Capitalizacao Simples e Composta - Juros e Taxas - Resumo

UNIDADE II Valor do Dinheiro no Tempo 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UFPI Centro de Ciências Humanas e Letras CCHL Campus Ministro Petrônio Portella Coordenação do Curso de Administração Disciplina Administração Financeira e Orçamentária I Docente Francisco Tavares de Miranda Filho franciscotavaresufpiedubr Capitalização simples e composta Desconto simples e composto Equivalência de taxas CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Capitalizar em matemática financeira significa adicionar juros ao capital Essa adição pode ser feita de forma linear simples ou exponencial composta De forma linear dizemos que a capitalização é simples De forma exponencial dizemos que ela é composta Conceito de capitalização simples o cálculo de obtenção dos juros em que a taxa definida para o período unitário dia mês ou ano incide sempre sobre o capital inicial não incidindo pois sobre os juros que vão se acumulando 26052025 2 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Exemplo Calcular o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R 100000 contratado a uma taxa de juros de 5 am pelo prazo de 4 meses J PVin 1000 005 4 20000 26052025 3 Valor do Dinheiro no Tempo 1 Mês Juros Mensais Juros Acumulados 1 005 100000 5000 5000 2 005 100000 5000 10000 3 005 100000 5000 15000 4 005 100000 5000 20000 005 100 5 5 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Cálculo dos juros simples No regime de capitalização simples o valor total dos juros a ser pago no final de um certo prazo é determinado com base na fórmula Sendo J o valor total dos juros PV o capital inicial valor presente present value i a taxa de juros n o prazo número de períodos Obs 1 i e n devem ter unidades compatíveis 2 i deve ser colocado na fórmula na forma unitária Na HP12C o i vai na forma percentual 26052025 4 Valor do Dinheiro no Tempo 1 PV i n J CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Cálculo dos juros Retomando o exemplo anterior fica Dados PV 100000 i 5 005 am n 4m J Substituindo os dados na fórmula fica J PVin 100000 005 4 R 20000 Na HP12C fica Obs 1 a taxa i tem que ser anual 2 o período n tem que ser em dias ia 5 am 12 5 am 60 aa n 4m 4 30d 120d HP12C f REG 1000 CHS PV 60 i 120 n f INT Visor 20000 26052025 5 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Pratique 1 Qual o valor dos juros correspondentes a uma empréstimo de R 1000000 pelo prazo de 8 meses sabendose que a taxa cobrada é de 3 am R 240000 2 Um capital de R 2500000 aplicado durante 7 meses rende juros de R 778500 Determinar a taxa correspondente 45 am 3 Uma aplicação de R 5000000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R 825000 Indagase quais as taxas diária e mensal correspondentes a essa aplicação 0091667 ad 275 am 4 Sabendose que os juros de R 600000 foram obtidos com a aplicação de R 750000 à taxa de 8 at pedese que se calcule o prazo 25 a 5 Qual o capital que à taxa de 4 am rende juros de R 900000 em um ano R 1875000 6 Um empréstimo de R 2300000 é liquidado por R 2920000 no final de 152 dias Calcular a taxa mensal de juros 532 7 Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R 2000000 feita a uma taxa de 494 am pelo prazo de 76 dias R 250293 R 2250293 26052025 6 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Montante e valor atual O montante ou valor futuro que vamos indicar por FV é igual à soma do capital inicial valor presente com os juros referentes ao período da aplicação Assim temos FV PV J Mas J PVin Substituindo na expressão fica FV PV PVin Colocando PV em evidência fica Obs 1 i e n devem ter unidades compatíveis 2 i deve ser colocado na fórmula na forma unitária 26052025 7 Valor do Dinheiro no Tempo 1 1 in PV FV CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Exemplo Calcular o montante da aplicação de um capital de R 800000 pelo prazo de 12 meses à taxa de 3 am Dados PV 800000 n 12m i 3 003 am FV FV PV1 