Slide - Espaços Gerados 2022 2

Espaços Gerados Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Teorema. Seja S = {w1, w2, ..., wr} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V. a) Seja W o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de vetores de S, ou seja, W = { w = k1·v1 + k2·v2 +...+ kr·vr | k1, k2, ..., kr são escalares }. Então W é subespaço de V. b) O conjunto W do item (a) é o “menor” subespaço de V que contém os vetores de S, no sentido de que qualquer outro subespaço de V que contém todos os vetores de S, contém W. V W w1 w2 ... wr S Último teorema da aula 54 3 Definição. Seja S = {w1, w2, ..., wr} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V. O subespaço vetorial W de todas as combinações lineares de vetores de S é dito espaço gerado por S, e também dizemos que os vetores em S geram esse espaço. Denotamos o espaço gerado por S por ger {w1, w2, ..., wr} ou ger(S). Espaços Gerados Em Rn, vamos considerar duas formas de representar seus vetores: 1. Como uma n-upla ordenada: v = (x1, x2, x3, ..., xn) 2. Como uma matriz coluna: x1 v = x2 x3 ⁝ xn Obs. Formas de representar vetores de Rn Exemplo. Os vetores canônicos de R4 geram R4 : e1 = (1, 0, 0, 0) e2 = (0, 1, 0, 0) e3 = (0, 0, 1, 0) e4 = (0, 0, 0, 1) Pois qualquer vetor u = (a1, a2, a3, a4) de R4 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos de R4: a1·e1 + a2·e2 + a3·e3 + a4·e4 = a1·(1,0,0,0) + a2·(0,1,0,0) + a3·(0,0,1,0) + a4·(0,0,0,1) = (a1, 0, 0, 0) + (0, a2, 0, 0) + (0, 0, a3, 0) + (0, 0, 0, a4) = (a1+0+0+0, 0+a2+0+0, 0+0+a3+0, 0+0+0+a4) = (a1, a2, a3, a4) = u Ou seja, u = a1·e1 + a2·e2 + a3·e3 + a4·e4 Daí, R4 = ger {e1, e2, e3, e4} Obs. Esse é um conjunto de geradores de R4, mas não é o único. Existem infinitos outros conjuntos de geradores de R4. Exemplo. Os vetores canônicos de R3 geram R3 : e1 = i = (1, 0, 0) e2 = j = (0, 1, 0) e3 = k = (0, 0, 1) Pois qualquer vetor u = (a1, a2, a3) de R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos de R3: u = a1·e1 + a2·e2 + a3·e3 E daí, R3 = ger {e1, e2, e3} Obs. Esse é um conjunto de geradores de R3, mas não é o único. Existem infinitos outros conjuntos de geradores de R3. Um caso particular para este exemplo é, por exemplo: u = (2, -4, 7) = 2·e1 - 4·e2 + 7·e3 Exemplo. Os vetores canônicos de Rn geram Rn : e1 = (1, 0, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, 0, ..., 0) e3 = (0, 0, 1, ..., 0) ⁝ en = (0, 0, 0, ..., 1) Pois qualquer vetor u = (a1, a2, a3, ..., an) de Rn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos de Rn : u = (a1, a2, a3, ..., an) = a1·e1 + a2·e2 + ... + an·en Logo, os vetores canônicos de Rn geram Rn. Ou seja, Rn = ger {e1, e2, ..., en} Obs. Esse é um conjunto de geradores de Rn, mas não é o único. Existem infinitos outros conjuntos de geradores de Rn. Exemplo. Considere as equações paramétricas do plano β que passa pela origem em R3: x = 2t + 3h β: y = 4t - h , t Є R e h Є R z = t Significa que qualquer vetor do plano β pode ser escrito como x 2t + 3h 2 3 v = y = 4t - h = t · 4 + h · -1 = t·u + h·w , t,h Є R z t 1 0 Isto é, todo vetor do plano β pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e w. Logo, β = ger{u,w} u w combinação linear de u e w (O plano β é o espaço gerado pelos vetores u e w) Exemplo. (Em Pn) Um conjunto gerador para o espaço vetorial (Pn,+,·) com a soma e a multiplicação por escalar usuais dos polinômios é S = {1, x, x2, ..., xn}, pois qualquer polinômio de Pn pode ser escrito como combinação linear dos polinômios 1, x, x2, ..., xn : p(x) = c0 + c1·x + c2·x2 + ... + cn·xn = c0·1 + c1·x + c2·x2 + ... + cn·xn sendo c0, c1, c2,..., cn escalares. Assim, podemos dizer que 1, x, x2, ..., xn geram o espaço vetorial Pn, ou seja: Pn = ger{1, x, x2, ..., xn} Obs. Esse é um conjunto de geradores de Pn, mas não é o único. Existem infinitos outros conjuntos de geradores de Pn.