P3 - Álgebra Linear 2014 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2014 Nota: 3a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Encontre o vetor de coordenadas de p = 5x − 5x2 com rela¸c˜ao `a base S = {p1, p2, p3}, onde p1 = 1 + 2x, p2 = x + x2 e p3 = 1 + 3x2. 2) Seja A =   −1 7 −1 0 1 0 0 15 2  . (a) (2 pontos) Encontre os autovalores de A e as bases dos seus auto-espa¸cos. (b) (0,5 ponto) A ´e diagonaliz´avel? Se sim, enntre uma matriz invert´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que P −1AP = D. (c) (0,5 ponto) Use a resposta do item (b) para calcular A12. 3) (1 ponto) Seja P2 o espa¸co vetorial dos polinˆomios de grau menor ou igual a 2, com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao por escalar de polinˆomios. Seja T : P2 → P2 a fun¸c˜ao dada por T(a0 + a1x + a2x2) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x + (a2 + 1)x2. Determine se T ´e uma transforma¸c˜ao linear. 4) Considere a base B = {v1, v2, v3} de R3, onde v1 = (1, −1, 3), v2 = (1, −2, −7) e v3 = (2, 3, 4). Seja T : R3 → R3 o operador linear tal que T(v1) = (1, 2, −3), T(v2) = (2, 0, 2) e T(v3) = (1, 2, −4). (a) (1 ponto) Encontre uma f´ormula para T(x1, x2, x3). (b) (0,5 ponto) Use a f´ormula para calcular T(1, 2, 0). (c) (0,5 ponto) Qual ´e a matriz que representa essa transforma¸c˜ao com rela¸c˜ao `a base canˆonica de R3? 5) Seja T : R4 → R3 a transforma¸c˜ao linear determinada por T(x) = Ax, onde A =   0 2 2 4 1 0 −1 −3 2 3 1 1  . (a) (0,5 ponto) O vetor v = [1 2 0 − 3]T pertence ao N´ucleo de T? (b) (0,5 ponto) O vetor w = [−8 8 1]T pertence `a Imagem de T? (c) (1 ponto) Determine o N´ucleo de T e encontre uma base para esse espa¸co vetorial, assim como a dimens˜ao desse espa¸co. (d) (1 ponto) Descreva a Imagem de T e determine sua dimens˜ao. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1