Notas de Aula - Hidráulica Experimental 2016-1

Hidráulica Experimental Notas de Aula - Versão 1.7 - 2016/s1 Prof. Milton Dall’Aglio Sobrinho 1 QUANTIFICAÇÃO DOS ESCOMENTOS ........................................................ 01 1.1 Vazão e Fluxos ................................................................................. 01 1.2 Relação Básica ente Velocidade e Vazão ......................................... 02 1.3 Fluxo de Grandezas Extensivas Transportadas ................................ 04 1.4 Vazão em Seções com Velocidade Variável ...................................... 07 1.5 Exemplos Numéricos ........................................................................ 11 1.6 Exercícios Sugeridos ........................................................................ 13 1.7 Relação Geral Entre Velocidade e Fluxos ......................................... 16 1.8 Exercícios Sugeridos ........................................................................ 22 2 DESCRIÇÃO DOS ESCOAMENTOS .............................................................. 24 2.1 Trajetória de uma Partícula Fluida ................................................ 24 2.2 Velocidade e Aceleração de uma Partícula Fluida ...................... 25 2.3 Linha de Corrente - Um Novo Ponto De Vista ................................... 29 2.4 Velocidade e Aceleração em um Ponto (Análise Euleriana) ............... 31 2.5 Linha de Emissão e Linha de Tempo .............................................. 39 2.6 Perfis de Velocidade ....................................................................... 42 2.7 Classificação dos Escoamentos ...................................................... 43 3 CONSERVAÇÃO DE GRANDEZAS (Equação da Continuidade) ..................... 47 3.1 Conservação da Massa ................................................................... 47 3.2 Misturas Homogêneas - Balanço de Grandeza Extensiva N ........... 58 3.3 Equação Integral do Balanço de Massa .......................................... 58 3.4 Discussão Sobre a Taxa de Variação da Grandeza no V.C. .............. 63 3.5 Exercícios ......................................................................................... 67 4 TRANSFORMAÇÕES DE ENERGIA NOS ESCOAMENTOS ........................... 69 4.1. Equação de Bernoulli ........................................................................ 69 4.2. Conservação da Energia nos Escoamentos ...................................... 71 4.3. Energias e Cargas na Equação de Bernoulli .............................. 75 4.4. Aplicação a Medições de Vazão e Velocidade .................................. 76 4.4.1. Medidor Venturi ...................................................................... 77 4.4.2. Tubo de Pitot .......................................................................... 77 4.4.3. Orifícios de pequenas dimensões ........................................... 78 4.4.4. Bocais em condutos forçados ................................................. 80 4.5. Exercícios ......................................................................................... 81 5 TRANSFORMAÇÃO DE REYNOLDS (Relação Sistema x Volume de Controle) ... 85 5.1 Introdução ......................................................................................... 85 5.2 Do Sistema ao Volume de Controle .............................................. 85 5.3 Balanço Global de Grandezas Extensivas ........................................ 88 6 BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA .................................................................. 89 6.1 Aplicação a um V.C. em Regime Permanente .......................... 92 6.2 Problemas isotérmicos: bombas, turbinas hidráulicas e tubulações ... 93 6.3 Exemplos Ilustrativos ....................................................................... 95 6.4 Efeito do Atrito nos Escoamentos ...................................................... 99 6.4.1. Perdas de Carga em Escoamento em Tubos ....................... 101 6.4.2. Sobre o Fator de Atrito .......................................................... 105 6.5 Efeitos das Bombas e Turbinas sobre as Cargas ............................. 111 6.6 Resumo das Transformações de Energia ........................................ 113 6.7 Exercícicos Propostos ...................................................................... 118 7 BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO ............................ 120 7.1 Aplicações Elementares: Pás Defletoras ......................................... 121 7.2 Aplicações Elementares: Curvas em Tubulações ........................... 123 7.3 Aplicações Elementares: Perdas em Expansão Brusca .................. 126 7.4 Aplicações Elementares: Estruturas em Canais Abertos ................. 127 7.5 Exercícios Propostos ...................................................................... 130 A N E X O : RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................ 134 Diferenças em relação à versão 1.6 (de 2015-s2) – Texto sobre comportamento dinâmico de escoamentos no cap 2 – Exemplo numérico no item 3.2; Exercício proposto no item 3.5 Diferenças em relação à versão 1.5 (de 2015-s1) . – Pequenas correções na numeração de figuras e equações. – Acréscimo de texto sobre hidrometria no cap 1 . – Acrescentados texto e exemplos numéricos no cap. 2. Diferenças em relação à versão 1.4 (de 2014-s2) . – Acrescentados os itens 6.4.1 e 6.4.2 num total de 9 páginas. – Acrescentado o Anexo com as respostas no corpo do texto, 5 páginas. CAPÍTULO 1: QUANTIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS 1.1 Vazão ou Fluxo de Volume É muito importante conhecer o volume de fluido que um escoamento transporta. Como os escoamentos são contínuos é conveniente expressar o volume transportado por unidade de tempo, ou seja, pelo Fluxo de Volume, FVol, também conhecido como Vazão: 1.1 A vazão de água transportada por um rio é fundamental em muitos problemas práticos. Por exemplo, para sabermos se é possível utilizar a água para abastecimento de uma cidade, ou se o rio comporta o lançamento de esgotos com um determinado nível de tratamento. Para medir uma vazão podemos imaginar o experimento representado pela Figura 1.1, conhecido como “método volumétrico direto”. Conhecemos o volume inicial de água no reservatório e, no instante t = 0, colocamos o recipiente sob o jato de água, parando o cronômetro ao final de um tempo ∆t qualquer, quando lemos o volume final. A diferença de volumes fornece o volume escoado durante o intervalo de tempo considerado. Figura 1.1: Medição de volume transportado pelo escoamento num intervalo de tempo. Aplicando a definição da equação 1.1 com o volume ∆Vol e com o intervalo de tempo decorrido ∆t, obtemos o valor da vazão média no período de tempo da medição: t Vol Q ∆ = ∆ ( Valor Médio no intervalo ∆t) 1.2 Para que a definição seja válida no caso de escoamento variável no tempo, interessa o valor instantâneo. t Vol Q t ∆ ∆ = ∆ → 0 lim → d t Q= dVol (Valor Instantâneo) 1.3 A dimensão do fluxo de volume é [ M3 / T ], e as unidades mais comuns são m3/s, m3 /h, l / h, m3 /dia. Uma vazão só tem sentido quando associada a uma determinada seção. No caso da / s ) ( m decorrido Tempo Volume Transportado VAZÃO FVol 3 = = Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 2 Figura 1.1, trata-se da seção de saída do tubo, com área S. Um sinônimo de fluxo é Taxa de Passagem. Então podemos dizer também que a vazão é a taxa de passagem de volume através de uma dada superfície Vazão é um Fluxo de Volume, ou seja, a quantidade de volume por unidade de tempo que atravessa uma determinada área. _____ Fluxo de Massa Em muitas ocasiões é importante conhecer a taxa de transferência de massa através de uma seção de escoamento. Isso é particularmente verdadeiro no caso de escoamentos compressíveis. Dada uma seção qualquer de um escoamento, a quantidade de massa que atravessa a seção por unidade de tempo é o Fluxo de Massa. → ∆ ∆ ∆ = = ∆ t Vol t m FM ρ Q FM = ρ 1.4 A dimensão do Fluxo de Massa é [ M / T ], e as unidades são:( Kg/h ), ( ton/h ), ( Kg/s ), ( utm/s ) etc. 1.2 Relação Básica entre Velocidade e Vazão Nossa experiência cotidiana, por exemplo, com torneiras e mangueiras de jardim, indica que a vazão é função da velocidade do escoamento. A velocidade do fluido é um dos fatores principais para definir a capacidade de transporte de grandezas dos escoamentos. A outra é a área da seção transversal, conforme veremos neste item. Imagine o escoamento num duto retangular de seção transversal A, transportando água, com velocidade V uniforme e constante no tempo, conforme esquema da Figura 1.2. ∆ t=0 t =∆ t ∆ x ∆ x Vol A V Figura 1.2: Escoamento uniforme num duto retangular – volume que atravessa a seção. O perfil uniforme significa que qualquer partícula tem a mesma velocidade. Além disso, o movimento é unidirecional, ou seja, ocorre apenas na direção x. Podemos marcar uma partícula qualquer com corante, e determinar sua velocidade por meio do deslocamento registrado num intervalo de tempo ∆t dado: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 3 t x V ∆ = ∆ ; valor médio da velocidade no intervalo ∆t. 1.5 Com a velocidade conhecida, é fácil determinar quais partículas serão capazes de atravessar a sessão “A” num intervalo ∆t. Basta ver que o deslocamento possível nesse tempo é ∆x = V ∆t . Concluímos que um volume igual ao hachurado irá atravessar a seção de área A no intervalo ∆t. Então: Q V A t A x t Vol Q = → = = ∆ ∆ ∆ ∆ 1.6 A equação 1.6, embora simplificada, é importantíssima. É empregada na grande maioria dos cálculos de tubulação, com V igual à velocidade média no tubo. As simplificações adotadas foram: – o módulo da velocidade é o mesmo em toda a seção A, – a direção da velocidade é a mesma em toda a seção A, – a direção da velocidade é perpendicular à seção A. A primeira hipótese é equivalente a afirmar que V é a velocidade média na seção. Já a segunda hipótese é praticamente impossível de ser satisfeita num escoamento real devido a presença dos contornos sólidos, como as paredes do tubo ou o fundo dos canais. Posteriormente adaptaremos a equação 1.5 para uso num caso geral. Exemplo 1.1 : Uma tubulação com 50mm de diâmetro interno abastece um caminhão tanque de 15.000 l de capacidade com gasolina ( ρ = 860 kg/m3). Sabendo que a velocidade média no tubo é de 2,0 m/s, pede-se: a) Qual a massa de gasolina transportada; b) Vazão que sai do tubo; c) Fluxo de massa que entra no tanque; d) Qual o tempo de enchimento completo do tanque? SOLUÇÃO: a) Pode-se usar o valor médio porque a massa é uniformemente distribuída. A partir da definição de massa específica e sabendo que 1m3 equivale a 1000 litros, obtemos: kg l m l m kg Vol m 12900 1000 ) ) 15000 ( ) ( 1 ( 860 3 3 = ⋅ ⋅× = = ρ b) Sabendo que a vazão é a velocidade multiplicada pela área do escoamento, temos: litros s s m m s m VA Q m d A / 4 ,0 00393 ,0 00196 ) ( 2 ,0 00196 4 ,0 050 4 3 2 2 2 2 ≅ = × = = = = = π π c) Aplicando a definição do fluxo de massa, s kg s m m kg Q FM .3 377 ) ,0 00393( ) ( 869 3 3 = ⋅× = = ρ d) O tempo de enchimento vem da aplicação da definição de vazão: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 4 s t s m m Q Vol t t Vol Q .3 820 / ,0 00393 15 3 3 ∴ ∆ = = ⇒ ∆ = ∆ ∆ = ∆ Exemplo 1.2 : Um fluido com massa específica constante escoa pela redução de diâmetro de 100mm para 75mm representada na figura. Sabendo que a velocidade no tubo maior é 1m/s, calcule a velocidade no tubo de menor diâmetro. ∆ ∆ x x V1 V2 1 2 Vol2 Vol1 Volume Constante SOLUÇÃO : Como o volume de fluido no interior da redução (tracejado na figura) é constante, deduzimos que o volume trazido pelo tubo de 100mm em cada intervalo de tempo deve ser igual ao volume que sai pelo tubo menor no mesmo intervalo (Vol1 = Vol2 ). Mas, pela definição de vazão é possível calcular os volumes, já que o intervalo de tempo considerado é o mesmo: 2 2 2 1 1 1 2 1 ; x A x A e Vol mas Vol t Vol t Vol Q = ∆ = ∆ ∆ = ∆ = 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 A A V V V A V A t x A t x A = ⇒ = → ∆ = ∆ ∆ ∆ substituindo as áreas, s m V d d d d A A ,1 78 ,1 78 ,0 075 1,0 4 4 2 / / 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 = ⇒ = = = = π π 1.3 Fluxo de Grandezas Extensivas Transportadas Ao considerarmos um fluido escoando através de uma seção qualquer, podemos quantificar não só os fluxos de volume e massa do fluido, mas também a quantidade das grandezas extensivas que o fluido carrega em seu meio. Definições: Grandeza : é qualquer coisa que pode ser medida fisicamente. Por exemplo, temperatura, velocidade, massa, energia. Grandeza Intensiva: o valor da medida não depende da quantidade de massa considerada Exemplos: temperatura, velocidade, massa específica. Grandeza Extensiva: o valor medido depende da quantidade de massa considerada. Exemplos: quantidade de calor, energia cinética, volume, massa. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 5 O Fluxo de uma grandeza extensiva N qualquer pode ser dado em relação à concentração da grandeza, ou em relação à quantidade específica. Fluxo de N em função da sua concentração CN : ⇒ = ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ C Q t Vol Vol N t N F N N C VA F N N = 1.7 Fluxo em função da quantidade específica η: ⇒ = ∆ ∆ ∆ ∆ = M N F t m m N F η VA FN = ηρ 1.8 Ilustração: Uma dedução alternativa das equações do fluxo ocorre ao considerar a analogia entre o escoamento e um trem em movimento, conforme a Figura 1.3. Os vagões equivalem ao fluido em escoamento e os passageiros nos vagões são análogos às grandezas extensivas conduzidas pelo escoamento. Seção S V Escoamento = Trem Fluido = Vagões Pessoas = Grandeza N Analogia:                  Vagões Fluxode Específica Quantidade deFluxo definição U Tempo NumVagões Vagão Num Pessoas U Tempo Num Pessoas FluxoPessoas . . . . . = = Figura 1.3: Analogia com trem em movimento para definição do fluxo de grandezas extensivas. Pensando num vagão como 1 m3 (unidade de volume), ou como 1 kg (un. de massa) de fluido, obtemos as equações genéricas dos fluxos pela extensão do raciocínio utilizado para calcular o fluxo de pessoas:                 Q Un. de Tempo de Vol. Quant. C Quant. de Vol. Quant. da Grandeza F Un. de Tempo Quant. de Massa Quant. de Massa Quant. da Grandeza F x  FM x N N = = η Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 6 _____ Exemplos de Fluxos de Grandezas Extensivas Aprendemos nesse item que o fluxo de qualquer grandeza cuja quantidade total no fluido depende da massa de fluido considerada pode ser descrito em função do fluxo de massa. Por exemplo, para algumas grandezas extensivas consideradas: ) ( V A T c FCALOR ρ ∆ = ) ( . V A V F Q MOV ρ  = ) ( 2 2 . V A V F E CINÉTICA ρ = ) ( V A e FENERGIA ρ = Em todos os exemplos vimos que sempre a quantidade específica da grandeza é multiplicada por uma parte comum que é o Fluxo de Massa Esse termo representa, como já vimos, a quantidade da grandeza transportada (por Advecção) por unidade de massa do fluido transportador. Exemplo 1.3 : Um rio possui vazão de 10m3/s de água com concentração de sólidos totais de 250mg/L. Calcular: a) o fluxo de massa de sólidos totais e b) a massa de sólidos transportada pelo rio em um dia. Solução: a) uma vez conhecida a concentração da grandeza extensiva (sólidos totais), o fluxo é dado pela equação 1.7. s g s m m g s m m L mg g L mg FST .2 500 10 250 10 ) 1000 ,0 001 250 ( 3 3 3 3 = × = × × × = b) a massa transportada num dia vem da definição do fluxo médio (eq. 1.7): kg dia dia s s kg t F m ST ST / 216.000 86.400 5,2 = × = ∆ = ∆ Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 7 1.4 Vazão em Seções com Velocidade Variável A hipótese de perfil uniforme utilizada na relação básica praticamente nunca ocorre na prática, devido à influência da viscosidade dos fluidos e ao fenômeno da adesão do fluido aos contornos sólidos do escoamento. Nos fluidos reais sempre vai existir uma região próxima aos contornos sólidos com variação pronunciada da velocidade, chamada de camada limite. Imagine um trecho de rio retilíneo esquematizada na Figura 1.4, com a seção transversal com diferentes profundidades. A utilização de traçadores permite concluir que existe um perfil variável de velocidades, que pode ser aproximado por 3 velocidades diferentes. Corte da Seção Transversal V3 V2 V1 V3 V2 V1 A1 A2 A3 Seção Figura 1.4: Escoamento com velocidade variável A vazão pode ser considerada como a soma da contribuição de 3 seções distintas e independentes, com velocidades e áreas diferentes. 3 3 2 2 1 1 3 2 1 V A V A V A Q Q Q Q + + = +∆ +∆ ≈ ∆ generalizando para um número qualquer de áreas, temos: ∑ = ≈ n i Vi Ai Q 1 1.9 _____ Discussão sobre Modelo de Medição O sinal de aproximadamente igual na equação 1.9 surge ao fazermos apenas 3 medições de velocidade para aproximar um perfil real de velocidades que varia continuamente, conforme ilustrado na Figura 1.5. A1 A2 A3 Seção perfil V3 V1 real V2 perfil aproximado Figura 1.5: Modelo de Escoamento Real e de Medição, com Velocidades Constantes Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 8 É claro que o perfil aproximado não representa com perfeição o perfil real de velocidades, que varia continuamente. Entretanto, ao adotar um perfil composto de apenas 3 velocidades constantes, estamos adotando um modelo de medição que pode ser suficientemente exato para nossos propósitos. Sabemos que o perfil real de velocidades não é como descrito pelo modelo simplificado de medição. Podemos reduzir o erro de modelo fazendo mais medições de velocidade ao longo da seção transversal, mas o custo das medições adicionais necessárias pode não ser viável. O erro de modelo numa medição pode ser aceitável ou não, dependendo de nosso objetivo. No caso de uma medição de vazão em rios utilizando flutuadores, pode ser aceitável um modelo bem simplificado, se nosso objetivo for uma estimativa para fins de anteprojeto. Pode-se perceber a partir da Figura 1.6, que a divisão da seção em áreas menores e um maior número de medições de velocidade diminui o erro de modelo. A1 A2 A3 Seção perfil real A2 Seção aproximado com 3 velocidades aproximado com 6 velocidades A1 A3 A4 A5 A6 perfil real Figura 1.6: Aumento do número de medições de velocidade diminui o erro de modelo. O efeito do aumento do número de n de subáreas consideradas na equação 1.7 pode ser visualizado num gráfico como o da Figura 1.7. Figura 1.7: Aumento do número de medições de velocidade diminui o erro de modelo. QReal Q4 Q1 Vazão (m3/s) Número de subáreas 1 2 3 j 4 5 6 7 . . . Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 9 A conclusão que se impõe é que o valor correto surge no limite de uma série de medições com um número crescente de subdivisões de áreas. ∑ = →∞ →∞ = = n i i i n n n al V A Q Q 1 Re lim lim 1.10 O sinal de igualdade na equação 1.10 indica que no limite, para número muito grande de áreas, deixa de existir o erro de modelo. Matematicamente essa operação é denotada pelo sinal da integral: ∫ = AVdA Q 1.11 Pontos Importantes na equação 1.11 1. Velocidade na direção perpendicular a Área 2. “dA” é o elemento diferencial de área: é a maior área em que V pode ser considerado constante (não é a derivada da função área) 3. O limite da integração A não é operacional, apenas indica que os limites reais devem cobrir toda a área desejada. 4. Na vazão calculada resta apenas o erro de medição. _____ Hidrometria – Medição de Vazão em Rios A determinação de vazões em rios é uma aplicação prática importante das equações 1.9 e 1.11. Uma diferença importante, entre os esquemas apresentados e a utilização na prática, é a consideração da variação de velocidades com a profundidade, e não só com a distância da margem do rio. Um dos métodos de divisão da seção para a medição de vazão de rios é o chamado método dos dois pontos, em que as velocidades são medidas a 20% e a 80% da profundidade da subárea considerada. Um exemplo de divisão segundo a técnica de dois pontos é mostrado na Figura 1.8. Figura 1.8: Divisão da seção segundo a técnica dos dois pontos em cada vertical. Observa-se na Figura 1.8 que nas seções mais rasas a velocidade foi medida em apenas um ponto, correspondendo a 60% da profundidade. Adota-se este critério quando a wj i = 1 2 n Profundidade pj 0,6p Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 10 profundidade for entre 0,15 e 0,60m. A ANA (Agência Nacional de Águas) considera justificável o método dos dois pontos quando o fator tempo é importante na medição, por exemplo, em cheias e medições com grande variação de nível da água. A ANA considera preferível o método detalhado que, como indica o nome, adota uma subdivisão mais fina em cada vertical. A Tabela 1.1 indica as recomendações da ANA para adoção do método detalhado, com o número de medições em cada vertical definido em função da profundidade. Tabela 1.1: Tabela de pontos de medição de velocidade no método detalhado. Fonte: ANA N° de pontos Posição na vertical (em relação a p ) Velocidade média na vertical (vM) Profundidade (m) 1 0,6 V0,6 0,15 – 0,6 2 0,2 e 0,8p (V0,2+V0,8)/2 0,6 – 1,2 3 0,2; 0,6 e 0,8 (V0,2+ 2V0,6+V0,8)/4 1,2 – 2,0 4 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8 (V0,2+2V0,4+2V0,6+V0,8)/6 2,0 – 4,0 6 S*; 0,2; 0,4; 0,6 e F* [VS+2(V0,2+V0,4+V0,6+V0,8)+VF]/10 > 4,0 VS = v na superfície; VF = v no fundo; S = 0,10m; F = fundo, determinado pelo lastro. Quanto ao número de seções a ANA recomenda 0,05% a 0,025% da largura como distância entre duas verticais de medição (20 a 40 divisões), e indica 0,30m como a mínima distância entre seções. Os medidores tipo ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler), ou perfiladores acústicos de velocidade são cada vez mais utilizados na prática. Conforme seu nome indica, os ADCPs determinam a velocidade por efeito “Doppler” em feixes de ultrassom, em um grande número de células em cada vertical. Ao ser conduzido através de uma seção transversal o equipamento mede o deslocamento e calcula a velocidade média em cada célula. Com as velocidades da água e o deslocamento do barco o software integra as contribuições de cada célula para indicar diretamente o valor da vazão ao final da travessia de uma margem a outra do rio. A Figura 1.9 apresenta um esquema da divisão da seção utilizada pelos medidores tipo ADCP, que avaliam a integral da equação 1.11 de forma automática. Figura 1.9: Divisão da seção em células para integração da vazão pelos medidores tipo ADCPl. Fonte: ANA (2012), disponível em http://arquivos.ana.gov.br/infohidrologicas Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 11 1.5. Exemplos Numéricos Exemplo 1.4: Deseja-se saber a vazão de um córrego com a seção transversal dada na Figura 1.10. Tendo em vista os objetivos da medição, julgou-se suficiente a divisão da seção em duas subáreas, nas quais foram medidas as velocidades seguintes: V1 = 0,3m/s e V2 = 0,7m/s. Determinar a vazão. Figura 1.10: Seção transversal real e modelo adotado para a medição de velocidade. Adotando-se o modelo de medição exposto na figura, tem-se: Q ≅ Q1 + Q2 = V1A1 + V2A2 Q ≅ 0,3 (2,5 G 0,35/2) + 0,7 (0,9 G 0,8) = 0,13125 + 0,504 = 0,63525 Resposta: a vazão do rio é aproximadamente 0,6m3/s, ou 600L/s. Exemplo 1.5: Um rio com seção retangular de 10m de largura com 1,5m de profundidade possui um perfil de velocidades dado na Figura 1.11. Determinar a vazão. Figura 1.11: Seção transversal e perfil de velocidades. Solução: 1. Função da velocidade Observa-se que a velocidade varia linearmente com y. Ajustando-se uma reta aos pontos dados (y = 0, V = 0 e y = 10, V = 2) obtém-se: : Seção Real Modelo Adotado A1 A2 0,8m 0,9m 2,5m 0,35m x y 10m Seção Transversal 1,5m 2,0m/s Vista Superior A z y Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 12 V = 0,2y 2. Determinação do elemento diferencial de área Analisando a função velocidade percebe-se que V não depende de z. Por isso podemos adotar o elemento diferencial de área dado no esquema: : Elemento diferencial de área adotado: 3. Solução, usando a equação 1.11 15 2 3,0 5,1 2,0 10 0 2 10 0 = = ⋅ = = ∫ ∫ = = y dy y VdA Q y y A 4. Resposta: A vazão do rio é de 15m3/s . Exemplo 1.6: Um rio possui seção transversal que pode ser considerada triangular de acordo com a Figura 1.12. O perfil de velocidades, dado na figura, é o mesmo do exemplo 1.5. Pede-se calcular a vazão. Figura 1.12: Seção transversal e perfil de velocidades. Solução: 1. Função da velocidade A velocidade varia linearmente com y como no exemplo anterior: : V = 0,2y 2. Determinação do elemento diferencial de área Analisando a função velocidade percebe-se que V não depende de z. Por isso podemos : dy dA = z dy z 1,5 y x y 10m Seção Transversal 2m 2,0m/s Vista Superior A z y Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 13 adotar o elemento diferencial de área dado no esquema, com dimensão finita na vertical: O elemento de área adotado pode ser escrito apenas em função de y, pois h = 0,2y: dA = 0,2ydy. 3. 13,33 ,0 04 3 2,0 2,0 10 0 3 10 0 = = ⋅ = = ∫ ∫ = = y y dy y VdA Q y y A Solução, usando a equação 1.11 4. Resposta: A vazão do rio é de 13,3m3/s . 1.6. Exercícios Sugeridos 1.6.1. Um escoamento de água quente a 45°C ( ρ = 995kg/m 3) ocorre com velocidade de 2m/s num tubo com área 0,01m2. A água possui uma concentração de 200mg/L de sólidos totais. Pede-se: a) calcule a vazão de água; b) calcule o fluxo de massa de água; c) calcule o fluxo de sólidos totais transportados pela água; d) calcule o fluxo de energia térmica (quantidade de calor) em relação à temperatura de referência de 0°C transportado pelo escoamento. Dado: calor específico da água c = 4180J/kg°C. 1.6.2. Um rio recebe a água de um afluente pouco antes de um trecho retilíneo, com a seção dada na figura. No trecho indicado foram lançados flutuadores e medidas as concentrações de matéria orgânica em 3 pontos de amostragem ao longo da seção transversal, conforme a figura com a seção de medição. A escala da seção é dada pelo quadriculado com 0,5m de lado. Os valores medidos foram: V1 = 0,7m/s, V2 = 1,5m/s, V3 = 2,0m/s; C1 = 200mg/L, C2 = 195mg/L e C3 = 25mg/L. Pede-se: a) Adote e justifique um modelo de medição para a seção e para os perfis de velocidade e de concentração; b) com o modelo adotado em (a) calcule a vazão de água no canal; dy dA = h dy z h y y x Rio Afluente Seção de medição Planta de Situação 1 2 3 Y Z Seção de Medição Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 14 c) com os modelos adotados em (a) calcule o fluxo de massa de matéria orgânica transportado pelo canal. 1.6.3. O reservatório de acumulação de uma pequena hidrelétrica recebe contribuição de 3 rios, com as vazões e conteúdo de sólidos suspensos médios dados na tabela. Rio 1 Rio 2 Rio 3 Saída Vazão (m3/s) 10 20 40 QSAI CSS (mg/L) 100 2000 1000 100 a) Qual a vazão média de saída? b) Qual a taxa média de acúmulo de massa de Sólidos Suspensos no reservatório? c) Sabendo que a massa específica do material sólido depositado no reservatório é de 1600 kg/m3, calcular a perda anual de volume útil do reservatório devido ao acúmulo de sólidos. 1.6.4. Um meio para determinar a vazão de rios consiste na injeção de substâncias traçadoras, como sais ou corantes. Numa determinação de vazão em um córrego foram lançados 2l/s de água com uma concentração de corante fluorescente igual a 5g/l. Numa seção a jusante, após a completa mistura do traçador, retirou-se uma amostra da água, obtendo-se uma concentração de corante de 0,2g/l. Qual a vazão do córrego? 1.6.5. A sua equipe executou medidas de velocidade e determinou trajetórias de partículas num trecho de rio onde se pretende lançar um efluente industrial, obtendo as trajetórias apresentadas. Observou ainda que as trajetórias de partículas ao longo do tempo praticamente não variam, podendo-se considerar o escoamento permanente. A velocidade na seção 1 é praticamente uniforme em toda a seção e igual a 0,4m/s. Com base nessas informações, responda as seguintes questões: 1 2 3 a b c 60m 25m 40m 2,5m 3m 1m Seção 1 Seção 2 Seção 3 a' a) Qual a vazão do rio e as velocidades nas seções 2 e 3 ? b) Se no ponto "a" forem lançados 150l/s de efluente com uma concentração volumétrica de 500mg/l de uma substância poluente inexistente no trecho a montante do rio, qual será a concentração resultante nos pontos "b", e "c"? Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 15 c) Existe a alternativa de lançamento do outro lado do rio, no ponto “a”. Do ponto de vista dos habitantes da ilha, qual dos pontos é preferível? Justifique sua resposta. Dica: considere a divisão do escoamento pelas linhas de corrente e mistura completa em cada seção a jusante. 1.6.6. Dados os perfis de velocidade e de concentração de Cloretos na água do rio da figura, com seção aproximadamente triangular, pede-se calcular: a) o fluxo de volume em m3/s; b) o fluxo de massa de cloretos, em gramas por segundo. Dados VMax = 2,0m/s, CMax = 200mg/L e CMin = 200mg/L. 1.6.7. Um canal retangular de 1 m de profundidade e 3 m de largura, transporta água salgada (ρ= 1000 kg/m3) com concentração igual a 100 mg/kg, com um perfil de velocidade dado pela equação abaixo, com V em (m/s) e a cota y em metros, com origem no fundo do canal: [ ] V y = − − 15 1 1 2 , ( ) . Pede-se calcular: a) velocidade média; b) fluxo de volume (vazão); c) fluxo de massa de água no canal; d) fluxo de sal conduzido pelo canal. 1.6.8. Para obter permissão legal para operar, uma indústria comprometeu-se a lançar no máximo 3 litros por segundo de efluentes com uma concentração máxima de cianetos igual a 3 miligramas por por litro. Uma associação de defesa ambiental desconfia do cumprimento da lei pela indústria, mas uma comissão de vistoria formada para investigar o problema não foi bem recebida pela empresa. Em consequência, você foi consultado para reunir dados para amparar uma ação legal contra a indústria. Sua equipe fez medições da seção e velocidade do rio a montante da indústria suspeita, e das concentrações de cianeto acima e a jusante do ponto de lançamento, obtendo os seguintes dados: MONTANTE: V = 0,6m/s, A = 6,3m2, CCN = 0,0000mg/l JUSANTE : CCN = 0,0081mg/l Determinar se há base legal para processar a indústria. x y 10m Seção Transversal 2,0m VMax Vista Superior A z y C Max C Min Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 16 1.7. Relação Geral Entre Velocidade e Fluxos No item 1.4 deduzimos o caso de perfil de velocidades variável, perpendicular à seção considerada. No caso mais geral a seção pode ter forma e inclinação qualquer. Este caso será trabalhado, em primeiro lugar, transformando a superfície curva em uma superfície aproximada por várias superfícies planas. Assim, o problema geral de superfície curva se reduz a uma sucessão de problemas de superfícies planas com inclinação qualquer. A seguir mostraremos como calcular o fluxo através de uma superfície plana de inclinação qualquer. _____ Passo inicial - Definição Vetorial da Área Uma superfície de inclinação qualquer no espaço pode ser definida pelo seu vetor área, conforme mostra a Figura 1.9. Um elemento de área dA é definido por um vetor com módulo dA e direção do versor n, normal à superfície considerada. O sentido do vetor área é positivo quando se dirige para fora em relação a uma superfície fechada. Se não existir uma superfície fechada para referência o vetor só possui direção definida. dA dA dA dA dA Figura 1.9: Definição vetorial da área. dA dA n   = ⋅ sendo n o versor normal 1.12 _____ Segundo passo – identificar o volume que atravessa a seção Para isso iniciaremos com uma situação mais simples dada por velocidade constante na seção, (perfil uniforme) e área com inclinação constante. Imaginemos então um escoamento com perfil uniforme de velocidades, representado pelas linhas de corrente da Figura 1.10. A dimensão na direção z é dz. Figura 1.10: Fluxo de volume através de uma seção inclinada em relação à velocidade. dx dh ds α dA V y x Seção dA = dsdz Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 17 O módulo do vetor área na Figura 1.10 é dado por: dA = dsdz O volume é dado pela porção hachurada, que corresponde ao volume de um prisma cuja seção é um losango de base dx e altura dh. dx dh dz dVol = Temos, pela geometria da seção, que dh = dscosα dx ds dz cosα dVol = → dx dA cos α dVol = Lembrando a definição de fluxo e que dx = V dt , vem: α α cos cos V dA dt dA dx dt dVol dQ = = = 1.13 A equação 1.13 indica um produto escalar entre os vetores da velocidade e da área, de modo que: dA V dQ   ⋅ = 1.14 _____ Terceiro passo – identificar a Integral de Área Já vimos no item 1.4 que um perfil qualquer de velocidades pode ser aproximado por segmentos elementares nos quais a velocidade é constante. A mesma idéia é válida para dividirmos também uma seção de forma qualquer em vários planos retilíneos. Assim, qualquer área e qualquer perfil podem ser aproximados, no limite, por uma sucessão de áreas planas e perfis constantes, sendo que cada uma contribui com uma vazão elementar, conforme a equação 1.14. Veja a Figura 1.11. Seção real V Perfil real V Perfil aproximado Seção aproximada 1 2 3 4 V V V 4 3 2 1 dA dA dA dA Situação real Modelo aproximado Figura 1.11: Fluxo de volume através de uma seção qualquer. Podemos repetir o raciocínio utilizado no item 1.4. A vazão total é aproximada por Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 18 uma soma que engloba as contribuições de toda a área: 4 3 2 1 dQ dQ dQ dQ Q + + + ≈ A aproximação é exata no limite, quando o número de áreas dA → ∞ V .dA i Q n i → ∑ = → ≅ 1 → → ∫ ∑ = → = = →∞ V dA Q V dA Q A n i n i . . lim 1   1.15 O símbolo "A" na integral significa que o somatório das contribuições deve envolver toda a área A, e não que ela seja a variável de integração. Dependendo da forma da equação para expressar o elemento diferencial de área dA, que depende da função da velocidade, poderemos ter que efetuar uma integração simples ou dupla. Uma vez que estabelecemos o fluxo de volume, fica fácil escrever diretamente a massa desse volume para encontrarmos a equação do fluxo de massa: → → =∫ V dA F A MASSA . ρ 1.16 E, para uma grandeza extensiva N qualquer, vale a expressão geral: → → ∫ = V dA F A N . η ρ 1.17 A equação 1.16 é a forma mais geral para o fluxo de volume, e a 1.17 sua equivalente para fluxo de grandeza extensiva qualquer transportada pelo fluido. _____ Sobre o significado do sinal na equação vetorial Nas equações 1.16, 1.17 e 1.18, válidas em 2 e 3 dimensões, o sinal indica diretamente se o fluxo é de entrada ou de saída . Devemos lembrar que o sentido do vetor área é de dentro para fora, quando são definidas superfícies fechadas. Veja os esquemas a seguir com a superfície fechada de um Volume de Controle. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 19 Figura 1.12: definição de áreas de entrada e saída por meio do ângulo entre os vetores. Toda vez que o ângulo entre os dois vetores for α > 90° o produto escalar será negativo. Isso só ocorre nos fluxos de entrada. Por outro lado, um ângulo α <90° indica uma situação entre os vetores que só ocorre em áreas de saída. Exemplo 1.7: Uma trincheira de drenagem intercepta um aquífero numa seção retangular com 2m de altura, dada em m2 por A = 50 i − 25 j . A velocidade de percolação da água na seção considerada é dada em m/dia por V = −3,0 i + 5 j . Calcule o fluxo de volume (vazão) de água a ser retirada da trincheira, para que a água não se acumule. Análise: Trata-se de um caso de velocidade constante ao longo da área, pois a velocidade não é função de x ou de y. Assim, a equação 1.14 pode ser aplicada diretamente a toda a área: V A Q V dA dQ     ⋅ = → ⋅ = O esquema a seguir permite visualizar a geometria do problema: A1 A2 V1 V2 α 2 α1 Área de Área de Saída Vol. Entrada Controle L.C. Superfície de Controle V dA Áreas de Saída Sinal positivo Áreas Laterais Valor nulo Áreas de Entrada Sinal negativo dA V V dA → → = − ∫ V dA Q AE ENTRA . → → = + ∫ V dA Q AS SAI . Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 20 Solução: ( ) ( ) d m j i j i V A Q / 275 125 150 25 50 0,5 3 3 = − − = − − ⋅ + = − ⋅ =       Comentários : A solução é teórica porque, na prática, a abertura da vala e o bombeamento irão alterar as condições de contorno, mudando as cargas e a direção da velocidade nas proximidades da abertura. Entretanto, o procedimento serve para ilustrar o cálculo, assim como permite introduzir a discussão sobre o valor negativo do fluxo. Afinal, o que significa este sinal? Exemplo 1.8: A figura mostra o traço de uma seção plana com 1m de espessura na direção z, perpendicular ao papel, submetido a um campo bidimensional de velocidades dado por V = 200 x i + 50 y j (m/s). Determinar o fluxo de volume que atravessa a seção A1 indicada na figura. Solução: Inicialmente é necessário definir a área A1.em termos vetoriais. Observe o esquema: Temos: z ds n dA   = e também dA j dA i dA x y    − = , z dy z ds sen dAy = = θ z dx z ds dAx = = cosθ Portanto, z dx j z dy i dA    − = dA x dAy A = dA n d  n s θ dA = z ds θ ds dy dx A contribuição da densidade de fluxo na área dA é dada por: A = A n   n θ A = z L θ 12,5 25 2 y 12,5 -25 y x x z 0 0 5,0 3,0 V Área A Ax Ay A i A y x   = A j A x y   = y x 0,5m 1,5m 1,5m 1,0m A 1 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 21 ( ) ( z dx )j z dy i y j xi V dA dQ       − ⋅ + = ⋅ = 50 200 Efetuando o produto escalar e lembrando que z = 1 y dx x dy dQ 50 200 − = O fluxo total é a somatória de todas as contribuições ao longo da área A, dada pela integral de dQ: ( ) ∫ ∫ ∫ = = = = − = = 5,1 0 ,1 5,1 5,0 50 200 y y x x A y dx xdy dQ Q A integral dupla não pode ser avaliada porque os limites não estão separados. Mas, ao longo do limite de integração temos que dy = dx/2. Isto transforma a integral dupla em simples: ( ) ∫ = = − = 5,1 5,0 50 100 x x y dx x Q Ainda não pode ser avaliada porque sobre a área y é função de x. Para resolver, temos que notar que: , x , y 0 5 0 75 + = . Assim, o fluxo fica: ( ) 37 5, 37 5, 75 2 25 37 5, 100 5,1 5,0 2 5,1 5,0 = − = − − = ∫ x x x dx x Q Resposta: A vazão que atravessa a seção A1 é de Q = 37,5 m3/s. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 22 1.8. Exercicios Sugeridos 1.8.1. Na segao definida pela figura foram observados os valores de velocidade dados por: V = (1 + 0,5xy) i+ 0,2xy jf + 0,2y k , sendo V(m/s) e x e y em metros. Calcular a vazao através da secao considerada. y (m) Figura Ex. 2 (0,2) EZ (1,2) in) (4,0) 1.8.2. A Figura mostra um trecho de um canal regular com segao parabolica. Sabendo que a velocidade é dada por V=0,5 z’ i, e que acota do fundo é dada por Z = 0,5y’, calcular a vazao transportada. zz f t | et — = FA : = __— c= j Li (i \ | | Fe NGS J R \ A 2 Sips os SN eee 5 ey —Z 1.8.3. Considere uma secao de escoamento paralela ao plano XZ, com 2 lados horizontais e 2 verticais. A segao € quadrada com 2m de lado. Um dos lados horizontais esta situado em z = Ome y = 5m, entre x = 0m e x = 2m. Outro lado horizontal esta situado em z = 2m (y=5m). Esta secao esta num escoamento dado por V = 0,2yz7? + 0,2z77 + 0,1xk , sendo V em (m/s) e ordenadas x, y e z em metros. Calcule a vazao através da superficie. 1.8.4. Um fluido escoa através das secdes hachuradas do V.C. mostrado na figura. Pede-se: a) Sendo a velocidade em m/s dada por V = 27+ 37+ 5k, calcule a vazao total que entra ou sai do V.C. b) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentracao de uma substancia dissolvida na agua dada por C (mg/L) = 20 mg/L calcule o fluxo de massa total da substancia que entra ou sai do V.C. c) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentragao de uma substancia dissolvida na agua dada por C (mg/L) = 20x + 20y, calcule o fluxo de massa total da substancia que entra ou sai do V.C. d) Sendo a velocidade dada por V = 2y?+ 3zj+ 5xk. Calcule a vazao total que entra ou sai do V.C.. Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 23 Zz NY <Y Sa | Ym x 1.8.5. Um fluido escoa através da segao hachurada do V.C. mostrado na figura. Pede-se: a) Sendo a velocidade em m/s dada por V = 27+ 37+ 5 k, calcule a vazdo que entra ou sai do V.C. b) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentracao de uma substancia dissolvida na agua dada por C (mg/L) = 20 mg/L calcule o fluxo de massa da substancia que entra ou sai do V.C. c) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentragao de uma substancia dissolvida na agua dada por C (mg/L) = 20x + 20z, calcule o fluxo de massa da substancia que entra ou sai do V.C. d) Sendo a velocidade dada por V = 2yi+ 3zj+ 5x k, calcule a vazao que entra ou sai do V.C. pela superficie hachurada. “Fs (0, 1, —2) De Dt te * (3, 0,0 Figura | 2 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 24 CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO ELEMENTAR DOS ESCOAMENTOS A geometria de um escoamento qualquer fica completamente descrita pelo seu campo de velocidades pontuais. Algumas vezes é mais vantajoso descrever um escoa- mento por meio de outras características cinemáticas, que serão definidas neste capítulo. Será demonstrado que existem dois métodos fundamentais para descrever um escoamento: o método Lagrangeano e o Euleriano. Entender as diferenças entre as duas formas de abordagem e as descrições e características cinemáticas derivadas de cada método é um dos objetivos deste capítulo. O capítulo também pretende que o leitor se familiarize com as técnicas analíticas e experimentais existentes para descrição dos escoamentos. 2.1 Trajetória De Uma Partícula Fluida O conceito de trajetória é bastante intuitivo. Imagine que você pode marcar uma determinada partícula do escoamento, e anotar sua posição ao longo do tempo. O resultado é uma linha definida como trajetória, ou seja, o lugar geométrico ocupado por uma partícula ao longo do tempo, mostrada na Figura 2.1. t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 V(t=0) x y Figura 2.1: Trajetória de uma partícula As trajetórias podem ser obtidas na prática por método fotográfico, lançando algumas partículas no escoamento e fazendo exposições sucessivas do mesmo negativo. As partículas sólidas lançadas no escoamento assumem a função de um traçador, ou seja, de uma substância que se move com a mesma velocidade do fluido em seu entorno. A trajetória pertence a uma partícula, que é acompanhada no decorrer do tempo ao se deslocar pelo escoamento. Por isso se diz que a trajetória é um conceito Lagrangeano de descrição do escoamento. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 25 2.2 Velocidade e Aceleração de uma Partícula Fluida _____ Velocidade de uma Partícula (Lagrange) O movimento de uma partícula de fluido em um escoamento, pela abordagem Lagrangeana, é analisado de forma idêntica a um ponto material com uma trajetória curvilínea. Imagine um ponto movendo-se entre P1 e P2 num plano x – y (Figura 2.2). P2 P1 x y ∆ s j i s 2 s1 Figura 2.2: Vetor posição e vetor deslocamento entre dois pontos O vetor posição é s em relação à origem. Em P1: → → → + = j y i x s 1 1 1 2.1 No ponto P2 o vetor posição após o deslocamento pode ser escrito como   s s + ∆ , onde ∆s é o vetor deslocamento. Se o deslocamento ∆s ocorrer num intervalo de tempo ∆t, a velocidade média durante o deslocamento é   V s t média = ∆ / ∆ . Sua direção é a mesma do deslocamento ∆s sobre a corda P1P2. A velocidade instantânea é calculada tomando-se intervalos de tempo cada vez mais curtos. Com isso, o comprimento da corda tende a zero, e a direção tende para a tangente à curva da trajetória em P1. P 1 P P P 4 3 2 ∆ s ( t1) ∆ ∆s ( t2) ∆ s ( t3) ∆ ∆ P 1 P 4 3 P P2 V V V V Figura 2.3: Velocidade instantânea como limite das velocidades médias Na Figura 3.3 observamos que, a velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória, e é dada pelo limite:     V s t ds dt ds dt e t s = = = ∆ → ∆ 0 ∆ lim 2.2 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 26 O modulo do vetor é a velocidade escalar da particula, ds/dt, e a diregao é dada pelo versor tangente a trajetoria. A velocidade pode também ser calculada em coordenadas cartesianas, a partir das projegdes sobre os eixos x e y. Enquanto o deslocamento se da entre P; e Po as componentes do deslocamento As movem-se entre x; e x2 e entre y; e yo. Ax dx VX médio =—_ > V.. =—_ _ At dt ~ ds - + Va=—=V,i+Vy Jj 2.3 v Ay v dy dt eye = — > = — Y médio At y dt A velocidade ao longo da trajetéria 6 a soma vetorial das componentes em x e y, e é sempre tangente a trajetoria. O método Lagrangeano é a base empregada nas técnicas de medi¢gao de campos de escoamento por imagem de particulas marcadas por tragadores, chamadas de PIV (Particle Image Velocimetry). Na medigao com PIV, técnicas de computacao grafica sao usadas para superpor duas imagens separadas por um intervalo de tempo At. Na imagem superposta, técnicas de correlacao estatistica sao empregadas para identificar cada particula na posi¢ao original com sua imagem deslocada, 0 que permite determinar os deslocamentos Ax e Ay e, portanto, a velocidade da particula, com as equacgdes 2.3. Com o crescimento da Ccapacidade dos computadores, a PIV tem sido muito utilizada atualmente. Tambeém se usa a notacao u = V, ; v = V, e w = V, para os componentes do vetor velocidade. Com esta nota¢gao a velocidade num escoamento tridimensional seria expressa por: V =uit+vj+wk Em termos fisicos, a descrigao Lagrangeana da velocidade de uma dada particula precisa acompanhar a particula. Assim, na fungao V(x, y,z,t) que descreve a velocidade de cada particula, as ordenadas x, y e z nao sao fixas. Por exemplo, a velocidade de uma particula fluida, originalmente na posi¢ao Xo, Yo, Zo no instante to, € expressa pelas fungdes abaixo: u= k= f[x(t),y@©, 2), ¢], v= Vy =aglx(t), ye), 2(0), ¢), w= V, = h[x(t), y(t), 2(0), ¢] Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 27 _____ Aceleração de uma Partícula (Lagrange) A abordagem Lagrangeana permite calcular facilmente a aceleração de uma partícula de fluido em um determinado ponto de sua trajetória ao longo do escoamento. Quando o vetor velocidade tem sua direção constantemente mudada ao longo de uma trajetória curva, existe uma aceleração mesmo que o módulo da velocidade seja constante. Pensando no movimento das componentes x e y, vemos que são movimentos retilíneos acelerados, cuja soma vetorial compõe o movimento ao longo da curva. Deste modo a aceleração pode ser calculada a partir das componentes em x e y. a d dtV x x = ; a d dtV y y = 2.4       a dV dt a i a j d dtV i d dtV j x y x y = = + = + 2.5     a dV dt d dt V i V j x y = = + 2.6 _____ Coordenadas Intrínsecas Usando o sistema de coordenadas intrínsecas a aceleração da partícula terá as componentes tangencial e normal à trajetória, mostradas na Figura 2.4: n e es s 𝑎⃗ = 𝑎𝑠𝑒⃗𝑠 + 𝑎𝑛𝑒⃗𝑛 Figura 2.4: Sistema de coordenadas intrínsecas _____ Aceleração Tangencial s s V V t V lim a s s t s ∆ ∂ ∂ = ∆ ∆ ∆ = ∆ → 0 2 2 0 0 2 1 lim lim s V a s V V t s s V t V a s t s t s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∴ ∆ → ∆ → 2.7 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 28 _____ Aceleração Normal A Figura 2.5 mostra o deslocamento de uma partícula entre P e P', com velocidade constante em módulo, numa trajetória curva com raio r: r P P V V , , V V ∆ V ∆ s r r θ θ , θ Figura 2.5: Aceleração normal numa trajetória circular A variação de velocidade entre P e P' é dada por ∆    V V V = − ,. Por semelhança de triângulos, temos que: ∆ ∆ V V s r = ∆s é o comprimento da corda PP', que é aproximadamente igual ao arco de circunferência entre P e P'. Este comprimento é percorrido pelo ponto em um intervalo ∆t, ou seja, PP V t ' = ∆ : ∆ ∆ ∆ ∆ V V V t r V t V r ≈ ⇒ = 2 A relação torna-se exata no limite, quando ∆t → 0 e θ → 0. Nessas condições temos a aceleração normal instantânea. a V t V r n t = = ∆ → ∆ ∆ 0 2 lim A direção e o sentido são os mesmos de ∆V, ou seja, segundo o raio da curva, no sentido da circunferência para o centro:   a V r e n n = − 2 2.8 O versor normal aponta sempre para fora da curva, o que explica o sinal negativo. A aceleração é sempre dirigida em direção ao centro, portanto em sentido contrário ao versor. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 29 2.3 Linha de Corrente - Um Novo Ponto De Vista Até aqui consideramos uma partícula de fluido, acompanhando seu deslocamento ao longo do tempo. Entretanto, em muitas análises de escoamentos interessa descrever o movimento a partir da observação de um ponto fixo no espaço, em uma seção de interesse. Em oposição ao método de Euler, no item 2.1 consideramos uma partícula fluida, acompanhando-a no espaço, em seu movimento ao longo do tempo, definindo o conceito de trajetória. Se considerarmos um ponto do escoamento e tentarmos descrever as velocidades de todas as partículas do escoamento que passam pelo ponto especificado (abordagem Euleriana), teremos uma descrição diferente das velocidades. Não podemos nos valer da trajetória, pois não estamos mais acompanhando as partículas e cada partícula que sucessivamente passa pelo ponto de interesse pode ter uma trajetória diferente. Para desenvolver o equacionamento Euleriano, portanto, é necessário usar o conceito de Linhas de Corrente _____ Linhas de Corrente Uma representação dos escoamentos pode ser obtida quando se traçam linhas contínuas que são, em cada ponto, tangentes ao vetor velocidade. Essas linhas são chamadas de Linhas de Corrente. Podem ser obtidas por meio de uma fotografia do escoamento, onde se lançou um grande número de partículas visíveis. Com um tempo de exposição apropriado, cada partícula deixará no negativo um segmento correspondente ao caminho percorrido durante o tempo de exposição, conforme demonstra o esquema da Figura 2.6. A análise do escoamento a partir de um ponto fixo no espaço é denominada Análise Euleriana, ou método de Euler (1707-1783). O ponto de vista que considera uma partícula é chamado de Análise Lagrangeana, ou método de Lagrange (1736-1813). Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 30 Linha de Corrente: une pontos na direção trajetória de uma posição no início posição no final partícula marcada V V é tangente ao traço tangente a V do intervalo do intervalo Figura 2.6: Esquema mostrando a técnica de traçado de linhas de corrente É importante observar que as linhas de corrente descrevem simultaneamente a direção instantânea de muitas partículas. A Linha de Corrente pertence ao escoamento, ou seja, descreve as direções do campo de velocidades num dado instante, ao passo que as trajetórias pertencem a uma determinada partícula ao longo do tempo. A Figura 2.7 mostra um exemplo real de visualização num escoamento bidimensional ao redor de um perfil de asa. Nesse caso a água foi marcada com partículas de pó de alumínio, deixando os traços brancos que se pode ver na fotografia. Com esse apoio pode- se traçar facilmente as linhas de corrente do escoamento. Mais exemplos dessa técnica podem ser vistos no Rui Vieira, cap. 1 vol.2, Cinemática. Figura 2.7: Exemplo de visualização de escoamento para traçar linhas de corrente. Fonte Rui Vieira. Para não esquecer Linhas de corrente (Euler): exposição única da foto, muitas partículas Trajetória (Lagrange): uma partícula, múltiplas exposições do mesmo negativo Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 31 Como a Linha de Corrente é tangente aos vetores de velocidade de todas as partículas que definem seu traçado, não há escoamento de fluido através de uma Linha de Corrente. Uma partícula que se move ao longo de uma Linha de Corrente, em qualquer tempo, tem um deslocamento ∆s com componentes ∆x, ∆y e ∆z, cuja direção é a mesma do vetor velocidade V. Assim, temos: Δ𝑥 = 𝑉𝑥 Δ𝑡 ; Δ𝑦 = 𝑉𝑦 Δ𝑡 ; Δ𝑧 = 𝑉𝑧 Δ𝑡 Δ𝑡 = Δ𝑥 𝑉𝑥 = Δ𝑦 𝑉𝑦 = Δ𝑧 𝑉𝑧 No limite para dt → 0, obtém-se a equação da Linha de Corrente: 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑑𝑧 𝑤 2.9 2.4 Velocidade e Aceleração em um Ponto (Análise Euleriana) Vamos considerar uma Linha de Corrente e as partículas que passam por um ponto P de um escoamento com velocidade variável no tempo e no espaço. Imagine, por exemplo as linhas de corrente no interior de um tubo curvo que drena um reservatório de água. Com a diminuição do nível na caixa, a velocidade diminui em cada ponto, e, ao passar pela curva, cada partícula sofre uma aceleração que muda a direção de sua velocidade. Essa situação é esquematizada na Figura 2.8. Figura 2.8: Variações da velocidade num escoamento não permanente numa curva de tubulação. P Q L.C. P Q L.C. VQ (t+ t) ∆ VP (t+ t) ∆ VP ( t ) VQ ( t ) (a) - tempo t (b) - tempo t + ∆ t Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 32 _____ Aceleração Local: Ao medirmos a velocidade VP num ponto P em dois intervalos de tempo , podemos verificar uma variação, conforme o esquema vetorial da Figura 2.9. Figura 2.9: Variação local da velocidade: mesmo ponto, dois instantes de tempo. A taxa de variação da velocidade com o tempo em um dado ponto Portanto, a aceleração local é dada por do escoamento é chamada de Aceleração Local. Corresponde a uma aceleração, das partículas que passam pelo ponto P, que ocorre no decorrer do tempo. aLocal = 0 lim ∆t→ VP(t+∆t)− VP(t) ∆t = ∂V ∂t 2.10 sendo V(P, t) e V(P, t + ∆t) a velocidade de duas partículas que passam pelo ponto P nos dois instantes de tempo considerados. O limite corresponde à derivada da velocidade em relação ao tempo. Foi usado o símbolo de derivada parcial em 2.10 porque a velocidade depende também da localização no espaço. _____ Aceleração Convectiva: Podemos também observar dois pontos diferentes no mesmo instante de tempo , como os pontos P e Q da Figura 2.8 e verificarmos que suas velocidades VP e Vq são diferentes, seja em módulo ou direção ou em ambos, conforme o esquema vetorial da Figura 2.10. Figura 2.10: Variação convectiva da velocidade: dois pontos no mesmo instante de tempo. O esquema vetorial mostra que as partículas do escoamento estão sofrendo uma variação se deslocarem ∆s no espaço entre os pontos P e Q. A taxa de variação no tempo sentida pela partícula ao se deslocar no espaço é chamada de Aceleração Convectiva. A variação da velocidade no espaço é dada por: VP (t+ t) ∆ - VP ( t ) V ∆ Variação Local ( no ponto P) t V a t Local ∆ ∆ ∆ 0 lim → = ∆V VP ( t ) VQ ( t ) Variação Convectiva (entre ponto P e Q) Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 33 AVconvectiva = Vg (t) — Vp(t) A particula sofre esta variagao de velocidade no tempo que levou para percorrer a distancia As entre os pontos P e Q com velocidade V, ou seja, At = As/V: Portanto, a aceleragao convectiva é dada por 4 = jim YoO=VeO _ Jim Vol Ve(t) 2414 Convectiva ~ 4/59 At ~~ At>0 As/V . No limite quando At tende a zero 0 deslocamento também fica infinitesimal, ou seja, As—0, e a equacao 2.11 fica: Vo(t)— Vp(t) av Aconvectiva = v im ( As ) =V as 2.12 Em que dispensamos a identificagao do ponto porque os pontos P e Q coincidem no limite. E interessante observar que a velocidade com que a particula se desloca entre os dois pontos influencia na aceleragao que a particula sofre. Mesmo que exista uma grande diferengca de velocidade entre os dois pontos, se a particula demorar muito tempo no deslocamento a aceleragao convectiva sera pequena. Aceleracao Total: Derivada Substantiva Uma particula de fluido no escoamento sente simultaneamente as duas aceleragoes. Assim, a aceleragao da particula, medida com variaveis com variaveis Eulerianas, 6 dada por: A= Azocal + Aconvectiva av av a= > + V Ds 2.13 Para tornar clara a distingao entre o uso de variaveis Lagrangeanas e Eulerianas, usa-se definir a aceleragao com o operador que chamamos de derivada substantiva, definido a seguir: DV OV OV — = — 4+ V— 2.14 Dt ot Os Em que a notacao DV/Dt indica que a derivada é uma operacao a ser efetuada com as velocidades de uma determinada particula da substancia em escoamento, ou seja, variaveis Lagrangeanas. O segundo membro da equacao 2.14 é, conforme deduzimos, a mesma quantidade (aceleragao sentida pela particula) definida com as variaveis Eulerianas (velocidades medidas em pontos definidos do espag¢o). Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 34 Aceleracdo de uma particula Euler a= —+4+V— Ot Os Lagrange t Local tL Convectiva O resultado da equacao 2.15 pode ser deduzido também a partir das regras do calculo de fungdes de varias variaveis, pois V =f (s, t), sendo s a coordenada intrinseca que define a trajetoria. Assim, segundo o calculo: OV OV OV OV AV =——-At+——-A limi dV =——dt + -d. 2.15 V Ai t Ds Ss no limite, Ai Ds S A aceleragao fica entao: OV dt OV ds OV OV “ Ot dt Os dt Ot Os Uma apresentacao alternativa de 2.13 ou 2.16 é a seguinte: OV 8, Vv? = 2 4% (__ 2.17 a= ot as‘ 7? Aceleragao de uma Particula em Coordenadas Cartesianas A extensao da equacao 2.16 para o caso da velocidade descrita pelas ordenadas do sistema cartesiano é direta. Uma particula de fluido num escoamento tridimensional tem sua velocidade descrita em termos das componentes cartesianas conforme segue: V =ui+ vj + wk 2.18 Sendo a velocidade uma fungao de x, y, Zz e do tempo, a derivada total é dada por: DV OV. AV dx , aVdy , AV dz Dt at} ax dt’ dy dt’ dz dt 2.19 Sendo dx/dt = u; dy/dt = v e dz/dt = w, as componentes da velocidade da particula. Com isso a eq. 2.19 fica: > DV_ av av av av a= —= —+u—-4+V—-4+W — 2.20 Dt ot Ox Oy Oz Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 35 A equagao 2.20 corresponde no sistema cartesiano a equacao 2.16 no sistema intrinseco de coordenadas, para o caso de escoamento tridimensional. A aceleragao pode ser descrita de forma mais compacta, usando a notagao do operador gradiente para descrever as derivadas espaciais, Sy ve av av = —1 — — ax ay!” Oz Vemos que o termo convectivo pode ser escrito como V.VV = (ui+ vj +wk) Vs i+ vj t+ gM a ( i+ vj +wk) av VV =(ul+vuy+wk) tit (u+vy+wk)—yt+ (Cult+ vuy+wk) — J ax J ay? J az Os versores perpendiculares se anulam no produto escalar, restando: 7 ae av 1. av 1. av . =u =+v=—+w— Ox Oy 0z Assim, em notagao vetorial a equacgao 2.20 fica: DV WwW. 2=eses a= —= —+4+V.VV 2.21 Dt ot As trés equagoes escalares correspondentes a equacao 2.20, ou a sua forma compacta, equa¢ao 2.21, sao dadas por: a+ ( Ou, Qu, ~) ay = = uat+v>—-+w— ~ at ax dy dz a+ ( Ou, Qu, ~) ay = = uat+v>—-+w— ~ at ax dy dz a+ ( Ou, Ou, ~) ay = = uat+v>—-+w— ~ at ax dy dz 2.22 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 36 EXEMPLO 2.1: O escoamento permanente de agua através de um bocal convergente, conforme mostrado na Figura 2.11, pode ser descrito pela abordagem unidimensional com uma velocidade média que varia em fungao de x, u(x). | ri, 5 u=31h, Se —— ea ] | = bie : x=L x=0 Figura 2.11: Bocal convergente com variacao linear da velocidade. Supondo que a velocidade varie linearmente entre Vo e 3Vo ao longo do bocal com comprimento L, pede-se: a) calcule a aceleragao como fungao de x; b) sendo Vp = 3 m/s e L = im, calcule a aceleragao na entrada e na saida do bocal. Solugao: O problema é unidimensional na diregdo x: V= Yi =ut Com as condigdes de contorno do problema, a velocidade é dada por: 2x u(x) = Vo (1 + ?? Portanto, du 2Va ax so’ Item a) Usando a equagao 2.18: du 1 du 2V¢ (1 1 **) a= — +u>=— — Ot Ox L L Item b) Substituindo os valores numéricos: Na entrada, x = 0, 2 x 3? (14 2x0) 18 m/s? a = —— —]= m/s 1 1 Na saida, x = 1m, 2x 9° 2x1 5 a = —— (1+ ——) = 486 m/s 1 1 A aceleragao equivale a 1,8g na entrada do bocal, atingindo cerca de 50 vezes a aceleragao da gravidade na saida do bocal. Este exemplo mostra que esforcos dinamicos elevados podem se desenvolver no interior dos escoamentos, mesmo em regime permanente. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 37 EXEMPLO 2.2: Encontre a aceleragao de uma particula no campo Euleriano de velocidade dado por: Vix,y,z,t) = 3tt+ XZJ + ty2k Solugao: Sera aplicada a equagao 2.22. Inicialmente, identificamos os componentes: U = 3t ; v= xXZe@W= ty’. Calculamos agora as derivadas parciais necessarias Ono, oF , WV 5s . Ww _ > OW. ap a ET k ; may 2tyk ; ap Xd Aplicando as derivadas conforme a equagao 2.22: G= 31+ y*k+(3t)zjt+ (xz)2tyk + (ty*)xj Colocando os termos juntos: G= 314+ (3tz+ty?x)J+( y? + 2xzyt)k EXEMPLO 2.3: Um escoamento permanente bidimensional ocorre no plano xz, sendox >0,z>0eA uma constante, com a velocidade dada por: V(x,z) = —Axi+ Azk Determine a equacao das Linhas de Corrente e a aceleragao das particulas. Solucao: Sera aplicada a equagao 2.9. Sendo aze dx o espacamento entre dois pontos da L.C, temos: dx dz dz w Az Z —_—_— = lc — — TC Ce Trl er TC u Ww dx wu -—Ax X dz dx | dz | dx _— = Ce - —_—-— SC l — Z x Z x In (z) = —In(x) + C’ Fazendo a substituigao: In C = C’ In(z) = In(C/x) > zx=C Observa-se que as L.C. formam uma familia de hipérboles, cujo aspecto € mostrado na figura a seguir: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 38 Figura 2.12: Linhas de Corrente de escoamento nas proximidades de um canto. Fica para o leitor demonstrar as acelerações: ax = A2x ; az = A2z. _____ Taxa de variação de outras grandezas O conceito de variação local e convectiva surge sempre que precisarmos avaliar taxas de variação no tempo de uma grandeza qualquer usando informações Eulerianas. A Figura 2.13 ilustra o caso com a temperatura sentida pelos ocupantes de um carro durante uma viagem de Ilha Solteira para São Carlos. A informação Euleriana disponível é a variação local das temperaturas medidas nas duas cidades. Qual é a taxa de variação média no tempo, sentida pelos ocupantes do carro, que viaja com janelas abertas? Figura 2.13: Ilustração de cálculo de taxa de variação Lagrangeana com variáveis Eulerianas. A taxa de variação média (Lagrangeana) é dada por: 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 C = 1 C = 2 C = 3 C = 4 17 18 19 20 21 22 23 30 25 20 15 10 Temperatura em ISA (°C) t (h) 17 18 19 20 21 22 23 30 25 20 15 10 Temperatura em S.Carlos (°C) t (h) Ilha Solteira São Carlos t = 17h s = 0 km T = 30 °C t = 23h s = 420 km T = 10 °C Variáveis Eulerianas Taxa de variação da temperatura no carro = ? Variável Lagrangeana Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 39 DT _ 10-30 _ =20°C _ 3 3300 sp Di 23-17 ~ 6h 33 / A taxa de variagao local em ISA é dada por: oT 20-30 -—10°C dt 23-17 #6h A velocidade média do carro é 420 V= 6 = 72km/h A taxa de variagao convectiva da temperatura é dada por: OT km\ 25 — 30 C — 10°C ¥ 55> 7 (G) a0 Cia) = em Os h 420 km 6h Portanto, também no campo de temperaturas do exemplo, a Variagao Lagrangeana (-20°C/6h) = Local (-10°C/6h) mais a Convectiva (-10°C/6h). 2.5 Linha de Emissao e Linha de Tempo Linha de Emissao Se injetarmos continuamente um corante num determinado ponto do escoamento, obteremos ao fim de algum tempo uma figura chamada de Linha de Emissao. A Figura 2.14 apresenta duas fotografias obtidas no tunel hidrodinamico do DEM- FEIS/UNESP, contendo vortices que se formam a jusante de obstaculos nos escoamentos. A seta mostra 0 sentido do escoamento. ponto de emissao do corante ie P iliac aaaal - (a) H Po %; PRE oe Be: ons . : sept eS we a oo ae — Eres . ee ee Figura 2.14: Linhas de emissao de ponto a jusante de cilindro. Fotos: cortesia do Prof. Edson Del Rio. Todas as particulas marcadas com o corante passaram em instantes anteriores pelo ponto de injegao do corante. Portanto, 0 conjunto de vortices constitui a linha de emissao do ponto de injegao do corante, identificado na foto (a) pelo ponto branco. Uma linha de emissao é o lugar geométrico ocupado pelas particulas que passaram por um dado ponto do escoamento em instantes anteriores. Cada ponto do escoamento Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 40 pode ter uma linha de emissão diferente, e como a linha de emissão é uma representação instantânea, pode variar ao longo do tempo. A forma mais comum de linhas de emissão que observamos no dia a dia é proporcionada pelas chaminés de fábricas.Os diferentes padrões de escoamento identificados pelos vórtices das fotos (a) e (b) ocorrem devido à variação da velocidade do fluido. O mesmo tipo de estrutura (vórtices a jusante de um cilindro) pode ser visualizado por meio das linhas de corrente, conforme o exemplo da Figura 2.15. No caso da figura foi utilizada a técnica do pó de alumínio, obtendo-se a foto com tempo de exposição suficientemente longo para que as trajetórias apareçam como traços brancos. Figura 2.15: Vórtices observados pelas linhas de corrente. Obtida de VIEIRA, R.C.C.S. Você pode observar também com facilidade as linhas de emissão de um bocal de mangueira de jardim. Movimente a mão de forma ritmada em um percurso fixo, e divirta-se com os desenhos que o jato forma no ar. Esses desenhos nada mais são que as linhas de emissão do bocal da mangueira em movimento. Observe como a trajetória de cada gota de água em particular é completamente diferente da linha de emissão. A Figura 2.16 mostra um esquema das linhas de emissão que podem ser obtidas com esse simples experimento. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 41 Trajetória de uma partícula t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 v Oscilação do bocal Trajetória Trajetória Trajetória Linha de Emissão Posições em tempos anteriores Figura 2.16: Exemplo esquemático de Linha de Emissão de um bocal oscilante. A linha de emissão foi desenhada na Figura 2.16 unindo a posição de diferentes partículas num mesmo instante. As trajetórias extremas e a central são apresentadas em tracejado e em pontilhado os espaços percorridos pelas partículas a cada ¼ de ciclo do bocal. Se a frequência do movimento de oscilação variar as linhas de emissão resultantes descreverão curvas mais abruptas (para aumento da frequência) ou mais suaves (para diminuição da frequência de oscilação). _____ Linha de Tempo A Linha de Tempo é individualizada marcando-se num determinado instante as partículas alinhadas segundo algum critério de interesse. Diversas linhas de tempo podem ser obtidas fotografando-se o escoamento ao longo do tempo. A Figura 2.17 mostra exemplos de duas linhas de tempo, marcadas com (b) e (c), obtidas com injeção de bolhas de hidrogênio na linha (a). (a) (b) (c) Figura 2.17: Exemplo de linhas de tempo construídas com injeção de bolhas de hidrogênio Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 42 A Figura 2.17 mostra como linhas de tempo marcadas pelo método de bolhas de hidrogênio podem ser usadas para determinar a diferença de velocidades num escoamento. As bolhas são geradas por eletrólise da água que ocorre no contato com um fio submetido a uma corrente polarizada. As bolhas de hidrogênio são carreadas pelo escoamento, servindo como traçador. Observa-se na linha (a) o lugar onde inicialmente as partículas foram marcadas. A corrente elétrica foi fornecida durante um intervalo de tempo conhecido, gerando muitas linhas de tempo que foram carreadas pelo escoamento. A foto só permite visualizar com clareza a primeira linha de tempo (c), marcada no início do pulso de corrente, e a última (b), que recebeu as bolhas em (a) no final do pulso de corrente. 2.6 Perfis de Velocidade A representação gráfica em escala das velocidades ao longo de uma linha perpendicular à direção da velocidade dá origem a um perfil. Um perfil pode ser obtido experimentalmente, ou calculado por meio de equações do escoamento. A técnica utilizada para determinar experimentalmente um perfil depende da escala e do tipo de escoamento. Uma experiência simples consiste em medir o perfil de velocidades do ar próximo à superfície da terra. Nesse caso as velocidades podem ser medidas com anemômetros de conchas. Um resultado possível desse experimento é representado na Figura 2.18 (a). Figura 2.18: Exemplos de perfis verticais de velocidade. Existem escoamentos em que a velocidade varia segundo duas direções, como por exemplo em um rio. As velocidades são menores perto das margens, aumentando em direção ao centro do rio. Além disso, considerando um determinado ponto do rio, a velocidade varia na direção vertical, conforme a Figura 2.18 (b). É menor junto ao fundo, atinge um máximo em algum ponto intermediário e depois decresce ligeiramente até a Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 43 superfície (veja figura). As velocidades em rios e canais são medidas com um equipamento semelhante ao anemômetro de conchas, chamado molinete fluviométrico. Escoamentos em escala menor são medidos com outras técnicas. Como exemplo, podemos medir as velocidades do ar no interior de dutos utilizando a anemometria de fio quente. 2.7 Classificação dos Escoamentos _____ Escoamentos Unidimensionais, Bidimensionais e Tridimensionais. Em algumas situações, como no caso de tubos com escoamento em altas velocidades, o perfil de velocidades é praticamente constante, podendo ser desprezadas as variações na seção para fins práticos. Nessas condições o escoamento é determinado apenas pela velocidade média na seção do escoamento, originando os chamados escoamentos unidimensionais, ou 1D. Num escoamento 1-D basta saber a ordenada da seção para determinarmos a velocidade no ponto desejado. Observando os diversos exemplos de escoamento que nos rodeiam, podemos verificar que em alguns deles, devido a condições de simetria, basta apenas um perfil de velocidades para descrever o escoamento. Esse é o caso do escoamento a baixas velocidades em dutos circulares, e do escoamento do ar sobre a superfície plana da Terra. Não importa ao longo de qual linha foram obtidas as velocidades, os perfis resultantes serão idênticos. Esses escoamentos são chamados bidimensionais ou 2-D. Para determinar a velocidade num escoamento 2-D precisamos conhecer duas coordenadas do ponto desejado. No caso de um rio o escoamento não fica totalmente determinado apenas com um perfil vertical, pois os perfis variam conforme a distância da margem. Esses casos definem os escoamentos tridimensionais, ou 3-D. Para determinar a velocidade num escoamento 3-D é necessário saber as coordenadas x, y e z do ponto desejado. _____ Outras Classificações dos Escoamentos Aprendemos que quando o critério de análise dos escoamentos é o número de variáveis necessárias à descrição do campo de velocidades obtemos sua classificação em uni, bi e tridimensionais. Outros critérios podem ser utilizados. Massa específica Utilizando a massa específica, podemos dividir os escoamentos em compressíveis, quando a massa específica varia de uma seção para outra ou incompressíveis, quando permanece constante. Observe que a classificação pertence ao escoamento, e não ao fluido: um mesmo fluido pode participar de escoamentos compressíveis e incompressíveis, dependendo dos gradientes de pressão observados. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 44 Quando a massa específica varia em uma mesma seção do escoamento temos os chamados escoamentos estratificados, em oposição aos não estratificados, em que a massa específica é constante na seção. Tempo Quando o critério de classificação é o tempo, devemos escolher uma dada seção do escoamento e observar o que ocorre. Se as grandezas não variarem temos um escoamento permanente, em oposição aos não-permanentes, também chamados de transientes. Comparação entre seções Num dado instante de tempo podemos considerar o comportamento de uma grandeza em duas seções. O mais comum é utilizarmos a velocidade para esta análise, dando origem a duas situações: escoamento uniforme, quando não há variação de módulo, direção e sentido da velocidade, e não uniforme ou variado quando ocorre o oposto. Comportamento dinâmico Divide os escoamentos entre Laminares e Turbulentos. Pela sua importância na análise dos escoamentos a divisão entre laminares e turbulentos é abordada com mais detalhe a seguir. _____ Escoamentos Laminares e Turbulentos O comportamento dinâmico dos escoamentos é caracterizado pelas perturbações introduzidas pelas forças de inércia e pelas forças viscosas que se opõem às perturbações. Os escoamentos laminares ocorrem nas situações em que as forças viscosas são maiores que qualquer força de inércia que aparece tentando tirar as partículas do alinhamento. Nesses escoamentos os fluidos escoam em camadas perfeitamente definidas, como lâminas superpostas, e com velocidades também perfeitamente definidas. A Figura 2.19 mostra um esquema de duas linhas de emissão em escoamento laminar. As linhas nunca se cruzam, pois o fluido escoa como se fossem lâminas deslizando umas sobre as outras. Devido a essa característica ordenada, no escoamento laminar só há difusão de quantidade de movimento a nível molecular entre as camadas adjacentes de fluido. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 45 Figura 2.19: Esquema de linhas de emissão em escoamento laminar. Quando aumenta a velocidade as forças de inércia começam a aumentar em relação às forças de inércia, e o escoamento passa por uma fase de transição, começando a ficar cada vez mais desordenado, até chegar ao escoamento turbulento. A fase de transição é ilustrada pelas linhas de emissão da Figura 2.19-b. Quando as forças de inércia são grandes em relação às forças provocadas pela viscosidade os escoamentos apresentam um comportamento desordenado, com mistura de quantidades macroscópicas de fluido na direção transversal à velocidade média. Nesses escoamentos a velocidade instantânea apresenta flutuações aleatórias em torno de um valor médio, e são chamados de escoamentos turbulentos. A estrutura dos vórtices em um escoamento turbulento pode ser visualizada pela linha de emissão da Figura 2.20. Foi injetado traçador líquido num escoamento turbulento em um canalete de laboratório, por meio de uma agulha, observando-se a mistura na direção transversal ao escoamento provocada pela turbulência. Figura 2.20: Detalhe de uma linha de emissão em escoamento turbulento de água em canal. Linhas de Emissão não se misturam Agulhas injetando corante V Agulhas injetando corante Linhas de Emissão paralelas V a) Escoamento Laminar em baixas velocidades b) Escoamento Laminar aproximando-se da transição p/ turbulento Ponto de Injeção Velocidade Média Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 46 A principal característica dos escoamentos turbulentos é a maior capacidade de misturar as grandezas, devido ao movimento macroscópico provocado pelos vórtices. A movimentação dos vórtices é equacionada como uma flutuação de velocidade aleatória, e de média nula, que se superpõe à velocidade média. 𝑉 = 𝑉 + 𝑣′ _____ Outras Grandezas que descrevem os escoamentos Outras grandezas são necessárias para caracterizar completamente um escoamento, e sua enumeração depende do tipo de problema. Considerando o escoamento de um fluido sem misturas e isotérmico, as outras grandezas necessárias são a pressão, a massa específica e a cota geométrica, que definem, conjuntamente com a velocidade, a energia mecânica total. No caso de um escoamento destinado a resfriar uma determinada peça ou equipamento, a temperatura passa a ser importante também. Em escoamentos que envolvem misturas de substâncias, é necessário acrescentar a concentração para descrever completamente o problema. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 47 CAPÍTULO 3: CONSERVAÇÃO DE GRANDEZAS Equação da Continuidade Aplicaremos aqui o conceito familiar de conservação de massa, discutindo como sua aplicação em fenômenos de transporte é possível na análise Euleriana, ou seja, usando volumes de controle e não um sistema. Um caso prático interessante é a operação de reservatórios de geração de energia. É necessário manter um contínuo controle do volume represado, para enfrentar as épocas sem chuvas, controlar as cheias e obter um rendimento ótimo de turbinas. 