Exercícios Resolvidos Distribuições de Probabilidade Binomial-Negativa-Poisson-Uniforme-e-Normal

Questão 1 valor 12 cada item vale 04 Responda a Qual é a principal diferença entre as distribuições de probabilidade binomial e binomial negativa b Qual é a principal diferença entre as distribuições de probabilidade binomial e Poisson c Qual é a diferença entre as distribuições de probabilidade uniforme discreta e contínua Questão 2 valor 10 Numa central de atendimento ao cliente chegam 2000 telefonemas por hora Qual a probabilidade de que em 15 minutos haja 520 chamadas Questão 3 valor 20 cada item vale 10 A probabilidade de um estudante brasileiro ser aprovado num exame de proficiência em língua inglesa é de 010 segundo o histórico de aprovação neste exame a Escolheuse ao acaso 20 estudantes que prestaram o exame Qual é a probabilidade de no máximo 3 deles serem aprovados neste exame b Qual é a probabilidade de ser necessário avaliar 10 estudantes até encontrar o primeiro aprovado neste exame Qual é nº médio de avaliações necessárias até se obter a primeira aprovação Questão 4 valor 16 cada item vale 04 Seja a variável aleatória discreta X que tem a seguinte distribuição de probabilidade X 0 2 4 6 8 PX x 030 030 020 015 005 a Escreva a lei de formação da função massa de probabilidade e o domínio de X E mostre que a função px encontrada é uma função massa de probabilidade b Determine Fx e construa seu gráfico c Calcule a média e a variância da variável aleatória X d Calcule Questão 5 valor 10 Para uma variável aleatória contínua Y verifique se para 0 y 20 pode ser definida como uma função densidade de probabilidade Questão 6 valor 10 Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total Escolhendo ao acaso 4 dessas peças qual é a probabilidade de se encontrar no mínimo 1 boa Questão 7 valor 12 Doentes sofrendo de uma determinada moléstia são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura segue uma distribuição normal de probabilidade com média de 20 dias de cura e desvio padrão igual a 3 dias Qual é a proporção desses pacientes que demorarão menos de 17 dias para se curar Questão 8 valor 10 Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade de Pareto Explique essa distribuição de probabilidade seu uso detalhando em exemplo Questão 1 a Enquanto na binomial estamos interessados na contagem do número de sucessos em n tentativas na binomial negativa estamos interessado na quantidade de tentativas até serem obtidos r sucessos b Enquanto na binomial estamos interessados na contagem do número de sucessos em n tentativas na Poisson o interesse no número de sucessos por unidade de intervalo tempo área volume etc c Na distribuição uniforme discreta temos uma quantidade finita de valores que a VA pode assumir dentro de um dado intervalo onde todos eles possuem igual probabilidade Na distribuição uniforme contínua a probabilidade de quaisquer intervalos de mesmo tamanho dentro do espaço amostra é igual ex se a VA uniforme contínua é definita de 0 a 10 a probabilidade do intervalo 0 a 2 é igual ao de 8 a 10 Questão 2 Se são 2000 telefonemas por hora são esperados 500 telefonemas em 15min Seja X número de telefonas X Poisλ500 P X520e 500500 520 520 00118 Questão 3 a Seja X número de estudantes aprovados no exame X n20 p010 P X 3 P X0P X1P X2 P X3 20 0 010 0090 20 20 1 010 1090 19 20 2 010 2090 18 20 3 010 3090 170121602702028520190108671 b Seja X número de estudante avaliados até o primeiro aprovado primeiro sucesso X Geom p010 P X101010 10101000387 Questão 4 a Lei de formação p x 030 para x0ou2 020 para x4 015 para x6 005 para x8 0caso contrário Domínio D02468 Para que seja uma função de massa de probabilidade A soma de px para todos os x no domínio deve ser 1 Ok 0 px 1 para todos os x Ok px0 para todo x fora do domínio Ok Dessa forma é uma função de massa de probabilidade b X 0 2 4 6 8 Fx 030 060 080 095 100 c Média E X xi pxi003020304 02060158005270 Variância E X ² x ²i pxi0²0302²0304²0206²0158²00513 Var XEX ²EX²13270²571 d P1 X0P X10 P0 X05P X0030 Questão 5 Para que seja uma FDP a integral no domínio da função deve resultar em 1 0 20 1 40 y 10 1dy 1 40 y² 20 y 20 0 1 40 20² 20 201 Logo a função é uma FDP Questão 6 Considerando sem reposição Seja X número de peças não defeituosas X HiperGeomN12 K9n4 P X11P X01 9 0 129 40 12 4 100 Se retiramos quatro peças e só há três peças defeituosas não há como ter zero peças não defeituosas Questão 7 Seja X tempo de cura X Nμ20σ ²3² P