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Matemática Financeira
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UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág1 SÉRIE DE PAGAMENTOS 1 NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos em dinheiro previstos para determinado período de tempo A fim de facilitar o entendimento dos problemas a serem apresentados será utilizada a representação gráfica do fluxo de caixa como mostra o exemplo a seguir correspondente a um fluxo mensal Recebimentos previstos Pagamentos previstos Dia Valor Dia Valor 05 1000000 09 1200000 11 2800000 14 1400000 17 900000 17 700000 25 1600000 28 2000000 Representação gráfica do fluxo mensal 10000 28000 9000 16000 0 5 10 15 20 25 30 meses 12000 14000 7000 20000 Um banco concede um empréstimo de R 4000000 a um cliente para pagamento em 6 prestações iguais de R 900000 Represente graficamente o fluxo de caixa Do ponto de vista do banco a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte 9000 9000 9000 9000 9000 9000 0 1 2 3 4 5 6 40000 ou seja há uma saída inicial de caixa no valor de R 4000000 e a entrada de seis parcelas de R 900000 cada uma nos meses seguintes Do ponto de vista do cliente a orientação das setas é feita no sentido inverso como segue 40000 1 2 3 4 5 6 0 9000 9000 9000 9000 9000 9000 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág2 Exemplos 1 Você resolve aplicar em uma instituição financeira quatro parcelas iguais mensais e consecutivas de 400000 Sabendose que a primeira parcela será efetivada hoje e que você deseja saber o valor do montante no final do 4º mês representar o fluxo de caixa correspondente A representação gráfica será a seguinte hoje Montante 0 1 2 3 4000 4000 4000 4000 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS OU POSTECIPADOS Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por R as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos taxa de juros coerente com a unidade de tempo mês trimestre ano etc n número de prestações quase sempre coincidente com o número de períodos unitários VP principal capital inicial valor atual ou valor presente VF montante ou valor futuro 21 Fator de Acumulação de Capital FAC Exemplo 2 Determinar o valor do montante no final do 5º mês de uma série de cinco aplicações mensais iguais e consecutivas no valor de R 10000 cada uma a uma taxa de 4 ao mês sabendose que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês ou seja a 30 dias da data tornada como base momento zero e que a última no final do 5º mês é coincidente com o momento em que é pedido o montante Dados R 100 4 n 5 VF Em termos de fluxo de caixa o problema pode ser esquematizado como segue Montante 0 1 2 3 4 5 meses 100 100 100 100 100 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág3 1 1 i n i 3 Quanto terá no final de quatro anos uma pessoa que aplicar R 50000 por mês durante esse prazo em um Fundo de Renda Fixa á taxa de 3 ao mês Esquematicamente ternos Montante 0 1 2 3 47 48 meses 500 500 500 500 500 Dados R 500 n 48 prestações porque durante quatro anos ternos 48 meses 3 ao mês aplicações mensais VF 22 Fator de Formação de Capital FFC O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida no item anterior i i R VF n 1 1 Essa fórmula como vimos é utilizada para obter o valor do montante quando são conhecidos o valor das prestações a taxa e o número de prestações Quando a incógnita do problema é o valor das prestações basta fazer i i VF R n 1 1 1 1 i n i VF R em que é chamado Fator de Formação de Capital 4 Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num Fundo de Renda Fixa durante cinco anos para que possa resgatar R 20000000 no final do período sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2 ao mês Esquematicamente Montante200000 0 1 2 3 59 60 meses R R R R R UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág4 Dados R n 60 prestações porque durante cinco anos ternos 60 meses 2 ao mês aplicações mensais VF200000 5 Quantas prestações de 400000 devem ser aplicadas trimestralmente á taxa de 7 ao trimestre para acumular um montante de 10051608 no final do período Esquematicamente Montante10051608 0 1 2 3 n1 n meses 4000 4000 4000 4000 4000 Dados R 400000 por trimestre VF 10051608 7 ao trimestre n nº de trimestres Observação Como a unidade de tempo está coerente com a taxa não é necessária nenhuma conversão Problema em que a taxa é a incógnita 6 A que taxa devo aplicar 1503628 por ano para que eu tenha um montante de R 50000000 no final de 10 anos Esquematicamente VF500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R1503628 Dados R 1503628 VF 50000000 n 10 anos 10 prestações ao ano i 1 i 1 R V n x F UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág5 i 1 i 1503628 1 50000000 10 x ou i 1 i 1 332529 10 A solução desta equação somente pode ser obtida por tentativa e erro Mesmo as calculadoras financeiras que solucionam problemas como este de forma simples e rápida utilizam esse processo Ele consiste em atribuir valores sucessivos à até que o resultado da expressão i 1 i 1 10 que é o Fator de Acumulação de Capital FAC seja exatamente igual a 3325290 Assim para 10 o valor da expressão é 1593742 o que evidencia que a taxa procurada é maior para 20 o resultado é 2595868 o que significa que a