Matemática Financeira - Juros Compostos e Séries Uniformes

MATEMÁTICA FINANCEIRA AULAS 5 e 6 Prof Fernandes UNIDADE 5 UNIDADE 5 JUROS COMPOSTOS SÉRIES UNIFORMES 1 DADO PV ACHAR PMT PMT PV i1in 1in 1 ou PMT PV x FRC 2 DADO FV ACHAR PMT PMT FV i 1in 1 ou PMT FV x FFC 3 DADO PMT ACHAR PV PV PMT 1in 1 i1in ou PV PMT x FVA 4 DADO PMT ACHAR FV FV PMT 1in 1 i ou FV PMT x FAC 5 DADOS PV FV i ACHAR n n log FV log PV log 1i 6 DADOS PV FV n ACHAR i i nroot FVPV 1 7 DADOS FV PMT i ACHAR n n log FVPMTi 1 log 1i VERSO DESENVOLVENDO FÓRMULA 7 FV PMT 1in 1 i FVPMT i 1in 1 FVPMT i 1 1in aplicando log log FVPMTi 1 n log 1i n log FVPMT i 1 log 1i MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF FCO FERNANDES I VALOR PRESENTE PV UNIDADE 5 1 PV DE UM MONTANTE FUTURO a EM REGIME DE JUROS SIMPLES FV PV 1 in PV FV 1 in EX Seja uma operação que resultou em um FV de R 100000 a uma tx de JS de 2 am durante 12 m Qual o valor pres dessa operação PV FV 100000 0 12 m PV 100000 1 002 x 12 8064516 b EM REGIME DE JUROS COMPOSTOS FV PV 1 in PV FV 1 in EX Calculem o PV do ex anterior em RJC PV 100000 1 00212 PV 7884932 2 PV DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a COM PRESTAÇÕES IGUAIS PV PMT1i1 PMT1i2 PMT1in PMT1in Ex Qual o valor que financiado à tx de 4 am pode ser pago ou amortizado em 5 prestações iguais mensais e sucessivas no final de cada mês de R 100 cada PV 1001041 1001042 1001043 1001044 1001045 PV 9615 9246 8890 8548 8219 PV 44518 8 DADOS PV PMT n ACHAR i FV PMT 1in 1 i 1in 1 i FV PMT Nesse caso calculase a taxa por tentativas interpolação 9 DADOS PV PMT n ACHAR i PV PMT 1in 1 i1in 1in 1 i1in PV PMT Usase o mesmo processo de tentativas interpolação OBS EM QUALQUER DAS DUAS SITUAÇÕES CALCULASE CADA LADO DA IGUALDADE QUE PODE RESULTAR EM IGUALDADE OU DESIGUALDADE a A TAXA BOA OU EFETIVA RESULTA A IGUALDADE b EM CASO DE DESIGUALDADE ATRIBUISE VALORES A i PARA DEFINIR A TAXA EFETIVA POR SIMULAÇÃO VIA INTERPOLAÇÃO EXEMPLOS REGIME JURO COMPOSTO 1 Um investidor vai fazer 6 depósitos mensais em um Banco iniciando em 30 de janeiro e os demais no final de cada mês que serão remunerados à taxa de 15 am Os depósitos serão de R 800 mensais Quanto será o valor de resgate dessa aplicação no dia 30 de setembro DADO PMT ACHAR FV DADO PV ACHAR FV a Cálculo do valor acumulado até 30 junho PMT800 n6 i15 am 0015 FV1 PMT 1 in 1 i FV1 800 10156 1 0015 FV1 498364 b Cálculo do valor acumulado até 30 setembro FV1 PV1 n3 i0015 FV2 FV PV 1 in FV2 498364 10153 FV2 521128 ROTINA HP12C a 800 CHS PMT 6 n 15 i FV 498364 b 498364 CHS PV 3 n 15 i FV 521128 SOLUÇÃO POR SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ACBC AEDE AC 30 20 10 BC 4262 2596 1666 AE i 20 DE 3325 2596 729 logo 101666 i 20729 10 x 729 1666 i 20 729 1666 i 33320 i 729 333201666 i 2438 Arredondar i 25 at Substituir na identidade 1i10 1 i 3325 1 02510 1 025 3325 3325 3325 Então a taxa buscada é 25 at ROTINA HP 500000 CHS FV 1503628 PMT 10 n i 25 8 DADOS FV PMT n ACHAR i FV PMT 1in 1 i 1ini FVPMT OBS Faz interpolação de valores de i até que encontran a igualdade EXEMPLO Seja PMT1503628 FV500000 n10 i A TAXA É TAL QUE SE RESOLVA A IGUALDADE INTERPOLAÇÃO a SEJA i20 at Substituindo 102010 1 020 500000 1503628 12010 1 020 3325 resolvendo 2596 3325 Nesse caso devese elevar a i para conseguir a igualdade b SEJA i30 at 13010 1 030 3325 4262 3325 Nesse caso devese reduzir a i para igualar Então 20 i 30 REFACER PARA PV10604930 INTERPOLAÇÃO 2 Uma caderneta de poupança oferece uma taxa de rentabilidade de 1 am em regime tjc Quanto terá que depositar mensalmente durante 1 ano para ter um valor acumulado de R10000 SITUAÇÃO DADO FV i n ACHAR PMT PMT FV i 1 in 1 PMT 10000 001 10112 1 10000 001 01268 PMT 78849 ROTINA HP12C 10000 CHS FV 12 n 1 i PMT 78849 3 Uma loja vende um produto em 12 parcelas de R 78849 anunciando uma taxa de juros de 1 am Ao final dos 12 