Lista de Exercícios de Probabilidade - Prof. Dra. Luciana Pagliosa

LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE PROF Dra LUCIANA PAGLIOSA 1 Uma família de três pessoas A B e C tem um plano de uma clínica médica que sempre possui um médico em cada posto 1 2 e 3 Durante determinada semana cada membro da família visita a clínica uma vez e é designado aleatoriamente a um posto Seja o experimento que consiste em registrar o número do posto para cada membro Por exemplo um possível resultado desse experimento aleatório é 121 que representa a escolha aleatória do posto 1 para o membro A o posto 2 para o membro B e o posto 1 para o membro C a Pela regra do produto determine quantas são as ternas ordenadas do espaço amostral desse experimento aleatório b Defina o espaço amostral c Defina o conjunto que representa o evento em que os três membros não seguem para o posto 2 d Defina dois eventos que são eventos mutuamente exclusivos 2 Suponha que no início de um jogo você tenha R500 A cada jogada se você ganhar recebe R100 e se perder paga R100 você não paga nada para jogar Ao final de três jogadas determine construindo o diagrama de árvores a De quantos modos o jogo pode se desenvolver b Quais as possíveis quantias em dinheiro que você poderá ter ao final 3 Ligando as cidades A e B há 7 linhas de ônibus e ligando as cidades B e C há 6 linhas Não há ligação direta entre A e C Determine o número de modos de se ir de ônibus a De A para C b De A para C em seguida voltar para A 4 Adaptada de OBMEP 2005 O campeonato brasileiro de 2005 é disputado por 5 times Cada time enfrenta cada um dos outros duas vezes uma vez em seu campo e outra no campo do adversário a Quantas partidas serão disputadas por cada time 8 b Quantas partidas serão disputadas nesse campeonato 20 5 Questão OBMEP 2006 Dois casais de namorados vão sentarse em um banco de uma praça Em quantas ordens diferentes os quatro podem sentarse no banco de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada 8 6 Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos 4536 7 Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e a Têm todos os dígitos diferentes 3864 b Não têm dígitos iguais a 3 5 ou 6 1567 c Têm as propriedades a e b simultaneamente 560 d Pode ter números iguais 7599 8 Quantos sdo os gabaritos possiveis de um teste de 10 questdes de multipla escolha com cinco alternativas por questao 9765625 9 Com os algarismos 1 2 3 e 4 escrevese em ordem crescente todos os numeros de quatro algarismos distintos Qual a posiao que ira ocupar o numero 3412 17 posicao 10De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretaério de um conselho que tem 12 membros 132 11De quantos modos 3 pessoas podem sentarse em 5 cadeiras em fila 60 12 Quantos sao os anagramas possiveis com as letras da palavra ARARA 10 13 Quantos sao os anagramas possiveis com as letras da palavra MESA 24 14 Quantos sao os anagramas possiveis com as letras da palavra ULYSSES 840 15Quantos sAo os anagramas possiveis com as letras da palavra ULYSSES comecando com U 120 16 De quantos modos podemos formar uma roda com a 3 criangas 2 b 5 criangas 24 c 7 criangas 720 17O segredo de um cofre formado por uma sequéncia de 5 algarismos distintos escolhidos entre 1 2 34 5 6 7 e 8 Ache o maior numero de tentativas diferentes para conseguir abrilo Esse é um problema de arranjo ou combinagao 6720 18Logo apdés terem sido colocados em servico alguns 6nibus fabricados por uma determinada empresa apresentaram trincas na parte inferior do chassi Suponha que uma cidade tenha 25 desses 6nibus e que haja trincas em 8 deles a Ha quantas formas de selecionar uma amostra de 5 6nibus dos 25 para uma inspeao completa 53130 b De quantas formas uma amostra de 5 6nibus pode conter exatamente 4 trincas visiveis 1190 c Qual é a probabilidade de uma amostra de 5 6nibus ter exatamente 4 trincas visiveis 224 19 Quantas saladas de fruta contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes 210 20 O codigo Morse usa duas letra ponto e traco e as palavras tém de a 4 letras Quantas sao as palavras do codigo Morse 30 21 Seja a equagao x x2 x3 6 a Quantas sAo as solugées inteiras e positivas desta equacao Sugestao faga uma adaptacao deste problema para 0 que esta nos slides de aula fazendo uma troca em cada variavel de maneira que estas possam admitir o 0 nas variaveis 10 b Quais sao as solugées do item a c Quantas sao as solucées inteiras da equagao acima de forma que x 2 x2 3 e X3 pode ser inteiro e nao negativo Sugestao faga uma adaptacao deste problema para o que esta nos slides de aula fazendo uma troca em cada variavel de maneira que estas possam admitir o 0 nas variaveis 3 d Quais sao as solugées do item c 22Uma urna contém 10 bolas verdes 8 vermelhas 