taxa ainda tem de ser maior já para 30 o resultado 4261950 indica que a taxa desejada deve ser menor Fazendose 25 obtémse 3325290 que coincide com o valor informado Portanto a taxa procurada é de 25 ao ano 23 Fator de Valor Atual FVA Exemplo 7 Qual o valor que financiado à taxa de 5 ao mês pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais iguais e sucessivas de R 10000 cada uma O que se deseja é o valor presente desta série de 5 parcelas iguais Usando o que já conhecemos podemos calcular o montante desta série e após faremos uma descapitalízação de 5 meses usando a fórmula da capitalização composta para calcular o valor atual ou o valor financiado Construindo o fluxo de caixa temos VF 0 1 2 3 4 5 meses VP 100 100 100 100 100 Dados R 100 i 5 ao mês n 5 parcelas mensais VP Sabemos que i i R VF n 1 1 1 e também que VFVP1 in ou i n VF VP 1 2 Substituindo 1 em 2 temos UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág6 n n n n i i i R i i i R VP 1 1 1 1 1 1 Logo o valor do financiamento pode ser dado pela fórmula n n i i i R VP 1 1 1 Sendo assim no problema acima temos 0 05 0 051 1 0 05 1 100 5 5 VP donde VP43295 Logo o valor financiado no problema acima é de R 43295 24 Fator Recuperação de Capital Exemplo 8 Um empréstimo de R 1000000 é concedido por uma Instituição Financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais mensais e consecutivas A Instituição Financeira cobra uma taxa de juros de 35 ao mês para esse tipo de financiamento calcular o valor de cada prestação Esquematicamente P10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R R R R R R R R R R R R Dados VP10000 n 12 prestações mensais i 35 ao mês 0035 R Utilizando o que já conhecemos temos que n n i i i R VP 1 1 1 como queremos o valor da parcela isolando 1 1 1 n n i i VP i R substituindo valores temos 1 03484 1 0 035 1 0 035 000 0 0351 10 12 12 R Logo o valor da parcela que pode amortizar o financiamento acima é de R 103484 Problemas em que n não é conhecido 9 Calcule em quantas prestações bimestrais de R 10000 cada uma podese liquidar um financiamento de R 124090 a taxa de 7 ao bimestre sendo a primeira parcela paga em 60 dias Esquematicamente VP124090 1 2 3 4 5 6 n1 n 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VP124090 n x prestações bimestrais i 7 ao bimestre 007 R 100 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág7 Solução Usando a fórmula do valor presente n n i i i R VP 1 1 1 temos n n 0 07 0 071 1 0 07 1001 124090 n n 0 07 1 07 1 100 1 07 124090 podemos para um melhor entendimento fazer 107n x daí x x 0 07 1 100 124090 124090 x 007x 100x 100 86863x 100x 100 13137x 100 x 761209 como 107n x temos que 107n 761209 Usando logaritmo temos nlog 107 log 761209 log 1 07 n log 7 61209 30 prestações bimestrais 3 SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS Nas séries com termos antecipados os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento zero ou seja na data do contrato do empréstimo ou financiamento ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos ou recebimentos 31 Fator de Acumulação de Capital Exemplo Qual o montante daqui a 12 meses resultante da aplicação de 12 parcelas mensais de R10000 a taxa de 4 ao mês sabendose que a primeira aplicação é feita hoje Esquematicamente temos Montante 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VF n 12 i 4 mês R 100 por mês Solução Se usarmos a fórmula i i R VF n 1 1 o valor de montante será encontrado no momento da última aplicação neste caso no momento 11 Como desejamos o montante no momento 12 teremos que capitalizar um período a mais ou seja 1 1 1 i i i R VF n assim teremos o montante no final dos 12 meses 0 04 1 0 04 1 0 04 1001 12 VF 156268 Conclusão UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág8 Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados devemos utilizar a fórmula 1 1 1 i i i R VF n 32 Fator de Valor atual Exemplo Uma TV 29 polegadas foi financiada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas de R10000 sabendose que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5 ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra quanto pagaria pela TV se comprasse a vista Esquematicamente temos Valor financiado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VP n 12 i 5 mês R 100 por mês Solução Aproveitando o que já sabemos temos que 1 1 1 i i i R VF n como desejamos saber o valor de VP pela fórmula da capitalização composta VFP1in i n VF VP 1 temos que n n i i i i R VP 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i R VP n n Donde 0 05 1 0 05 0 05 1 1 0 05 1 100 12 12 VP 93064 Conclusão Para calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados devemos utilizar a fórmula 1 1 1 1 i i i i R VP n n Para saber mais Bibliografia consultada VIEIRA SOBRINHO Jose Dutra Matemática Financeira São Paulo Atlas 2007 12 parcelas mensais UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág9 Exercícios 1 Calcular o montante no final de 2 anos correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de R100000 cada uma dentro do conceito de termos vencidos sabendose que a taxa de juros é de 35 ao mês Resposta 3666653 2 Calcular para as taxas de 2 3 4 e 5 ao mês quais os montantes obtidos no final de 5 anos pela aplicação de 60 parcelas iguais de 200000 de