in FV 8000001 003 12 800000136 1088000 HP12C f REG 8000 CHS PV 360 n 36 i f INT Obs valor atual ou valor presente indicado por PV é o valor do capital que aplicado a dada taxa e a dado prazo nos dá um montante conhecido por FV Assim como FV PV1 in segue se que 26052025 8 Valor do Dinheiro no Tempo 1 in FV PV 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Pratique 1 Sabendose que certo capital aplicado durante 10 semestres à taxa de 36 aa rende R 7200000 de juros determinar o montante R 4000000 2 Um empréstimo de R 4000000 deverá ser quitado por R 8000000 no final de 12 meses Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação 833 am 100 aa 3 Em que prazo uma aplicação de R 3500000 pode gerar um montante de R 5337500 considerandose uma taxa de 30 aa 175a ou 21m 26052025 9 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES MÉTODO HAMBURGUÊS O método hamburguês é um processo que permite calcular de uma forma simplificada os juros produzidos por p capitais PV1 PV2 PV3 PVp aplicados respectivamente pelos prazos n1 n2 n3 np sendo i a taxa de juros simples Temos J1 PV1in1 J2 PV2in2 J3 PV3in3 Jp PVpinp 26052025 10 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES MÉTODO HAMBURGUÊS Logo J J1 J2 J3 Jp J iPV1n1 PV2n2 PV3n3 PVpnp Os valores PV1n1 PV2n2 PV3n3 PVpnp são chamados números do método hamburguês Esse método é frequentemente utilizado para o cálculo dos juros sobre cheques especiais os juros são calculados sobre os saldos devedores nos prazos correspondentes 26052025 11 Valor do Dinheiro no Tempo 1 p k PV k nk i J 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES MÉTODO HAMBURGUÊS Exemplo Um banco cobra 12 am de juros sobre os saldos devedores de cheques especiais Um cliente apresentou o seguinte extrato 26052025 12 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DATA HISTÓRICO VALOR DC SALDO DC 01049X Transporte 20000 C 13049X Cheque 30000 D 10000 D 19049X Cheque 15000 D 25000 D 21049X Depósito 38000 C 13000 C 28049X Cheque 27000 D 14000 D CAPITALIZAÇÃO SIMPLES MÉTODO HAMBURGUÊS Para o cálculo dos juros montamos a seguinte tabela Portanto o total dos juros debitados foi de R 608 no mês de abril9X Portanto o valor dos juros é R 608 26052025 13 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DATA SALDO DC Nº DIAS SALDO DEVEDOR Nº DIAS X SALDO DEVEDOR 01049X 20000 C 13049X 10000 D 6 600 19049X 25000 D 2 500 21049X 13000 C 28049X 14000 D 3 420 608 30 600 500 420 012 J CAPITALIZAÇÃO SIMPLES SALDO MÉDIO Muitas vezes para efeito de renovação de cheques especiais concessão de empréstimos ou descontos de títulos as instituições bancárias utilizam o saldo médio em conta corrente Consideremos os saldos PV1 PV2 PV3 PVp vigorando nos prazos n1 n2 n3 np O saldo médio é definido por 26052025 14 Valor do Dinheiro no Tempo 1 p p p m n n n PV n PV n PV n S 2 1 2 2 1 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES SALDO MÉDIO Exemplo no mês de abril uma empresa apresentou os seguintes saldos credores O saldo médio dessa empresa foi 26052025 15 Valor do Dinheiro no Tempo 1 SALDO Nº DIAS 60000000 5 71000000 4 28000000 12 11000000 9 66667 339 12 9 4 5 1100009 4 280000 12 000 5 710000 600 Sm CAPITALIZAÇÃO SIMPLES PAGAMENTO DE TÍTULOS COM ATRASO Quando se efetua o pagamento de um título com atraso o caixa do banco se vale de um multiplicador diário para fazer a cobrança dos juros multiplicando esse índice pelo valor nominal do título e pelo número de dias em atraso Exemplo Valor nominal do título R 1000000 Data do vencimento 10102020 Data do pagamento 23102020 Multiplicador diário 0000987456 Cálculo dos Juros J VT x Nº dias em atraso x índice J 1000000 x 13 x 0000987456 R 12837 26052025 16 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES PAGAMENTO DE TÍTULOS COM ATRASO Assim o devedor pagou R 12837 de juros por 13 dias de atraso Qual foi a taxa de juros mensal embutida nesse multiplicador Como o regime é de capitalização simples o juro é simples que é calculado