4 amarelas 4 pretas e 5 brancas todas de mesmo raio Uma bola retirada ao acaso Qual a probabilidade de a bola escolhida ser a Nao verde 2131 b Naobranca ou vermelha 2631 c Verde ou vermelha ou amarela 2231 23 Uma urna contém 15 carté6es enumerados de a 15 Um cartao é retirado aleatoriamente Qual a probabilidade de 0 numero no cartao ser divisivel por 3 13 24Jogase um dado branco e um dado preto Calcule a probabilidade de a Ocorrer soma 6 536 b Ocorrer soma 2 136 c Nao ocorrer soma 2 e nem soma 8 3036 25 Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas Qual a probabilidade de a Sair uma carta vermelha 12 b Sair uma carta de copas 14 c Sair um rei ou uma carta de copas 413 26Um numero inteiro é escolhido ao acaso dentre os numeros 12330 Qual a probabilidade de a O n ser divisivel por 3 13 b O n ser divisivel por 5 15 c O n ser divisivel por 5 ou por 3 715 27Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 20 alaranjadas 7 verdes 10 pretas e 5 brancas Qual a probabilidade dela ser a Laranjada 2042 b Preta 1042 c Verde 742 d Branca 542 e nao ser branca 3742 28Num jogo baseado no jogo de Craps dois dados sao jogados em no maximo duas rodadas Na 1 rodada Se o jogador tira soma 7 ou 11 entao ele ganha o jogo Se ele tira soma 2 3 ou 12 ele perde 0 jogo Nos outros casos ele vai pra 2 rodada Na 2 rodada Se o jogador tira soma 7 ou 11 entao ele ganha o jogo Se ele tira soma 2 3 ou 12 ele perde o jogo Nos outros casos 0 jogo empata Calcule a probabilidade do jogador a Ganhar o jogo na rodada b Perder 0 jogo na 1 rodada c Ganhar na 2 rodada empatou na 1 e ganhou na 2 d Perder na 2 rodada empatou na 1 e perdeu na 2 e Empatar na 2 rodada empatou na 1 e empatou na 2 f Qual é a probabilidade do jogo ir pra 2 rodada g Qual é a probabilidade do jogo terminar na 1 rodada h Qual é a probabilidade do jogo nao empatar na 2 rodada 29 Sejam A B e C eventos aleatórios Associe cada uma das equações expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na linguagem de eventos Justifique suas associações C B A C B A A e B ou C são incompatíveis A C B A Os eventos A B C são idênticos A C B A A ocorrência de A implica a de B e C A C B C B A A ocorrência de A decorre de B ou C 30Lance duas moedas e um dado Qual a probabilidade de aparecerem duas caras e um número par 18 31 Para dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral verifique por meio de diagramas de Venn que é sempre possível escrever o evento A como sendo BC A B A e que portanto temse BC P A B P A P A 32Para dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral verifique por meio de diagramas de Venn que 0 P A B P A 33 Sejam três eventos A B e C de um mesmo espaço amostral tal que A B AC B C e C B A Qual é a C B P A Verifique por meio de diagramas 34Num jogo da mega sena podese apostar em mais de seis números em um mesmo jogo Podemos assinalar 6 7 8 9 ou 10 números num mesmo cartão o que vai custar mais caro proporcionalmente ao aumento da nossa chance de acertar a Se por exemplo forem assinalados 8 números qual é a quantidade de senas com as quais estamos concorrendo b Se por exemplo forem assinalados 8 números qual é a probabilidade de se ganhar na mega sena 35De 120 estudantes 70 estudam matemática 80 estudam português e 40 matemática e português Se um estudante é escolhido aleatoriamente encontre a probabilidade dele a Estudar matemática ou português 110120 b Só estudar português 40120 c Só estudar matemática 30120 d Não estudar matemática 50120 36Um dado é lançado Se o número é ímpar qual a probabilidade dele ser primo 37Se PB 04 PA 07 e P A B 03 calcule P A BC 38Sejam A B e C eventos pertencentes a um mesmo espaço amostral Mostre que a P A B B P A C 1 b B C P A P B C P A C B C P A c Se B AC então 1 B C P A d B P C A P A P B A C B P A e A é independente de si mesma se e somente se 0 P A ou 1 P A f Se A então A e B são independentes g Se A e B então A e B são independentes h Se A B e A B então A e B não são independentes i Se a e B são independentes então A e BC também são independentes j 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 39Três moedas não viciadas são lançadas Sabendose que ocorrem caras e coroas determine a probabilidade de ocorrer exatamente duas coroas 12 40Um par de dados é lançado Sabendose que ocorrem números diferentes encontre a probabilidade de a soma ser um número primo 715 41Numa certa cidade 40 da população gostam de futebol 25 gostam de telenovela e 15 de ambos Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente sabendose que ela gosta de futebol qual a probabilidade de também gostar de telenovela 375 42Em uma cidade onde se publicam três jornais A B C constatouse que entre 2000 famílias assinam A 500 B 450 C 350 A e B 120 A e C 220 B e C 150 