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Matemática ·
Álgebra Linear
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271122 Teorema do Núcleo e da Imagem Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T V W uma transformação linear Então dim NT dim ImT dim V Trabalho 1 Enunciar e demonstrar o teorema do Núcleo e da Imagem desenhar um esquemamapeamento da demonstração 1 exemplo Valor 70 pontos Trabalho 2 Escrever um texto sobre a importância de uma transformação linear 2 exemplos Valor 20 pontos Teorema do Núcleo e da Imagem Sejam U e V espaços vetoriais da dimensão Finita Considerando a transformação linear T U V então dim U dim NT dim ImT Demonstração Seja B₁ u₁ uᵣ uma base para o núcleo de T ou seja dim NT r Como o núcleo de T é um subespaço de U podemos estender a base B₁ para que seja uma base de U ou seja podemos completar a base B₁ até obtermos uma base para U B u₁ uᵣ uᵣ₁ uₙ Vamos mostrar que B Tu₁ Tuᵣ é uma base para a imagem de T i i B Tu₁ Tuᵣ gera ImT Dado v ImT então existe u U tal que Tu v Como u U podemos expressar u como combinação linear dos vetores da base B₁ de U ou seja ATENÇÃO Apresente os cálculos Seu argumento também será levado em consideração na pontuação 1 05 ponto Verifique se as funções abaixo são transformações lineares a T R² R² onde Txy 2x y x y b T R² R² onde Txyz xy 2z c T R² R² onde Txy 4x 1 y d T R³ R³ onde Txyz x y y z z x 2 05 ponto Considere a transformação linear T R³ R² onde Txyz 2x 3z y e determine a O núcleo de T e uma base para ele b A imagem de T e uma base para ela 3 05 ponto Considere a transformação linear T R³ R³ dada por Txyz y z x y e verifique se ela é injetora eou sobrejetora 4 05 ponto Usando como argumento o Teorema do Núcleo e da Imagem verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras V ou falsas F Justifique sua resposta Toda transformação linear de R para R² é injetora Nenhuma transformação linear de R para R² é sobrejetora Toda transformação linear de R² para R é sobrejetora Existem transformações lineares de R para R² sobrejetora Toda transformação linear de R² para R² é bijetora μ ω₁μ₁ ω₂μ₂ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ Aplicando T na igualdade acima temos υ Tμ Tω₁μ₁ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ ω₁Tμ₁ ωᵣTμᵣ b₁Tυ₁ bₛTυₛ pois T é linear Como Tμ₁ Tμ₂ Tμᵣ 0 pois μ₁ μ₂ μᵣ NT logo υ Tμ b₁Tυ₁ bₛTυₛ ou seja dado υ ImT então υ pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B Portanto ImT Tυ₁ Tυₛ ii B Tυ₁ Tυₛ é LI Considere a seguinte equação b₁Tυ₁ bₛTυₛ 0 ou seja Tb₁υ₁ bₛυₛ 0 pois T é linear Logo b₁υ₁ bₛυₛ NT Então podemos expressar esse elemento como combinação linear dos vetores da base B₁ do NT b₁υ₁ bₛυₛ ω₁μ₁ ωᵣμᵣ Daí segue ω₁μ₁ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ 0 Como Bα μ₁ μᵣ υ₁ υₛ é base de U então Bα é LI Logo todos os escalares da equação são nulos Em particular b₁ bₛ 0 Portanto B é LI Por i e ii concluímos que B Tυ₁ Tυₛ é uma base da imagem de T Logo dim ImT s Como dim U r s então dim U r s dim NT dim ImT O esquema da demonstração dim U r s dim NT dim ImT Exemplo Considere a transformação linear T IR3 IR3 dada por Txyz x 2y z y 2z x 3y z Núcleo de T O núcleo de T é dado por NT xyz IR3 Txyz 000 T