como já vimos por J PVin e nesse caso temos uma taxa de juro mensal com prazo em dias Dessa maneira a fórmula para o cálculo do juro simples ficaria Concluise portanto que 26052025 17 Valor do Dinheiro no Tempo 1 n i PV J 3000 296 3000 0000987456 i i DESCONTO São comuns no mundo dos negócios as operações em que se recebe algo de imediato mercadoria serviço dinheiro etc e só efetua o devido pagamento após determinado período de tempo previamente acertado entre as partes envolvidas Credor aquele que presta serviços empresta dinheiro etc Devedor aquele que compra recebe serviços toma dinheiro emprestado etc Essas operações são chamadas operações de crédito e são realizadas mediante um documento comprobatório da dívida chamado título de crédito Eis alguns desses títulos de crédito 26052025 18 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO NOTA PROMISSÓRIA consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa declarandose devedora de certa quantia a outra pessoa comprometese a pagála em certa data combinada entre as partes 26052025 19 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO DUPLICATA consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa declarandose devedora de certa quantia à outra pessoa relativa à compra de mercadorias A duplicata corresponde a uma cópia da fatura de compra 26052025 20 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO LETRA DE CÂMBIO consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa ordena à outra que lhe pague certa quantia em determinada data 26052025 21 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO CHEQUE ordem de pagamento à vista 26052025 22 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO DESCONTO é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por comprálo em data anterior a seu vencimento Indicaremos o desconto por d Valor nominal ou valor futuro é o valor do título em uma data posterior à de análise do problema Normalmente esta data posterior é a data do vencimento do título Indicaremos o valor nominal por N Valor atual ou valor presente é o valor do título na data de análise do problema Indicaremos o valor atual por A Exemplo Seja uma duplicata de R 2000000 vendida a um banco em uma data anterior à de seu vencimento por R 1500000 Temos N 2000000 A 1500000 e d 500000 Então d N A ou A N d ou N A d 26052025 23 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO Na prática o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do título a pretexto de aluguel do dinheiro antecipado Quando esse juro é calculado sobre um único valor do título nominal ou atual o desconto é chamado de desconto simples É claro que o correto é calcular o desconto com base no valor atual pois sendo o desconto uma espécie de juro e sendo o juro proporcional ao capital envolvido o desconto deve ser proporcional ao valor atual do título que representa o valor do capital naquele momento No entanto muitas vezes o desconto é cobrado com base no valor nominal por representar maior rentabilidade para o comprador do título 26052025 24 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de desconto simples o racional ou por dentro calculado sobre A e o comercial ou por fora calculado sobre N os quais estudaremos a seguir 26052025 25 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Também chamado de desconto por dentro ou desconto real é o desconto simples aplicado sobre o valor atual do título Indicaremos o desconto racional por dr Equivale a uma espécie de juro simples em que o capital inicial corresponde ao valor atual do título Assim para um título descontado n períodos de tempo antes de sua data de vencimento a uma taxa i e com um certo valor atual A é dr Ain Em termos práticos na maioria das situações conhecese o valor nominal e não o valor atual do título Por isso iremos deduzir uma relação para o desconto racional em função do valor nominal do título 26052025 26 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Sabemos