Valor do Dinheiro no Tempo: Capitalização Contínua e Taxas Financeiras

UNIDADE II Valor do Dinheiro no Tempo 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UFPI Centro de Ciências Humanas e Letras CCHL Campus Ministro Petrônio Portella Coordenação do Curso de Administração Disciplina Administração Financeira e Orçamentária I Docente Francisco Tavares de Miranda Filho franciscotavaresufpiedubr Capitalização contínua Equivalência de capitais Fluxo de caixa Série de pagamentos e amortização de dívidas e financiamentos CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo é diferente da unidade de tempo dos períodos de capitalização Exemplos 12 aa com capitalização mensal 1268 aa 18 aa com capitalização bimestral 12 am com capitalização semanal A taxa nominal não representa a taxa de juros efetivamente aplicada ao capital Não se confunde portanto com a chamada taxa efetiva que é aquela utilizada no cálculo dos juros 06022023 2 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA O mercado financeiro costuma adotar a convenção de que a taxa efetiva por período de capitalização é proporcional à taxa nominal Exemplos A Taxa nominal de 60 aa com capitalização mensal A taxa efetiva mensal será 6012 5 am B Taxa nominal de 60 aa com capitalização bimestral A taxa efetiva bimestral será 606 10 ab C Taxa nominal de 60 aa com capitalização trimestral A taxa efetiva trimestral será 604 15 at 06022023 3 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Obs para o cálculo dos juros ou do montante devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal Exemplos 1 Um capital de R 200000 é aplicado no regime de capitalização composta à taxa nominal de 120 aa com capitalização mensal pelo prazo de 3 anos Determine o montante ao final da aplicação Resolução Cálculo da taxa efetiva mensal im 12012m 10 am Em 3 anos o número de capitalizações mensais será n 3 12 36 Cálculo do montante FV PV1 in 20001 01036 R 6182536 06022023 4 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Exemplos 2 Um capital de R 10000 foi aplicado a juros compostos à taxa nominal de 40 ab com capitalização mensal Considerandose dois meses de aplicação qual foi o montante obtido Resolução Como 1b 2m a taxa efetiva mensal é 402 20 am Cálculo do montante FV PV1 in 1001 0202 R 14400 Obs os R 10000 renderam em 2m 1b R 4400 de juros o que nos permite dizer que a taxa efetiva bimestral é de 44 06022023 5 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA O que deve ficar claro é que a taxa nominal não corresponde à taxa efetivamente utilizada no cálculo dos juros Por isso devemos sempre calcular primeiro a taxa de juros efetiva para somente depois aplicar a conhecida fórmula do montante a juros compostos FV PV1 in 06022023 6 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Fórmula para o cálculo do montante tendose a taxa nominal Seja a taxa nominal i aplicada durante m períodos com k capitalizações por período estando m expresso na mesma unidade de tempo de i Nesse caso a taxa efetiva por período de capitalização é O número de capitalizações ao longo do período m é n km O montante após n capitalizações à taxa efetiva ie é dado por FV PV1 ien Substituindose as expressões de i e de n obtémse 06022023 7 Valor do Dinheiro no Tempo 2 m k k i PV FV 1 k ie i CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Exemplo 3 Um capital de R 100000 é aplicado à taxa nominal de 60 aa Determine o montante ao final de dois anos de aplicação considerando a capitalização semestral b capitalização bimestral c capitalização mensal Resolução a m 2a i 60 aa k 2 1a tem 2s FV PV1 ikkm 10001 06222 R 285610 b m 2a i 60 aa k 6 1a tem 6b FV PV1 ikkm 10001 06662 R 313843 c m 2a i 60 aa k 12 1a tem 12m FV PV1 ikkm 10001 0612122 R 322510 06022023 8 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Obs o montante aumenta à medida que se diminui o período de capitalização Isso porque quanto menor o período de capitalização maior o número de capitalizações o que aumenta a frequência de incorporação de juros ao principal e consequentemente a incidência de juros sobre juros 06022023 9 Valor do Dinheiro no Tempo 2 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA Como vimos para uma mesma