ou seja x 2y z y 2z x 3y z 000 ou ainda x 2y z 0 y 2z 0 x 3y z 0 onde obtemos x 5z y 2z z z Logo NT 5z2zz z IR T Como z é a única variável livre entao dim NT 1 Imagem de T A imagem de T é dada por ImT abc IR3 Txyz abc T ou seja x 2y z y 2z x 3y z abc Logo x 2y z a y 2z b x 3y z c onde obtemos que o sistema só terá solução se a b c 0 Daí segue que ImT abc IR3 a b c 0 T b c b c b c IR T Logo dim ImT 2 Observe que o teorema do núcleo e da imagem é verificado Temos que 3 dim IR3 dim NT dim ImT 1 2 1 a Considere T IR2 IR3 dada por Txy 2x y xy Vejamos se T é linear Sejam ux1 y1 vx2 y2 IR2 e λ IRTemos i Tuv Tx1x2 y1y2 2x1x2 y1y2 x1x2y1y2 2x12x2 y1y2 x1y1x2y2 2x1 y1 x1y1 2x2 y2 x2y2 Tx1y1 Tx2y2 Tu Tv Logo Tuv Tu Tv ii Tλu Tλx1 λy1 2λx1 λy1 λx1 λy1 λ2x1 λy1 λx1y1 λ2x1 y1 x1y1 λTx1y1 λTu Logo Tλu λTu Portanto T é uma transformação linear b Considere T IR3 IR2 dada por Txyz xy 2z Vejamos se T é linear Dados ux1y1z1 vx2y2z2 IR3 e λ IR Temos i Tuv Tx1x2 y1y2 z1z2 x1x2y1y2 2z1z2 x1y1 x1y2 x2y1 x2y2 2z1 2z2 Por outro lado TuTv Tx1y1z1 Tx2y2z2 x1y1 2z1 x2y2 2z2 x1y1 x2y2 2z1 2z2 Logo Tuv Tu Tv Portanto T não é uma transformação linear c Considere T IR2 IR2 dada por Txy 4x 1y T não é uma transformação linear Dados u x1 y1 v x2 y2 IR2 temos Tuv Tx1x2 y1y2 4x1x2 1y1y2 4x1 4x2 1y1y2 Por outro lado Tu Tv Tx1y1 Tx2y2 4x1 1y1 4x2 1y2 4x1 4x2 2 y1 y2 Logo Tuv Tu Tv 1d Considere T IR3 IR3 dado por T x y z x y y z z x Vejamos se T é linear Sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 IR3 e λ IR Temos i T u v T x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 z1 z2 z1 z2 x1 x2 x1 y1 x2 y2 y1 z1 y2 z2 z1 x1 z2 x2 x1 y1 y1 z1 z1 x1 x2 y2 y2 z2 z2 x2 T x1 y1 z1 T x2 y2 z2 T u T v Logo T u v T u T v ii T λu T λx1 λy1 λz1 λx1 λy1 λy1 λz1 λz1 λx1 λ x1 y1 λ y1 z1 λ z1 x1 λ x1 y1 y1 z1 z1 x1 λ T x1 y1 z1 λ T u Logo T λu λ T u Portanto T é uma transformação linear 2 Considere a transformação linear T IR3 IR2 dada por Txyz 2x 3z y a O núcleo de T é dado por NT x y z IR3 Tx y z 0 0 ou seja 2x 3z y 0 0 ou ainda 2x 0 1 3z y 0 2 De 1 temos x 0 De 2 temos y 3z Logo a solução do sistema é x 0 y 3z z z Portanto o núcleo de T é dado por NT 0 3z z z IR Observe que 0 3z z z 0 3 1 Logo o vetor 0 3 1 gera o núcleo de T e portanto B 0 3 1 é uma base do núcleo de T b O vetor imagem Txyz pode ser expressão da seguinte maneira 2x 3zy x20 y01 z03 Logo ImT 20 01 03 Como 03 020 301 Logo 03 é combinação linear dos vetores 20 e 01 Portanto B 20 01 é uma base da imagem de T 3 Considere a transformação linear T IR3 IR3 dada por Txyz yz x y Vejamos se T é injetora Sabemos que T é injetora se e somente se NT 000 Então vamos determinar o núcleo de T Se Txyz 000 ou seja se yz x y 000 Então y z 0 1 x 0 2 y 0 3 De 3 temos y 0 De 2 temos x 0 De 1 temos z 0 Logo NT 000 e portanto T é injetora T é sobrejetora Como NT 000 T é então dim NT 0 Logo pelo teorema do núcleo e da imagem segue que dim ImT dim IR3 dim NT 3 0 3 Logo dim ImT 3 ou seja ImT IR3 e portanto T é sobrejetora a Toda transformação linear de IR para IR² é injetora Solução falso Pelo teorema do núcleo e da imagem dim NT dim IR dim ImT 1 dim ImT Como ImT IR² logo dim ImT 0 1 ou 2 A dimensão da ImT não pode ser igual a 2 caso contrário dim NT 0 