Slide - Aplicação das Equações Na Forma Integral 2021-1

Aplicação das equações na forma integral Professor: Henrique Matos Campos Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (UNESP) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS) Departamento de Engenharia Civil (DEC) Fenômenos de Transporte 30 de abril de 2021 Conteúdo 1 1º Exemplo: comporta 2 2º Exemplo: perda de carga em uma seção reta de tubo 3 3º Exemplo: bomba Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 2 / 39 1º Exemplo: comporta Supondo uma comporta de controle de escoamento como a apresentada na figura a seguir, determine a força ⃗F requerida para segurar a comporta e a velocidade de saída (u2) ambas em termos da velocidade do escoamento na entrada (u1). Para a solução: suponha que o escoamento na saída e na entrada tenham velocidade uniforme. Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 3 / 39 1º Exemplo: comporta Hipóteses para a solução: O fluido é um meio contínuo (ρ existe). Escoamento incompressível (ρ = cte). Sem atrito com o fundo (τ = 0). Escoamento uniforme na entrada e na saída. Problema em regime permanente (Não há variações no tempo). Vamos assumir o volume de controle: Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 4 / 39 12 Exemplo: comporta Deseja-se calcular uma a velocidade uz em termos de uj, para tal sera usada a equacdo da conservacdo da massa: 0 , oo — pdV+ | p(v-dA)=0 Ot Ve Sc Sendo regime permanente: | o@- a) =0 (1) Sc unesp~”’ 12 Exemplo: comporta VV <—F hy —* u, | VO — = i ha U2 Avaliando o fluxo de massa através das fronteiras do volume de controle: pada) = | o( aida) | (aed) L Ai —— A “a —uy(bdhz) u2(bdhe) 5 hy he [7-day == [ pluntoayy) + [ olua(bay)) . Sc 0 0 unesp “ 12 Exemplo: comporta Como p, b, uy € up sdo constantes: , hy hg | p(v- dA) = -eub | dy + punb | dy Sc 0 0 | pv - dA) = —pu,bh, + pugbho Sc unesp~”’ 1º Exemplo: comporta Retornando a equação ao termo de fluxo da equação 1: −ρu1bh1 + ρu2bh2 = 0 Isolando u2: ρu2bh2 = ρu1bh1 u2 = u1h1 h2 (2) Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 8 / 39 12 Exemplo: comporta Deseja-se calcular uma forca na direcdo x, para tal sera usado o balanco de quantidade de movimento em x: Sf wav + [pute da) = SF ls Ot Ve Sc Sendo regime permanente: | pu(v-dA)=S— Fe \o., (3) Sc unesp~”’ 12 Exemplo: comporta VW <—F hy —* u, | VV —_—_- = ! hz U2 Avaliando o fluxo através das fronteiras: [ou da) = | oul aid) + | punt ae da) Sc Ai —— Ao —— —uy(bdh) u2(bdho) . hy he J eue- da) =~ [ pur(ua(bay)) + f° purtua(bdy)) Se 0 0 unesp “” 12 Exemplo: comporta Vv <—F hy —* u, | Vv — = i ha U2 Como p, b, ux € uz sdo constantes: . hy ho | pu(V- dA) = -pusmnb | dy + pupuab | dy Sc 0 0 | pu(v- dA) = —put bh, + pus bho %¢ unesp” 12 Exemplo: comporta Substituindo o termo de fluxo na equac¢do 3 2 2 2 —pujz bhy + pus bhp = S° Fy | sist (4) Relembrando o VC: a 7 Ty + Patm py . Patmtegh; /——>| <— F —> —>| V Patm+pgh2 — LL ee eS unesp~”’ 12 Exemplo: comporta a 7 Ty + Patm py . Patm+pgh, /——>| <—F —> —>| Vv Patmtpgh2 — LL ee eS Expandindo o termo das forc¢as atuantes no sistema: SS” Fx | sige = Fx + Foie — Fs — Fp.atm Sendo as forca de pressdo definidas como: h Fp = | pdA = | pbdy A 0 Shy unesp“ 12 Exemplo: comporta a 7 Ty + Patm py . Patmtegh; /——>| <—F —_—> —>| V Patm+pgh2 —~ _ _ . OO eA Na entrada: hy 2 gbh Foe = | (Patm + pgy)bdy = patmbhy + > 0 Na saida: ho hy—h2 Fp,s + Fp,atm = | (Patm + pgy)bdy +f Patmbdy on 0 0 unesp” 1º Exemplo: comporta Fp,s + Fp,atm = patmbh2 + ρgbh2 2 2 + patmb(h1 − h2) Fp,s + Fp,atm = patmbh2 + ρgbh2 2 2 + patmbh1−patmbh2 Fp,s + Fp,atm = ρgbh2 2 2 + patmbh1 Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 15 / 39 12 Exemplo: comporta Substituindo as forcas de pressdo na entrada e na sajida: pgbht — pgbhs Ss" Fy. | sist = —Fy+Patmbhy + 3 _ 7 Patmbhy _ pgbht — pgbhs do Fe |sise = Fe + > 29 Retornando a equacdo 4 2 2 pgbht — pgbh3 —puj bhy + pus bh = —F, + a _ a unesp~”’ 12 Exemplo: comporta Isolando F,: 3 3 pgbht — pgbhs Fy = puy bhy _ pu bho + a _ > Substituindo up em termos de uy (2): hy \? bh? pgbhs F,, = puzbhy — p an bho + PEPML _ PEPN2 ho 2 2 unesp~”’ 2º Exemplo: perda de carga em uma seção reta de tubo Ao atravessar uma seção reta de tubo, como a mostrada na figura a seguir, o fluido em escoamento tem suas moléculas atritando entre sí e com a parede do tubo. Devido à este efeito ocorre uma perda de pressão ao longo do escoamento, e deste modo a pressão na entrada da seção é maior que a pressão na saída. Supondo um escoamento com vazão volumétrica Q deduza uma expressão para representar a perda de carga para a Figura a seguir. Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 18 / 39 2º Exemplo: perda de carga em uma seção reta de tubo Hipóteses para a solução: O fluido é um meio contínuo (ρ existe). Escoamento incompressível (ρ = cte). Problema em regime permanente (Não há variações no tempo). Vamos assumir que o escoamento é adiabático ( ˙Q = 0). Vamos assumir o volume de controle: Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 19 / 39 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Deseja-se calcular uma a perda de pressdo entre a entrada e a saida do tubo, para tal sera usada a equacdo da conservacdo da energia: O | f 1 12 . Pp 1 12 + 7 — i+ <||v||* + gz -pdv + [ i+—+<=||v||\°+¢z|pv-dA Ot Ve 2 Sc p 2 = Q _ Weixo Sendo um escoamento em regime permanente: 1 | — ; , | i424 Sis + ee pV:-dA=Q — Weixo Sc Pp 2 unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Sendo o escoamento adiabatico: . 1. a . [ [ie 8+ FlvIP + ee] 07: da = Wei Sc p 2 Neste caso nao ha trabalho de eixo incluido no volume de controle, e portanto: . 1. a | i424 Sv? + ez] p7-da=o Sc p 2 unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo L | P.@ P,> P, @) P. >> —_, ( = Expandindo o termo de fluxo para as regides de entrada e saida: . Pi, lisie > 7 . 2 lias - h+—=—+-||M|lo+ ez] pv. dA+ ip += + =||Vo||° + gz0 At p 2 Aa p 2 -pv-dA=0 unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo L >| P@ pp Op, —_ = SV > _, SS Neste caso entrada e saida encontram-se em uma mesma cota —> implicando gz = 0. . P1 14 ry . P2 1 ji > 7 — ip +$—+-=||m||o] pVv-dA+ ig ++ =||v||°|] pVv- dA=0 At p 2 Aa p 2 unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo L > P, ~) P, > P, (*) P, = = —, — ) = => Além disso a vazao é a mesma entre a entrada e a saida, e nao esta ocorrendo mudanga da secdo da tubulacéo — implicando ||v4|| = ||Vva]]. -| fn + P| pv-da+ | fn | pv-da=0 Ai p Ao P unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Para prosseguir considera-se que ao longo de uma secdo transversal de tubo, as propriedades sdo constantes — portanto p, i e p podem sair da integral. 1 ay , . 