que A N dr e dr Ain Então dr N drin dr Nin drin dr drin Nin dr1 in Nin 26052025 27 Valor do Dinheiro no Tempo 1 in Nin dr 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Agora acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do desconto racional simples a relação entre o valor nominal e o valor atual de um título 26052025 28 Valor do Dinheiro no Tempo 1 rd N A in Nin N A 1 in Nin in N A 1 1 in Nin Nin N A 1 in N A 1 1 in A N DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos 1 Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R 646250 dois meses antes da data de vencimento Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é de 60 aa e o critério adotado foi o do desconto racional simples Resolução n 2m dr i 60 5 am 005 am N 646250 26052025 29 Valor do Dinheiro no Tempo 1 58750 1 1 25 646 005 2 1 45260 005 2 6 1 in Nin dr 00 5 875 6 46250 58750 rd N A DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos 2 Qual o valor atual de uma nota promissória de R 750000 quatro meses antes de seu vencimento à taxa de 60 aa considere o desconto racional simples Resolução 26052025 30 Valor do Dinheiro no Tempo 1 in N A 1 00 6 250 20 1 00 500 7 005 4 1 00 7 500 A DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos 3 Uma NP resgatada 90 dias antes de seu vencimento foi negociada por R 5340900 à taxa de desconto racional de 84 aa Qual era o valor nominal desse título Resolução N A1 in 53409001 007 3 5340900 121 R 6462489 HP12C f REG 007 ENTER 3 x 1 ENTER 53409 x f REG 53409 ENTER 1 ENTER 007 ENTER 3 x x 26052025 31 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos 4 Dois títulos A e B foram resgatados racionalmente 2 e 3 meses respectivamente antes de suas datas de vencimento A soma dos valores nominais dos dois títulos é R 20100000 enquanto o valor de resgate do titulo A supera o do título B em R 2000000 Encontre o valor de resgate de cada título sabendo que ambos foram negociados à taxa de 10 am 26052025 32 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos Resolução NA NB 20100000 a AA AB 2000000 b Substituindo b em a fica NA NB 20100000 AA1 01 2 AB1 01 3 20100000 12AA 13AB 20100000 c Substituindo b em c temos 12AB 2000000 13AB 20100000 AB 7080000 26052025 33 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos Resolução cont Substituindo AB em b fica AA AB 2000000 AA 7080000 2000000 AA 9080000 26052025 34 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL SIMPLES Exemplos 5 Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento Qual foi a taxa simples adotada nessa operação se o desconto concedido foi igual à metade de seu valor atual na data de resgate Resolução 26052025 35 Valor do Dinheiro no Tempo 1 25 am 025 4 1 1 4 2 2 1 2 2 i i i A i A Ain dr DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Também chamado de desconto por fora é o desconto simples aplicado sobre o valor nominal do título Indicaremos o desconto comercial simples por dc Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juros simples em que o capital inicial PV ou A foi substituído pelo valor nominal do título N Assim para um título de valor nominal N descontado n períodos de tempo antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial ic temos 26052025 36 Valor do Dinheiro no Tempo 1 N i n d c c DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES A relação entre o valor nominal e o valor atual sob o critério do desconto comercial pode ser encontrada como se segue Ac N dc Ac N Nicn 26052025 37 Valor do Dinheiro no Tempo 1 1 i n N A c c DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Exemplos 1 Um título com valor nominal de R 3500000 foi resgatado 40 dias antes de seu vencimento à taxa de 6 am Qual o desconto comercial concedido Resolução Obs 6 am 02 ad 0002 ad dc Nicn dc 3500000 0002 40 dc R 280000 26052025 38 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Exemplos 2 Resolvi quitar uma dívida de R 850000 faltando 23 dias para o seu vencimento