taxa nominal à medida em que diminuímos o período de capitalização o montante aumentará Teoricamente ou matematicamente poderíamos reduzir o período de capitalização a um segundo e até mesmo no limite de se chegar a um período de capitalização infinitamente pequeno com o capital sujeito a infinitas capitalizações durante o período de aplicação A essa situaçãolimite dáse o nome de capitalização contínua O montante dela é dado por 06022023 10 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i m m k k PV e k i PV FV 1 lim CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA e base do logaritmo neperiano ou número de Neper 271828 As unidades de tempo da taxa i e do período de capitalização m devem ser iguais Exemplo Calcule o montante da aplicação a juros compostos após cinco bimestres de um capital de R 100000 à taxa nominal de 10 am considerandose a capitalização contínua Resolução FV PVeim 1000271828010 10 R 271828 f REG 271828 ENTER 010 ENTER 10 x yx1000 x 06022023 11 Valor do Dinheiro no Tempo 2 TAXA REAL E TAXA APARENTE Consideremos uma economia com uma taxa de inflação de 10 aa e imagine que um investidor aplique R 1000000 à taxa efetiva de 15 aa Neste caso ao final de um ano de aplicação teremos o seguinte Capital inicial corrigido pela inflação 10000001 010 R 1100000 Montante da aplicação ao final do período 10000001 015 R 1150000 Ganho aparente ou nominal do investidor 1150000 1000000 R 150000 Ganho real do investidor 1150000 1100000 R 50000 06022023 12 Valor do Dinheiro no Tempo 2 TAXA REAL E TAXA APARENTE Observase que para se obter o ganho real do investidor devese expurgar o efeito da inflação Assim embora o investidor tenha tido um ganho de R 150000 seu ganho real foi de apenas R 50000 vez que a diferença de R 100000 serviu apenas para anular o efeito da inflação A taxa de juro real do período que chamamos de r será Note que a taxa de juros real foi calculada em relação ao valor aplicado corrigido pela inflação ou seja R 1100000 Dessa forma a taxa de 15 aa expressa o ganho aparente ou nominal do investidor sem levar em conta as perdas representadas pela inflação 06022023 13 Valor do Dinheiro no Tempo 2 4 55 aa 0 0455 000 11 500 r TAXA REAL E TAXA APARENTE Observase que para se obter o ganho real do investidor devese expurgar o efeito da inflação Assim embora o investidor tenha tido um ganho de R 150000 seu ganho real foi de apenas R 50000 vez que a diferença de R 100000 serviu apenas para anular o efeito da inflação A taxa de juro real do período que chamamos de r será Note que a taxa de juros real foi calculada em relação ao valor aplicado corrigido pela inflação ou seja R 1100000 Dessa forma a taxa de 15 aa expressa o ganho aparente ou nominal do investidor sem levar em conta as perdas representadas pela inflação Já a taxa de 455 aa representa o ganho real do investidor depois de expurgada a perda decorrente da inflação 06022023 14 Valor do Dinheiro no Tempo 2 4 55 aa 0 0455 000 11 500 r TAXA REAL E TAXA APARENTE Generalizando o problema fica PV capital aplicado durante determinado período de tempo i taxa de juros aparente ou nominal r taxa de juros real j taxa de inflação O montante ao final do período pode ser calculado das seguintes formas A utilizandose a taxa aparente FV PV1 i B utilizandose a taxa real após a atualização do capital pelo índice de inflação FV PV1 j1 r As duas formas de cálculo conduzem ao mesmo resultado o que nos permite concluir que 1 i 1 j1 r ou 06022023 15 Valor do Dinheiro no Tempo 2 1 1 1 j i r TAXA REAL E TAXA APARENTE Obs r 0 i j r 0 i j r 0 i j Exemplo Uma pessoa comprou um lote de ações e o revendeu um ano depois por um valor 20 superior ao preço de compra Se a inflação do período foi de 4 e não houve incidência de tributos nessa operação determine a taxa de ganho real do investidor Resolução 06022023 16 Valor do Dinheiro no Tempo 2 1538 01538 11538 1 1 0 04 1 0 20 1 1 1 1 j i r TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA A Matemática Financeira tem por objetivo principal medir o valor do dinheiro no tempo Logo não podemos deixar de analisar os efeitos da inflação sobre a estabilidade da moeda Em um regime inflacionário determinado preço inicial de um bem ou serviço PV