3.1 Conservação da Massa A região escolhida para a análise é chamada de Volume de Controle. Um Volume de Controle é uma porção definida do espaço onde se dá o escoamento, com quantidade de massa que pode variar, conforme a Figura 3.1: Figura 3.1: Fluxos de massa num volume de controle. Podemos dizer, para um determinado intervalo de tempo ∆t: m INICIAL + m ENTRA – m SAI = m FINAL m FINAL – m INICIAL = ∆m = m ENTRA – m SAI 3.1 A equação 1.1 está ligada a um intervalo de tempo ∆t. Como os escoamentos são contínuos, é mais conveniente escrever as taxas médias no intervalo de tempo, dividindo a equação 3.1 por ∆t: t m t m t m S E = ∆ − ∆ ∆ ∆ Os termos do segundo membro são Fluxos de Massa médios no intervalo ∆t. Qs Qe s F e F t m M M − ρ = ρ − = ∆ ∆ 3.2 A equação 3.2 é exata quando as vazões não variam no tempo ∆t ou quando são usados os valores médios no intervalo de tempo. No caso de fluxos variáveis, é necessário usar um valor instantâneo, obtido pelo limite da variação da massa quando ∆t tende a zero. Fe Fs ∆ m Ae As Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 48 s F e F dt dm M M − = 3.3 A equação 3.3 diz que “A taxa instantânea de variação da massa é igual ao saldo dos fluxos de entrada e saída” _____ balanço de volumes No exemplo da usina hidrelétrica e em muitos casos da prática a massa específica não varia. Esse é o caso dos chamados escoamentos incompressíveis. Para ρ constante, o balanço de massas fica equivalente a um balanço de volumes: s e Q Q t Vol t m − ρ = ρ ∆ = ρ∆ ∆ ∆ 3.4 s e Q Q t Vol − = ∆ ∆ 3.5 A equação 3.5 diz que “A taxa média de variação do volume é igual à diferença de vazões de entrada e saída” _____ fluxos variáveis no tempo Quando a vazão varia no tempo, pode-se usar o mesmo raciocínio, mas escrevendo a fórmula com valores instantâneos. s e Q Q dt dVol − = 3.6 Nesse caso, cada pequeno intervalo diferencial de tempo dt traz uma variação diferencial no volume dVol. A variação total num dado tempo finito é o somatório das variações diferenciais ao longo do intervalo de tempo considerado. Analiticamente, isto se consegue pela integração da equação diferencial da equação 3.6: dVol = (Qe − Qs)dt ∫ ∫ − = = t t s e t t TOTAL dt Q Q dVol Vol 0 0 ) ( ∆ 3.7 _____ aproximação numérica A integral da equação 3.7 muitas vezes não tem solução analítica. Para casos em que a solução analítica não existe ou é inconveniente, pode-se chegar ao resultado por aproximação numérica. Para isso divide-se o tempo total numa sucessão de intervalos de tempo finitos ∆t, no qual as vazões são consideradas constantes. Obtemos então: ∑ ∑ − = + ∆ ∆ − = ∆ ≈ = ∆ ∆ n i S E n i i t n t t TOTAL t Q Q Vol Vol Vol 1 1 ) ( 0 0 3.8 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 49 É claro que a equação 3.8 possui um erro, pois as vazões variam continuamente. A aproximação torna-se mais fina à medida que decresce o intervalo de tempo considerado, ou seja, aumenta o limite n do somatório de parcelas finitas. A equação só é totalmente exata no limite para ∆t → 0. O limite da série infinita de somas é, como sabemos, equivalente à integral: ∫ ∑ =         ∞ ∆ = ∆ = → ∆ t t i i t TOTAL dVol Vol Vol 0 1 0 lim 3.9 Assim, como em vários casos da prática, a quantidade n de somas a ser efetivamente realizada depende dos objetivos do cálculo. Usualmente, quanto mais rápida a variação dos fluxos no tempo, menor deve ser o intervalo de tempo ∆t adotado. _____ balanço de massas Se for conveniente lidar com a massa, a equação 3.7 fica: ∫ − ∫ = t t t t s s e e TOTAL Q dt Q dt m 0 0 ρ ρ ∆ 3.10 O segundo membro foi dividido em duas parcelas porque num caso geral a massa específica pode variar. Já o caso da variação de volume só tem sentido em escoamento incompressível, e dividir ou não os termos de entrada e saída dos fluxos é apenas uma questão de conveniência e/ou clareza. EXEMPLO 3.1: Um reservatório prismático com área da base Ab = 10m2 possui um volume inicial de 20 m3 e recebe, durante 1 hora, uma vazão média de 10m3/h, fornecendo uma vazão média de 30m3/h. Com esses valores médios o reservatório fica completamente vazio após 1 hora. Determine a dinâmica da variação de nível no reservatório por meio de um gráfico do nivelo em função do tempo, para os casos seguintes. ___ Caso 1: vazões constantes Temos apenas um intervalo de tempo para aplicar a equação 3.5: ∆Vol = (10 – 30) ∆t = -20 ∆t, e a variação do nível é linear, conforme os gráficos. Q(m3/h) 10 20 30 QS QE 0 0,5 1,0 t (h) Nível (m) 1,0 2,0 3,0 0 0,5 1,0 t (h) Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 50 ___ Caso 2: vazão constante de entrada e saída de 60 m3/h durante a última meia hora: Neste caso temos dois intervalos de 0,5h, em que as vazões são constantes, nos quais podemos usar a equação 3.5: ∆Vol1 = (10 – 0) ∆t = 10(m3/h) G 0,5 h = + 5 m3 → Vol1 = Vol0 + ∆Vol1 = 25m3 ∆Vol2 = (10 – 60) ∆t = -50(m3/h) G 0,5 h = - 25 m3 → Vol2 = Vol1 + ∆Vol2 = 0m3 Usando a equação 3.5 em 2 intervalos de tempo consecutivos chegamos ao mesmo resultado final do caso 1 (reservatório vazio). Isto é lógico, uma vez que as vazões médias não variaram. Observamos que neste caso o nível aumentou durante o primeiro intervalo, como demonstra o gráfico a seguir. A equação 3.7 fornece a variação total nos dois intervalos de tempo, levando ao mesmo resultado final: ∆VolTOTAL = ∆Vol1 + ∆Vol2 = + 5 – 25 = - 20 m3 VolFINAL = VolINICIAL + ∆VolTOTAL = 20 – 20 = 0m3 Comentário Assim, para conhecer em detalhe a evolução dos níveis de água no reservatório, com vazões que variam continuamente, é necessário utilizar intervalos de tempo cada vez menores. No limite, chega-se à equação 3.9. O exemplo 3.2 mostra um caso prático da situação de vazões variáveis. : Os casos 1 e 2 ilustram que podemos chegar ao mesmo resultado final, mas com dinâmicas diferentes. Somente com a divisão em dois intervalos de tempo foi possível captar a variação real de nível no caso 2. EXEMPLO 3.2: Um reservatório prismático com área da base Ab = 10m2 recebe uma vazão constante de 10m3/h. A vazão de saída em m3/h é dada por Qs = 10H, sendo H a cota do nível da água em metros. Considerando que inicialmente a água está na cota Hi = 5,0m, Calcular o nível após decorrido 1 hora. Q(m3/h) 10 QS QE 0 0,5 1,0 t (h) Nível (m) 1,0 2,0 3,0 0 0,5 1,0 t (h) 60 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 51 |" =10 m3/h |). dVol= As dH H Q,; = 10H m3/h ——_—_>> Analise: como neste problema a vazao de saida varia continuamente, a solugao exata precisa partir do balanco instantaneo. A variagao total de volume sera encontrada pela integragao do balango instantaneo. Solucao: dVol 0 0 dVol 10 —10H ——_ = _ > — — dt ° . dt A equacao diferencial resultante nao pode ser integrada porque ha 3 variaveis (Vol, H e t). Usando a relagao entre volume e altura do nivel d’agua podemos reduzir a 2 variaveis: dVol = Ap dH A dH _ 49 10H 10 dH _ dt eat ” 0—10H Com as variaveis separadas podemos integrar [ 10dH | [ae ; 10-10H J, Fazendo a mudan¢a de variaveis: u=10-—10H ~+ du = -10dH u du_ fil _ 1 Ui —Jiao— = Jo dt —Inu|“49 = t lo —> In 5 = —1 u -1 — =e > u= —14,715 —40 10 —10H = -14,715 + |H=2,471m Resposta: ao final de 1 hora o nivel sera de 2,471m e 0 volume sera 24,71m’. EXEMPLO 3.3: Resolva o problema 3.2 utilizando método numérico aproximado (eq. 3.7) utilizando At de 6 minutos (0,1h). Analise: 0 método numérico considera que os fluxos se mantém constantes durante o intervalo. Evidentemente esta hipdtese contém um erro, ja que o fluxo de saida varia continuamente. Esta é a razao pela qual a solugao numérica contém erros, sendo apenas uma aproximagao da solucao. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 52 Para o primeiro intervalo de tempo (i = 1): Qs = 10 × 5 = 50m3/h ∆𝑉𝑜𝑙1 = (10 − 50) 0,1 = −4𝑚3 → Vol1 = 46m3 → H1 = 4,6m Segundo intervalo de tempo (i = 2) Qs,2 = 10 × 4,6 = 46m3/h ∆𝑉𝑜𝑙2 = (10 − 46) 0,1 = −3,6𝑚3 → Vol2 = 42,4m3 → H2 = 4,24m Resumindo para os demais intervalos: Qs,3 = 10 × 4,24 = 42,4m3/h ∆𝑉𝑜𝑙2 = (10 − 42,4) 0,1 = −3,24𝑚3 → Vol3 = 39,16m3 → H3 = 3,916m ∆𝑉𝑜𝑙3 = (10 − 39,16) 0,1 = −2,96𝑚3 → Vol4 = 36,2m3 → H4 = 3,620m ∆𝑉𝑜𝑙4 = (10 − 36,2) 0,1 = −2,62𝑚3 → Vol5 = 33,58m3 → H5 = 3,358m ∆𝑉𝑜𝑙5 = (10 − 33,58) 0,1 = −2,358𝑚3 → Vol6 = 31,222m3 → H6 = 3,1222m ∆𝑉𝑜𝑙6 = (10 − 31,222) 0,1 = −2,1222𝑚3 → Vol7 = 29,0998m3 → H7 = 2,91m ∆𝑉𝑜𝑙7 = (10 − 29,10) 0,1 = −1,91𝑚3 → Vol8 = 27,19m3 → H8 = 2,719m ∆𝑉𝑜𝑙8 = (10 − 27,19) 0,1 = −1,719𝑚3 → Vol9 = 25,471m3 → H9 = 2,5471m ∆𝑉𝑜𝑙9 = (10 − 25,471) 0,1 = −1,5471𝑚3 → Vol10 = 23,9239m3 → H10 = 2,392m Resposta: a solução numérica iterativa com intervalos de tempo de 0,1h indica um nível d’água no reservatório de 2,392m ao fim de 1 minuto. Obs: A solução numérica apresentou erro de -3,2%, que tende a diminuir com intervalos de tempo menores. 3.2 Misturas Homogêneas - Balanço de Grandeza Extensiva N Normalmente a água em escoamento não é pura, mas misturada com várias substâncias sobre as quais é possível ter informação por meio do balanço de massas. Vimos no item anterior que a taxa de variação da massa é igual à diferença entre os fluxos de entrada e saída. Esse raciocínio é válido não só para a massa do fluido em escoamento, mas também para as outras massas e grandezas dependentes da massa que o fluido transporta em seu meio. ∆N = Ne − Ns ∆𝑁 ∆𝑡 = 𝐹𝑁,𝑒 − 𝐹𝑁,𝑠 3.11 Mas os Fluxos responsáveis pelas quantidades Ne e Ns da grandeza extensiva dependem do fluxo de massa e das concentrações, pois: FN = η FM → FN = η ρ Q Então, para valores médios no intervalo de tempo, ∆ 𝑁 ∆ 𝑡 = η𝑒 𝜌𝑒 𝑄𝑒 − η𝑠 𝜌𝑠 𝑄𝑠 3.12 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 53 Lembrando que quando os fluxos variam no tempo, o balanço deve ser escrito para um instante de tempo: 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = η𝑒 𝜌𝑒 𝑄𝑒 − η𝑠 𝜌𝑠 𝑄𝑠 3.13 EXEMPLO 3.4: Um meio para determinar a vazão de rios consiste na injeção de substâncias traçadoras, como sais ou corantes. Numa determinação de vazão em um córrego foram lançados 2L/s de água com uma concentração de corante fluorescente igual a 5mg/L. Numa seção a jusante, após a completa mistura do traçador, retirou-se uma amostra da água, obtendo-se uma concentração de corante de 0,2mg/L. Qual a vazão do córrego? Análise: trata-se de um exemplo de balanços em regime permanente em que ocorre a conservação da massa (volume) da água do rio e também da massa do traçador no VC dado pelo trecho de rio. Será usada a eq. 3.13 para N = Volume, e também para N = massa do traçador. Solução: dN dt = FN,e − FN,s Regime Permanente: dN dt = 0 = FN,e − FN,s - Grandeza N = Volume 0 = 𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 → 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄3 - Grandeza N = massa do traçador: 0 = FN,e − FN,s → 𝐶1𝑄1 + 𝐶2𝑄2 = 𝐶3𝑄3 O traçador não é encontrado naturalmente no rio: C1 = 0. Com os valores numéricos dados os fluxos de massa do traçador ficam: 0𝑄1 + 5 𝑚𝑔 𝐿 2 𝐿 𝑠 = 0,2 𝑚𝑔 𝐿 (𝑄1 + 2) 𝐿 𝑠 VC Q1 Q2 Q3 FN,1 FN,2 FN,3 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 54 Que resolvida fornece Q2 = 48 L/s. Resposta: a vazão do córrego é de 48 litros por segundo (0,048m3/s), equivalente a 162m3/h. EXEMPLO 3.5: Considere um recipiente com 100 litros de água à temperatura de 20°C, recebendo 1 L/s de água a 80°C e com uma vazão de saída de 1L/s. Durante os instantes iniciais a água sai com temperatura de 20°C, mas depois disso a água sai com a temperatura média do reservatório. Isto quer dizer que a água no reservatório é bem misturada. Analise o transiente da temperatura da água no reservatório, supondo que a variação da massa específica da água com a temperatura é desprezível. Calcule a variação da quantidade de calor armazenada em 10 segundos e a temperatura média da água na caixa ao final deste período. Adote ρ = 995 kg/m3 e calor específico c = 4,18kJ/kg°C. Solução: Parte a) _____ Análise do transiente A grandeza extensiva considerada é a quantidade de calor: 𝑁 = 𝑚𝑐(𝑇 − 𝑇0) → η = 𝑑𝑁 𝑑𝑚 = 𝑐 (𝑇 − 𝑇0) Como a temperatura da água varia continuamente, o fluxo de calor que deixa o reservatório também varia, de forma que o balanço de energia só é válido instantaneamente, e deve ser expresso na forma diferencial: 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝐹𝑒 − 𝐹𝑠 → 𝑑 (𝑚𝑐 𝑇) 𝑑𝑡 = 𝜌𝑐 𝑄𝑒𝑇𝑒 − 𝜌𝑐 𝑄𝑠𝑇𝑠 em que a temperatura de referência adotada foi T0 = 0. O balanço de massa da água no reservatório mostra que 𝑄𝑒 = 𝑄𝑠 , pois o regime é permanente ( não há variação da massa no reservatório) e com massa específica constante (não há variação do volume no reservatório). Assim, o balanço de energia fica: 𝑚𝑐 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜌𝑐 𝑄 (𝑇𝑒 − 𝑇) Fazendo 𝜃 = (𝑇𝑒 − 𝑇) a equação do balanço pode ser escrita como: − 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑄 𝑉𝑜𝑙 𝜃 → 𝑑𝜃 𝜃 = − 1 𝜏 𝑑𝑡 Lembrando que o tempo de detenção hidráulico, definido como 𝜏 = 𝑉𝑜𝑙 𝑄 , é o tempo médio de permanência de cada partícula no reservatório. Ae AS Fe FS Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 55 A equação acima pode ser integrada facilmente, entre um instante de tempo inicial ti em que a temperatura do reservatório é Ti e um tempo t qualquer, obtendo-se: 𝜃 𝜃𝑖 = 𝑇𝑒 − 𝑇 𝑇𝑒 − 𝑇𝑖 = 𝑒− 𝑡−𝑡𝑖 𝜏 Que é a solução para o transiente de temperatura no reservatório. Quando o tempo tende ao instante inicial, T tende a Ti e θ → 1; por outro lado, quando o tempo é muito grande, θ→0 e T → Te. Observe que a solução não depende da massa específica nem do calor específico do fluido no reservatório, apenas depende da relação entre o volume do reservatório e a vazão de alimentação, dado pelo tempo de detenção hidráulico. Desta forma a solução vale para qualquer problema semelhante, podendo ser expressa pelo gráfico adimensionalizado da figura seguinte. Resposta adimensional da temperatura no reservatório Parte b) ____ cálculo da temperatura após 10 segundos Basta substituir os valores numéricos na equação do transiente 𝜃 𝜃𝑖 = 𝑇𝑒 − 𝑇 𝑇𝑒 − 𝑇𝑖 = 𝑒− 𝑡−𝑡𝑖 𝜏 sendo o tempo de detenção dado por: 𝜏 = 𝑄 𝑉𝑜𝑙 = 100 𝐿 1𝐿/𝑠 = 100𝑠 . Assim, 80 − 𝑇(10𝑠) = (80 − 20)𝑒−10 100 ⁄ 𝑇(10𝑠) = 80 − 60 × 0,904 = 25,7°𝐶 Resposta: a temperatura da água no reservatório após 10 segundos será de 25,7°C. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 1 2 3 4 θ / θi t / τ Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 56 EXEMPLO 3.6: Calcule numericamente um valor aproximado para a temperatura da água do reservatório do exemplo anterior ao final de 10 segundos. Solução: Para utilizar uma aproximação numérica da equação diferencial do balanço de energia, vamos considerar que os fluxos permanecem constantes ao longo do intervalo de tempo finito adotado. Em função dos fluxos de massa e volume, a variação da quantidade de calor armazenada é calculada por: 𝐹𝑒 = 𝜌 𝑐 𝑄 𝑇𝑒 ; 𝐹𝑠 = 𝜌 𝑐 𝑄 𝑇𝑠 → ∆𝑁 = 𝜌 𝑐 𝑄(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠)∆𝑡 ∆𝑁 = 995 𝑘𝑔 𝑚3 4,18 𝑘𝐽 𝑘𝑔 °𝐶 0,001 𝑚3 𝑠 (80 − 20)°𝐶 × 10𝑠 = 2495,5 𝑘𝐽 Essa quantidade de calor, acrescentada à massa da caixa, permite calcular o acréscimo de temperatura: ∆𝑇 = 2495,5 𝑘𝐽 0,1𝑚3 995 𝑘𝑔 𝑚3 4,18 𝑘𝐽 𝑘𝑔 °𝐶 = 6,0 °𝐶 Resposta: A temperatura da caixa ao final do intervalo de 10 segundos será de 26,0°C, aproximadamente. Comentários: Note que o erro da solução numérica aproximada foi de 0,3°C em relação à solução analítica. Este erro tende a diminuir com a adoção de menores intervalos de tempo. Se o cálculo for repetido para mais um intervalo de 10 segundos o acréscimo de temperatura será menor, porque maior quantidade de energia deixa o reservatório, visto que a água sairá mais quente. A solução numérica partiu da premissa que a água no reservatório permanece a 20°C durante todo o intervalo de tempo considerado. Evidentemente, esta simplificação implica em que a resposta possui certo erro. Entretanto, o erro tende a diminuir com o intervalo de tempo considerado no cálculo. EXEMPLO 3.7: Considere novamente o reservatório do exemplo 3.5, levando em conta a variação da massa específica com a temperatura. Calcule numericamente a temperatura da água ao final de 10 segundos. Dados: ρ (80°C) = 971,8kg/m3 ρ (20°C) = 998,2kg/m3 c = 4,18 kJ/kg°C Ae AS Fe FS Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 57 Analise: este problema envolve o balanco transiente de massa da agua, visto que, com o aumento da temperatura causado pela entrada de agua quente, o reservatorio de volume constante ira conter cada vez menos massa; além disso, a outra grandeza envolvida é a energia, também com balanco transiente, visto que a saida de agua cada vez mais quente conduzira cada vez mais energia para fora da caixa e o fluxo de entrada de energia térmica é constante. Em vista dessas dificuldades, torna-se mais simples resolver o problema por aproximacgao numérica. Solucao: A grandeza extensiva considerada é a quantidade de calor: N = mc(T —To ). A variagao da quantidade de calor no periodo é dada por: AN = Nerinat — Niniciat = N(t + At) — N(t) mas também podemos expressar a variagao por meio dos Fluxos: AN = Nentrou — Nsaiu = Fe At — FAt Expressando agora os fluxos de energia em fungao dos fluxos de massa e volume, Fy = npVA: n = cC(T —Tp) => Fy = pc(T —T))VA Considerando a temperatura de referéncia Tp como nula e substituindo os valores numéricos, temos as quantidades de energia que entraram e sairam: _ kg kJ ° L mé* _ N, = 971,8 (“2) 4,18 (= =) 80 (°C) 1 (=) 0,001 ( ~ ) 10 (s) = 3249,7 kJ _ kg kJ ° L m? _ N, = 998,2 (“2) 4,18 (= --) 20 (°C) 1 (<) 0,001 ( ~ ) 10 (s) = 834,5 kJ AN = 2415,2 kJ Conhecendo a quantidade de calor aduzida, o calculo da variagao da temperatura depende da quantidade de massa no reservatorio. A massa final é obtida pelo balangco de massas: Am=me-m, => Am=(f. — F, )At Am = (971,8x0,001 — 998, 2x0,001 )60 = —1,584kg mr =m, + Am=98,416kg 2415,2 kJ AN = mcAT = AT = er = 5,87°C 98,416kg x 4,18 Fo 3G Resposta: Portanto, a temperatura ao final de 10 segundos sera 25,9 °C. Para continuar 0 calculo da aproximagao numérica ao longo do préximo intervalo de tempo precisamos da massa especifica da agua a temperatura de 25,9°C. Continuam valendo as observagdes dos exemplos anteriores. Ao assumir que as temperaturas permanecem constantes ao longo de todo intervalo de tempo a solucao Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 58 numérica carrega um erro de aproximação. Como antes, este erro tende a diminuir com o intervalo de tempo considerado. 