acordo com o conceito de termos vencidos Respostas 22810308 para 2 ao mês 32610687 para 3 ao mês 47598137 para 4 ao mês 70716744 para 5 ao mês 3 Quanto devo aplicar mensalmente durante 15 meses à taxa de 325 ao mês para que tenha 15000000 no final do 15 mês dentro dos conceitos de termos antecipados e vencidos Respostas 766904 para termos antecipados 791829 para termos vencidos 4 Sabendo se que uma instituição financeira paga 4641 ao ano para aplicações programadas calcular que montante será obtido no final de 18 meses por uma pessoa que aplica 6 parcelas trimestrais de 1000000 cada uma sendo a primeira aplicação efetuada hoje Resposta 8487171 5 Sabendose que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R 250000 cada uma e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 475 ao mês calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado a de acordo com o conceito de termos vencidos b de acordo com o conceito de termos antecipados Respostas a 2247389 b 2354140 6 Determinar a que taxa de juros a aplicação de 500000 por mês gera um montante de 65568747 no final de 4 anos e meio sabendose que a primeira parcela é aplicada no final do 1 mês Resposta 30 ao mês 7 Um veículo zero Km foi adquirido por 22000000 sendo 70 financiados em 12 parcelas iguais Sabendose que a financeira cobra uma taxa de 45 ao mês calcular o valor da prestação mensal Resposta 1688859 8 Uma TV no valor de 5000000 é financiada por uma loja para pagamento em 13 parcelas iguais de 532831 sendo a primeira paga no ato da compra Calcular a taxa de juros cobrada pela loja Resposta 6 ao mês 9 A Financiadora Carga Pesada SA apresenta em suas tabelas um coeficiente de 006043 para financiamento de caminhões em 36 parcelas mensais Qual a taxa de juros que essa instituição está cobrando Resposta 5 ao mês 10 Que taxa mensal é cobrada num financiamento de 1276600 a ser liquidado em 12 prestações iguais de 136024 vencíveis no final de cada mês Resposta 4 ao mês 11 Em quantos pagamentos trimestrais de 570025 podemos liquidar um financiamento de R 5000000 à taxa de 3228 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados Resposta 22 trimestres 12 Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de R 2500000 a ser liquidado em 2 anos à taxa de 9 ao bimestre sendo que a 1ª prestação vence a 180 dias da data do contrato Resposta 462824 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág10 13 Uma TV está sendo ofertada por uma loja para pagamento em 12 parcelas mensais sem entrada Sabendose que o valor da 1ª prestação que vence no final do 1 mês é de 40000 da 2 de 60000 da 3 de 40000 e assim alternadamente até o final e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5 ao mês calcular o valor financiado Resposta 467591 14 Qual o montante no final de 20 meses resultante da aplicação de 14 parcelas iguais mensais e consecutivas de 180000 cada uma sabendose que a taxa contratada é de 35 ao mês e que a primeira aplicação é feita hoje Resposta 4048226 15 Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais á taxa de 45 ao mês Sabendose que o valor financiado foi de 24500000 calcular o valor das prestações a de acordo com o conceito de termos vencidos b de acordo com o conceito de termos antecipados Respostas a 1386842 b 1327121 16 A aplicação de 15 parcelas mensais iguais e consecutivas gerou um montante de 40000000 no final de 30 meses Sabendose que a taxa de juros da operação foi de 3 ao mês e que a primeira parcela é aplicada hoje calcular o valor de cada aplicação Resposta 1340220 17 Determinar a taxa de juros cobrada por uma instituição financeira numa operação de crédito direto ao consumidor que apresenta os seguintes dados valor financiado 18542878 valor das prestações mensais 2500000 cada uma número de prestações 12 prazo do contrato 18 meses portanto com 6 meses de carência Resposta 4 18 Quanto devo aplicar hoje de uma só vez para que tenha no final de 60 meses o equivalente ao montante constituído por aplicações mensais de 50000 à taxa de 2 ao mês sendo a primeira aplicação de hoje a 30 dias Resposta 1738044 19 Em quantas prestações anuais de 2000000 poderei amortizar uma dívida de 4871140 à taxa de 221045 ao mês Resposta 5 20 Quanto terei no final de 60 meses se aplicar 10000 por mês em fundo de renda fixa à taxa de 25 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados Resposta 1359915 21 Quanto deverei aplicar mensalmente à taxa de 3 ao mês para ter um montante de 2000000 no final do 12 mês de acordo com os conceitos de termos vencidos e antecipados Rospostas a 140924 b 136820 22 No final de quantos meses terei o montante de 12489278 aplicando 40000 por mês a uma taxa mensal de 2 de acordo com o conceito de termos vencidos Resposta 100 meses 23 Quanto terei no final de 18 meses se aplicar 20000 a cada bimestre à taxa de 24695 ao mês sendo a primeira aplicação a 60 dias de hoje Resposta 220531 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág11 24 Quanto terei no final de 30 meses se aplicar 50000 por mês durante os 25 primeiros meses a uma taxa de 35 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos e antecipados Respostas a 2313011 termos vencidos b 2393966 termos antecipados 25 Quanto devo aplicar hoje para ter no final de 15 meses um valor igual ao montante obtido nessa