Transformada Z

Transformada Z\n\nDefinição:\nsiga x[n] definido para n ∈ Z. A transformada Z bilateral da função x[n] é dada por:\n\nX(z) = Z{x[n]} = ∑_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}\n\nRegião de convergência:\nA região de convergência é a parte do plano complexo onde a transformada converge\n\nROC = {z : |∑_{n=-∞}^{∞} x[n] z^{-n}| < ∞}\n\nNo caso em que x[n] = 0, para n < 0, a série converge para valores de z em algum módulo, maiores que o raio de convergência R.\n\n|z| lim sup |x[n]|^{1/n} = R\n\nPortanto, série converge absolutamente para todos os pontos do plano z que se encontram fora do círculo de raio R, centrado na origem.\n\nPropriedades:\n\nLinearidade:\nZ{αx[n]+βh[n]} = αG(z) + βH(z)\n\nTeorema do valor inicial\ng[0] = lim_{z→∞} G(z)\n\nTeorema do valor final\nlim_{z→1} g[n] = lim_{z→1} G(z)\n\nDeslocamento tem polar,\n\natravés G{z^{m}x[n]} = z^{-m}G(z), n≠0\ndefinindo m = n - m;\n\nG(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} g[n] z^{-n} = z^{m} G(z)\n\n01 \n\n Mudança de escala\nZ{g[a*n]} = G(az)\n\nDerivada da transformada Z\n\nZ{g[n]z^n} = z * dG(z)/dz\n\nReversa tem polar\nZ {h[n]*g[n]} = H(z^{-1})\n\nMultiplicação por exponencial\nZ{z^{k}h[n]} = H(az)\n\ncom convolução no tempo discreto\nZ{g[n]*h[n]} = H(z)G(z)\n\nTransformada de Z inversa\nA transformada inversa de Z é definida por:\n\nx[n] = (1/2πj) ∫_{C} X(z) z^{n-1} dz onde C é qualquer curva fechada de contorno a origem de forma que a integral indique convergê. Resolução de exercício\nTransformada Z\n\n1:) Calcule a transformada Z da sequência a seguir:\nh(n) = {1/3, -1 ≤ n ≤ 1\n0, n < 0}\n\nP1/\nh(n) = 1/3, n≥0\nH(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} (1/3) z^{-n} = 1/3 * z^{-1} + 1/3 z^{0} + 1/3 z^{1}, z≠0\n\nH(z) = 1/3(z + 1 + z^{-1})\n\n2:) Encontre a transformada Z:\nh(n) = {a^{n}, n>0\n0, n<0}\n\nH(z) = ∑_{n=0}^{∞} a^{n} z^{-n} = ∑_{n=0}^{∞} (a z^{-1})^{n}\n\nH(z) = 1/(1 - a z^{-1}) ⇒ H(z) = 1/(1 - az^{-1}) = z/(z - a)\n\n3:) Mostre a região de convergência de questões anteriores.\n|a z^{-1}| < 1\n|z| > |a| \nROC 49) Calcule a transformação de z:\nh(n) = {n^n cos(w_0 n); n>0 \\ 0; - \nH(z) = \\sum_{n=0}^{\\infty} n^n cos(w_0 n) z^{-n} = \\sum_{n=0}^{\\infty} (n z^{-1})^n cos(w_0 n):\nH(z) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2} (n z^{-1})^n + ...\nH(z) = \\frac{1}{2} \\frac{z}{z - n z^2 + w_0} + \\frac{1}{1 - n z^{-1} + cos(w_0)}\nH(z) = -\\frac{1/2 z}{z - n^2 w_0} - \\frac{n - 1/2}{z - n^2 z^2 w_0} - \n5) Calcule, aplicando as propriedades da transformação z, a saída do sistema.\nY(m) = X(m) + a y(n-1)\nY(z) = X(z) + a Y(z) z^{-1}\nX(z) = y(z) - a y(z) z^{-1}\nX(z) = y(z) (1 - a z^{-1})\nY(z) / X(z) = \\frac{1}{1-a z^{-1}} = \\frac{Z}{Z-a} 6) calcule a região de convergência e a transformação de z:\n$\delta(n)$\n∆(z) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\delta(n) z^{-n} = \\delta(1) = 1; \\delta(n) = {1; n=0 \\ 0; -\nROC z\nResolução de exercícios\nTransformada de inversa\n1) calcule a transformação inversa de z da seguinte função limite da questão:\nX(z) = -\\frac{8z^{-1}+ 18}{z^2 - 5z^{-1} + 6}\nconstruire-me o sistema causal\nn_1 = z^{-1}\nn_2 = 5n + 6 = 0\N por Bhaskara... Termos: n=3 & n=2\n$(-8n+18) = A + \\frac{B}{X-3} + \\frac{(n-2)}{X-2}\n$A(n-2) + B(n-3) = -8n + 18\n$A(n-2) + B(n-3) = -8n + 18... 27) Sendo X(z) = \\frac{-z}{2+4} + \\frac{z}{3-z} + \\frac{z}{z-4}, calcule a transformação inversa de z na seguinte situação:\n$sistema não causal\n...\n3) calcule a transformada inversa de da expressão proposta na questão 2 para a seguinte situação:\nsistema causal\nX[n] = (\\frac{(2)}{u(n-1)} + \\frac{2}{z^3} u(n-1) + (4)u(n-1)\nX[n] = \\frac{-1}{1 - a z^{-1}} = \\frac{X}{z^2 - 5z^{-1}+6}\n5) calcule a transformação inversa de z da expressão proposta da questão 2 para o caso a ser a seguir X(z) = \\frac{z}{2 - 5}\n