submetido a uma taxa de inflação j após determinado prazo n terá seu preço final FV elevado segundo a equação de juros compostos FV PV1 jn Exemplos 1 Determinada mercadoria era vendida há 3 meses por R 25000 considerandose que o preço inicial foi reajustado segundo uma inflação mensal de 2 am determine a o valor atual de tal mercadoria b o percentual total de inflação acumulado no período 06022023 17 Valor do Dinheiro no Tempo 2 TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA Resolução a FV PV1 jn 2501 0023 R 26530 b ieq 1 0023 1 10612 1 00612 612 ap Entendese por taxa de desvalorização o percentual de perda do poder aquisitivo da moeda em determinado período de tempo em face de um aumento generalizado de preços Uma vez que os preços aumentam num regime de inflação segundo a multiplicação do capital inicial pelo fator 1 j onde j é a taxa de inflação vale dizer que a moeda foi reduzida para 11 j do seu valor inicial 06022023 18 Valor do Dinheiro no Tempo 2 TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA 2 Eu possuía R 10000 com os quais conseguia comprar um ano atrás 100 unidades de determinado produto Hoje com os mesmos R 10000 quantas unidades conseguirei comprar uma vez que o preço de tal produto foi atualizado por uma inflação de 100 passando a custar R 200 a unidade Resolução Situação inicial 10000100 100 unidades Situação final 10000200 50 unidades 06022023 19 Valor do Dinheiro no Tempo 2 TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA Fica fácil observar que o valor inicial da moeda após um aumento de 100 no preço do produto em função da inflação fez com que o valor da moeda perdesse 50 de seu poder aquisitivo inicial Portanto podemos dizer que id taxa percentual de desvalorização no período j taxa de inflação registrada no período na forma unitária ou decimal Aplicando essa fórmula na resolução do problema anterior 06022023 20 Valor do Dinheiro no Tempo 2 50 0 50 100 2 100 1 1 100 100 100 1 1 1 di TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA 3 Qual a taxa de desvalorização da moeda num período de três meses em face de uma inflação mensal de 10 am Resolução Inflação no período jac 1 j11 j21 j3 1 jac 1 0101 0101 010 1 jac 1103 1 13310 1 03310 3310 ap Cálculo de id 06022023 21 Valor do Dinheiro no Tempo 2 2487 at 0 7513100 1 0 3310 100 1 1 1 di TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA 4 Qual a taxa de inflação mensal necessária para que um capital perca seu poder aquisitivo pela metade num período de 12 meses Resolução 06022023 22 Valor do Dinheiro no Tempo 2 5 95 am 1 1 0595 1 2 2 1 2 1 50 1 1 0 5 1 1 1 1 1 1 5 0 100 1 1 1 50 100 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 j j j j j j j j j i n d TAXA DE DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA 5 Em quanto tempo um capital inicial perde seu poder aquisitivo em 25 em face de uma inflação de 1 am Resolução 06022023 23 Valor do Dinheiro no Tempo 2 2891 meses 0 0100 2877 0 3 4 1 01 3 4 1 01 3 4 1 01 0 75 1 01 1 1 01 1 1 25 0 100 001 1 1 1 25 100 1 1 1 n n LN LN n LN LN j i n n n n n n d FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas Basicamente consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo a partir de um instante inicial origem a unidade de tempo pode ser qualquer ano mês dia etc As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal no instante considerado e orientadas para cima as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma só que a orientação das setas é para baixo 06022023 24 Valor do Dinheiro no Tempo 2 FLUXO DE CAIXA Exemplo de fluxos de caixa de operações Uma pessoa aplica R 50000000 num banco e recebe R 20000000 de juros após 12 meses O fluxo de caixa do ponto de vista do aplicador é E o fluxo de caixa do ponto de vista do banco é 06022023 25 Valor do Dinheiro no Tempo 2 FLUXO DE CAIXA Obs 1 Estamos nos referindo ao fluxo de caixa de um investimento ou empréstimo Contudo a mesma ideia é frequentemente utilizada por empresas para analisar entradas e saídas de dinheiro 2 As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários envolvidos 3 Algumas vezes usaremos a notação esquemática de um conjunto de capitais com setas em geral para cima a fim de tornar claras