Que valor devo pagar se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de 12 am Resolução Obs 12 am 04 ad 0004 ad Ac N1 icn Ac 8500001 0004 23 Ac R 771800 HP12C f REG 0004 ENTER 23 x 1xy ENTER 8500 x 26052025 39 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Exemplos 3 Por uma duplicata de R 2000000 um banco pagou um líquido de R 1925000 Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título se a operação deuse à taxa comercial de 30 aa Resolução Ac N1 icn 1925000 20000001 03n 1 03n 1925000 2000000 1 03n 09625 03n 00375 n 0125 a n 45d 26052025 40 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTO SIMPLES DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Exemplos 4 Um banco opera no desconto de títulos à taxa comercial simples de 20 am O sacador de uma duplicata de 300000 deseja vendêla a esse banco 7 meses antes da sua data de vencimento Vale a pena realizar essa operação Resolução Ac N1 icn Ac 3000001 02 7 Ac 30000004 Ac R 120000 Não compensa pois teoricamente o cliente teria que pagar para descontar o título Na prática o banco não aceitaria o título 26052025 41 Valor do Dinheiro no Tempo 1 TAXA DE JURO EFETIVA Você já deve ter observado que nas operações de desconto comercial a taxa comercial aplicada na operação não corresponde à taxa de juro racional a ela relativa Vamos a uma ilustração Resgatei um título no valor nominal de R 1000000 um mês antes de seu vencimento à taxa de 30 am pelo critério de desconto comercial Qual a taxa de juros que efetivamente paguei nessa operação Resolução dc Nicn 1000000 030 1 R 300000 Observe que o desconto concedido é na verdade o juro que se paga como compensação pela antecipação do dinheiro Assim considerando que recebi um capital de R 700000 e paguei um juro de R 300000 temos J PVin 300000 700000 i 1 i 4286 am 26052025 42 Valor do Dinheiro no Tempo 1 TAXA DE JURO EFETIVA Essa diferença entre as taxas ocorre porque as taxas são aplicadas sobre valores diferentes a de desconto comercial foi aplicada sobre o valor nominal e a de juro sobre o valor atual Em situações em que se deseja comparar as duas taxas a taxa de juro recebe o nome de taxa de juro efetiva 26052025 43 Valor do Dinheiro no Tempo 1 TAXA DE JURO EFETIVA Taxa de juro efetiva ou taxa de rentabilidade é aquela que conduz pelo critério racional ao mesmo valor que a taxa comercial conduziria pelo desconto comercial Indicaremos a taxa de juro efetiva por i e a taxa de desconto comercial por ic Fórmula que relaciona em uma operação de desconto i ic e o prazo n de antecipação de um título dc J Nicn Ain Como A N1 icn temos Nicn N1 icnin ic 1 icni 26052025 44 Valor do Dinheiro no Tempo 1 i n i i c c 1 TAXA DE JURO EFETIVA Exemplo Um título será descontado 5 meses antes de seu vencimento a uma taxa comercial simples de 8 am A que taxa simples esse título estará efetivamente sendo descontado Resolução Assim a taxa comercial de 8 am na verdade encobre uma taxa efetiva aproximada de 133 am se o desconto se der 5 meses antes do vencimento do título 26052025 45 Valor do Dinheiro no Tempo 1 0133 133 am 008 x 5 1 08 0 1 i n i i c c CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior Nesse regime de capitalização o valor dos juros cresce exponencialmente em função do tempo Montante FV e valor atual PV O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples ou seja é a soma do capital inicial mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou do empréstimo A simbologia é a mesma já conhecida ou seja FV montante ou valor futuro PV capital inicial principal ou valor presente n prazo ou número de períodos e i taxa de juros 26052025 46 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA JUROS COMPOSTOS A fórmula para o cálculo do montante Para n 0 FV PV Obs FV PV1i0 Para n 1 FV PV1 i Obs FV PV1 i1 Para n 2 FV PV1 i1 i PV1 i2 Para n 3 FV PV1 i21 i PV1 i3 Para n 4 FV PV1 i31 i PV1 i4 Para n qualquer Obs 121 de 10000 121 x 100 1210 11210 100 x 1 0121 100 x 1121 11210 