e 80 assinam os três Escolhendose acaso uma família qual a probabilidade de que ela a Assine pelo menos um jornal 89200 b Não assine nenhum dos três jornais 111200 c Assine apenas um dos três jornais 56200 43Uma determinada fábrica opera em três turnos diferentes No ano anterior ocorreram 200 acidentes na fábrica Alguns deles podem ser atribuídos em parte a condições de trabalho inseguras enquanto os outros não estão relacionados a condições de trabalho O Quadro a seguir fornece as porcentagens de acidentes que se encaixam em cada categoria de turno de trabalho Suponha que um dos 200 relatórios de acidente seja escolhido aleatoriamente e seja determinado o tipo de acidente e o turno Condições Inseguras Não relacionado Às condições TURNO MANHÃ 10 35 TARDE 8 20 NOITE 5 22 a Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado seja atribuído a condições inseguras 23 b Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado não tenha ocorrido no turno da manhã 55 44 Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições salada completa ou prato a base de carne Considere que 20 dos clientes do sexo masculino preferem a salada 30 das mulheres escolhem carne e 75 dos clientes são homens Com base nesse resultado preencha a tabela abaixo respondendo as seguintes perguntas a Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de salada independente do sexo 325 b Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de pratos a base de carne independente do sexo 675 c Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de salada e ser homem 15 d Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de pratos a base de carne e ser homem 60 e Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de salada e ser mulher 175 f Se um cliente for escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade dele gostar de pratos a base de carne e ser mulher 75 Salada Carne Total Homem 75 Mulher 25 Total 100 45Num período de um mês 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados em um hospital Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final estão no quadro abaixo Sorteando aleatoriamente um desses pacientes determinar a probabilidade de o paciente escolhido a Ter sido submetido ao tratamento B 40 b Ter sido totalmente curado 40 c Ter sido submetido ao tratamento B e ter sido parcialmente curado 16 d Ter sido submetido ao tratamento B ou ter sido parcialmente curado 64 e Os eventos morte e tratamento A são independentes Justifique sua resposta f Os eventos morte e tratamento B são independentes Justifique sua resposta A B Soma Cura total 24 16 40 Cura parcial 24 16 40 Morte 12 8 20 Soma 60 40 100 46 As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança depois de beber são de 13 14 e 15 respectivamente Se decidirem guiar até em casa depois de beber numa festa qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes 25 47Em uma prova caíram dois problemas Sabese que 132 alunos acertaram o primeiro 86 erraram o segundo 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso a Não tenha acertado nenhum problema 37124 b Tenha acertado apenas o segundo problema 21124 48 A fábrica A produziu 4000 lâmpadas e a fábrica B 6000 lâmpadas 80 das lâmpadas de A são boas e 60 das de B são boas também Escolhese uma lâmpada ao acaso das 10000 lâmpadas Qual a probabilidade que a Seja boa sabendose que é da marca A 80 b Seja boa 68 c Seja defeituosa e da marca B 24 d Sendo defeituosa tenha sido fabricada por B 75 49 Mostre que se A e B são eventos independentes de um espaço amostral então C A e C B também são independentes 50Sendo o conjunto X definido por X 𝒙 𝑰𝑹 0 𝒙 2 e seja o experimento aleatório que consiste em sortear um número qualquer deste conjunto Determine a Qual é o espaço amostral Ele é discreto ou contínuo b Qual a probabilidade de ao sortearmos um número qualquer deste conjunto este número pertença ao intervalo 05 15 Qual definição de cálculo de probabilidades que você usou para fazer o cálculo Você fez alguma pressuposição para se fazer este cálculo c Qual a probabilidade de ao sortearmos um número qualquer deste conjunto este número ser exatamente igual a 1 O resultado obtido está relacionado com alguma propriedade de probabilidade 51Suponha que a ocorrência de chuva dependa somente das condições do tempo do dia anterior imediatamente anterior Admitase que se hoje chove então choverá amanhã com probabilidade igual a 07 e se não chover hoje então choverá amanhã com probabilidade igual a 04 a Sabendo que não choveu hoje qual a probabilidade de não chover amanhã b Qual é a probabilidade de chover amanhã c Sabendo que choveu hoje qual é a probabilidade de não chover amanhã d Sabendo que choveu hoje qual a probabilidade de chover depois de amanhã