certas ideias sem que a representação indique um fluxo de caixa 06022023 26 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Dizemos que os conjuntos de capitais X e Y são equivalentes em determinada data de referência data focal se a soma dos valores atuais nessa data de todos os capitais que constituem o conjunto X for igual à soma dos valores atuais na mesma data de todos os capitais que constituem o conjunto Y O cálculo dos valores atuais para a determinação da equação de equivalência de capitais dependerá da forma de desconto utilizada se por fora ou por dentro No regime de capitalização simples dois conjuntos de capitais equivalentes em determinada data focal não serão equivalentes nas demais datas focais 06022023 27 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Considerandose o desconto por fora Sejam os conjuntos de capitais X e Y conforme abaixo 06022023 28 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Se adotarmos como referência a data focal 0 então os conjuntos de capitais X e Y são equivalentes em seus valores atuais se nessa data forem iguais Utilizandose a fórmula do valor atual para o desconto por fora A N1 in a equação de equivalência na data focal 0 será X11 2i X21 4i Y11 2i Y21 3i Y31 5i Considerandose o desconto por dentro e a fórmula do valor atual para o desconto por dentro a equação de equivalência na data focal 0 será 06022023 29 Valor do Dinheiro no Tempo 2 in N A 1 i Y i Y i Y i X i X 5 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 2 1 2 1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Obs 1 Quando o enunciado informa apenas que se trata de equivalência de capitais a juros simples sem fazer menção a uma operação de desconto a equação de equivalência é feita com base na fórmula do montante FV PV1 in Assim para trazer o capital até uma data passada basta dividilo por 1 in o que coincide com o resultado obtido com a aplicação do desconto racional simples por dentro 2 A juros simples para levar o capital até uma data futura basta multiplicálo por 1 in 06022023 30 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Exemplos 1 Uma pessoa deve pagar uma dívida em duas prestações sendo a primeira no valor de R 5000000 vencível daqui a 3 anos e a segunda no valor de R 6000000 a pagar daqui a 5 anos Ela deseja trocar esse débito por dois outros iguais pagáveis daqui a 1 ano e 2 anos respectivamente Qual é o valor de cada pagamento considerandose a taxa de desconto comercial simples de 10 aa e a data focal 0 06022023 31 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES Resolução A equação de equivalência considerandose o desconto comercial por fora simples e data focal 0 será X1 011 X1 012 500001 013 600001 015 09X 08X 5000007 6000005 17X 6500000 X R 3823529 A dívida poderá ser paga em duas prestações anuais e sucessivas iguais a R 3823529 06022023 32 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES 2 Refaça o exemplo anterior considerando agora o desconto simples racional Resolução Tratandose de desconto racional simples e data focal 0 a equação de equivalência será 06022023 33 Valor do Dinheiro no Tempo 2 4503021 7846154 1 74242 40000 3846154 083333 090909 51 60000 31 50000 21 11 51 0 1 60000 31 0 1 50000 210 1 110 1 X X X X X X X X Portanto a dívida pode ser paga em duas prestações anuais iguais e consecutivas de 4503021 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Sejam os conjuntos de capitais X e Y conforme abaixo Conjunto X de capitais 06022023 34 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Dizemos que os conjuntos de capitais X e Y são equivalentes em uma determinada data de referência data focal se a soma de todos os capitais que constituem o conjunto X referenciados a essa data focal for igual à soma de todos os capitais que compõem o conjunto Y referenciados à mesma data focal 06022023 35 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Equação de equivalência Consideremos a título de exemplo a data focal 3 Nesse caso os dois conjuntos de capitais X e Y serão equivalentes nessa data se Esta equação representa a equação de equivalência ou de valor na data focal 3 06022023 36 Valor do Dinheiro no Tempo 2 2 2 1 1 4 3 1 2 2 1 5 3 2 3 2 1 7 