3.3. Equação Integral do Balanço de Massa Nosso próximo desafio será descrever matematicamente o balanço, de forma que seja válida para uma situação geral, admitindo-se velocidades variáveis e com inclinação qualquer em relação às seções de entrada e saída da região de interesse, que é chamada de Volume de Controle. _____ Volume de Controle O Volume de Controle (VC) é uma região definida do espaço. A massa é livre para entrar e sair do VC, que então pode possuir massa variável com o tempo. As grandezas num VC são usualmente mais fáceis de quantificar com variáveis Eulerianas. A Figura 3.2 traz de forma esquemática um escoamento qualquer representado por suas linhas de corrente, e um volume de controle. O Volume de Controle é conceitualmente diferente do sistema. Um Sistema é uma quantidade definida de massa. Por isso é normalmente mais fácil quantificar as grandezas de um sistema usando variáveis Lagrangeanas. Num escoamento, um sistema pode mudar de forma, acompanhando o escoamento, mas sempre contém a mesma massa. Volume de Controle L.C. Superfície de Controle Figura 3.2: Representação esquemática de volume de controle num escoamento. Um sistema não é muito útil para efetuar balanços de massa em escoamentos. Todas as equações de balanços usam como base um volume de controle. Isso ocorre porque não há interesse, por exemplo, em saber “qual água” se encontra num reservatório, e sim “quanta água?” é a pergunta importante. Salvo raras exceções, toda água é igual do ponto de vista da solução de problemas práticos. Por exemplo, no caso de hidrelétricas, é necessário operar o reservatório com segurança e produção ótima de energia elétrica. Portanto interessa equacionar o problema a partir do reservatório, uma região fixa do espaço (VC), e não a partir de cada massa de água que escoa no rio (Sistema). Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 59 Outra razão, talvez menos óbvia, é que as variáveis que utilizamos para descrever os escoamentos são Eulerianas. Isso significa que foram medidas em pontos definidos do espaço, e não em partículas definidas de matéria. ____ Balanço Para o balanço geral de massa vamos imaginar um VC com fluxos que entram e saem por várias seções de entrada e saída. Inicialmente vamos simplificar o efeito de todas as entradas em uma só e de todas as saídas também em uma só. Vamos pensar agora no efeito dos fluxos de entrada e saída do nosso VC. Se isso parece difícil com um VC abstrato, podemos pensar no conhecido problema do reservatório, conforme a Figura 3.3, com o mesmo resultado: F ∆ M Área de Entrada M,e FM,s Área Lateral Área de Saída ∆ t V.C. Figura 3.3: Reservatório atuando como volume de controle num escoamento. Sabemos que o balanço de massa pode ser expresso por: F F M t M E M S , , − = ∆ ∆ 3.14 Sabemos também que os fluxos podem ser expressos pela integral vista no item 3.1. Mas, para substituirmos sem erro na equação do balanço, é necessário lembrar do sinal algébrico incluído na integral. O sinal é consequência do produto escalar da velocidade e área, devido à convenção de sentido para o vetor normal. Veja o esquema da Figura 3.4: L.C. Superfície de Controle V dA dA dA V V Áreas de Saída Sinal positivo Áreas Laterais Valor nulo Áreas de Entrada Sinal negativo Figura 3.4: Sentido do vetor área em relação a densidades de fluxo de entrada e saída. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 60 Outro resultado interessante da integral é que ao longo da superfície de controle existem apenas áreas de entrada, de saída ou áreas laterais. Uma área lateral é aquela onde não há fluxo de entrada ou saída, como se a superfície fosse impermeável. Nas áreas laterais o vetor velocidade sempre fica perpendicular ao vetor área, fazendo com que o produto escalar seja nulo. Com as propriedades da integral em mente, podemos escrever então que: → → = −∫ V dA F AE M E . , ρ 3.15-a → → = ∫ V dA F AS M S . , ρ 3.15-b onde os limites AE e AS nas integrais referem-se às áreas de entrada e saída, respectivamente. Utilizando então a notação geral de fluxos de entrada e saída das equações 3.15 na expressão do balanço, temos: t M F . dA V F . dA V S, M AS ,E M AE ∆ = ∆ → → ρ − → → ρ − ∫ ∫   3.16 Podemos agora levar as integrais para o segundo membro, e também acrescentar um termo nulo, sem alterar o balanço: 0 . . . , , = + + + ∆ ∆ ∫ ∫ ∫ → → → → − → →    NULO AL S M AS E M AE dA V F dA V F dA V T M ρ ρ ρ 3.17 Uma propriedade interessante da integração nos permite somar todos os limites de integração numa mesma integral, de forma que podemos escrever: 0 . = + ∆ ∆ → → ∫ + + V dA t M SC AE AS AL ρ  3.18 A equação 3.18 é válida apenas se os Fluxos permanecerem constantes durante o intervalo de tempo ∆t considerado. Se a velocidade variar alteram-se os fluxos e o balanço que escrevemos deixa de ser válido. Para que a ideia fique exata é preciso pensar na variação de massa que ocorre em um tempo ∆t muito pequeno. Somente nesse caso o fluxo instantâneo é igual ao médio, mesmo nos regimes transientes. Escrevendo então o balanço para o caso do limite de ∆t → 0 temos: 0 = ⋅ + → → ∫ V dA dt dM SC ρ 3.19 A equação 3.19 utiliza valores instantâneos das velocidades e da taxa de variação da massa. Portanto, continua válida mesmo durante os transientes. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 61 _____ Equacionando a taxa de variação da massa no VC ( = termo dM / dt ) Para encerrar o balanço integral de massa num V.C. falta explicitar como, de uma forma geral, é calculada a massa contida no VC. Se imaginarmos uma massa específica uniforme 𝑀 = 𝜌 𝑉𝑜𝑙 onde Vol é o volume total. ao longo de todo o volume, fica muito fácil: Desta forma a taxa fica: dM dt = d dt (ρ Vol) 3.20 A equação 3.20 descreve a variação de massa dos chamados “modelos concentrados”, em que apenas um valor de qualquer das grandezas consideradas descreve toda a massa considerada. O equacionamento concentrado de uma dada grandeza pode ser adotado para um Volume de Controle ou para um Sistema. Num caso geral a massa específica pode variar ao longo do volume de controle. Basta, por exemplo, que varie a temperatura ou a salinidade do fluido para que cada ponto do fluido tenha um ρ diferente. Como avaliar a massa total? Nesses casos é necessário usar os “modelos distribuídos”. O modelo distribuído pode ser necessário para descrever tanto um V.C. como um Sistema. Como exemplo, a Figura 3.5 mostra o esquema de um estuário, região onde os rios deságuam no mar. Estuários são estudados em hidráulica ambiental, pela sua importância como áreas de reprodução de muitas espécies. Figura 3.5: Corte esquemático de estuário, com variação da massa específica da água. Os estuários são regiões em que a salinidade da água depende da proporção da mistura entre as águas do mar e do rio. A mistura é influenciada pela vazão do rio, pela topografia, pelos ventos e principalmente pelas marés. A massa específica da água varia no espaço e no tempo, tornando necessário o uso de “modelos distribuídos”. Uma aproximação razoável para a massa M nos modelos distribuídos pode ser obtida se dividirmos o volume total em vários pequenos volumes ∆Vol . Esses volumes são tão maré alta maré baixa Rio água doce água salgada zona de mistura ρ = f (x,y,z,t) ρ1 ρ0 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 62 pequenos que podemos considerar a massa específica constante em seu interior. A massa M fica então: M Vol i n ≈ =∑ ρ ∆ 1 (Quanto menor o ∆Vol, melhor a aproximação) 3.21 A medida que aumenta o limite n do somatório, diminui o tamanho dos volumes ∆Vol. Quanto menor o volume, mais preciso fica o cálculo da massa, já que consideramos ρ constante em cada volume e ele pode variar continuamente. Esse processo, no limite, leva- nos à massa como resultado de uma integração. A integral corresponde ao somatório das massa de infinitos volumes diferenciais dVol: ∫ ∑ = ∆ = = → ∞ VC dVol Vol M i n i i n ρ ρ ) ( lim 1 3.22 O limite de integração denotado genericamente como “VC” indica que o somatório deve incluir todo o volume de controle. A especificação dos limites dependerá, em cada caso, do elemento diferencial de integração “dVol” adotado. _____ A Equação Final Colocando todas as nossas considerações em conjunto, chega-se à equação geral do balanço de massa, em sua forma integral. BALANÇO GLOBAL DE MASSA 0 . = + → → ∫ ∫ V dA dVol t SC VC ρ ρ ∂ ∂ 3.23 Surpreendente e Elegante! _____ Equação da Continuidade Muitos problemas importantes ocorrem em condições de escoamento incompressível. Nesse caso a massa específica pode sair da integral. O balanço de massa assume a forma de balanço de volumes, conforme a equação 3.24. 0 . = + → → ∫ ∫ V dA dVol t SC VC ρ ∂ ρ ∂ 0 . = + → → ∫ ∫ V dA dVol t SC VC ∂ ∂ 3.24 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 63 O balanco integral de volumes da equagao 3.24 é conhecido como “Equa¢ao da Continuidade”. Quando a continuidade é aplicavel, ou seja, escoamento com massa especifica constante, tanto o balango de massa como o de volumes dao 0 mesmo resultado. Balanco de Substancias Transportadas A massa das substancias transportadas pelo fluido em escoamento pode ser expressa na forma de balango integral para um V.C. com 0 mesmo desenvolvimento usado para deduzir a equacgao 3.23. O balanco integral é dado por: 0 = => x Jc npdVol + f..npV -dA=0 3.25 Em que temos: N =ma , a massa da substancia A dissolvida na agua; n = dma/ dm, a concentragao em massa, kg de A por kg de fluido; Ca=nPp ,aconcentragao de A em kg por m? de fluido. Observe que a equacao 3.23 esta contida na equagao 3.25, para 0 caso em que a grandeza é a massa do proprio fluido em escoamento. Tem-se neste caso N=me yn = 1. 3.4 Discussao Sobre a Taxa de Variacao da Grandeza no V.C. Existe a possibilidade de expressar o balango de massas das equacgées 3.23 ou 3.25 de outra forma, sem mudar o significado fisico, conforme apresentado na equacao 3.26. A diferenga reside no termo que contém a derivada no tempo. aN _ 0np > —> 7 |= Ivear Wl + SoonpV - da 3.26 A equagao 3.25 aponta para inicialmente calcular a quantidade da grandeza N no V.C. e depois calcular sua taxa de variagao no tempo pela derivada. Ja a equacao 3.26 indica que primeiro deve-se calcular a taxa de variacao local da grandeza N em cada elemento diferencial de volume, para depois integrar (Somar) as contribuigdes de todo o V.C. Fisicamente a ordem de calculo diferente das duas equacgdes nao tem impacto no resultado final. O exemplo ilustrativo a seguir demonstra essa conclusao. Exemplo Ilustrativo: caixa de areia Considere uma caixa de areia, conforme esquema da Figura 3.6. As caixas de areia sao utilizadas na entrada das estacdes de tratamento de esgoto para remover os solidos sedimentaveis, que podem prejudicar as etapas posteriores do tratamento. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 64 comporta => => => \ 7 : VISTA SUPERIOR Areia sedimentada CORTE LONGITUDINAL Figura 3.6: Esquema de uma caixa de areia com duas camaras de sedimentacao. A caixa de areia tem duas camaras que funcionam de forma alternada. Enquanto uma camara é usada, a outra deve ser limpa. O problema em questao é determinar o tempo médio de utilizagao de cada camara. Para isso é necessario saber a taxa de acumulo de areia na camara de sedimentacao. O problema pode ser analisado com o balango da grandeza extensiva N dada pela massa de solidos (areia) no esgoto. Sao definidos: N =mMg , a massa de sOlidos sedimentaveis na agua; n = dms/ dm, a concentragao de sdlidos em kg por kg de fluido; Cs = 1p ,aconcentracdo de sdlidos em kg por m° de fluido. Com a notagao acima definida o balanco de sélidos na caixa de areia é dado pela equacao geral 3.26 da seguinte forma: 0 > Ul > dt Jyc SC A resposta pode ser obtida experimentalmente pela avaliagao do saldo de fluxos de massa de sOlidos, dado pela integral de superficie (segundo termo do segundo membro), ou pela avaliacao direta da taxa de acumulo, dada pelo primeiro termo do segundo membro. Solucao pelo saldo de fluxos de entrada e saida Para o volume de controle da Figura 3.6, adotando-se 0 modelo concentrado para os fluxos, pode-se escrever: dms dt — 1, Pe Qe + 7, Ps Qs = 9 dms dt — Ce Qe + C5Q; = 0 Sendo o regime permanente, a vazao que entra é igual a que sai. Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 65 dms dt = (C, — C.)Q Portanto, € possivel conhecer a taxa de variagao da massa de areia medindo-se as concentracgoes de areia na entrada e saida e a vazao. A medicao deve ser mantida por um periodo de tempo significativo, em intervalos suficientemente pequenos. No caso em questao, deve ser previsto uma campanha de medicao de 24h, no minimo, com amostras obtidas a cada hora, durante um dia tipico. Com os dados experimentais tem-se a variacao diaria: t Ams = [ am, = | (C.—C.)Q dt 0 Aproximando numericamente a integral por meio de um somatorio: 24 Ams = > Csi ~ Co) Q, At i=1 Com esse procedimento calculamos a variagao diaria de massa e, conhecendo a quantidade maxima de areia, 0 periodo de tempo maximo para encher a caixa de areia. Essa abordagem fornece a resposta com rapidez, mas necessita de um levantamento experimental de dados custoso. Solucao pela determinacao direta do volume de areia acumulado Para aplicar a técnica de medigao direta devem ser realizados dois levantamentos batimétricos, separados por um periodo de tempo significativo, que pode ser de dois a trés dias no caso em questao. O levantamento pode adotar, por exemplo, a técnica de medicao de profundidades em pontos organizados numa malha, conforme o esquema da Figura 3.7. J n | (2 pS | i 0 | O 1 2... m = 2, , LL Figura 3.7: Esquema do levantamento batimétrico numa malha de m x n ponios. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 66 Observa-se na figura que € medida a profundidade Z;; em cada ponto de uma malha de m x n pontos. A cada profundidade medida corresponde uma altura de areia depositada hij, Que pode ser calculada conhecendo-se a profundidade total da caixa H, sendo que hij =H- Zij- Cada ponto representa uma area Aj; delimitada pela linha de fronteira tragada na metade da distancia até cada um dos pontos vizinhos. Na malha retangular as areas de influéncia de todos os pontos internos sao iguais. Nos pontos do contorno sdlido a area é metade e nos cantos, um quarto das areas interiores. Método 1: Levantar os volumes sedimentados totais no inicio e final Com o levantamento batimétrico é possivel aproximar o volume da areia no inicio e no final de um periodo de tempo representativo da seguinte forma: mn mn mk = >, >, p Avot = >>. hi; Ai; i=1 j=1 i=1 j=1 Em que o indice k representa o tempo em que foi realizado o levantamento e pa massa especifica da areia sedimentada. Com as massas de areia no inicio (indice k) e final do intervalo de tempo (indice k+1), podemos calcular a taxa de variagao da massa acumulada por: dm; _ Ams _ m§**—m§ ‘dt at at Esta abordagem de calculo seguiu a sequéncia estabelecida na equagao 3.24: primeiro sao calculadas as massas totais pela integragao no V.C. e depois é calculada a derivada. Método 2: Levantar a variagao de volume em cada ponto e totalizar Outra forma de abordar o problema consiste em calcular inicialmente a variagao de volume de areia acumulado em cada area Aj,/j e posteriormente somar a variagao em todas as areas. Esta sequéncia de calculo é descrita pela equacao a seguir: mn mn Ams = m&*1—mk = >») pAVol;; = >>. (hiz* — hij ) Ai; i=1 j=1 i=1 j=1 A abordagem do segundo método adota a sequéncia descrita pela equa¢ao 3.25: primeiro é calculada a taxa de variagao da grandeza no tempo (derivada), e depois as taxas sao somadas em todo o V.C. (integral) para fornecer a taxa de variagao total no volume de controle. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 67 3.5 Exercícios 1 - Na operação de uma hidrelétrica ocorreram durante um dia as seguintes vazões médias: Qrio = 1.500 m3/s, Qturbinas = 600 m3/s. Qual a variação de volume armazenado no período de 24 horas? 2 - Uma hidrelétrica tem um lago alimentado por dois afluentes, e 6 turbinas. As vazões afluentes observadas no dia foram de Q1 = 600 m3/s e Q2 = 120 m3/s. Cada turbina operou com vazão de 100 m3/s, mas 2 turbinas ficaram ligadas apenas 6 horas. Qual a variação do volume do lago? 3 - Um meio para determinar a vazão de rios consiste na injeção de substâncias traçadoras, como sais ou corantes. Numa determinação de vazão em um córrego foram lançados 1L/s de água com uma concentração de sal igual a 25mg/L. Numa seção a jusante, após a completa mistura do traçador, retirou-se uma amostra da água, obtendo-se uma concentração de 0,013mg/L. Qual a vazão do córrego, sabendo que numa seção a montante do ponto de injeção foi medida uma concentração de 0,003mg/L? 4 - Em um período de cheias uma hidrelétrica operou com as seguintes vazões afluentes: Rio A: Q1 = 1.300 m3/s; Rio B: Q2 = 700 m3/s. As vazões efluentes são fluxos turbinados para produção de energia e fluxos vertidos, que escoam pelos vertedores. A usina possui 8 máquinas e 6 vertedores de superfície. A configuração de operação foi a seguinte: Vazão turbinada - 4 máquinas com 100 m3/s durante 24 horas ; 2 máquinas com 180 m3/s durante 2 horas; Vazão vertida - 6 vertedores operando continuamente com 200 m3/s cada um. Calcule a variação do volume armazenado em 24 horas. 5 - A figura mostra um esquema de chaminé de equilíbrio. As chaminés de equilíbrio são utilizadas na prática para atenuar as variações de pressão que podem ocorrer durante transientes em tubulações de alimentação de bombas e turbinas. No instante considerado, a velocidade no tubo de alimentação da turbina é 0,5m/s a montante da chaminé e de 2,5m/s a jusante da mesma. Calcule a vazão fornecida e a velocidade instantânea de abaixamento do nível d'água na chaminé. Chaminé Reservatório Turbina D = 3m D = 1m Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 68 6 - Um tanque cilíndrico possui uma área de base igual a 1m2. A água escoa por um orifício de 50 mm de diâmetro, segundo a figura. A vazão que escoa em m3/s é dada por Q = 2,7Ah 5,0m a) Calcular o nível da água após 1 minuto b) Quanto tempo leva para escoar 2 m3 do tanque? c) Repetir o item (a) usando integração numérica, com ∆t = 20s. d) Repetir o item (a) usando solução numérica, com ∆t = 5s. e) Quanto tempo leva para escoar 1 m3 do tanque? 7 - Uma represa forma um reservatório de 5x107m3 de capacidade. O lago recebe a contribuição de dois rios, com as seguintes vazões e concentrações médias de sedimentos: Rio A: Q = 12 m3/s; Csedimentos = 10g/L Rio B: Q = 3 m3/s; Csedimentos = 18g/L Sabendo que na saída a concentração de sedimentos é 2g/l, e que a massa específica dos sedimentos é ρsed = 2,65 g/cm3, determinar qual o tempo de vida estimado para o reservatório. 