Absurdo pois dim NT 0 Se dim ImT 0 então dim NT 1 0 1 Logo NT 0 e portanto T não é injetora b Nenhuma transformação linear de IR para IR² é sobrejetora Solução Verdade Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim ImT dim IR dim NT 1 dim NT Como NT IR logo dim NT 0 ou 1 Logo dim ImT 0 ou 1 Portanto ImT IR² ou seja não existe uma transformação linear de IR para IR² que seja sobrejetora c Toda transformação linear de IR² para IR é sobrejetora Solução falso Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim ImT dim IR² dim NT 2 dim NT Como ImT IR logo dim ImT 0 ou 1 Ainda temos que NT IR² logo dim NT 0 1 ou 2 Observe que dim NT 0 caso contrário teríamos dim ImT 2 Absurdo pois dim ImT 0 ou 1 Se dim NT 2 logo dim ImT 0 Portanto ImT IR ou seja T não é sobrejetora d Existem transformações lineares de ℝ para ℝ² sobrejetora Solução FALSO Sabemos que pelo teorema do núcleo e da imagem dim ImT dim ℝ dim NT 1 dim NT Como NT ℝ logo dim NT 0 ou 1 Se dim NT 0 segue que dim ImT 1 Logo ImT ℝ² e portanto T não é sobrejetora Se dim NT 1 então dim ImT 0 ou seja ImT ℝ² Portanto T não é sobrejetora Logo toda transformação linear de ℝ para ℝ² não é sobrejetora ou seja não existem transformações lineares de ℝ para ℝ² sobrejetora e Toda transformação linear de ℝ² para ℝ² é bijetora Solução Falso Seja T ℝ² ℝ² uma transformação linear Como NT ℝ² então dim NT 0 1 ou 2 Suponha que dim NT 1 Então pelo teorema do núcleo e da imagem dim ImT dim ℝ² dim NT 2 1 1 Logo dim ImT 1 ou seja ImT ℝ² Portanto T não é sobrejetora Logo não é bijetora Observe ainda como supomos dim NT 1 logo T não é injetora daí já podíamos concluir que T não é bijetora Matriz de uma transformação linear Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m respectivamente Considere a transformação linear T U V Sejam A u1 un base de U e B v1 vm base de V Como os vetores Tu1 Tun estão em V podemos expressálos como combinação linear dos vetores da base B isto é Tu1 o11 v1 o21 v2 om1 vm Tu2 o12 v1 o22 v2 om2 vm Tun on1 v1 on2 v2 omn vm onde wij e IR sao unicamente determinados com 1 i m e 1 j n Assim obtemos uma matriz de ordem m x n w11 w12 w1n w21 w22 w2n wm1 wm2 wmn aij que e chamada a matriz de T em relacao as bases A e B Denotamos por TAB ou TAB Em resumo a matriz de T em relacao as bases A e B e uma matriz de ordem m x n onde cada coluna e formada pelas componentes das imagens dos vetores de A em relacao a base B TAB w11 w12 w1n w21 w22 w2n wm1 wm2 wmn Exemplos 1 Considere a transformacao linear T IR3 IR2 dada por Txyz 2x y z 3x y 2z Sejam A v1 111 v2 011 v3 001 e B u1 21 u2 53 bases de IR3 e IR2 respectivamente Vamos determinar TAB Temos Tv1 T111 22 w1121 w2153 ou seja 2 w11 5 w21 2 w11 3 w21 2 onde obtemos w11 4 e w21 2 Tv2 T011 01 w1221 w2253 ou seja 2 w12 5 w22 0 w12 3 w22 1 onde obtemos w12 5 e w22 2 Tv3 T001 12 w1321 w2353 Logo 2 w13 5 w23 1 w13 3 w23 2 onde obtemos w13 13 e w23 5 Portanto TAB 4 5 13 2 2 5 2 Considere a transformação linear T IR2 IR2 dada por Txy 2x y x y Seja A v1 1 2 v2 1 3 uma base de IR2 Vamos determinar TAA ou simplesmente TA Temos Tv1 T1 2 4 1 w11 1 2 w21 1 3 ou seja w11 w21 4 2 w11 3 w21 1 cuja solução é w11 11 e w21 7 Tv2 T13 5 2 w12 1 2 w22 1 3 ou seja w12 w22 5 2 w12 3 w22 2 onde obtemos w12 13 e w22 8 Portanto TA 11 13 7 8 Tv1A Tv2A