mesma data com a aplicação de 15 parcelas iguais mensais e consecutivas de 100000 à taxa de 35 ao mês Resposta 1151741 26 Um consumidor adquire uma mercadoria para pagamento em 12 parcelas mensais sendo as 6 primeiras de 300000 e as 6 restantes de 500000 Qual o valor financiado sabendose que a taxa de juros cobrada foi de 35 ao mês Resposta 3765957 27 Uma pessoa resolve aplicar 100000 por mês em fundo de renda fixa à taxa de 3 ao mês durante 18 meses Como essa pessoa recebe gratificações semestrais deverá no final do 6 e do 12 mês fazer aplicações extras de 500000 cada uma Qual o valor do montante global no final do 18 mês de acordo com o conceito de termos antecipados Resposta 3721593 28 Uma pessoa adquire uma casa para ser paga em 20 prestações mensais e iguais á taxa de 35 ao mês Sabendose que a 1ª prestação vence no final do 5 mês e a última no final do 24 mês e que o valor financiado foi de 15000000 pedese calcular o valor da prestação Resposta 1211114 29 Quanto terei no final de 42 meses se aplicar 10 parcelas trimestrais iguais e consecutivas de 500000 a partir de hoje a uma taxa de 10 ao trimestre Resposta 12833691 30 Uma loja financia um automóvel para ser pago em 20 prestações iguais de 600000 Sabendose que a taxa cobrada é de 5 ao mês determinar o valor financiado pela loja segundo os conceitos de a Séries de pagamentos com termos vencidos ou postecipados b Séries de pagamentos com termos antecipados Respostas a 7477326 b 7851193 31 Uma pessoa aplica 120000 por mês em um fundo de renda fixa durante 30 meses consecutivos a uma taxa de 20 ao mês Determinar o montante dessa aplicação no final do 30 mês de acordo com os conceitos de a Séries de pagamentos com termos vencidos ou postccipados b Séries de pagamentos com termos antecipados Respostas a 4868170 b 4965533 32 Uma pessoa aplica 500000 por mês durante os 10 primeiros meses consecutivos a uma taxa de 325 ao mês Segundo o conceito de séries de pagamentos com termos vencidos determinar a o valor do montante no final do 15 mês b o valor presente dessa aplicação valor no início do 1 mês Respostas a 6803878 b 4211198 33 Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 prestações mensais à taxa de 4 ao mês sendo as 9 primeiras prestações de 400000 e as 9 restantes de 300000 Resposta 4541323 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág12 34 Um empréstimo de 5000000 deve ser liquidado em 12 prestações iguais Sabendose que a primeira prestação vence no final do 4 mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 5 ao mês determinar o valor da prestação Resposta 653048 35 Quanto terá no final do 13 mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas mensais iguais e consecutivas de 200000 cada uma à taxa de 3 ao mês sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje Resposta 3217265 36 O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais Sabendose que o valor de cada parcela é de 350000 e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4 ao mês calcular o valor da prestação única com vencimento no 10 mês que poderia substituir o plano inicial Resposta 7040951 37 Em quantas prestações trimestrais de 800000 poderei liquidar uma dívida de 6084864 à taxa de 10 ao trimestre sabendo que as prestações são pagas no final de cada trimestre Resposta 15 prestações 38 Determinar quantas aplicações bimestrais e iguais de 1000000 são necessárias para ter um montante de 17712983 considerandose uma taxa de 5 ao bimestre e de acordo com o conceito de termos vencidos Resposta 13 aplicações 39 Um correntista resolve aplicar em um fundo de renda fixa que paga 1 ao mês parcelas mensais iguais de 50000 durante 10 anos Determinar o montante que ele terá no final do períodotermos vencidos Resposta 11501934 40 Uma pessoa obtém um financiamento para a compra de um veículo a ser liquidado em 18 meses com carência de 4 meses Sabendose que o valor das sete primeiras prestações é de 140000 cada uma e das sete últimas de 200000 cada uma e que a taxa cobrada pela financeira é de 425 ao mês calcular o valor financiado 41 Um terreno está sendo oferecido por 120000000 a vista ou 20000000 de entrada e mais 24 prestações mensais de 6500000 cada uma Considerando uma taxa de juros de 35 ao mês mostrar qual o plano economicamente melhor 42 Admitindo que um banco possua um plano de aplicações programadas e que pague juros de 10 ao ano para essas aplicações determinar quanto necessito depositar no dia em que minha filha completar 7 anos de idade para que ela possa retirar 200000 por ocasião dos seus 21 22 23 24 e 25 aniversários encerrandose a conta após este último saque Resposta 219611 43 A Financeira do Brasil SA concede um financiamento para aquisição de um trator para ser liquidado num prazo de 24 meses em 12 prestações iguais de 1000000 como segue as 6 primeiras pagas mensalmente a partir do final do 7 mês até o final do 12 mês e as 6 últimas pagas mensalmente a partir do final do 19 mês até o final do 24 mês Sabendose que a taxa de juros cobrada é de 4 ao mês calcular o valor financiado Resposta 13461206 44 Uma pessoa aplica 500000 por mês durante os 10 primeiros meses consecutivos a uma taxa de 38478 ao ano Segundo o conceito de termos vencidos calcular o montante no final do 20 mês Resposta 7432316