8 - O duto da figura tem seção transversal quadrada com 0,1m de lado e descarrega água por quatro fendas de 0,01m por 1m localizadas em nas faces laterais de uma derivação. Sabendo que o regime é permanente, que o duto da derivação é fechado em sua extremidade inferior e com base nas velocidades nas faces dadas na figura, pede-se: a) vazões nas faces 1 e 3; b) módulo e sentido da velocidade média na seção b. 0.01m 1.0m Z 0.1m 0.1m Va = 8 m/s Velocidades: X Y V1 V3 V2 V4 V1 = V2 = 4 - 2Z V3 = V4 = 2 - Z Seção Vb a b Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 69 CAPÍTULO 4 TRANSFORMAÇÕES DE ENERGIA NOS ESCOAMENTOS 4.1. Equação de Bernoulli Uma das equações mais importantes da hidrodinâmica é a equação de Bernoulli, que explica como variam a pressão e os termos de energia potencial e cinética de um fluido em escoamento. A equação de Bernoulli é deduzida com aplicação do teorema que relaciona a variação da energia mecânica ao trabalho realizado sobre um sistema. Imagine um fluido ideal incompressível escoando em regime permanente entre as seções 1 e 2 de um tubo de corrente, conforme a Figura 4.1. Vamos considerar o Volume de Controle como o tubo de corrente entre as duas seções, e o Sistema como sendo a masssa de fluido que no instante inicial da análise encontra-se dentro do volume de controle, identificado pela região tracejada do VC. Figura 4.1: Escoamento de um sistema num tubo em dois instantes de tempo No instante inicial da análise o Sistema coincide com o VC. Com o passar do tempo a água deixa o VC, como é mostrado na Figura 4.1 (b), em que a porção tracejada (Sistema) não mais coincide com o VC. Aplicaremos o princípio da conservação da energia mecânica ao Sistema: ∆W = ∆ES = Et+∆t − Et 4.1 ∆ Z2 Z1 1 2 III III I II (a) t + t ∆ x F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2 2 Z2 Z1 tempo t (b) tempo ∆x 1 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 70 Em que a energia do sistema, em qualquer tempo, é a soma da energia potencial e da cinética. O sistema é descrito pelas variáveis Eulerianas por meio da região do espaço ocupada em cada instante. Assim, temos: ES(t) = EIII(t) + EI(t) 4.2 ES(t + ∆t) = EIII(t + ∆t) + EII(t + ∆t) 4.3 O trabalho sobre o sistema é realizado apenas por forças de pressão, porque as forças tangenciais são nulas, devido à hipótese de fluido sem viscosidade (ideal). Além disso, será realizado trabalho apenas nas seções 1 e 2, porque o restante da fronteira do sistema não se move na direção das forças de pressão. Na seção 1 o resto do fluido (meio) exerce sobre o sistema uma força p1A1. Se o intervalo de tempo considerado for muito pequeno, as pressões podem ser consideradas constantes, assim com as áreas. Portanto, a força é constante e, ao longo do intervalo de tempo considerado, esta força desloca o sistema de ∆x1. Como consequência, o sistema avança através da seção 2, deslocando-se por uma distância ∆x2. O restante do fluido opõe- se ao deslocamento do sistema, com a força de pressão p2A2 . Da mesma forma pode-se considerar a força constante ao longo do deslocamento. Das considerações acima, durante o intervalo de tempo considerado, as forças que o meio exerce sobre o sistema realizam um trabalho dado por: ∆𝑊 = 𝑝1𝐴1∆𝑥1 − 𝑝2𝐴2∆𝑥2 4.4 Aplicando os resultados 4.2 a 4.4 em 4.1: p1A1∆x1 − p2A2∆x2 = EIII(t + ∆t) + EII(t + ∆t) − EIII(t) − EI(t) 4.5 Pensando na variação de energia do sistema, vemos que a região III compõe a parte do sistema cuja energia não variou entre t e t+∆t. Toda essa parte contém, em cada ponto, a mesma quantidade de fluido e à mesma velocidade no início e no fim do período. Isto quer dizer que a soma das energias cinética e potencial das unidades de massa dessa região do sistema não varia. Portanto, a variação ocorre porque a parte I do sistema desapareceu, dando origem à parte II. p1A1∆x1 − p2A2∆x2 = EII(t + ∆t) − EI(t) 4.6 Se o escoamento é incompressível verificarmos, pelo princípio de conservação das massas, que a massa da parte I é a mesma da parte II. m m m Ec mV Ep mg z Ec mV Ep mg z 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 = = ⇒ = = = =      Reunindo todas as variações na equação 4.6, temos: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 71 p A x p A x m V V mg z z 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 ∆ ∆ − = − + − ( ) ( ) 4.7 Os termos da equação 4.7 representam energia total. Dividindo a equação pela quantidade de massa envolvida na variação da energia, temos, lembrando que “A∆x” é o volume de fluido que entrou e saiu do VC: ) ( ) 2 ( 1 1 2 2 1 2 2 2 1 z g z V V p p − + − = − ρ 4.8 Em que os termos representam energia por unidade de massa (Nm/kg). Rearranjando os termos obtemos a Equação de Bernoulli: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 g z V p g z V p + + = + + ρ ρ 4.9 Daniel Bernoulli (1700-1782) A equação de Bernoulli representa com pressões e velocidade em seções definidas do espaço Como as seções 1 e 2 podem ser quaisquer, é usual também expressar a equação de Bernoulli na forma: , portanto variáveis Eulerianas, a variação da energia de um Sistema. As limitações da análise incluem um intervalo de tempo tendendo a zero, ou seja, uma condição instantânea. Mas, como o escoamento é em Regime Permanente, a relação fica válida para qualquer tempo. Cte g z V p = + + 2 2 ρ Equação de Bernoulli (1738) Hipóteses Utilizadas Escoamento Incompressível Regime Permanente Atrito desprezado Em um tubo de corrente 4.2. Conservação da Energia nos Escoamentos Para explorar as consequências da equação de Bernoulli é útil analisar o caso dos fluidos em escoamento em relação aos corpos rígidos, tirando partido das semelhanças e discutindo as diferenças entre os dois casos. A Figura 4.2 mostra o comportamento de uma esfera rolando sem atrito sobre uma superfície ao se deparar com aumento ou diminuição da cota. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 72 Figura 4.2: comportamento de sistema sólido numa rampa Esse exemplo é bastante familiar. Já nos acostumamos, da observação cotidiana dos corpos isolados (sistemas), com o fato de que uma rampa transforma energia cinética em potencial. A conservação da energia, na ausência de atrito, permite escrever: 2 2 2 1 12 2 2 m g z m V m g z m V + = + 4.10 _____ Conclusão: Em um corpo isolado a velocidade é livre para variar. A Figura 4.3 mostra três situações possíveis para um escoamento forçado no interior de um tubo. A ilustração fala por si só. Nos escoamentos forçados a energia cinética deixa de ser controlada pela cota, como aconteceria com um corpo isolado. Figura 4.3: Comportamentos possíveis de um escoamento quando aumenta a cota da tubulação. z z t t 2 1 0 m V V2 1 1 2 V V m 0 1 2 t t z z V < V V > V 2 1 2 1 V1 V2 V2 V2 V2 = V1 V2 > V1 V2 < V1 V1 V1 1 1 1 2 2 2 D2 = D1 D2 > D1 D2 < D1 Escoamento Forçado Área determina a Velocidade Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 73 A Figura 4.3 deixa claro que nos escoamentos forçados não há como compensar a variação da cota com a energia cinética. A velocidade é controlada apenas pelo diâmetro da tubulação. _____ Conclusão : Nos escoamentos forçados, a Velocidade não é determinada pelas variações da cota. _____ Aperfeiçoando a Analogia Trem-Escoamento com Energia Potencial Elástica Já vimos que não é possível comparar o escoamento com uma massa isolada, sob pena de comprometer o entendimento físico do problema. Entretanto, a nossa analogia do escoamento com um trem, constituído de muitos vagões interligados, é bem mais aproximada da situação que realmente ocorre. Observe a situação da Figura 4.4. Na Figura 4.4 a velocidade dos vagões não irá variar quando passarem pela elevação, pois a velocidade de cada vagão é a mesma do trem, que é constante O que ocorre então, se a energia Potencial aumentou e a Cinética não pode diminuir para compensar? V1 Corpo Isolado: Trem: 3 V 2 V V1 2 V 3 V V1 = V2 = V3 V 1 = V 3 V2 < V1 Figura 4.4: Comportamento de corpo isolado e de um trem frente a uma elevação de cota. A resposta a essa pergunta pode ser dada quando pensamos nas barras de união entre os vagões, introduzindo mais um componente na analogia, capaz de armazenar energia. Pensando que nos vínculos como molas, eles se tornam capazes de armazenar energia potencial sob a forma de deformação elástica. O potencial elástico das molas de união é análogo, no caso real, à pressão existente nos escoamentos. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 74 _____ Energia Potencial Elástica Imagine (Fig. 4.5) uma mola com constante elástica K, sendo comprimida por uma força F. O trabalho realizado pela força ficará armazenado na mola sob forma de energia potencial. xi=0 xf F F Figura 4.5: mola armazena energia F=Kx dW Fdx Kxdx = = ∫ ∫ = = = f i x x x K x K x dx dW W 0 2 2 No caso do trem subindo a colina, a energia cinética permanece constante, mas a força nos vínculos diminui à medida que o vagão sobe a colina. Quando um sistema massa-mola é desacelerado a força gerada pela variação da energia cinética fica armazenada como energia potencial elástica na mola. Esse efeito é ilustrado pela Figura 4.6. V V = 0 li lf (a) (b) Figura 4.6: Desaceleração de sistema massa-mola comprime a mola. No caso da Figura 4.6(a), com a massa deslocando-se livremente, a mola está totalmente distendida, e toda a energia está na forma cinética. 0 2 1 2 = = pot c E mV E 4.11 Na Figura 4.6(b) a massa foi desacelerada e a velocidade é nula. Supondo atrito nulo, toda a energia cinética disponível foi usada para comprimir a mola: 2 2 2 1 2 0 m V lf ) K ( li E E pot c = − = = 4.12 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 75 O caso da Figura 4.6(b) corresponde, na analogia trem-escoamento, ao que ocorre nos pontos de estagnação, em que toda a energia cinética da água é convertida em pressão. Com esses exemplos percebemos que o nosso modelo de analogia entre trem e escoamento precisa incluir a capacidade de armazenar energia sob a forma de deformação elástica. A variável que corresponde à mola é a pressão . 4.3. Energias e Cargas na Equação de Bernoulli Para obter a equação 4.11 dividimos a energia mecânica expressa na equação 4.10 pela quantidade de massa envolvida (m = ρ A ∆x) . Uma forma bastante conveniente da equação surge ao dividirmos a equação 4.10 pelo peso da massa envolvida, ou seja, W = mg = ρ g A ∆x . A equação 4.10 fica: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 z g V p z g V p + + = + + γ γ 4.13 Lembrando que o peso específico γ = ρ g. Os termos da equação 4.13 representam energia por unidade de peso do fluido. As unidades no sistema SI são (Nm/N) ou simplesmente (m). Pelas unidades percebe-se que os termos da equação 4.13 são Cargas. Esta nomenclatura vale-se da correspondência entre pressões e colunas de fluido que exercem a mesma pressão. O termo carga surgiu para definir a altura da coluna de água, conforme o esquema da Figura 4.7. 1 2 H dA tubo coluna equivalente de fluido Se p1 = p2, dizemos que H é a altura de coluna equivalente, ou CARGA: γ γ ρ 1 1 p H H g H p = = = Figura 4.7: Relação entre pressão e altura equivalente de coluna de fluido ou Carga. Com base nessa analogia, todos os termos de energia por peso da equação foram chamados de cargas. Temos: Carga de Pressão: 𝐻𝑝𝑟 = 𝑝 𝛾 Carga Cinética: 𝐻𝑐 = 𝑉2 2𝑔 Carga Potencial : 𝐻𝑔 = 𝑧 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 76 Lembrando que as cargas de pressão resultam do trabalho das forças externas sobre o sistema e as demais compõem a energia mecânica do sistema (por unidade de peso). Com o uso das cargas a equação de Bernoulli pode ser escrita da forma: 𝐻𝑇 = 𝑝 𝛾 + 𝑧 + 𝑉2 2𝑔 (m) 4.14 Os dois primeiros termos compõem a Carga Piezométrica , porque correspondem à cota do nível que a água atinge num piezômetro instalado na seção considerada. Veja o esquema da Figura 4.8. Carga Piezométrica: 𝐻𝑝𝑧 = 𝑝 𝛾 + 𝑧 Figura 4.8: Piezômetro – cota do nível do fluido coincide com a carga piezométrica. 4.4. Aplicação a Medições de Vazão e Velocidade 4.4.1. Medidor Venturi Os medidores tipo Venturi utilizam um estreitamento da seção para provocar aumento da carga cinética. Manômetros medem a diferença na carga de pressão. Um esquema de medidor de vazão tipo Venturi é apresentado na Figura 4.9. Figura 4.9: Medidor tipo Venturi. Tomando um tubo de corrente entre as seções 1 e 2 e aplicando Bernoulli, temos: g V z p g V z p 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + γ γ g V g V p p 2 2 2 1 2 2 2 1 − = − γ γ 1 Z1 γ 1p Fluido de Trabalho Fluido Manométrico Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 77 A Pela continuidade, temos V,;A, = V,4, > Vo = Vi mn 2 PoP, _ WA, y 2g\ A Resolvendo em fungao de V; temos: V,= [2 Pp P2 -) Com a velocidade média pode-se calcular a vazao: Q= VA, 4.4.2. Tubo de Pitot O medidor tipo Pitot 6 formado por um tubo com abertura perpendicular as linhas de corrente, conforme visto na segao 2 do esquema da Figura 4.10. O fluido 6 desacelerado no trajeto entre 1 e 2. No ponto 2, sobre a linha de corrente central do escoamento, a velocidade é nula, pois o liquido esta estatico no interior do tubo. O ponto 2 é chamado de Ponto de Estagna¢ao. 1 2 Lee. | | eS V | EEE —-> \ ~--4--J--- = -- a 1 @-----------@® 2 OSS (a) (b) oo Figura 4.10: Medidor tipo Pitot (a) e detalhe do ponto de estagnacao (b). As tomadas de pressao perpendiculares as linhas de fluxo, como a do ponto 2, sao chamadas na pratica de “tomadas dinamicas” de pressao, porque sao afetadas pela velocidade do escoamento. Em contraposigao, tomadas de pressao paralelas as linhas de fluxo, como as do ponto 1, sao chamadas de “tomadas estaticas” de pressao, porque a leitura indicada nao é afetada pela velocidade do fluido. Entre os pontos 1 e 2, ao longo da linha de corrente central, pode ser aplicada a equacao de Bernoulli, supondo que a desaceleragao da agua ocorre sem perda apreciavel de energia. 2 2 Piggy Mie hy he y 2g 2g Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 78 Temos Z; = Z2 e V2 = 0, pois o ponto 2 é ponto de estagnacao. VoL PP 2g yy V. = 2 P2-P1 1 p O mandémetro diferencial de tubo em U permite calcular a diferenca de press6es. Pit yat YyL— yL — ya = py P2- Pr =Qu- yb sendo “Vy “ 0 peso especifico do fluido manométrico e “v“ o peso especifico do fluido de trabalho. 4.4.3. Orificios de pequenas dimensoes Quando a carga sobre 0 orificio € grande em relagao a seu diametro, a velocidade de saida do fluido € aproximadamente constante e o orificio € chamado de pequenas dimensoes. A Figura 4.11 mostra 0 esquema de um grande reservatorio descarregando agua por um orificio, formando um jato livre. Em um grande reservatorio o nivel da agua varia muito lentamente. Veia contraida V; Secao | h Contraida Distribuicao / de pressdes no orificio 7 ! Wo le Vo | t Figura 4.11: Orificio de parede delgada em reservatorio de grandes dimensOes e detalhe da veia contraida. A secao contraida é a primeira secao a partir do orificio em que a pressao do jato é conhecida. Apdés a segao contraida o jato é livre (p = Patm ) e antes dela a pressao segue uma distribuigao desconhecida, conforme indica o detalhe da Figura 4.11. Aplicamos a equagao de Bernoulli entre um ponto qualquer do reservatdrio e a segao contraida, com o referencial de cota no eixo do orificio. ) Vv, ) V, ~t+z4¢—+= 447344 y 2g 2g Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 79 Qualquer que seja a posicao do ponto 1 no reservatdério, desde que suficientemente afastado do orificio, temos: Vv ee : Fe = 0 :acarga cinética é desprezivel; & Pry z, = h : carga média sobre 0 orificio (nado depende da posicao do ponto 1). Y Como na se¢ao 2 0 jato é livre, temos : V2 h= 0+0+—7— > V,= /2gh & Entretanto, a velocidade real 6 menor que a calculada, devido as perdas no processo de aceleragao. Essas perdas sao levadas em conta por um fator de correcao experimental da velocidade, chamado de Coeficiente de Velocidade (Cy). V2 Real Cy = = V2.Teérica A area do jato também é menor, devido a curvatura das linhas de corrente ao passar pelo orificio. O fendmeno da contracao do jato é levado em conta por outro coeficiente experimental, chamado de Coeficiente de Contragao (C,). C. = Asecio Contraida —e———-'*vr™» Aorificio Para orificios circulares de parede delgada Cy, varia entre 0,95 e 0,99 eo C, = 0,62. A vazao através do orificio com area A, fica entao: Q= Vreal Ayato = Cy v 2gh x Cc Ao E usual combinar os dois coeficientes experimentais num Unico coeficiente, chamado de Coeficiente de Descarga (Cp). Cp = Cc Cy E a vazao fica: Q= Copy2gh O coeficiente de descarga tipico de orificios circulares de parede delgada é 0,61. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 80 4.4.4. Bocais em condutos forcados Quando um tubo descarrega por meio de um bocal que causa estreitamento da secao e aumento da velocidade, a vazao descarregada pelo tubo pode ser facilmente determinada com auxilio de um mandmetro. Esta aplicagao é ilustrada pela Figura 4.12 que mostra um bocal na extremidade de um tubo dotado de um piezémetro. Piez6metro | Py = pat yAz h oe > Bocal —_———> _ LC. retilfneas 1 2 Az e paralelas a > Jato livre ee Seem Figura 4.12: Bocal descarregando em jato livre e detalhe da variacao de pressao no interior do tubo. A vazao é determinada aplicando-se a equagao de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 situados ao longo da linha de corrente que passa pelo eixo do tubo. A carga de pressao no ponto 1, situado na linha média do tubo pode ser calculada diretamente com a leitura no piez6metro, tendo em vista que no interior do tubo as linhas de corrente sao retilineas e paralelas: P1 _ Pi = Patmt+yh > yon A equagao de Bernoulli fica: Vv Vy Vy VY 2g 2g 2g 2g A equag¢ao da continuidade fornece a relagao entre as velocidades necessaria para resolver o problema. Pela continuidade, temos: _ _ Ay V,A, = V,A> > V2 = V; An Resolvendo para V;, a velocidade no tubo: 2gh Vi = TAZ \~ (r-1) Aj Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 81 4.5. Exercícios 4.5.1) Um fluido de γ = 10.000 N/m3 escoa por um tubo horizontal, com uma redução de diâmetro de 150mm para 50mm. Sabendo que a pressão na seção 1, antes da redução, é de 500.000 N/m2, e a velocidade é 2m/s, calcular a pressão na seção 2, após a redução. 4.5.2) Desprezando as perdas no Venturi da figura, calcule a vazão de água transportada. 4.5.3) A figura mostra dois Tubos Venturi verticais, transportando água (ρ = 1000 kg/m3), instalados lado a lado e interligados por dois circuitos manométricos, com fluido manométrico de ρ = 2000 kg/m3 . Sabendo que no ponto 1 a velocidade é 1m/s e a pressão é 10.000 Pa, pede-se: a) Calcular a pressão no ponto 2 b) Calcular a pressão no ponto 3 c) Calcular a pressão no ponto 4 d) Calcular a vazão no venturi da esquerda. 0,25m 2,0m 100mm 50mm 1 2 3 4 z=1m z=0,5m Q 4.5.4) A figura mostra um reservatório de grandes dimensões, com ar pressurizado na parte superior, conforme demonstrado pelo manômetro. O reservatório possui um orifício de 0,01m de diâmetro em sua parede lateral, descarregando um jato livre na atmosfera, no qual foi posicionado um tubo de Pitot, em posição que não obstrui o jato. ar 0.75m D1 = 0,3m D2 = 0,15m 1 2 água Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 82 Pede-se determinar a vazão que sai pelo orifício e a leitura h, sabendo que o coeficiente de contração do orifício é 0,66. 4.5.5) O tubo de 100mm de diâmetro descarrega água em jato livre através do bocal de 50mm. As perdas de carga entre a saída e o piezômetro são ∆h = 10V2/2g sendo V a velocidade no tubo. A leitura do piezômetro é h= 2,5m. Calcular a vazão. 