X17PZ1720 3 PZ11PZ110841301587 Questão 8 A distribuição de Pareto é uma distribuição de cauda pesada útil para modelar VA onde a maioria dos dados fica numa faixa estreita de variação como por exemplo distribuição de renda tempo de chamadas telefônicas perdas de seguros e atrasos em transmissão de dados na internet Essa distribuição tem a seguinte função de distribuição de probabilidade f x α x0 α 1 x α 1 x00α0 x x0 0caso contrário E a distribuição acumulada é dada por F x 1 x0 x α x x0 0x x0 A esperança é dada por E X α α1 x0 seα 1 se 0α 1 A variância é dada por Var X α α1²α2 x0²se α2 se0α 2 Exemplo Suponha que a renda de uma determinada população possa ser modelada por uma distribuição de Pareto com os seguintes parâmetros α 15 x0 R750 Qual a probabilidade de a renda ser inferior a R1500 P X15001 750 1500 15 06464 Questão 1 a Enquanto na binomial estamos interessados na contagem do número de sucessos em n tentativas na binomial negativa estamos interessado na quantidade de tentativas até serem obtidos r sucessos b Enquanto na binomial estamos interessados na contagem do número de sucessos em n tentativas na Poisson o interesse no número de sucessos por unidade de intervalo tempo área volume etc c Na distribuição uniforme discreta temos uma quantidade finita de valores que a VA pode assumir dentro de um dado intervalo onde todos eles possuem igual probabilidade Na distribuição uniforme contínua a probabilidade de quaisquer intervalos de mesmo tamanho dentro do espaço amostra é igual ex se a VA uniforme contínua é definita de 0 a 10 a probabilidade do intervalo 0 a 2 é igual ao de 8 a 10 Questão 2 Se são 2000 telefonemas por hora são esperados 500 telefonemas em 15min Seja X número de telefonas 𝑋𝑃𝑜𝑖𝑠λ 500 𝑃𝑋 520 𝑒500 500520 520 00118 Questão 3 a Seja X número de estudantes aprovados no exame 𝑋𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑛 20 𝑝 010 𝑃𝑋 3 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 𝑃𝑋 3 20 0 0100 09020 20 1 0101 09019 20 2 0102 09018 20 3 0103 09017 01216 02702 02852 01901 08671 b Seja X número de estudante avaliados até o primeiro aprovado primeiro sucesso 𝑋 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑝 010 𝑃𝑋 10 1 010101 010 00387 Questão 4 a Lei de formação 𝑝𝑥 030 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑜𝑢 2 020 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 4 015 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 6 005 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 8 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Domínio 𝐷 0 2 4 6 8 Para que seja uma função de massa de probabilidade A soma de px para todos os x no domínio deve ser 1 Ok 0 px 1 para todos os x Ok px0 para todo x fora do domínio Ok Dessa forma é uma função de massa de probabilidade b X 0 2 4 6 8 Fx 030 060 080 095 100 c Média 𝐸𝑋 𝑥𝑖 𝑝𝑥𝑖 0 030 2 030 4 020 6 015 8 005 270 Variância 𝐸𝑋² 𝑥²𝑖 𝑝𝑥𝑖 0² 030 2² 030 4² 020 6² 015 8² 005 13 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋² 𝐸𝑋² 13 270² 571 d 𝑃1 𝑋 0 𝑃𝑋 1 0 𝑃0 𝑋 05 𝑃𝑋 0 030 Questão 5 Para que seja uma FDP a integral no domínio da função deve resultar em 1 1 40 𝑦 10 1 𝑑𝑦 20 0 1 40 𝑦² 20 𝑦 20 0 1 40 20² 20 20 1 Logo a função é uma FDP Questão 6 Considerando sem reposição Seja X número de peças não defeituosas 𝑋 𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝐺𝑒𝑜𝑚𝑁 12 𝐾 9 𝑛 4 𝑃𝑋 1 1 𝑃𝑋 0 1 9 0 129 40 12 4 1 0 0 Se retiramos quatro peças e só há três peças defeituosas não há como ter zero peças não defeituosas Questão 7 Seja X tempo de cura 𝑋𝑁𝜇 20 𝜎² 3² 𝑃𝑋 17 𝑃 𝑍 17 20 3 𝑃𝑍 1 1 𝑃𝑍 1 1 08413 01587 Questão 8 A distribuição de Pareto é uma distribuição de cauda pesada útil para modelar VA onde a maioria dos dados fica numa faixa estreita de variação como por exemplo distribuição de renda tempo de chamadas telefônicas perdas de seguros e atrasos em transmissão de dados na internet Essa distribuição tem a seguinte função de distribuição de probabilidade 𝑓𝑥 𝛼 𝑥0𝛼 1 𝑥𝛼1 𝑥0 0 𝛼 0 𝑥 𝑥0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 E a distribuição acumulada é dada por 𝐹𝑥 1 𝑥0 𝑥 𝛼 𝑥 𝑥0 0 𝑥 𝑥0 A esperança é dada por 𝐸𝑋 𝛼 𝛼 1 𝑥0 𝑠𝑒 𝛼 1 𝑠𝑒 0 𝛼 1 A variância é dada por 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝛼 𝛼 1² 𝛼 2 𝑥0² 𝑠𝑒 𝛼 2 𝑠𝑒 0 𝛼 2 Exemplo Suponha que a renda de uma determinada população possa ser modelada por uma distribuição de Pareto com os seguintes parâmetros α 15 𝑥0 R750 Qual a probabilidade de a renda ser inferior a R1500 𝑃𝑋 1500 1 750 1500 15 06464