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271122 Teorema do Núcleo e da Imagem Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T V W uma transformação linear Então dim NT dim ImT dim V Trabalho 1 Enunciar e demonstrar o teorema do Núcleo e da Imagem desenhar um esquemamapeamento da demonstração 1 exemplo Valor 70 pontos Trabalho 2 Escrever um texto sobre a importância de uma transformação linear 2 exemplos Valor 20 pontos Teorema do Núcleo e da Imagem Sejam U e V espaços vetoriais da dimensão Finita Considerando a transformação linear T U V então dim U dim NT dim ImT Demonstração Seja B₁ u₁ uᵣ uma base para o núcleo de T ou seja dim NT r Como o núcleo de T é um subespaço de U podemos estender a base B₁ para que seja uma base de U ou seja podemos completar a base B₁ até obtermos uma base para U B u₁ uᵣ uᵣ₁ uₙ Vamos mostrar que B Tu₁ Tuᵣ é uma base para a imagem de T i i B Tu₁ Tuᵣ gera ImT Dado v ImT então existe u U tal que Tu v Como u U podemos expressar u como combinação linear dos vetores da base B₁ de U ou seja ATENÇÃO Apresente os cálculos Seu argumento também será levado em consideração na pontuação 1 05 ponto Verifique se as funções abaixo são transformações lineares a T R² R² onde Txy 2x y x y b T R² R² onde Txyz xy 2z c T R² R² onde Txy 4x 1 y d T R³ R³ onde Txyz x y y z z x 2 05 ponto Considere a transformação linear T R³ R² onde Txyz 2x 3z y e determine a O núcleo de T e uma base para ele b A imagem de T e uma base para ela 3 05 ponto Considere a transformação linear T R³ R³ dada por Txyz y z x y e verifique se ela é injetora eou sobrejetora 4 05 ponto Usando como argumento o Teorema do Núcleo e da Imagem verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras V ou falsas F Justifique sua resposta Toda transformação linear de R para R² é injetora Nenhuma transformação linear de R para R² é sobrejetora Toda transformação linear de R² para R é sobrejetora Existem transformações lineares de R para R² sobrejetora Toda transformação linear de R² para R² é bijetora μ ω₁μ₁ ω₂μ₂ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ Aplicando T na igualdade acima temos υ Tμ Tω₁μ₁ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ ω₁Tμ₁ ωᵣTμᵣ b₁Tυ₁ bₛTυₛ pois T é linear Como Tμ₁ Tμ₂ Tμᵣ 0 pois μ₁ μ₂ μᵣ NT logo υ Tμ b₁Tυ₁ bₛTυₛ ou seja dado υ ImT então υ pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B Portanto ImT Tυ₁ Tυₛ ii B Tυ₁ Tυₛ é LI Considere a seguinte equação b₁Tυ₁ bₛTυₛ 0 ou seja Tb₁υ₁ bₛυₛ 0 pois T é linear Logo b₁υ₁ bₛυₛ NT Então podemos expressar esse elemento como combinação linear dos vetores da base B₁ do NT b₁υ₁ bₛυₛ ω₁μ₁ ωᵣμᵣ Daí segue ω₁μ₁ ωᵣμᵣ b₁υ₁ bₛυₛ 0 Como Bα μ₁ μᵣ υ₁ υₛ é base de U então Bα é LI Logo todos os escalares da equação são nulos Em particular b₁ bₛ 0 Portanto B é LI Por i e ii concluímos que B Tυ₁ Tυₛ é uma base da imagem de T Logo dim ImT s Como dim U r s então dim U r s dim NT dim ImT O esquema da demonstração dim U r s dim NT dim ImT Exemplo Considere a transformação linear T IR3 IR3 dada por Txyz x 2y z y 2z x 3y z Núcleo de T O núcleo de T é dado por NT xyz IR3 Txyz 000 T ou seja x 2y z y 2z x 3y z 000 ou ainda x 2y z 0 y 2z 