meses o consumidor pagará R 946188 Qual seria o valor do bem para pagamento à vista SITUAÇÃO DADO PMT i n ACHAR PV PV PMT 1in 1 i1in PV 78849 10112 1 001 10112 PV 887452 ROTINA HP 12C 78849 CHS PMT 12 n 1 i PV PV 887452 4 Um financiamento de R 10000 deve ser liquidado em 10 prestações iguais e sucessivas com taxa de juros de 12 am no regime de juros compostos Qual o valor da prestação mensal vencível no final de cada mês SITUAÇÃO DADOS PV i n ACHAR PMT PMT PV i1in 1in 1 PV 10000 i 12 am n 10 PMT PMT 10000 0012 101210 101210 1 PMT 106718 ROTINA HP 12C 10000 CHS PV 10 n 12 i PMT PMT 106718 5 Um investidor dispõe de R 10000 e consegue a melhor taxa de aplicação mensal de 15 am em RJC Em quanto tempo conseguirá transformar esse valor em R 15000 se aplicar seu capital a essa taxa SITUAÇÃO DADOS PV FV e i ACHAR n n log FV log PV log 1i ou n log FVPV log 1i n log 15000 log 10000 log 1015 41761 40000 00065 271 ou n 28 ou n log1500010000 log1015 log15 log1015 01761 00065 271 ou n 28 ROTINA HP12c 10000 CHS PV 15000 FV 15 i n 28 n 28 SÉRIES UNIFORMES CONTINUAÇÃO AULA 12517 SITUAÇÃO DE PRESTAÇÕES IGUAIS COM CARÊNCIA OBS Nesse tipo de operação durante a carência os juros se acumulam ao principal até o final da carência PV1 FV1 novo PV PMT 0 1 2 3 1 2 3 4 5 n EX Financiamento de R 100000 durante 24 m i 8 aa Carência 6 meses incluso no prazo total OBS Durante a carência os juros se acumulam ao principal SD Saldo Devedor PV 100000 ia im im 1ia1n 1 im 1008112 1 im 000643 im 0643 am FV1 PV 10006436 FV1 100000 1006436 FV1 10392055 FV1 PV2 PMT PV i1in 1in 1 PMT 10392055 000643 10064318 10064318 1 PMT 613243 HP PMT 10392055 CHS PV 18 n 0643 i PMT 613243 PMT 613243 EXEMPLOS 1 Um banco financia um equipamento de R 20000 num prazo de 2 anos com uma taxa de 3 at Determine a prestação trimestral Solução a compatibilização de tempo 2 a 8 t meses i 3 at PMT PV i1 in 1in 1 PMT 20000 00310038 1 0038 1 PMT 284913 b Pela HP 12C ROTINA 20000 CHS PV 8 n 3 i PMT 284913 PMT 284913 2 Uma dívida deve ser liquidada em 3 prestações trimestrais iguais de R 1000 a uma tx de juros de 1 am em regime de juros compostos Determine o valor do principal dessa dívida a im 1 am equivalente a it it 1 im3 1 it 1 0013 1 it 00303 ou it 303 at b PMT 1000 it 303 ou 00303 n 3 t PV PV PMT 1 in 1 i1 in 1000 1 0033 1 0031033 PV 282861 ROTINA HP 12C 1000 CHS PMT 3 303 n PV PV 282998 3 Um investidor efetua 4 depósitos mensais de R 5000 remunerados à taxa de 8 aa em regime de juros compostos Quanto terá acumulado ao final do período caso não retire os rendimentos a 8 aa im 1 ia112 1 im 1 008112 1 im 00064 im 064 am b FV 5000 100644 1 00064 FV 2019282 ROTINA HP 5000 CHS PMT 4 n 064 i FV FV 2019282 4 A mesma situação supondo FV 2019282 n 4 i 8 aa i 0 Quanto deverá depositar mensal para atingir essa meta a 8 aa im 00064 im 064 am b PMT FV i 1 in 1 PMT 2019282 00064 100644 1 PMT 500000 ROTINA HP 2019282 CHS FV 4 n 064 i PMT PMT 5000 CÁLCULO DIRETO PV PMT 1in 1 i1in PV 100 1045 1 0041045 PV 44518 ROTINA P 100 CHS PMT 5 n 4 i PV 44518 EX 2 Um objeto foi adquirido em 12 parcelas de R 2200 vencíveis no final de cada mês sabendose que a 1ª vence com uma carência de 120 dias 4 meses e que as demais têm vencimentos mensais e sucessivos e que a tx de juros cobrada pelo vendedor é de 5 am Qual o valor do objeto financiado em R PV R 2200 0 1 2 3 4 i 5 16 SOLUÇÃO a Tras todos os valores da serie ao tempo 3 n3 o mes 3 seria o momento zero da série PV1 2200 10512 1 00510512 PV1 1949915 b daí esse PV1 é entendido como um FV de 0 a 3 então pegase esse FV e leva ao momento zero formando novo PV no caso n3 PV1 FV PV FV 1in PV 1949915 1053 PV 1684410 FAZENDO DIRETO PV PMT 1in 1 i1in 1 1im n o período total m reduzido da carência ao atualizar a série m 3 meses PV 2200 1in 1 i1in 1 1im PV 2200 10512 1 00510512 x 1 1053 PV 1684410 PV FV 1 1im Digitalizado com CamScanner