P2 - Álgebra Linear 2016 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2016 Nota: 2a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) Sejam A =   3 1 −2 3 2 1 4 2 −1   . (a) (1 ponto) A tem inversa? Se sim, encontre A−1. (b) (0,5 ponto) Calcule as solu¸c˜oes dos sistemas Ax = b e Ax = 0, sendo x =   x1 x2 x3   e b =   2 4 −1   (c) (0,5 ponto) Construa uma matriz sim´etrica e uma matriz anti-sim´etrica a partir de A. (d) (1 ponto) Se B = AAT, resolva o sistema linear Bx = b. (e) (0,5 ponto) Se p(x) = 3x2 − 2x + 4, encontre o polinˆomio matricial p(A). 2) (1,5 ponto) Sejam A =   0 0 2 6 0 0 1 4 1 2 0 3   e seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A. Encontre matrizes elementares E, F e G tais que A = E · F · G · R. 3) Sejam A =   2 1 7 −3 1 1 4 −4 1 −1 4 1 2 1 5 −3  , B =   2 1 5 −3 1 0 0 1 0 0 2 0 0 −1 3 0  , C =   1 −2 0 −1 3 4 −1 2 2 0 1 0 −1 2 2 1  , D =   1 −2 0 −1 0 0 0 0 1 4 1 3 −1 5 2 1  , E =   1 −2 0 −1 0 3 4 2 0 0 5 3 0 0 0 4  , F =   2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 2   e b =   1 1 2 −1  . (a) (1 ponto) Calcule o determinante de A usando redu¸c˜ao por linhas. (b) (1 ponto) Calcule o determinante e B por expans˜ao em cofatores. (c) (1 ponto) Por qualquer t´ecnica, calcule os determinantes de C, D, E, F e F 4. (d) (1 ponto) Calcule os determinantes de B−1, AB e ATA. (e) (0,5 ponto) Calcule a inversa de F. (f) (0,5 ponto) O que vocˆe pode dizer com rela¸c˜ao ao n´umero de solu¸c˜oes dos sistemas Cx = b e Cx = 0? Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1