0 x 3y z 0 onde obtemos x 5z y 2z z z Logo NT 5z2zz z IR T Como z é a única variável livre entao dim NT 1 Imagem de T A imagem de T é dada por ImT abc IR3 Txyz abc T ou seja x 2y z y 2z x 3y z abc Logo x 2y z a y 2z b x 3y z c onde obtemos que o sistema só terá solução se a b c 0 Daí segue que ImT abc IR3 a b c 0 T b c b c b c IR T Logo dim ImT 2 Observe que o teorema do núcleo e da imagem é verificado Temos que 3 dim IR3 dim NT dim ImT 1 2 1 a Considere T IR2 IR3 dada por Txy 2x y xy Vejamos se T é linear Sejam ux1 y1 vx2 y2 IR2 e λ IRTemos i Tuv Tx1x2 y1y2 2x1x2 y1y2 x1x2y1y2 2x12x2 y1y2 x1y1x2y2 2x1 y1 x1y1 2x2 y2 x2y2 Tx1y1 Tx2y2 Tu Tv Logo Tuv Tu Tv ii Tλu Tλx1 λy1 2λx1 λy1 λx1 λy1 λ2x1 λy1 λx1y1 λ2x1 y1 x1y1 λTx1y1 λTu Logo Tλu λTu Portanto T é uma transformação linear b Considere T IR3 IR2 dada por Txyz xy 2z Vejamos se T é linear Dados ux1y1z1 vx2y2z2 IR3 e λ IR Temos i Tuv Tx1x2 y1y2 z1z2 x1x2y1y2 2z1z2 x1y1 x1y2 x2y1 x2y2 2z1 2z2 Por outro lado TuTv Tx1y1z1 Tx2y2z2 x1y1 2z1 x2y2 2z2 x1y1 x2y2 2z1 2z2 Logo Tuv Tu Tv Portanto T não é uma transformação linear c Considere T IR2 IR2 dada por Txy 4x 1y T não é uma transformação linear Dados u x1 y1 v x2 y2 IR2 temos Tuv Tx1x2 y1y2 4x1x2 1y1y2 4x1 4x2 1y1y2 Por outro lado Tu Tv Tx1y1 Tx2y2 4x1 1y1 4x2 1y2 4x1 4x2 2 y1 y2 Logo Tuv Tu Tv 1d Considere T IR3 IR3 dado por T x y z x y y z z x Vejamos se T é linear Sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 IR3 e λ IR Temos i T u v T x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 z1 z2 z1 z2 x1 x2 x1 y1 x2 y2 y1 z1 y2 z2 z1 x1 z2 x2 x1 y1 y1 z1 z1 x1 x2 y2 y2 z2 z2 x2 T x1 y1 z1 T x2 y2 z2 T u T v Logo T u v T u T v ii T λu T λx1 λy1 λz1 λx1 λy1 λy1 λz1 λz1 λx1 λ x1 y1 λ y1 z1 λ z1 x1 λ x1 y1 y1 z1 z1 x1 λ T x1 y1 z1 λ T u Logo T λu λ T u Portanto T é uma transformação linear 2 Considere a transformação linear T IR3 IR2 dada por Txyz 2x 3z y a O núcleo de T é dado por NT x y z IR3 Tx y z 0 0 ou seja 2x 3z y 0 0 ou ainda 2x 0 1 3z y 0 2 De 1 temos x 0 De 2 temos y 3z Logo a solução do sistema é x 0 y 3z z z Portanto o núcleo de T é dado por NT 0 3z z z IR Observe que 0 3z z z 0 3 1 Logo o vetor 0 3 1 gera o núcleo de T e portanto B 0 3 1 é uma base do núcleo de T b O vetor imagem Txyz pode ser expressão da seguinte maneira 2x 3zy x20 y01 z03 Logo ImT 20 01 03 Como 03 020 301 Logo 03 é combinação linear dos vetores 20 e 01 Portanto B 20 01 é uma base da imagem de T 3 Considere a transformação linear T IR3 IR3 dada por Txyz yz x y Vejamos se T é injetora Sabemos que T é injetora se e somente se NT 000 Então vamos determinar o núcleo de T Se Txyz 000 ou seja se yz x y 000 Então y z 0 1 x 0 2 y 0 3 De 3 temos y 0 De 2 temos x 0 De 1 temos z 0 Logo NT 000 e portanto T é injetora T é sobrejetora Como NT 000 T é então dim NT 0 Logo pelo teorema do núcleo e da imagem segue que dim ImT dim IR3 dim NT 3 0 3 Logo dim ImT 3 ou seja ImT IR3 e portanto T é sobrejetora a Toda transformação linear de IR para IR² é injetora Solução falso Pelo teorema do núcleo e da imagem dim NT dim IR dim ImT 1 dim ImT Como ImT IR² logo dim ImT 0 1 ou 2 A dimensão da ImT não pode ser igual a 2 caso contrário dim NT 0 Absurdo pois dim NT 0 Se dim ImT 0 então dim NT 1 0 1 