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UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág1 SÉRIE DE PAGAMENTOS 1 NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos em dinheiro previstos para determinado período de tempo A fim de facilitar o entendimento dos problemas a serem apresentados será utilizada a representação gráfica do fluxo de caixa como mostra o exemplo a seguir correspondente a um fluxo mensal Recebimentos previstos Pagamentos previstos Dia Valor Dia Valor 05 1000000 09 1200000 11 2800000 14 1400000 17 900000 17 700000 25 1600000 28 2000000 Representação gráfica do fluxo mensal 10000 28000 9000 16000 0 5 10 15 20 25 30 meses 12000 14000 7000 20000 Um banco concede um empréstimo de R 4000000 a um cliente para pagamento em 6 prestações iguais de R 900000 Represente graficamente o fluxo de caixa Do ponto de vista do banco a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte 9000 9000 9000 9000 9000 9000 0 1 2 3 4 5 6 40000 ou seja há uma saída inicial de caixa no valor de R 4000000 e a entrada de seis parcelas de R 900000 cada uma nos meses seguintes Do ponto de vista do cliente a orientação das setas é feita no sentido inverso como segue 40000 1 2 3 4 5 6 0 9000 9000 9000 9000 9000 9000 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág2 Exemplos 1 Você resolve aplicar em uma instituição financeira quatro parcelas iguais mensais e consecutivas de 400000 Sabendose que a primeira parcela será efetivada hoje e que você deseja saber o valor do montante no final do 4º mês representar o fluxo de caixa correspondente A representação gráfica será a seguinte hoje Montante 0 1 2 3 4000 4000 4000 4000 2 SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS OU POSTECIPADOS Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por R as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos taxa de juros coerente com a unidade de tempo mês trimestre ano etc n número de prestações quase sempre coincidente com o número de períodos unitários VP principal capital inicial valor atual ou valor presente VF montante ou valor futuro 21 Fator de Acumulação de Capital FAC Exemplo 2 Determinar o valor do montante no final do 5º mês de uma série de cinco aplicações mensais iguais e consecutivas no valor de R 10000 cada uma a uma taxa de 4 ao mês sabendose que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês ou seja a 30 dias da data tornada como base momento zero e que a última no final do 5º mês é coincidente com o momento em que é pedido o montante Dados R 100 4 n 5 VF Em termos de fluxo de caixa o problema pode ser esquematizado como segue Montante 0 1 2 3 4 5 meses 100 100 100 100 100 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág3 1 1 i n i 3 Quanto terá no final de quatro anos uma pessoa que aplicar R 50000 por mês durante esse prazo em um Fundo de Renda Fixa á taxa de 3 ao mês Esquematicamente ternos Montante 0 1 2 3 47 48 meses 500 500 500 500 500 Dados R 500 n 48 prestações porque durante quatro anos ternos 48 meses 3 ao mês aplicações mensais VF 22 Fator de Formação de Capital FFC O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida no item anterior i i R VF n 1 1 Essa fórmula como vimos é utilizada para obter o valor do montante quando são conhecidos o valor das prestações a taxa e o número de prestações Quando a incógnita do problema é o valor das prestações basta fazer i i VF R n 1 1 1 1 i n i VF R em que é chamado Fator de Formação de Capital 4 Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num Fundo de Renda Fixa durante cinco anos para que possa resgatar R 20000000 no final do período sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2 ao mês Esquematicamente Montante200000 0 1 2 3 59 60 meses R R R R R UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág4 Dados R n 60 prestações porque durante cinco anos ternos 60 meses 2 ao mês aplicações mensais VF200000 5 Quantas prestações de 400000 devem ser aplicadas trimestralmente á taxa de 7 ao trimestre para acumular um montante de 10051608 no final do período Esquematicamente Montante10051608 0 1 2 3 n1 n meses 4000 4000 4000 4000 4000 Dados R 400000 por trimestre VF 10051608 7 ao trimestre n nº de trimestres Observação Como a unidade de tempo está coerente com a taxa não é necessária nenhuma conversão Problema em que a taxa é a incógnita 6 A que taxa devo aplicar 1503628 por ano para que eu tenha um montante de R 50000000 no final de 10 anos Esquematicamente VF500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R1503628 Dados R 1503628 VF 50000000 n 10 anos 10 prestações ao ano i 1 i 1 R V n x F UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág5 i 1 i 1503628 1 50000000 10 x ou i 1 i 1 332529 10 A solução desta equação somente pode ser obtida por tentativa e erro Mesmo as calculadoras financeiras que solucionam problemas como este de forma simples e rápida utilizam esse processo Ele consiste em atribuir valores sucessivos à até que o resultado da expressão i 1 i 1 10 que é o Fator de Acumulação de Capital FAC seja exatamente igual a 3325290 Assim para 10 o valor da expressão é 1593742 o que evidencia que a taxa procurada é maior para 20 o resultado é 2595868 o que significa que a taxa ainda tem de ser maior já para 30 o resultado 4261950 indica que a taxa desejada