Lista de Exercícios Resolvidos Estatística - Coeficiente de Variação, Probabilidade e Intervalo de Confiança

1 Duas amostras de 10 alunos de duas turmas distintas de um mesmo curso apresentaram as seguintes notas em provas de certa disciplina Baseado no coeficiente de variação qual turma apresentou resultados mais homogêneos Comente a resposta Turma 1 51 47 75 35 72 84 45 11 52 57 Turma 2 27 75 49 69 73 63 79 37 84 32 2 Um fabricante de máquinas de lavar sabe por longa experiência que a durabilidade de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1000 dias e desvio padrão de 100 dias a Qual a probabilidade de que uma máquina escolhida ao acaso dentre as máquinas produzidas pela fábrica tenha durabilidade entre 700 e 1200 dias b O fabricante oferece uma garantia de 2 anos 730 dias e produz mensalmente 2000 máquinas Quantas máquinas espera trocar mensalmente pela garantia dada 3 Em uma fábrica colhida uma amostra de 20 peças obtiveramse as seguintes medidas para os diâmetros xi 261 e xi² 3463 Por meio da construção de um intervalo de confiança responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual a média deve ser 14 Adote α 5 4 Temse 2 candidatos A e B Foi feita uma pesquisa com 400 eleitores ao acaso e verificouse que 240 deles pretendiam votar no candidato A a Obtenha um IC de 98 para a proporção de eleitores favoráveis ao candidato A b Qual o tamanho da amostra para que o erro de estimação seja de 3 5 Considere os seguintes dados Quantidade X Custos Y 10 100 11 112 12 119 13 130 14 139 15 142 75 742 a Obtenha a equação da reta ajustada b Obtenha o coeficiente de correlação múltipla ao quadrado R² e interprete o resultado Resolução Turma 1 Média x xi n 51 57 10 529 10 5290 Desvio padrão s xix2 n1 515290² 575290² 101 401490 9 2112 Coeficiente de variação CV s x 100 2112 5290 100 3992 Turma 2 Média x xi n 27 32 10 588 10 5880 Desvio padrão s xix2 n1 275880² 325880² 101 392960 9 2090 Coeficiente de variação CV s x 100 2090 5880 100 3554 A Turma 2 foi a que apresentou resultado mais homogêneo menos disperso uma vez que possui menor Coeficiente de Variação Isso quer dizer que em relação à Turma 1 a Turma 2 possui os valores menos dispersos em relação à sua média Resolução X durabilidade das máquinas XN1000 100² a P700 X 1200 P 700 1000 100 Z 1200 1000 100 P3 Z 2 PZ 2 PZ 3 PZ 2 1 PZ 3 09772 1 09987 09759 9759 b 𝑃X 730 𝑃 Z 730 1000 100 𝑃𝑍 270 1 𝑃𝑍 270 109965 00035 035 Logo esperase trocar 2000 00035 7 máquinas mensalmente de acordo com a garantia dada Resolução A média e a variância são dadas por x xi n 261 20 1305 s² xi2 xi2 n n1 3463261² 20 201 29974 O IC é dado por IC𝜇 x t𝛼 2 n1 s² n IC𝜇 95 1305 2093 29974 20 IC𝜇 95 122397 138603 A amostra não satisfaz a especificação uma vez que o IC calculado não compreende o valor 14 Como mostra o IC calculado com 95 de confiança o diâmetro médio é inferior a 14 Resolução a p 240400 060 ICp p z𝛼 2 p 1p n ICp 98 060 233 060 1060 400 ICp 98 05429 06571 ICp 98 5429 6571 b Considerando nível de confiança de 98 n z𝛼 2² p 1p 𝜀² 233² 060 1060 003² 144771 Logo para que se tenha um erro de 003 a amostra deverá ser 1448 elementos Resolução a X 10 15 75 X² 10² 15² 955 Y 100 142 742 Y² 100² 142² 93090 XY 10 100 15 142 9426 Seja a equação da reta y a bx b n XY X Y n X² X² 6 9426 75 742 6 955 75² 86286 a Y b X 742 6 86286 75 6 158092 Logo a equação é dada por y 158092 86286x b 𝑅2 𝑎 Y 𝑏 XY 𝑛Y2 𝑌2 𝑛Y2 158092 742 86286 9426 6 742 6 2 93090 6 742 6 2 13029430 13293333 09801 Dessa forma temos que 9801 da variabilidade nos custos é explicada pela variabilidade na quantidade Resolução Turma 1 Média x xi n 5157 10 529 10 5290 Desvio padrão s xix 2 n1 515290²575290² 101 4014 90 9 2112 Coeficiente de variação CV s x 1002112 5290 1003992 Turma 2 Média x xi n 2732 10 588 10 5880 Desvio padrão s xix 2 n1 275880²325880² 101 392960 9 2090 Coeficiente de variação CV s x 100 2090 5880 1003554 A Turma 2 foi a que apresentou resultado mais homogêneo menos disperso uma vez que possui menor Coeficiente de Variação Isso quer dizer que em relação à Turma 1 a Turma 2 possui os valores menos dispersos em relação à sua média Resolução X durabilidade das máquinas X N1000100² a P 700X1200 P 7001000 100 Z12001000 100 P 3Z2 P Z2P Z3P Z2 1P Z3 09772109987 097599759 b P X730PZ 7301000 100 P Z2701P Z270 10996500035035 Logo esperase trocar 2000000357 máquinas mensalmente de acordo com a garantia dada Resolução A média e a variância são dadas por x xi n 261 20 1305 s² xi 2 xi 2 n n1 3463261² 20 201 29974 O IC é dado por ICμxt α 2 n1 s ² n ICμ9513052093 29974 20 ICμ95122397138603 A amostra não satisfaz a especificação uma vez que o IC calculado não compreende o valor 14 Como mostra o IC calculado com 95 de confiança o diâmetro médio é inferior a 14 Resolução a p240400060 IC ppz α 2 p1p n IC p98060233 0601060 400 IC p980542906571 IC p9854296571 b Considerando nível de confiança de 98 n z α 2 ² p1p ε ² 233²0601060 003² 1447 71 Logo para que se tenha um erro de 003 a amostra deverá ser 1448 elementos Resolução a X101575 X ²10²15²955 Y 1001427 42 Y ²100²142²93090 XY 10100151429426 Seja a equação da reta yabx b n XY X Y n X ² X ² 6942675742 695575² 86286 aYbX742 6 86286 75 6 158092 Logo a equação é dada por y15809286286 x b R 2a Y b XYnY 2 Y 2nY 2 1580927428628694266 742 6 2 930906 742 6 2 13029430 1329333309801 Dessa forma temos que 9801 da variabilidade nos custos é explicada pela variabilidade na quantidade