Logo NT 0 e portanto T não é injetora b Nenhuma transformação linear de IR para IR² é sobrejetora Solução Verdade Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim ImT dim IR dim NT 1 dim NT Como NT IR logo dim NT 0 ou 1 Logo dim ImT 0 ou 1 Portanto ImT IR² ou seja não existe uma transformação linear de IR para IR² que seja sobrejetora c Toda transformação linear de IR² para IR é sobrejetora Solução falso Pelo teorema do núcleo e da imagem temos dim ImT dim IR² dim NT 2 dim NT Como ImT IR logo dim ImT 0 ou 1 Ainda temos que NT IR² logo dim NT 0 1 ou 2 Observe que dim NT 0 caso contrário teríamos dim ImT 2 Absurdo pois dim ImT 0 ou 1 Se dim NT 2 logo dim ImT 0 Portanto ImT IR ou seja T não é sobrejetora d Existem transformações lineares de ℝ para ℝ² sobrejetora Solução FALSO Sabemos que pelo teorema do núcleo e da imagem dim ImT dim ℝ dim NT 1 dim NT Como NT ℝ logo dim NT 0 ou 1 Se dim NT 0 segue que dim ImT 1 Logo ImT ℝ² e portanto T não é sobrejetora Se dim NT 1 então dim ImT 0 ou seja ImT ℝ² Portanto T não é sobrejetora Logo toda transformação linear de ℝ para ℝ² não é sobrejetora ou seja não existem transformações lineares de ℝ para ℝ² sobrejetora e Toda transformação linear de ℝ² para ℝ² é bijetora Solução Falso Seja T ℝ² ℝ² uma transformação linear Como NT ℝ² então dim NT 0 1 ou 2 Suponha que dim NT 1 Então pelo teorema do núcleo e da imagem dim ImT dim ℝ² dim NT 2 1 1 Logo dim ImT 1 ou seja ImT ℝ² Portanto T não é sobrejetora Logo não é bijetora Observe ainda como supomos dim NT 1 logo T não é injetora daí já podíamos concluir que T não é bijetora Matriz de uma transformação linear Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m respectivamente Considere a transformação linear T U V Sejam A u1 un base de U e B v1 vm base de V Como os vetores Tu1 Tun estão em V podemos expressálos como combinação linear dos vetores da base B isto é Tu1 o11 v1 o21 v2 om1 vm Tu2 o12 v1 o22 v2 om2 vm Tun on1 v1 on2 v2 omn vm onde wij e IR sao unicamente determinados com 1 i m e 1 j n Assim obtemos uma matriz de ordem m x n w11 w12 w1n w21 w22 w2n wm1 wm2 wmn aij que e chamada a matriz de T em relacao as bases A e B Denotamos por TAB ou TAB Em resumo a matriz de T em relacao as bases A e B e uma matriz de ordem m x n onde cada coluna e formada pelas componentes das imagens dos vetores de A em relacao a base B TAB w11 w12 w1n w21 w22 w2n wm1 wm2 wmn Exemplos 1 Considere a transformacao linear T IR3 IR2 dada por Txyz 2x y z 3x y 2z Sejam A v1 111 v2 011 v3 001 e B u1 21 u2 53 bases de IR3 e IR2 respectivamente Vamos determinar TAB Temos Tv1 T111 22 w1121 w2153 ou seja 2 w11 5 w21 2 w11 3 w21 2 onde obtemos w11 4 e w21 2 Tv2 T011 01 w1221 w2253 ou seja 2 w12 5 w22 0 w12 3 w22 1 onde obtemos w12 5 e w22 2 Tv3 T001 12 w1321 w2353 Logo 2 w13 5 w23 1 w13 3 w23 2 onde obtemos w13 13 e w23 5 Portanto TAB 4 5 13 2 2 5 2 Considere a transformação linear T IR2 IR2 dada por Txy 2x y x y Seja A v1 1 2 v2 1 3 uma base de IR2 Vamos determinar TAA ou simplesmente TA Temos Tv1 T1 2 4 1 w11 1 2 w21 1 3 ou seja w11 w21 4 2 w11 3 w21 1 cuja solução é w11 11 e w21 7 Tv2 T13 5 2 w12 1 2 w22 1 3 ou seja w12 w22 5 2 w12 3 w22 2 onde obtemos w12 13 e w22 8 Portanto TA 11 13 7 8 Tv1A Tv2A