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i Y i Y i X i X i X i Y i Y i X i X i X EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Obs A juros compostos se dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data focal então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal Isso não ocorre a juros simples conforme já vimos Exemplo João tem uma dívida a pagar a juros compostos de 8 am nas seguintes condições R 100000 daqui a 3 meses e R 500000 daqui a 6 meses Deseja porém substituir essas prestações por duas outras iguais vencíveis daqui a 2 meses e 4 meses respectivamente mantendo a mesma taxa de juros e o mesmo regime de capitalização Qual seria o valor dessas prestações 06022023 37 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Resolução 06022023 38 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Esse esquema mostra a forma de pagamento inicialmente contratada e a forma desejada Para que não haja prejuízo nem ao credor nem ao devedor é preciso que ambas as formas de pagamento sejam equivalentes e já sabemos que a juros compostos para montar a equação de equivalência podemos escolher qualquer data focal pois isso não interfere no resultado final É sempre interessante escolher uma data focal que facilite os cálculos Neste exemplo foi escolhida a data focal 3 Então 06022023 39 Valor do Dinheiro no Tempo 2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Desta forma a dívida poderia ser quitada em dois pagamentos iguais de R 247723 vencíveis daqui a 2 meses e 4 meses respectivamente 06022023 40 Valor do Dinheiro no Tempo 2 247723 R 496916 200593 396916 1000 092593 1 08 1 259712 5000 1000 1 08 08 1 008 1 5000 1000 0 08 1 008 1 3 1 1 X X X X X X X X SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS É o conjunto de pagamentos ou recebimentos de valor nominal igual que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes ao longo de um fluxo de caixa 06022023 41 Valor do Dinheiro no Tempo 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS Classificação As mais importantes são Série uniforme de prestações periódicas postecipadas os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada intervalo de tempo ou seja não existem pagamentos ou recebimentos na data 0 Série uniforme de prestações periódicas antecipadas os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada intervalo de tempo ou seja o primeiro pagamento ou recebimento ocorre na data 0 Série uniforme de prestações periódicas diferidas existe uma carência entre a data 0 e o primeiro pagamento ou recebimento da série Obs as séries estão inseridas no contexto da capitalização composta 06022023 42 Valor do Dinheiro no Tempo 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS POSTECIPADAS Cálculo do Valor Presente PV Obs nas figuras onde se lê R leiase PMT 06022023 43 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i i PMT PV n n 1 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS POSTECIPADAS Cálculo do Valor Presente PV Exemplo Em certa época foi contraída uma dívida a qual foi paga em 18 pagamentos trimestrais iguais de R 100000 através de uma taxa de juros de 23 at Determinar o valor dessa dívida Resolução PMT 100000 i 23 at n 18t PV HP12C f REG 1000 CHS PMT 23 i 18 n g END PV 06022023 44 Valor do Dinheiro no Tempo 2 4 24312 1000 4 243118 23 0 023 1 1 0 23 1000 1 1 1 1 18 18 PV i i i PMT PV n n SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS POSTECIPADAS Cálculo do Valor Futuro FV 06022023 45 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i PMT FV n 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS POSTECIPADAS Cálculo do Valor Futuro FV Exemplo Um investidor depositou R 150000 semestralmente para formar um pecúlio durante dez anos Calcule o valor acumulado para uma taxa de 30 as Resolução PMT 150000 n 10a 20s i 30 as FV HP12C f REG 1500 CHS PMT 20 n 30 i g END FV 06022023 46 Valor do Dinheiro no Tempo 2 94524819 030 1 0 30 1500 1 1 1 20 i i PMT FV n SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS ANTECIPADAS Cálculo do Valor Presente PV 06022023 47 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i i PMT PV n n 1 1 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS ANTECIPADAS Cálculo do