7 - fit lo f da |in+ |p [ Vv-dA=0 (5) p Ai p A2 Precisa-se de uma expressdo para representar |), V- dA, visto que n3o sabemos a relacdo entre Ve A. unesp~” 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Recorrendo a equacdo da conservacdo da massa. O , oo =— pdV+ | p(v-dA)=0 Ot Ve Sc Por ser regime permanente | p(v-dA) =0 Sc unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo L {+ PQ PrP Op, >> —_, ——> — ) = Expandindo o termo de fluxo: -| pv da | pv-dA=0 Ai A2 | 7 dA= | V-dA= pQ oe Ay Ap unesp~ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Substituindo o resultado da conservacdo da massa na equacdo 5: - fi + Pp f 7- das |ia+ | p | v-dA=0 p Ai p Az a ee pQ pQ i + ] pQ= i + 2] pQ p p p+ Pain + B p p unesp~”’ 22 Exemplo: perda de carga em uma secao reta de tubo Rearranjando os termos da equac¢do: Pl 2 . . Pr _ P2 _ (i) — i) pp —SS~" Ap p Obtém-se entdo a seguinte expressdo para a perda de carga na tubulacdo: Ap = pli2 — i) unesp~”’ 3º Exemplo: bomba Um sistema de bombeamento, como o mostrado a seguir, opera entre dois reservatórios com diferença de nível ∆H, estando ambos abertos para a atmosfera. Para bombear fluido entre os reservatórios foi inserida uma bomba, que opera continuamente com vazão Q, por se tratar de um equipamento real, a bomba libera calor durante sua operação. Com base nestas informações determine o trabalho consumido pela bomba durante seu funcionamento. Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 30 / 39 3º Exemplo: bomba Hipóteses para a solução: O fluido é um meio contínuo (ρ existe). Escoamento incompressível (ρ = cte). Problema em regime permanente (Não há variações no tempo). Vamos assumir o volume de controle: Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 31 / 39 32 Exemplo: bomba Para determinar o trabalho consumido pela bomba-—> recorremos a equac¢do da energia O | f 1 12 . Pp 1 12 + 7 — i+ <||v||* + gz -pdv + [ i+—+<=||v||\°+¢z|pv-dA Ot Ve 2 Sc p 2 = Q _ Weixo Sendo um escoamento em regime permanente: 1, oe ; , | i+ Py sliziP +e pV: dA=Q— Weixe Sc Pp 2 unesp~”’ 32 Exemplo: bomba é oE yz tt Ww P I Expandindo o termo de fluxo para as regides de entrada e saida: . Pi, lisie > 7 ., 2 liasie — i t+—+=||Ml\> + ez} pV¥-dA+ ip + = + =||¥|° + gzZ0 At p 2 Aa p 2 “Pp Vv: dA = Q _ Weixo unesp~”’ 32 Exemplo: bomba é oE yz ti Ww P a Para o volume de controle adotado, assumiu-se uma superficie de controle junto a superficie livre —> Fluido esta praticamente em repouso > I|val] = ||val| + 0 . , Pl =o 7 . , P2 + m4 7 ; - i +—+8z| pVv-dA+ Ip + — + 822| pV- dA= Q — Weixo Ai p A2 p unesp~”’ 32 Exemplo: bomba Considerando que ao longo de uma sec4o transversal de tubo, as propriedades sdo constantes — portanto p, / e p podem sair da integral. . PL + > . P2 5 > . : —|nh+—+ e821] p V-dA+ |i2+ —+ gz0| p V:-dA=Q — Weixo p Ai p Ao (6) Para prosseguir, precisa-se de uma expressdo ta v- dA, visto que nado sabemos a relacdo entre Ve A. unesp~” 32 Exemplo: bomba Recorrendo a equacdo da conservacdo da massa: O , 7 =— pdV+ | p(v-dA)=0 Ot Ve Sc Por ser regime permanente | p(v-dA)=0 Sc unesp~”’ 32 Exemplo: bomba j ees yz ti Ww ; aa Expandindo o termo de fluxo: -| pv da | pv-dA=0 Ai A2 | 7 dA= | V-dA= pQ At Ap unesp “” 32 Exemplo: bomba Substituindo o resultado da conservacdo da massa na equacdo 6: _ Pt . 4, |.,P sh Ay —|h+—-+ez}p | V-dA+|z2+—-+g8z2\p | V-dA=Q-— Weixo p A1 p A2 —wr ew” Q Q . . P2 — PA : ; : = + — +g(z “) pQ = Q- Weixo p —~—" AH unesp~”’ 3º Exemplo: bomba Tanto na entrada como na saída assumiu-se a superfície de controle aproximadamente coincidente com a superfície do reservatório→ p1 = p2 = patm [(i2 − i1) + g∆H] ρQ = ˙Q − ˙Weixo Isolando o trabalho: ˙Weixo = ˙Q − [(i2 − i1) + g∆H] ρQ Aplicação das equações na forma integral 30 de abril de 2021 39 / 39