Slide - Coordenadas em Relação a uma Base Pt2 2022 2

Coordenadas em Relação a uma Base (mais um exemplo) Seção 4.4 - Coordenadas e Bases Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Coordenadas em Relação a uma Base Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V e se v = c1·v1+ c2·v2+...+ cn·vn é a expressão de v em termos dessa base B, então os escalares c1, c2, ..., cn são chamados coordenadas de v em relação à base B. Denotamos (v)B = (c1, c2, ..., cn) ou [v]B = c1 c2 ⁝ cn e dizemos que (v)B é o vetor de coordenadas de v em relação à base B. 3 Exemplo. Considere o espaço vetorial M22 e as matrizes Sendo B1 = {A1, A2, A3, A4} uma base para M22, e se , então: qual é o vetor de coordenadas de A na base B1? Solução. O vetor de coordenadas de A na base B1 é: (A)B1 = (k1, k2, k3, k4), sendo (k1, k2, k3, k4) a solução da equação vetorial k1·A1 + k2·A2 + k3·A3 + k4·A4 = A A1 = 2 1 , 0 1 A2 = 3 -2 , 4 1 A3 = 1 -1 e 2 1 A4 = 0 -1 . 0 3 A = 4 3 2 -2 Precisamos resolver a equação vetorial k1·A1 + k2·A2 + k3·A3 + k4·A4 = A Que corresponde a resolver 2k1 + 3k2 + k3 = 4 o sistema linear: k1 - 2k2 - k3 - k4 = 3 4k2 + 2k3 = 2 k1 + k2 + k3 + 3k4 = -2 k1· 2 1 + k2· 3 -2 + k3· 1 -1 + k4· 0 -1 = 4 3 0 1 4 1 2 1 0 3 2 -2 2k1 k1 + 3k2 -2k2 + k3 -k3 + 0 -k4 = 4 3 0 k1 4k2 k2 2k3 k3 0 3k4 2 -2 2k1+3k2+k3 k1-2k2-k3-k4 = 4 3 4k2+2k3 k1+k2+k3+3k4 2 -2 Resolvendo o sistema linear a seguir por qualquer método 2k1 + 3k2 + k3 = 4 k1 - 2k2 - k3 - k4 = 3 4k2 + 2k3 = 2 k1 + k2 + k3 + 3k4 = -2 encontramos que a solução (única) é: (k1, k2, k3, k4) = (2, -1, 3, -2) , o que significa que A = 2·A1 + (-1)·A2 + 3·A3 + (-2)·A4 e por isso, o vetor de coordenadas da matriz A na base B1 de M22 é (A)B1 = (2, -1, 3, -2).