En 435 Mata 12ano 2000 1f Cha1

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO\n12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)\nCursos Gerais e Cursos Tecnológicos – Programa ajustado\nDuração da prova: 120 minutos\n2000\nPROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA\nVERSÃO 1\nDeve indicar claramente na sua folha de respostas a versão da prova.\nA ausência desta indicação implicará a anulação de toda a primeira parte da prova.\nV.S.F.F.\n435.V1/1 Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha.\n435.V1/2 Primeira Parte\n• As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla.\n• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.\n• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionou para responder a cada questão.\n• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.\n• Não apresente cálculos.\n1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?\n(A) lim (sen x)/(x) x→0 (B) lim sen x x→+∞\n(C) lim sen x x→1 (D) Não existe lim sen x x→+∞\n2. Na figura está parte da representação gráfica da função f, de domínio R⁺, definida por f(x) = logₓ x\nP é um ponto do gráfico de f, que tem ordenada 1/3\nQual é a abscissa do ponto P?\n(A) 8/3 (B) 1 (C) ln (8/3) (D) 2\nV.S.F.F.\n435.V1/3 Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio R\\{0}. Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função g', derivada de g? Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura. Admita que o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água para o tanque, à taxa de 2 m³ por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que dá a altura, em metros, da água no tanque, t horas após a abertura da torneira? Seja A um acontecimento possível, cuja probabilidade é diferente de 1. Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A|A)? 3. No presente ano civil, em Lisboa, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do ano, é dado em horas, aproximadamente, por\nf(n) = 12,2 + 2,64 sen(π(n-81)/183) n ∈ {1, 2, 3, ..., 366} (o argumento da função seno está expresso em radianos).\nPor exemplo: no dia 3 de Fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o pôr do Sol foi de f(34) ≈ 10,3 horas.\n\n3.1. No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr do Sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).\nNotas:\n• Recorde que, no presente ano, o mês de Fevereiro teve 29 dias.\n• Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.\n\n3.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol é superior a 14,7 horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique como procedeu.\n\nV.S.F.F.\n435.V1/7 4. Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares.\n\n4.1. Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12 (um número diferente em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3.\n\n4.1.1. De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números?\n\n4.1.2. De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e, nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares?\n\n4.2. Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com o origen do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy. Escolhidos agora três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação y = 0? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.\n\n5. Considere uma função f de domínio R+. Admita que f é positiva e que o eixo Oz é assintota do gráfico de f. Mostre que o gráfico da função 1/f não tem assintota horizontal.\n\nFIM\n\n435.V1/8 Primeira Parte....................................................................................................... 63\nCada resposta certa............................................................................................ +9\nCada resposta errada.......................................................................................... -3\nCada questão não respondida ou anulada.......................................................... 0\nNota: um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos.\n\nSegunda Parte....................................................................................................... 137\n1. ..................................................................................................................... 21\n1.1. .................................................................................................................. 9\n1.2. .................................................................................................................. 12\n2. ..................................................................................................................... 33\n2.1. .................................................................................................................. 15\n2.2. .................................................................................................................. 18\n3. ..................................................................................................................... 33\n3.1. .................................................................................................................. 15\n3.2. .................................................................................................................. 18\n4. ..................................................................................................................... 32\n4.1. .................................................................................................................. 18\n4.1.1. ................................................................................................................. 7\n4.1.2. ................................................................................................................ 11\n5. ..................................................................................................................... 14\n5.1. .................................................................................................................... 18\nTOTAL ................................................................................................................. 200\n\nV.S.F.F.\n435.V1/9 Formulário\n\nÁreas de figuras planas\nLosango: Diagonal maior x Diagonal menor\n2\nTrapézio: Base maior + Base menor\n2\nx Altura\nPolígono regular: Semiperímetro x Apótema\nCírculo: \u03C0 x r²\n\nÁreas de superfícies\nÁrea lateral de um cone: \u03C0 r g\n(r = raio da base; g = geratriz)\nÁrea de uma superfície esférica: 4 \u03C0 r²\n(r = raio)\n\nVolumes\nPrisma: Área da base x Altura\nCilindro: Área da base x Altura\nPirâmide: 1/3 Área da base x Altura\nEsfera: 4/3 \u03C0 r³\n(r = raio)\n\nTrigonometria\nsen(a + b) = sen a . cos b + sen a . cos a\ncos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b\ntg(a + b) = tg a + tg b\n1 - tg² a . tg b\n\nComplexos\n(p cis θ).(p' cis θ') = pp' cis(θ + θ')\np cis θ / p' cis θ' = p/p' cis(θ - θ')\n(p cis θ)ⁿ = pⁿ cis(n θ)\n√p/cis θ = √p cis(θ + 2kπ/n), k ∈ {0, ..., n - 1}\n\nRegas de derivação\n(u + v)' = u' + v'\n(u v)' = u' v + u v'\n(1/u)' = -u'/u²\n(u^n)' = n u^{n-1} u'\n(n ∈ ℝ)\n\n(sen u)' = u' . cos u\n(cos u)' = -u' . sen u\n(tg u)' = u' / cos² u\n(e^y)' = u' . e^u\n(a^y)' = u' . a^u . ln a (a ∈ ℝ+ \ {1})\n\n(ln u)' = u' / u\n(log_a u)' = u' / (u . ln a) (a ∈ ℝ+ \ {1})\n\nLimites notáveis\nlim (sen z)/z = 1\nz → 0\nlim (e^z - 1)/z = 1\nz → 0\nlim (ln(x + 1))/x = 1\nz → 0\nlim z^c/(ln z^2) = +∞ (p ∈ ℝ)\n\n435.V1/11