deve ser menor Fazendose 25 obtémse 3325290 que coincide com o valor informado Portanto a taxa procurada é de 25 ao ano 23 Fator de Valor Atual FVA Exemplo 7 Qual o valor que financiado à taxa de 5 ao mês pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais iguais e sucessivas de R 10000 cada uma O que se deseja é o valor presente desta série de 5 parcelas iguais Usando o que já conhecemos podemos calcular o montante desta série e após faremos uma descapitalízação de 5 meses usando a fórmula da capitalização composta para calcular o valor atual ou o valor financiado Construindo o fluxo de caixa temos VF 0 1 2 3 4 5 meses VP 100 100 100 100 100 Dados R 100 i 5 ao mês n 5 parcelas mensais VP Sabemos que i i R VF n 1 1 1 e também que VFVP1 in ou i n VF VP 1 2 Substituindo 1 em 2 temos UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág6 n n n n i i i R i i i R VP 1 1 1 1 1 1 Logo o valor do financiamento pode ser dado pela fórmula n n i i i R VP 1 1 1 Sendo assim no problema acima temos 0 05 0 051 1 0 05 1 100 5 5 VP donde VP43295 Logo o valor financiado no problema acima é de R 43295 24 Fator Recuperação de Capital Exemplo 8 Um empréstimo de R 1000000 é concedido por uma Instituição Financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais mensais e consecutivas A Instituição Financeira cobra uma taxa de juros de 35 ao mês para esse tipo de financiamento calcular o valor de cada prestação Esquematicamente P10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R R R R R R R R R R R R Dados VP10000 n 12 prestações mensais i 35 ao mês 0035 R Utilizando o que já conhecemos temos que n n i i i R VP 1 1 1 como queremos o valor da parcela isolando 1 1 1 n n i i VP i R substituindo valores temos 1 03484 1 0 035 1 0 035 000 0 0351 10 12 12 R Logo o valor da parcela que pode amortizar o financiamento acima é de R 103484 Problemas em que n não é conhecido 9 Calcule em quantas prestações bimestrais de R 10000 cada uma podese liquidar um financiamento de R 124090 a taxa de 7 ao bimestre sendo a primeira parcela paga em 60 dias Esquematicamente VP124090 1 2 3 4 5 6 n1 n 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VP124090 n x prestações bimestrais i 7 ao bimestre 007 R 100 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág7 Solução Usando a fórmula do valor presente n n i i i R VP 1 1 1 temos n n 0 07 0 071 1 0 07 1001 124090 n n 0 07 1 07 1 100 1 07 124090 podemos para um melhor entendimento fazer 107n x daí x x 0 07 1 100 124090 124090 x 007x 100x 100 86863x 100x 100 13137x 100 x 761209 como 107n x temos que 107n 761209 Usando logaritmo temos nlog 107 log 761209 log 1 07 n log 7 61209 30 prestações bimestrais 3 SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS Nas séries com termos antecipados os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento zero ou seja na data do contrato do empréstimo ou financiamento ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos ou recebimentos 31 Fator de Acumulação de Capital Exemplo Qual o montante daqui a 12 meses resultante da aplicação de 12 parcelas mensais de R10000 a taxa de 4 ao mês sabendose que a primeira aplicação é feita hoje Esquematicamente temos Montante 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VF n 12 i 4 mês R 100 por mês Solução Se usarmos a fórmula i i R VF n 1 1 o valor de montante será encontrado no momento da última aplicação neste caso no momento 11 Como desejamos o montante no momento 12 teremos que capitalizar um período a mais ou seja 1 1 1 i i i R VF n assim teremos o montante no final dos 12 meses 0 04 1 0 04 1 0 04 1001 12 VF 156268 Conclusão UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág8 Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados devemos utilizar a fórmula 1 1 1 i i i R VF n 32 Fator de Valor atual Exemplo Uma TV 29 polegadas foi financiada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas de R10000 sabendose que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5 ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra quanto pagaria pela TV se comprasse a vista Esquematicamente temos Valor financiado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Dados VP n 12 i 5 mês R 100 por mês Solução Aproveitando o que já sabemos temos que 1 1 1 i i i R VF n como desejamos saber o valor de VP pela fórmula da capitalização composta VFP1in i n VF VP 1 temos que n n i i i i R VP 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i R VP n n Donde 0 05 1 0 05 0 05 1 1 0 05 1 100 12 12 VP 93064 Conclusão Para calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados devemos utilizar a fórmula 1 1 1 1 i i i i R VP n n Para saber mais Bibliografia consultada VIEIRA SOBRINHO Jose Dutra Matemática Financeira São Paulo Atlas 2007 12 parcelas mensais UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág9 Exercícios 1 Calcular o montante no final de 2 anos correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de R100000 cada uma dentro do conceito de termos vencidos sabendose que a taxa de juros é de 35 ao mês Resposta 3666653 2 Calcular para as taxas de 2 3 4 e 5 ao mês quais os montantes obtidos no final de 5 anos pela aplicação de 60 parcelas iguais de 200000 de acordo com o conceito de termos vencidos Respostas 22810308 para 2 ao mês 32610687 