝑧 Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑒𝜃 Ԧ𝑒𝑧 Vetor posição do ponto 𝑃 Ԧ𝑟 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 𝑧 Ԧ𝑒𝑧 Vetor velocidade do ponto 𝑃 Ԧ𝑣𝑃 ሶԦ𝑟 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 𝑧 Ԧ𝑒𝑧 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 𝑧 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑒𝜃 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑒𝜃 Produto vetorial Vetor aceleração do ponto 𝑃 Ԧ𝑎𝑝 ሶԦ𝑣 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝜔 Ԧ𝑟 7 𝑃 Velocidade angular 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ሶ𝜃 𝜔 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑣𝑃 ሶԦ𝑟 𝜔 Ԧ𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝑧 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 𝑧 Ԧ𝑒𝑧 𝑟 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝜃 𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 ሶԦ𝑟 Ԧ𝑎𝑝 ሶԦ𝑣 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 ሶ𝜃 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑣𝑃 ሶԦ𝑟 𝜔 Ԧ𝑟 Rotação 3D MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Definição Corpo rígido Ԧ𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Velocidade cálculo 1 Ԧ𝑟 𝑃 𝑂 ሶԦ𝑟 𝜔 Ԧ𝑟 ሶԦ𝑟 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑂 Velocidade cálculo 2 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 Ԧ𝑟 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 Ԧ𝑟 Ԧ𝑎𝑃 𝑑 Ԧ𝑣𝑃 𝑑𝑡 Ԧ𝑎𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 ሶԦ𝑟 Fórmula Fundamental da Cinemática Velocidade Aceleração Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 Ԧ𝑟 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑟 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑟 ሶ𝜔 Ԧ𝛼 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 8 Exercício 3 Polias A correia movese a uma velocidade constante 𝑣 rolando sem escorregar sobre uma polia 𝐶 de raio 𝑅 As polias 𝐴 e 𝐵 de raio 𝑟 estão ligadas ao sistema por um eixo 𝐴𝐵 rígido de comprimento 4𝑅 em torno do qual elas podem girar Elas rolam sem escorregar sobre o plano horizontal Determine 1 O vetor velocidade angular Ω do eixo 𝐴𝐵 2 O vetor velocidade angular 𝜔 do disco 𝐴 3 O vetor velocidade Ԧ𝑣𝑃 do ponto 𝑃 do disco 𝐴 quando 𝐴𝑃 𝑥 Superior B A C Lateral Frontal A C B A 𝜔𝑧 𝜔𝑦 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝜔𝑥 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 9 Deslocamento em planos paralelos MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 10 Todas as partículas do sólido deslocamse em planos paralelos a um determinado plano 𝛼 Se o vetor unitário Ԧ𝑒𝑧 ou 𝑘 é normal ao plano 𝛼 temos que a velocidade é dada por Ԧ𝑣𝐵 Ԧ𝑣𝐴 𝜔Ԧ𝑒𝑧 𝐵 𝐴 e a aceleração é dada por Ԧ𝑎𝐵 Ԧ𝑎𝐴 ሶ𝜔 Ԧ𝑒𝑧 𝐵 𝐴 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 ሶԦ𝑟 Ԧ𝑎𝐵 Ԧ𝑎𝐴 ሶ𝜔 Ԧ𝑒𝑧 𝐵 𝐴 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 𝐵 𝐴 Onde Ԧ𝑟 𝐵 𝐴 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 Ԧ𝑟 Ԧ𝑎𝑃 Ԧ𝑎𝑂 ሶ𝜔 Ԧ𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑟 Teoria 𝜔 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 Centro Instantâneo de Rotação CIR Velocidades não paralelas Velocidades paralelas A partir da velocidade de um único ponto e velocidade angular do corpo Traçar retas perpendiculares aos vetores velocidade passando pelo respectivo ponto A interseção define o CIR Traçar uma reta que une a ponta dos vetores velocidade e corta a extensão da reta que une os pontos A interseção define o CIR Traçar uma reta perpendicular ao vetor velocidade Posicionar o CIR sobre a reta a uma distância 𝑑 𝑣A 𝜔 11 No movimento plano existe um ponto solidário ao sólido cuja velocidade é nula em um determinado instante A este ponto dáse o nome de Centro Instantâneo de Rotação CIR MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes Gradiente de Velocidade MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 12 Portanto a velocidade de um ponto 𝑃 qualquer tem magnitude 𝜔𝑟 e é perpendicular a Ԧ𝑟 Vetor que vai do 𝐶𝐼𝑅 ao ponto 𝑃 Ԧ𝑣𝑃 Ԧ𝑣𝐶𝐼𝑅 𝜔 𝑃 𝐶𝐼𝑅 Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑒𝜃 Ԧ𝑣𝑃 𝜔 Ԧ𝑒𝑘 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 𝜔 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑣𝑃 𝜔𝑟Ԧ𝑒𝜃 Ԧ𝑣𝑃 𝜔𝑟 Ԧ𝑒𝑘 Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑣𝑃 𝜔𝑟 Ԧ𝑒𝜃 OBS O 𝐶𝐼𝑅 é definido para um determinado instante podendo deslocarse ao longo do tempo Ԧ𝑒𝑟 Ԧ𝑒𝜃 𝜔 𝜔 Ԧ𝑒𝑧 Ԧ𝑣𝑃 𝜔𝑟Ԧ𝑒𝜃 Ԧ𝑟 𝑟 Ԧ𝑒𝑟 Vetor posição Vetor velocidade Exercício Barra apoiada no chão e na parede As extremidades 𝐴 e 𝐵 da barra 𝐴𝐵 de comprimento ℓ percorrem os eixos definidos por Ԧ𝑖 e Ԧ𝑗 A velocidade de 𝐴 é Ԧ𝑣𝐴 𝑣Ԧ𝑖 𝑣 0 cte Pedese 1 Obter graficamente o CIR da barra 2 Achar em função de 𝜙 0 𝜑 𝜋2 1 Vetor velocidade angular 𝜔 da barra 2 Vetor velocidade Ԧ𝑣𝐵 e 3 Vetor aceleração Ԧ𝑎𝐵 MED110 Cinemática e Dinâmica Prof Dr André de Souza Mendes 13