En 435 Mata 12ano 2003 2f

PROVA 435/10 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.° Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.° 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos 2003 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA 2.a FASE VERSÃO 1 VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. • O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. • O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 17 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2 Grupo I • As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos, nem justificações. 1. De uma função f, de domínio [−4, 5] e contínua em todo o domínio, sabe-se que: f(−4) = 6; f(2) = −1; f(5) = 1 f é estritamente decrescente no intervalo [−4, 2] f é estritamente crescente no intervalo [2, 5] Quantas soluções tem a equação f(x) = 0? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. Seja g uma função, de domínio A, definida por g(x) = ln(1 − x^2) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ]−e + 1, e − 1[ (B) ]−1, 1[ (C) ]0, +∞[ (D) ]−∞, 1[ V.S.F.F. 435.V1/3 3. Seja f uma função de domínio R, e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1) A recta de equação y = 2x + 4 é a única assíntota do gráfico de f. Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g? (A) y = 2x + 6 (B) y = 2x + 4 (C) y = 2x - 4 (D) y = 2x - 6 4. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. [Figura] Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB]. Em cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? (A) 30^2 sen x / 2 = 100 (B) 30^2 tg x / 2 = 100 (C) 30 x 10 sen x / 4 = 150 (D) 30 x 10 tg x / 4 = 150 5. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais? (A) 19/_36C_2 (B) 35/_36C_2 (C) 1/_36C_2 (D) 18/_36C_2 435.V1/4 6. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X ? (A) xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 P(X = xi) | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 (B) xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 P(X = xi) | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 (C) xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 P(X = xi) | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 (D) xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 P(X = xi) | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,1 7. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4 Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 - w ? (A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 V.S.F.F. 435.V1/5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. C é o conjunto dos números complexos i designa a unidade imaginária 1.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número complexo 1 + √3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas. 1.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re(z) = — 2. Seja B a imagem geométrica de z, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições enunciadas. Sabendo que a área do triângulo [AOB] é 8, determine z, na forma algébrica. 2. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população do Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por p(t) = 3,5 + \frac{6,8}{1 + 12,8 \cdot e^{-0,03t}} (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano 1864.) 2.1. De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do presente ano (2003)? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 2.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 435.V1/6 COTAÇÕES Grupo I ................................................................. 63 Cada resposta certa .......................................................... +9 Cada resposta errada ....................................................... -3 Cada questão não respondida ou anulada .......................... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II ............................................................... 137 1. ........................................................................... 21 1.1. ....................................................................... 11 1.2. ....................................................................... 10 2. .......................................................................... 26 2.1. ....................................................................... 10 2.2. ....................................................................... 16 3. .......................................................................... 42 3.1. ....................................................................... 14 3.2. ....................................................................... 14 3.3. ....................................................................... 14 4. ......................................................................... 20 4.1. ....................................................................... 10 4.2. ....................................................................... 10 5. ......................................................................... 12 6. ......................................................................... 16 TOTAL ................................................................... 200 V.S.F.F. 435.V1/9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: Diagonal maior × Diagonal menor / 2 Trapézio: (Base maior + Base menor) / 2 × Altura Polígono regular: Semiperímetro × Apótema Círculo: π r² (r – raio) Áreas de superficies Area lateral de um cone: π r g (r – raio da base; g – geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r² (r – raio) Volumes Prisma: Área da base × Altura Cilindro: Área da base × Altura Pirâmide: 1/3 × Área da base × Altura Cone: 1/3 × Área da base × Altura Esfera: 4/3 π r³ Trigonometria sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b tg (a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a . tg b) Complexos (ρ cis θ)ⁿ . (ρ' cis θ')ⁿ = ρⁿ cis(θ + θ') ρ cisθ θ' = ρ cis θ−θ' cis (θ − θ') (ρ cisθ)ⁿᵐ = ρⁿ cis (nθ) √ρ cisθθⁿ = √ρ (n) cis θ + 2kπ/ n , k ∈ {0,...,n − 1} Progressões Soma dos n primeiros termos de uma Prog. Aritmética: u₁ + uₙ / 2 × n Prog. Geométrica: u₁ × (1 − rn) / 1 − r Regras de derivação (u + v)' = u' + v' (u. v)' = u. v' + u'. v (u/v)' = (v. u' − u . v') / v² (uⁿ)' = n. uⁿ⁻¹ . u' (n ∈ ℝ) (sen u)' = u'. cos u (cos u)' = − u'. sen u (tg u)' = u'/ cos² u (eᵘ)' = u'. eᵘ (aᵘ)' = u'. aᵘ. ln a (a ∈ ℝ+\{1}) (ln u)' = u'/ u (logₐ u)' = u'/ (u ln a) (a ∈ ℝ+\{1})