26052025 47 Valor do Dinheiro no Tempo 1 i n PV FV 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA JUROS COMPOSTOS A fórmula para o cálculo do juro composto FV PV J J FV PV Substituindo FV pelo valor conhecido fica J PV1 in PV Obs i e n sempre na mesma unidade e i na forma decimal Na HP12C i na forma percentual 26052025 48 Valor do Dinheiro no Tempo 1 1 1 i n PV J CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Exemplos 1 Calcular o montante e o juro de uma aplicação de R 1500000 pelo prazo de 6 meses à taxa de 3 am Resolução FV PV1 in FV 1500000 1 0036 FV 1500000 1194052 FV 1791078 HP12C f REG 103 ENTER 6 yx 15000 x f2 operacional HP12C f REG 15000 CHS PV 6 n 3 i FV Visor 1791078 Para o cálculo do juro basta fazer J FV PV 1791078 1500000 R 291078 26052025 49 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Exemplos 2 No final de dois anos n 24m uma pessoa deverá efetuar um pagamento de R 20000000 FV referente ao valor de um empréstimo contraído hoje mais os juros devidos correspondentes a uma taxa de 4 am i Qual o valor emprestado PV Resolução FV PV1 in 20000000 PV 1 00424 20000000 PV 2563304 PV 20000000 2563304 PV 7802429 HP12C f REG 200000 FV 24 n 4 i PV Visor 7802429 26052025 50 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Exemplos 3 Uma loja financia a venda de uma mercadoria no valor de R 1600000 sem entrada para pagamento em uma única prestação de R 2275361 no final de 8 meses Qual a taxa mensal cobrada pela loja Resolução FV PV1 in 2275361 16000001 i8 1 i8 2275361 1600000 1 i8 1422101 Atenção F REG 1422101 ENTER 8 1x yx 1 i818 142210118 1 i 1045 i 45 am HP12C f REG 16000 CHS PV 2275361 FV 8 n i 26052025 51 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Exemplos 4 Em que prazo um empréstimo de R 3000000 pode ser quitado em um único pagamento de R 5131018 sabendose que a taxa contratada é de 5 am Resolução FV PV1 in 5131018 30000001 005n 105n 5131018 3000000 105n 1710339 Atenção LN 105n LN 1710339 nLN 105 LN 1710339 n LN 1710339LN 105 n 05366920048790 f REG 1710339 g LN ENTER 105 g LN n 11 meses HP12C f REG 30000 CHS PV 5131018 FV 5 i n 26052025 52 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA CONVENÇÃO EXPONENCIAL E LINEAR n fracionário 5 Um capital de R 100000 esteve empregado à taxa de juros compostos de 5 am durante 45 meses Calcule o montante pela a convenção exponencial Atenção b convenção linear Resolução a FV PV1 in 10001 00545 R 124552 HP12C f REG 1000 CHS PV 5 i 45 n FV Visor 124552 b FV PV1 in 10001 0054 R 121551 I J PVin 121551 005 05 R 3039 II Fazendo I II obtémse R 124590 Obs HP12C Comandos STO EEX c 26052025 53 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Duas taxas i1 e i2 são ditas equivalentes quando incidirem sobre o mesmo principal durante o mesmo período sob o regime de juros compostos produzirem montantes iguais FV1 PV1 i1n e FV2 PV1 i2n FV1 FV2 PV1 i1n PV1 i2n PV1 i1n PV1 i2n 1 i1n 1 i2n Obs verificar as unidades de tempo para n 26052025 54 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Exemplo Uma taxa mensal im ser equivalente a uma taxa anual ia Condição PV1 ia PV1 im12 Ou seja 1 ia 1 im12 Para determinar a taxa anual conhecida a taxa mensal ia 1 im12 1 Para determinar a taxa mensal conhecida a taxa anual Então 10 am equivale a que taxa anual 1 ia 1 01012 1 ia 31384 ia 31384 1 ia 21384 ia 21384 aa 26052025 55 Valor do Dinheiro no Tempo 1 1 1 1 1 12 1 12 a a m i i i CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Mais exemplos 26052025 56 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EQUIVALÊNCIA DE TAXAS No dia a dia os períodos a que se referem as taxas que se tem e as taxas que se quer são os mais variados eis uma fórmula genérica para ser utilizada em qualquer caso Agora considere iq taxa para o prazo que eu quero it taxa para o prazo que eu tenho q prazo que eu quero t prazo que eu tenho 26052025 57 Valor do Dinheiro no Tempo 1 q t q i i 1 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Exemplos 