Valor Presente PV Exemplo Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada cujo valor da prestação é de R 100000 dada uma taxa de 2 am durante 10 meses Resolução PV PMT 100000 i 2 am n 10m HP12C f REG 1000 CHS PMT 2 i 10 n g BEG PV 06022023 48 Valor do Dinheiro no Tempo 2 9 16224 0 02 002 1 1 002 1000 1 1 1 1 10 10 i i i PMT PV n n SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS ANTECIPADAS Cálculo do Valor Futuro FV 06022023 49 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i i PMT FV n 1 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS ANTECIPADAS Cálculo do Valor Futuro FV Exemplo Calcule o montante de uma renda antecipada de 15 meses com prestações mensais de R 200000 à taxa de 9 am Resolução FV n 15m PMT 200000 i 9 am HP12C f REG 2000 CHS PMT 15 n 9 i g BEG FV 06022023 50 Valor do Dinheiro no Tempo 2 R 6400680 009 009 1 0 09 2000 1 1 1 15 1 1 i i i PMT FV n SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS DIFERIDAS Cálculo do Valor Presente PV 06022023 51 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i i PMT PV m n n 1 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS DIFERIDAS Cálculo do Valor Presente PV Exemplo Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de R 400000 sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra Determine o preço à vista dada uma taxa de 5 am 06022023 52 Valor do Dinheiro no Tempo 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS DIFERIDAS Cálculo do Valor Presente PV Resolução PMT 400000 i 5 am n 8 meses m 2 meses PV HP12C f REG 4000 CHS PMT 5 i 8 n g END PV 2585285 f REG 2585285 FV 2 n 5 i PV juro composto 06022023 53 Valor do Dinheiro no Tempo 2 R 2344930 0 05 005 1 1 005 4000 1 1 1 1 2 8 8 PV PV i i i PMT PV m n n SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS DIFERIDAS Cálculo do Valor Futuro FV A fórmula de cálculo do valor futuro FV de uma série uniforme diferida é a mesma de uma série uniforme postecipada uma vez que conforme visto anteriormente para determinar o valor de cada prestação o valor presente foi capitalizado por m períodos de carência para então ser convertido em uma série de prestações iguais Portanto 06022023 54 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i PMT FV n 1 1 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS COM PARCELAS INTERMEDIÁRIAS Exemplo Um apartamento está à venda nas seguintes condições R 70000 de sinal 12 parcelas mensais e consecutivas de R 350000 sendo que a primeira ocorrerá 30 dias após o sinal 2 parcelas semestrais de R 500000 intermediárias Dada uma taxa de 11 am calcule o preço à vista do imóvel Resolução Esquematicamente teríamos o seguinte fluxo de caixa 06022023 55 Valor do Dinheiro no Tempo 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS COM PARCELAS INTERMEDIÁRIAS 06022023 56 Valor do Dinheiro no Tempo 2 52564 27 1 42920 2 67320 2272324 70000 0 11 1 5000 0 11 1 5000 11 0 0 11 1 1 0 11 3500 1 700 12 6 12 12 PV PV PV SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO CF O coeficiente de financiamento para o caso da série uniforme periódica postecipada caso utilizado na prática Dessa série vimos que Para o cálculo do PMT quando o valor do PV for 1 fica A essa expressão dáse o nome de coeficiente de financiamento ou fator de financiamento 06022023 57 Valor do Dinheiro no Tempo 2 i i i PMT PV n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i CF i i i PMT SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO CF Exemplos 1 Determine o coeficiente de financiamento para 12 pagamentos mensais postecipados numa loja que opera à taxa de 325 am Resolução HP12C f REG 12 n 325 i g END 1 CHS PV PMT f 6 06022023 58 Valor do Dinheiro no Tempo 2 101967 0 0 0325 00325 1 1 0 0325 1 1 12 12 CF SÉRIES DE PAGAMENTOS ou de recebimentos COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO CF Exemplos 2 Ao comprar um veículo fui informado que seu preço à vista era de R 8000000 mas ao preferir pela compra financiada em 36 meses com prestações postecipadas o vendedor multiplicou o preço à vista do veículo por 0039233 Nessas condições qual a taxa de juros mensal desse financiamento Resolução HP12C f REG 1 CHS PV 36 n 0039233 PMT i 200 am f REG 80000 CHS PV 36 n 2 i g END