Vibração Livre de Sistemas com um Grau de Liberdade

Vibração Livre de sistemas com um grau de liberdade não há força de excitação externa O modelo matemático pode ser encontrado a partir de diversos métodos 1 Segundo a Lei de Newton 2 Princípio de DAlembert 3 Princípio dos deslocamentos virtuais 4 Princípio da Conservação da energia Vibração livre de um sistema de translação nãoamortecido não há amortecedor Kdst x mg mx Kdst Kx mg mx Kx mx 0 Kx mx 0 mX KX 0 2ª ordem homogênea x Kx 0 1 como Wn km k Wn²m Frequência natural rads Então x Wn²x 0 A solução da equação acima é xt A₁cosWnt A₂senWnt 2 onde A₁ e A₂ são constantes a serem determinadas Duas condições devem ser especificadas para avaliar as constantes x0 A₁ x₀ x0 WnA₂ x₁ xt x₀cosWnt x₀ sinWnt Wn Se usássemos A₁ Acosø A₂ A₂ Asenø em 2 a equação 2 também poderia ser escrito como xt AcosWnt ø onde A x₀² x₀Wn² 12 ø tg¹x₀x₀Wn Se usássemos as relações A₁ A₀senø A₂ A₀cosø A eq2 também pode ser expressa como xt A₀senWnt ø onde A₀ x₀² x₀Wn² 12 e ø tg¹ x₀Wnx₀ Da eq2 temos então xt A1coswnt A2senwnt xt x0coswnt ẋ0wnsenwnt xt x0wnsenwnt 2ẋ0wncoswnt xt x0wnsenwnt x0coswnt xt x0wn²coswnt wnẋ0senwnt Da equação xt Acoswntφ xt wnAsenwntφ ou como senθ cosθ90º xt wnAcoswntφπ2 xt wnw nAcoswntφ ou como coswt coswt180º xt wn²Acoswntφπ Representação gráfica do movimento harmônico xt xt Acoswntφ A max velocidade t Aspec t os impovlanes 1 Se o sistema massamola estiver na posição vertical temos a Frequência n o t ual rads Wn Km12 K W ma dst dst b Frequência n o t ual cicloss fn 12π gdst12 e Período natural s Tn 12π dstg12 segundo 2 A partir do deslocamento podese determinar ẋ e x xt A cosWntφ xt dxtdt wnAsenWntφ wnAcosWntφπ2 xt d²xtdt² wn²AcosWntφ wn²AcosWntφπ xt esta adiantado π2 90º em relação a xt xt esta adiantado π 180º em relação a xt