para 3 ao mês 47598137 para 4 ao mês 70716744 para 5 ao mês 3 Quanto devo aplicar mensalmente durante 15 meses à taxa de 325 ao mês para que tenha 15000000 no final do 15 mês dentro dos conceitos de termos antecipados e vencidos Respostas 766904 para termos antecipados 791829 para termos vencidos 4 Sabendo se que uma instituição financeira paga 4641 ao ano para aplicações programadas calcular que montante será obtido no final de 18 meses por uma pessoa que aplica 6 parcelas trimestrais de 1000000 cada uma sendo a primeira aplicação efetuada hoje Resposta 8487171 5 Sabendose que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R 250000 cada uma e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 475 ao mês calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado a de acordo com o conceito de termos vencidos b de acordo com o conceito de termos antecipados Respostas a 2247389 b 2354140 6 Determinar a que taxa de juros a aplicação de 500000 por mês gera um montante de 65568747 no final de 4 anos e meio sabendose que a primeira parcela é aplicada no final do 1 mês Resposta 30 ao mês 7 Um veículo zero Km foi adquirido por 22000000 sendo 70 financiados em 12 parcelas iguais Sabendose que a financeira cobra uma taxa de 45 ao mês calcular o valor da prestação mensal Resposta 1688859 8 Uma TV no valor de 5000000 é financiada por uma loja para pagamento em 13 parcelas iguais de 532831 sendo a primeira paga no ato da compra Calcular a taxa de juros cobrada pela loja Resposta 6 ao mês 9 A Financiadora Carga Pesada SA apresenta em suas tabelas um coeficiente de 006043 para financiamento de caminhões em 36 parcelas mensais Qual a taxa de juros que essa instituição está cobrando Resposta 5 ao mês 10 Que taxa mensal é cobrada num financiamento de 1276600 a ser liquidado em 12 prestações iguais de 136024 vencíveis no final de cada mês Resposta 4 ao mês 11 Em quantos pagamentos trimestrais de 570025 podemos liquidar um financiamento de R 5000000 à taxa de 3228 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados Resposta 22 trimestres 12 Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de R 2500000 a ser liquidado em 2 anos à taxa de 9 ao bimestre sendo que a 1ª prestação vence a 180 dias da data do contrato Resposta 462824 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág10 13 Uma TV está sendo ofertada por uma loja para pagamento em 12 parcelas mensais sem entrada Sabendose que o valor da 1ª prestação que vence no final do 1 mês é de 40000 da 2 de 60000 da 3 de 40000 e assim alternadamente até o final e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5 ao mês calcular o valor financiado Resposta 467591 14 Qual o montante no final de 20 meses resultante da aplicação de 14 parcelas iguais mensais e consecutivas de 180000 cada uma sabendose que a taxa contratada é de 35 ao mês e que a primeira aplicação é feita hoje Resposta 4048226 15 Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais á taxa de 45 ao mês Sabendose que o valor financiado foi de 24500000 calcular o valor das prestações a de acordo com o conceito de termos vencidos b de acordo com o conceito de termos antecipados Respostas a 1386842 b 1327121 16 A aplicação de 15 parcelas mensais iguais e consecutivas gerou um montante de 40000000 no final de 30 meses Sabendose que a taxa de juros da operação foi de 3 ao mês e que a primeira parcela é aplicada hoje calcular o valor de cada aplicação Resposta 1340220 17 Determinar a taxa de juros cobrada por uma instituição financeira numa operação de crédito direto ao consumidor que apresenta os seguintes dados valor financiado 18542878 valor das prestações mensais 2500000 cada uma número de prestações 12 prazo do contrato 18 meses portanto com 6 meses de carência Resposta 4 18 Quanto devo aplicar hoje de uma só vez para que tenha no final de 60 meses o equivalente ao montante constituído por aplicações mensais de 50000 à taxa de 2 ao mês sendo a primeira aplicação de hoje a 30 dias Resposta 1738044 19 Em quantas prestações anuais de 2000000 poderei amortizar uma dívida de 4871140 à taxa de 221045 ao mês Resposta 5 20 Quanto terei no final de 60 meses se aplicar 10000 por mês em fundo de renda fixa à taxa de 25 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados Resposta 1359915 21 Quanto deverei aplicar mensalmente à taxa de 3 ao mês para ter um montante de 2000000 no final do 12 mês de acordo com os conceitos de termos vencidos e antecipados Rospostas a 140924 b 136820 22 No final de quantos meses terei o montante de 12489278 aplicando 40000 por mês a uma taxa mensal de 2 de acordo com o conceito de termos vencidos Resposta 100 meses 23 Quanto terei no final de 18 meses se aplicar 20000 a cada bimestre à taxa de 24695 ao mês sendo a primeira aplicação a 60 dias de hoje Resposta 220531 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág11 24 Quanto terei no final de 30 meses se aplicar 50000 por mês durante os 25 primeiros meses a uma taxa de 35 ao mês de acordo com o conceito de termos vencidos e antecipados Respostas a 2313011 termos vencidos b 2393966 termos antecipados 25 Quanto devo aplicar hoje para ter no final de 15 meses um valor igual ao montante obtido nessa mesma data com a aplicação de 15 parcelas iguais mensais e consecutivas de 100000 à