PMT 313862 06022023 59 Valor do Dinheiro no Tempo 2 25488842 1 1 1 1 1 1 1 0039233 36 36 36 36 i i i i i i AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS Amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito será totalmente liquidado É em outras palavras o pagamento do principal ou capital emprestado que é feito normalmente de forma periódica e sucessiva durante o prazo do financiamento Principais conceitos Juros J é o custo do capital tomado sob o aspecto do mutuário e o retorno do capital investido sob o aspecto do mutuante Prestação PMT é o pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente anterior ao período referente à prestação Saldo devedor ou estado da dívida SD é o valor devido em certo período imediatamente após a realização do pagamento relativo a este período 06022023 60 Valor do Dinheiro no Tempo 2 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS Estudaremos três sistemas de amortização SAC Sistema de Amortização Constante SAF Sistema de Amortização Francês ou Sistema Price SACRE SAM Sistema de Amortização Crescente 06022023 61 Valor do Dinheiro no Tempo 2 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Este sistema como o próprio nome sugere consiste na amortização constante do principal durante todo o prazo do financiamento A prestação a ser paga será decrescente na medida em que os juros incidirem sobre um saldo devedor cada vez menor O valor da amortização é calculado por meio da divisão entre o capital inicial e o número de prestações a serem pagas ou seja 06022023 62 Valor do Dinheiro no Tempo 2 n A PV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Fórmulas utilizadas no SAC para a elaboração de sua planilha de amortização Para o cálculo da prestação em um momento qualquer Para o cálculo dos juros em um momento qualquer Para o cálculo do saldo devedor em um momento qualquer Obs para todo sistema de amortização PMT A J 06022023 63 Valor do Dinheiro no Tempo 2 1 1 t i n A PMTt n t PV i Jt 1 1 n t PV SDt 1 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Exemplo Um empréstimo de R 1000000 foi contratado com juros de 125 aa em uma instituição financeira para ser pago em cinco parcelas pelo SAC Pedese fazer o demonstrativo da evolução da dívida planilha de evolução do SD mostrando o valor da parcela o valor dos juros o valor da amortização e o saldo devedor ao final de cada período Resolução Calculando o valor da amortização temse 06022023 64 Valor do Dinheiro no Tempo 2 R 2 00000 5 10000 n PV A AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE Exemplo Um empréstimo de R 1000000 foi contratado com juros de 125 aa em uma instituição financeira para ser pago em cinco parcelas pelo SAC Pedese fazer o demonstrativo da evolução da dívida mostrando o valor da parcela o valor dos juros o valor da amortização e o saldo devedor ao final de cada período Resolução Calculando o valor da amortização temse A construção do demonstrativo 06022023 65 Valor do Dinheiro no Tempo 2 R 2 00000 5 10000 n PV A AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 06022023 66 Valor do Dinheiro no Tempo 2 n Prestação Amortização juros Saldo Devedor 0 1000000 1 325000 200000 125000 800000 2 300000 200000 100000 600000 3 275000 200000 75000 400000 4 250000 200000 50000 200000 5 225000 200000 25000 000 Somas 1375000 1000000 375000 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAF SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS Este sistema estabelece ao contrário do SAC que as prestações são iguais e sucessivas durante todo o prazo da amortização É importante ressaltar que à medida que as prestações são realizadas o saldo devedor é diminuído implicando dessa forma uma concomitante diminuição dos juros apurados para o período em análise Em função de manterse a uniformidade em relação ao valor da prestação a amortização aumenta de forma a compensar a diminuição dos juros O cálculo do valor da prestação é dado por 06022023 67 Valor do Dinheiro no Tempo 2 1 1 1 n n i i i PV PMT AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAF SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS Exemplo o anterior A construção do demonstrativo Cálculo do valor da prestação HP12C f REG 10000 CHS