26052025 58 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA TAXA ACUMULADA Capitalização composta com taxas de juros variáveis Consideremos um capital PV aplicado a juros compostos e às seguintes taxas i1 no 1º período i2 no 2º período i3 no 3º período in no nésimo período Assim O montante ao final do 1º período será FV1 PV PVi1 PV1 i1 O montante ao final do 2º período será FV2 FV1 FV1i2 FV11 i2 PV1 i11 i2 O montante ao final do 3º período será FV3 FV2 FV2i3 FV21 i3 PV1 i11 i21 i3 26052025 59 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA TAXA ACUMULADA Capitalização composta com taxas de juros variáveis É fácil perceber por generalização que após n períodos o montante será FVn PV1 i11 i21 i3 1 in Ou omitindo o índice n quando não houver possibilidade de confusão podemos escrever FV PV1 i11 i21 i3 1 in A taxa acumulada no período é dada por iac FVPV 1 ou seja 26052025 60 Valor do Dinheiro no Tempo 1 1 1 1 1 3 2 1 i i i iac CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA TAXA ACUMULADA Exemplo Em três meses consecutivos um fundo de renda fixa rendeu respectivamente 3 4 e 5 Se o capital aplicado foi de R 1000000 pedese a o montante b a taxa acumulada no período Resolução a FV 1000000103104105 R 1124760 b iac 103104105 1 11248 1 01248 1248 26052025 61 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Pratique 26052025 62 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Pratique 26052025 63 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Pratique 26052025 64 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Pratique 26052025 65 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTOS COMPOSTOS Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro deduzidos dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em país nenhum do mundo Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse critério tenha sido aplicado Sua importância é meramente teórica e matemática 26052025 66 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTOS COMPOSTOS Mas DESCONTO COMPOSTO POR FORA Vamos fazer uma analogia com o desconto simples por fora Nesse caso a taxa só incide sobre o valor futuro do título tantas vezes quantos forem os períodos unitários ou seja df PVidn Como PV FV df deduzse que PV FV1 dfn Já no caso do desconto composto para n períodos unitários a taxa de desconto incide no 1º período sobre o FV do título no 2º período sobre o FV do título menos o valor do desconto correspondente ao 1º período no 3º período sobre o FV do título menos os valores dos descontos referentes ao 1º e 2º período e assim sucessivamente até o enésimo período como equacionado a seguir 26052025 67 Valor do Dinheiro no Tempo 1 DESCONTOS COMPOSTOS PV1 FV idFV FV1 id PV2 FV1 id id FV1 id FV1 id1 id FV1 id2 PV3 FV1 id2 id FV1 id2 FV1 id2 1 id FV1 id3 PVn FV1 idn 1 idFV1 idn 1 FV1 idn 1 1 id FV1 idn Assim o valor líquido de um título de prazo igual a n períodos unitários calculado com base no desconto composto é dado pela expressão Obs i e n sempre na mesma unidade 26052025 68 Valor do Dinheiro no Tempo 1 n d n i FV PV 1 DESCONTOS COMPOSTOS Exemplo Uma duplicata no valor de R 2880000 com 120 dias para o seu vencimento é descontada a uma taxa de 25 am de acordo com o conceito de desconto composto por fora Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido Resolução PV FV1 idn 28800001 00254 R 2602621 d FV PV 2880000 2602621 R 277379 26052025 69 Valor do Dinheiro no Tempo 1 CAPITALIZAÇÕES SIMPLES E COMPOSTA UMA ANÁLISE COMPARATIVA GRÁFICA R FVc PV1 in FVc FVs FVs PV1 in PV 0 1 n 26052025 70 Valor do Dinheiro no Tempo 1 REFERÊNCIAS HAZZAN S POMPEO JN Matemática financeira 6 ed São Paulo Saraiva 2007 HAZZAN S POMPEO JN Matemática financeira Série Métodos Quantitativos 4 ed São Paulo Atual 1993 PARENTE E CARIBÉ R Matemática comercial e financeira São Paulo FTD 1996 VIEIRA SOBRINHO JD Matemática financeira 8 ed São Paulo GEN 2018 26052025 71 Valor do Dinheiro no Tempo 1