taxa de 35 ao mês Resposta 1151741 26 Um consumidor adquire uma mercadoria para pagamento em 12 parcelas mensais sendo as 6 primeiras de 300000 e as 6 restantes de 500000 Qual o valor financiado sabendose que a taxa de juros cobrada foi de 35 ao mês Resposta 3765957 27 Uma pessoa resolve aplicar 100000 por mês em fundo de renda fixa à taxa de 3 ao mês durante 18 meses Como essa pessoa recebe gratificações semestrais deverá no final do 6 e do 12 mês fazer aplicações extras de 500000 cada uma Qual o valor do montante global no final do 18 mês de acordo com o conceito de termos antecipados Resposta 3721593 28 Uma pessoa adquire uma casa para ser paga em 20 prestações mensais e iguais á taxa de 35 ao mês Sabendose que a 1ª prestação vence no final do 5 mês e a última no final do 24 mês e que o valor financiado foi de 15000000 pedese calcular o valor da prestação Resposta 1211114 29 Quanto terei no final de 42 meses se aplicar 10 parcelas trimestrais iguais e consecutivas de 500000 a partir de hoje a uma taxa de 10 ao trimestre Resposta 12833691 30 Uma loja financia um automóvel para ser pago em 20 prestações iguais de 600000 Sabendose que a taxa cobrada é de 5 ao mês determinar o valor financiado pela loja segundo os conceitos de a Séries de pagamentos com termos vencidos ou postecipados b Séries de pagamentos com termos antecipados Respostas a 7477326 b 7851193 31 Uma pessoa aplica 120000 por mês em um fundo de renda fixa durante 30 meses consecutivos a uma taxa de 20 ao mês Determinar o montante dessa aplicação no final do 30 mês de acordo com os conceitos de a Séries de pagamentos com termos vencidos ou postccipados b Séries de pagamentos com termos antecipados Respostas a 4868170 b 4965533 32 Uma pessoa aplica 500000 por mês durante os 10 primeiros meses consecutivos a uma taxa de 325 ao mês Segundo o conceito de séries de pagamentos com termos vencidos determinar a o valor do montante no final do 15 mês b o valor presente dessa aplicação valor no início do 1 mês Respostas a 6803878 b 4211198 33 Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 prestações mensais à taxa de 4 ao mês sendo as 9 primeiras prestações de 400000 e as 9 restantes de 300000 Resposta 4541323 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler httpwww2unematbreugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido Série de Pagamentos Pág12 34 Um empréstimo de 5000000 deve ser liquidado em 12 prestações iguais Sabendose que a primeira prestação vence no final do 4 mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 5 ao mês determinar o valor da prestação Resposta 653048 35 Quanto terá no final do 13 mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas mensais iguais e consecutivas de 200000 cada uma à taxa de 3 ao mês sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje Resposta 3217265 36 O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais Sabendose que o valor de cada parcela é de 350000 e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4 ao mês calcular o valor da prestação única com vencimento no 10 mês que poderia substituir o plano inicial Resposta 7040951 37 Em quantas prestações trimestrais de 800000 poderei liquidar uma dívida de 6084864 à taxa de 10 ao trimestre sabendo que as prestações são pagas no final de cada trimestre Resposta 15 prestações 38 Determinar quantas aplicações bimestrais e iguais de 1000000 são necessárias para ter um montante de 17712983 considerandose uma taxa de 5 ao bimestre e de acordo com o conceito de termos vencidos Resposta 13 aplicações 39 Um correntista resolve aplicar em um fundo de renda fixa que paga 1 ao mês parcelas mensais iguais de 50000 durante 10 anos Determinar o montante que ele terá no final do períodotermos vencidos Resposta 11501934 40 Uma pessoa obtém um financiamento para a compra de um veículo a ser liquidado em 18 meses com carência de 4 meses Sabendose que o valor das sete primeiras prestações é de 140000 cada uma e das sete últimas de 200000 cada uma e que a taxa cobrada pela financeira é de 425 ao mês calcular o valor financiado 41 Um terreno está sendo oferecido por 120000000 a vista ou 20000000 de entrada e mais 24 prestações mensais de 6500000 cada uma Considerando uma taxa de juros de 35 ao mês mostrar qual o plano economicamente melhor 42 Admitindo que um banco possua um plano de aplicações programadas e que pague juros de 10 ao ano para essas aplicações determinar quanto necessito depositar no dia em que minha filha completar 7 anos de idade para que ela possa retirar 200000 por ocasião dos seus 21 22 23 24 e 25 aniversários encerrandose a conta após este último saque Resposta 219611 43 A Financeira do Brasil SA concede um financiamento para aquisição de um trator para ser liquidado num prazo de 24 meses em 12 prestações iguais de 1000000 como segue as 6 primeiras pagas mensalmente a partir do final do 7 mês até o final do 12 mês e as 6 últimas pagas mensalmente a partir do final do 19 mês até o final do 24 mês Sabendose que a taxa de juros cobrada é de 4 ao mês calcular o valor financiado Resposta 13461206 44 Uma pessoa aplica 500000 por mês durante os 10 primeiros meses consecutivos a uma taxa de 38478 ao ano Segundo o conceito de termos vencidos calcular o montante no final do 20 mês Resposta 7432316