PV 5 n 125 i g END PMT 06022023 68 Valor do Dinheiro no Tempo 2 2 80854 R 10000 0 280854 1 0125 1 0 125 0 125 1 10000 1 1 1 5 5 PMT PMT PMT i i i PV PMT n n AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SAF SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS A construção do demonstrativo 06022023 69 Valor do Dinheiro no Tempo 2 n Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 1000000 1 280854 155854 125000 844146 2 280854 175336 105518 668810 3 280854 197253 83601 471557 4 280854 221909 58945 249648 5 280854 249648 31206 249648 Somas 1404270 999999 404271 000 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE O SACRE foi adotado recentemente pelo Sistema Financeiro da Habitação SFH na liquidação de financiamentos da casa própria O SACRE se baseia no SAC e no SAF já que a prestação a amortização os juros e o saldo devedor são iguais à média aritmética simples calculada entre as prestações desses dois sistemas nas mesmas condições de juros e prazos Aproximadamente até a metade do período de financiamento as amortizações são maiores que as do SAF Como decorrência a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de resíduo ao final do contrato como pode ocorrer no SAF 06022023 70 Valor do Dinheiro no Tempo 2 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE Uma das desvantagens do SACRE é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do SAF Todavia após a metade do período o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações No SACRE conhecido também como SAM Sistema de Amortização Misto as prestações decrescem de acordo com determinada progressão aritmética e podem ser calculadas usandose as seguintes expressões Valor da primeira prestação 06022023 71 Valor do Dinheiro no Tempo 2 PV i n q i i i q PV PMT n n 1 1 1 1 1 1 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE Valor da razão da PA progressão aritmética corresponde ao decréscimo das prestações Valor das prestações no período t t 1 Onde PV valor do financiamento PMT1 valor da primeira prestação q coeficiente variável por tipo de plano r razão da PA corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas 06022023 72 Valor do Dinheiro no Tempo 2 n q i PV r r PMT PMT t t 1 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE Dependendo do valor de q o sistema de reembolso pode resultar no SAF q 0 ou no SAC q 1 O SACRE é um caso particular em que q 05 Nesse sistema devido à ponderação 05 o valor das prestações amortizações juros e saldos devedores corresponde à média aritmética dos respectivos valores do SAF e SAC 06022023 73 Valor do Dinheiro no Tempo 2 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE Exemplo PV 1000000 i 125 aa n 5 a q 05 A construção do demonstrativo Valor da primeira prestação 06022023 74 Valor do Dinheiro no Tempo 2 R 302927 1 62500 40427 1 0 125 10000 5 1 50 0125 0 125 1 1 0 125 1 50 1 10000 1 1 1 1 1 1 1 5 5 1 1 PMT PMT PMT PV i n q i i i q PV PMT n n AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE Exemplo o anterior A construção do demonstrativo Valor da razão da PA Valor da segunda prestação Obs quando t 1 06022023 75 Valor do Dinheiro no Tempo 2 12500 5 0125 10000 50 r r n PV q r 2 90427 12500 3 02927 1 1 r PMT PMTt AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS E FINANCIAMENTOS SACRE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE 06022023 76 Valor do Dinheiro no Tempo 2 n Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 0 1000000 1 302927 177927 125000 822073 2 290427 187668 102759 634405 3 4 5 Somas REFERÊNCIAS BARROS D M Matemática financeira descomplicada 4 ed São Paulo Rideel 2012 CAMARGOS M A Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 HAZZAN S POMPEO J N Matemática financeira 6 ed São Paulo Saraiva 2007 HAZZAN S POMPEO J N Matemática financeira Série Métodos Quantitativos 4 ed São Paulo Atual 1993 SAMANEZ C P Matemática Financeira 4 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 TEIXEIRA J DI PIERRO NETTO S Matemática financeira São Paulo Makron Books 1998 TOSI A J Matemática financeira com utilização da HP12C Ed Compacta São Paulo Atlas 2008 VIEIRA SOBRINHO J D Matemática financeira 8 ed São Paulo GEN 2018 06022023 77 Valor do Dinheiro no Tempo 2