4.5.6) Água de um reservatório de grandes dimensões escoa em regime permanente na tubulação da figura, que termina num bocal de 75mm descarregando em jato livre. O fluido no manômetro é mercúrio (d=13,6). Pede-se determinar, desprezando as perdas: a) a vazão; b) a pressão p indicada pelo manômetro no tubo de 100mm, e c) a carga H. 4.5.7) Água de um reservatório de grandes dimensões escoa em regime permanente na tubulação da figura, que termina num bocal de 100mm descarregando em jato livre. O fluido no manômetro é mercúrio (d=13,6). Pede-se determinar, desprezando as perdas: a) a vazão; b) a pressão p indicada pelo manômetro no tubo de 100mm, e c) a carga H. h 0,15m 0,40m Hg Ar Água Jato Livre 50mm 100mm h 2m Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 83 4.5.8) Um reservatório de grandes dimensões contém água (γ = 9.800 N/m3 ) escoando por um orifício circular de parede delgada na parede inclinada a 60°, sendo que o jato sobe até um nível 2,0 m acima do orifício. Sabe-se que a área do orifício é 5 cm2, e que seus coeficientes são CC = 0,60 e CV = 0,9. Calcule a) a carga H no orifício b) a vazão escoada. 2m H = ? 4.5.9) Na tubulação da figura a água escoa com velocidade de 2,4 m/s no ponto A. Aonde o nível da água chegará no piezômetro C? 4.5.10) Se cada manômetro indicar a mesma leitura para uma vazão de 28 l/s, qual deverá ser o diâmetro da constrição na figura deste problema? Ex. 4.5.9 Ex. 4.5.10 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 84 4.5.11) Para uma vazão de ar de 2 m3/s (γ = 12,0 N/m3) qual deverá ser a maior seção A2 necessária para que a água se eleve até a abertura do piezômetro? Despreze efeitos de compressibilidade. 4.5.12) Bombeia-se ar através de um tanque conforme indicado na figura. Desprezando efeitos de compressibilidade, calcule a velocidade do ar no tubo de 100 mm. A pressão atmosférica é de 91 kN/m2 e o peso específico do ar é igual a 11 N/m3. 4.5.13) A água escoa num tubo vertical de 50mm conforme a figura, caindo em jato livre sobre um disco com 0,30m de diâmetro. No centro do disco está um manômetro diferencial. O escoamento é axissimétrico, com a água deixando o disco horizontalmente, num jato com 1mm de altura. Calcule a vazão e a deflexão no manômetro. Ex. 4.5.12 Ex. 4.5.13 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 85 CAPITULO 5: TRANSFORMAGAO DE REYNOLDS Relagao Sistema x Volume de Controle 5.1 Introducao Vamos iniciar com o balango global de massa (equagao 3.22), deduzido no item 3.3. oO > 5D SF icr avo! + [,.2 V.dA = 0 (eq. 3.22) Alguém com talento para generalizagdes pode perceber, ao considerar a equagao 5.22, que 0 segundo membro representa uma declaragao valida para qualquer Sistema, em relagao a massa, da seguinte forma: a -o 5.1 dt SISTEMA O primeiro membro surgiu ao aplicar o conceito de conservacao de massa a um VC, ou seja, representa a taxa de variagao da massa do V.C. ao longo do tempo. Mas, o que éa taxa de variagao no tempo da massa de um V.C.? Aplicando diretamente a definigao do calculo obtemos equag¢ao 5.2. aM _ |: Myc (t+At)- Myc (t) OE Lc = limatso TS 5.2 Onde M indica a massa do Volume de Controle e os indices indicam 0 tempo em que ela é avaliada. Pergunta : Podemos demonstrar que a derivada da equacao 5.2 é equivalente as duas integrais do balanco global da equa¢ao 3.23? Se provarmos que a derivada da equacao 5.2 é igual as integrais do balanco da equagao 3.22, mostraremos que, na verdade, a equacgao do balango relaciona uma propriedade da massa valida em um sistema a descricao dessa mesma propriedade com variaveis medidas de forma Euleriana, ou seja, em pontos definidos do espacgo. Tentaremos deixar claro este ponto no prdéximo item. 5.2 DoSistema ao Volume de Controle A relagao entre Sistema e Volume de Controle para uma dada lei fisica € chamada também de Transformacdo de Reynolds. E uma ferramenta muito Util, porque todas as leis da fisica classica se aplicam a quantidades de massa definidas. Na Mecanica dos Fluidos, como ja pudemos perceber, € importante que tenhamos leis validas para uma regiao definida do espago, o Volume de Controle. Logicamente, tudo que for valido para a Massa, Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 86 também será válido para qualquer outra grandeza extensiva N. Nessa generalização para outras grandezas extensivas nosso esforço será amplamente recompensado. Imagine um escoamento, visualizado esquematicamente na Figura 5.1 por meio de suas linhas de corrente. Existe um Volume de Controle qualquer, que contém inicialmente em seu interior uma massa que constitui o Sistema sob análise (Fig. 5.1(a)). Podemos pensar que o volume foi demarcado por uma linha de tempo, acompanhando a forma do sistema no instante inicial. Decorrido um intervalo de tempo ∆t, o Sistema, carregando consigo sua massa e suas grandezas extensivas N, terá se deslocado devido ao escoamento, enquanto que o V.C. permanece fixo no espaço, conforme ilustrado na Figura 5.1(b). Lembre-se que a Linha de Tempo pode deformar-se ao acompanhar o escoamento, mas sempre demarcará a mesma quantidade de fluido inicial (com a mesma massa e mesmas quantidades das grandezas extensivas N - ver propriedades da linha de tempo). tempo t tempo t + t ∆ V.C. = Sistema V.C. permanece fixo Sistema deslocou-se 1 2 3 (a) (b) Figura 5.1: Volume de Controle e Sistema em dois instantes consecutivos num escoamento. A situação do sistema em relação ao VC permite definir 3 regiões do espaço, conforme assinalado na Figura 5.1(b). A massa do sistema no instante t corresponde à massa contida nas regiões 1 e 2. No instante seguinte a massa do sistema ocupa as regiões 2 e 3. A mesma consideração vale para as quantidades de grandeza N que a massa possui: [MS]t = (M1 + M2)t 5.3 [NS]t = (N1 + N2)t 5.3-a [MS]t+ ∆t = (M2 + M3)t+ ∆t 5.4 [NS]t+ ∆t = (N2 + N3)t+ ∆t 5.4-a Com esse expediente, as equações 5.3 e 5.4 relacionam a massa do sistema por meio de medições nas regiões do espaço correspondentes, indicadas pelos índices1, 2 e 3. Observe que as quantidades de massa e da grandeza N devem ser descritas por variáveis Eulerianas, embora a quantidade total das grandezas seja de um sistema. A taxa de variação no tempo da grandeza N (ou da massa M) do sistema fica então: Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 87 dN li LN decar — [N, |, li (N,+N,)i 44, —(N, + NZ), dt s At—o At At—o At 9.5 Lembrando que N é substituido por M no caso do balango de massa. Observe que parte da massa do sistema que antes estava no V.C. foi afastada pelo fluxo que entra no V.C., levando consigo suas grandezas extensivas. Assim, podemos associar a grandeza N (ou a massa) da regiao 1 da Figura 5.1 ao fluxo de entrada da grandeza N ( ou da massa): N, = F,, At 5.6 Da mesma forma, ao acompanhar o escoamento, o sistema teve parte de sua massa atravessando a area de saida, identificada pelo volume 3 da Figura 5.1. Portanto, o fluxo de saida da grandeza N pode ser usado para calcular a quantidade Ns. N,= Fy, At 5.7 Esses resultados serao usados para simplificar a equacao 5.5: a _ 1j (N,) war — (ND), + NAAN, 58 ~ jam . dt Ss At>0 At dN _— lim (N)rvar i (N,), + CF. i Fy, , )At dt s Ato At 9.9 E facil perceber que os fluxos da equacdo 5.9 nado dependem do limite considerado, porque sao fluxos médios no intervalo de tempo. Assim, a derivada da massa no sistema fica com dois termos, mas apenas um varia no limite para Art > 0: dN (Nine — ON, ) _ lim 27t+At 27t + F _ F dt 5 At_30 At N,S N,E 5.10 O préximo passo é verificar que quanto menor o tempo Ar, menor é 0 volume que vai entrar e sair do V.C. devido ao escoamento. Isto implica que no limite o volume 2 tende para O proprio Volume de Controle, de forma que podemos escrever a Lei Fisica da Conservacao da Massa da seguinte forma: dN ON TI) a> — 11 dt . Ot Li + Fn,s ENE ° Usando as variaveis de interesse nos termos do segundo membro da equagao 5.11 obtém-se, para o caso da Massa: dM 0 = 7 ale =0 = at Sic adVol + Se? V-dA 5.12 O esquema da Figura 5.2 realg¢a os aspectos interessantes da equa¢ao 5.12 Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 88 “ore oer creer r= ere Tr ere re er rere Tre er rer r= ere er re r= ese eS pence / . . i. \ we Lei Fisica“. Mesma Lei descrita com medicdes I “ valida para Sistema no Volume de Controle ; i 1% 1 ‘. —| =0/= — pdVol + pV-adA | ee dt Ss Je 0 t vc sc I te, we N / ee, cee ——— = = SSeS eS SS SSS SS Se eS eS eee “ %, 4 *, / Variaveis Lagrangeanas <**** “-- Variaveis Eulerianas Figura 5.2: Transformacao de Reynolds relaciona grandezas Lagrangeanas a grandezas Eulerianas 5.3 Balanco Global de Grandezas Extensivas Vimos que tudo que é valido para a massa, também é valido para as grandezas extensivas que a massa transporta. Assim, a relagao sistema - volume de controle para uma grandeza extensiva N qualquer pode ser escrita diretamente, a partir das equagdes 5.11 e 5.12 como: aN 0 =z 77> —| =— adVol + V-dA 5.13 dt . at vc IP Isc P Lembrando que a quantidade especifica n da grandeza N é dada por: dN = yn dm. A equacao 5.13 é chamada também de “balango global de grandezas extensivas’. Observe que nao podemos considerar nula a taxa de variagao da grandeza no sistema (lado esquerdo - Lagrange), pois isso é valido somente para a massa, e nao para grandezas extensivas em geral. Isso sera visto com detalhe nos itens seguintes. A Figura 5.3 realca os aspectos de mudang¢a de pontos de vista envolvidos na Transformacao de Reynolds. a amet ee ee ee ee ee ee ee eer errr ere RK a Lei Fisica: “| Mesma Lei descrita com medic¢ées \ / vale para Sistema x no Volume de Controle qdN| i090 2 i __ —i __ . . del. at np adVol + nov dA % 5 4] ve SC I , aan eet *, Ne---- 7 === = = SE SK SK SK SK SK KT SKF SK KT SKT SKS , 7 %, ‘ , 4 os . . Variaveis Lagrangeanas <*""* ‘--—> Variaveis Eulerianas Figura 5.3: Transformacao de Reynolds para uma grandeza extensiva N qualquer. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 89 CAPÍTULO 6: BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA A energia é uma propriedade das substâncias. Contrariamente ao trabalho ou calor, o sistema possui uma quantidade determinada de energia, que é grandeza extensiva. Sabemos da termodinâmica como representar a variação da energia de um sistema durante um processo qualquer. Neste item vamos desenvolver o mesmo conceito em uma equação válida para um Volume de Controle, aplicando a 1a. Lei a um sistema e usando a relação Sistema - V.C. A grandeza em questão é a energia E, de forma que seu valor específico por unidade de massa (joules por kilograma, no SI) é : u gz V e dm dN + + = = = 2 2 η interna potencial cinética 6.1 O primeiro princípio da termodinâmica é a lei da conservação da energia, deduzida a partir de observação, e aplica-se a todos fenômenos físicos. Para um processo qualquer, a primeira lei diz que a variação da energia é igual à diferença entre o calor fornecido ao sistema e o trabalho realizado sobre o sistema durante qualquer variação de estado. E W Q δ δ δ = − Portanto, unindo a 1a. lei da termodinâmica, que descreve a variação da energia num sistema, ao resultado previsto pela relação Sistema - V.C., ficamos com a seguinte equação: ∫ ∫ ⋅ + = − = SC VC V dA e dVol e t t W t Q dt dE S   ρ ρ δ δ δ δ δ δ 6.2 que representa o balanço de energia num V.C. Vamos agora colocar a equação da energia em termos das grandezas físicas que são usadas nos cálculos de escoamentos: pressões, velocidades, cotas, potências de bombas e perdas por atrito viscoso. O primeiro passo nesse sentido é a divisão do trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente. Um sistema realiza trabalho sobre o ambiente quando ele se contrai ou expande. Q - Sistema Convenção de Sinal W + W - Q + Processo Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 90 Nesse caso sao as forgas de contato ao longo da sua superficie as responsaveis pelo trabalho. Forgas de contato originam-se das pressdes e das tensdes de cisalhamento ao longo da superficie do sistema. Além disso, trabalho pode ser extraido ou retirado de um sistema fluido sem que suas fronteiras se movam, por meio do torque existente em um eixo com pas. E 0 caso das bombas e turbinas. Loo trabalho de eixo (bomba ou turbina) W = Wo + Wy + W \ “——— trabalho de foreas tangenciais (cisalhamento) trabalho de forgas normais (pressao) 6.3 trabalho das forcas de pressao Imagine um sistema que esta se expandindo. Por exemplo, os gases no interior de um cilindro de motor empurrando o pistao, como na Figura 6.1: t t +At pistao de area A —>} , Po = oo ho ; oo p—>|_| {| Ls | AX | Figura 6.1: Trabalho realizado pelas forcas de pressao O trabalho realizado pelas forgas de pressao na fronteira do sistema durante a expansao é dado por AW, = F-Ax + AW, = pA-Ax 6.4 A taxa de realizagao de trabalho é dada por AW, / At: AW —~ AX _ = At At O resultado da eq. 6.5 é valido quando a pressao e a velocidade sao constantes ao longo da area e durante o intervalo At. No caso geral devemos usar valores instantaneos da velocidade, e forg¢as atuando em uma area elementar dA. Essas forgas sao dadas por af = pdA Assim o trabalho das forgas ao longo de toda a area movel é: OW, => > Ot — I, P dA-V (trabalho das for¢as de pressao) 6.6 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 91 trabalho das forgas tangenciais Podem existir também tensdes de cisalhamento atuando na superficie do sistema. Mas o trabalho das forgas tangenciais sera anulado sempre que as areas forem perpendiculares ao vetor velocidade. Devemos nos lembrar disso quando escolhermos o V.C. dos problemas, para facilitar a solugao. Veja a Figura 6.2: T i p— {| F, — 1 y W, = F, - AX See I = |! F ___ | r .V ——_— i —~ |} Figura 6.2: Fronteira movel em que o trabalho das forcas tangenciais é nulo Portanto, o trabalho das forgas de contato fica reduzido apenas ao trabalho das forgas de pressao nas entradas e saidas do V.C., desde que as areas de entrada e saida sejam perpendiculares as velocidades. Assim, temos que: Ow ow, 6W -- OW Oa pds 67 ot ot Ot AE + AS Ot As areas de entrada e saida podem ser substituidas por toda a superficie do V.C., pois ao longo das areas laterais a velocidade é, por definigao, perpendicular a area e o produto escalar dA-V é nulo. OW - —- OW. OF | y dA:V + —+ 6.8 Ot SC Ot Usando o resultado da equacao 6.8 para substituir o termo do trabalho na equagao 6.2 vemos que: 6 ow OW, é —— OD _ On _ OMe _ —| epdVol + | epV-dA 6.9 Ot Ot Ot Ot “ve sc dO OW 0 Pp . —~—- —£ = —[ epdvol + [| ( —+e )pV-dA} 640 ot ot Ot “VC SC’ 9p Balanco Integral da energia Os termos da equacgao do balanco integral da energia, eq. 6.10, representam trabalho por unidade de tempo. Assim, todos os termos equivalem a taxas de variagao da energia no tempo. No caso do segundo termo do segundo membro essa variagao da energia no tempo Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 92 decorre da diferença de fluxos de entrada e saída de trabalho das forças de pressão (p/ρ) e energia interna (e) nas fronteiras do sistema. Suas dimensões são dadas por: 3 2 2 T ML T L T ML T L F t W = =  =      δ δ 6.11 As unidades no SI na equação 6.10 são de joules por segundo, ou Watt. 6.1 Aplicação a um V.C. em Regime Permanente As situações mais comuns na vida prática são as que envolvem um VC com apenas uma entrada e uma saída, operando em regime permanente, conforme a Figura 6.3. Vamos considerar também um trabalho de eixo, já que é muito comum a presença de bombas ou turbinas nas aplicações hidráulicas. V1 V2 seção 1 : ρ 1 u 1 z 1 seção 2 : ρ 2 u 2 z 2 A entrada A lateral A saída We V.C. Figura 6.3: VC para aplicação do balanço integral da energia Como o regime é permanente, a integral de volume da equação 6.10 desaparece. Usando os valores médios das grandezas do escoamento nas áreas 1 e 2, de entrada e saída, podemos efetuar a integral de superfície. Com esses passos a equação da energia fica: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 V A e p V A e p t W t Q e ρ ρ ρ ρ δ δ δ δ + − + = − 6.12 Podemos rearranjar os termos da equação 6.12 e escrever a energia específica “e” em termos de suas componentes cinética, potencial e interna: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 93 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 A V ) u gz V p ( t W V A ) u gz V p ( t Q e ρ + + + ρ + δ δ = ρ + + + ρ + δ δ 6.13 Se aplicarmos agora o princípio da conservação da massa para escoamentos permanentes, veremos que ρ1V1A1 = ρ2V2A2 = FM . Podemos dividir então os dois membros da equação 6.13 pelo fluxo de massa. ( ) ( 2 ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 u gz V p VA t W u gz V p VA t Q e + + + ρ + ρ δ δ = + + + ρ + ρ δ δ 6.14 O fluxo de massa multiplicado por um intervalo de tempo δt fornece a massa escoada durante o tempo: m t m t t V A = δ δ δ = δ δ ρ 6.15 Com 6.15 em 6.14 vemos que os termos iniciais dos dois membros da equação 6.14 representam, respectivamente, quantidade de calor e trabalho por unidade de massa acrescentados ou retirados do V.C. ( ) ( 2 ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 u gz V p m W u gz V p m Q e + + + ρ + δ δ = + + + ρ + δ δ 6.16 Todos os termos da equação do balanço global da energia representam trabalho, ou energia, por unidade de massa do escoamento. Suas dimensões são [L2T-2] e as unidades no sistema SI são m2/s2. Partindo da forma básica surgem simplificações para as aplicações mais comuns na prática, visto que nem todos os termos têm importância igual em todos os problemas. 6.2 Problemas isotérmicos: bombas, turbinas hidráulicas e tubulações O escoamento dos fluidos reais sempre leva a gradientes de velocidade e ao aparecimento de tensões de cisalhamento. Sempre existe a geração de calor pelo trabalho das forças viscosas dissipativas, mesmo que não existam fontes de calor no volume de controle. Nessas aplicações hidráulicas é conveniente agrupar o termo do calor aos da energia interna e o balanço de energia, a partir da equação 6.16, fica: ( m ) Q u u gz V p m W gz V p e δ δ ρ δ δ ρ − − + + + = − + + 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 6.17 A ação das forças de atrito viscoso numa partícula que escoa entre as seções 1 e 2 provoca seu aquecimento. Portanto u2 - u1 >0. Entretanto, parte desse calor gerado é Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 94 perdido para o ambiente, o que torna o termo do calor (δQ/δm) negativo pela nossa convenção. Assim, verifica-se que o último termo da equação 6.17 é sempre positivo. Uma vez que a transformação de trabalho em calor é um processo irreversível, a quantidade de energia representada pelo último termo não pode mais ser recuperada para trabalho útil. Dizemos então que o termo final da equação representa uma perda de energia do sistema. Trata-se, em outras palavras, da irreversibilidade do processo, ou seja, a diferença entre o trabalho realizado ao longo de um caminho reversível e o real. Usando a notação de perdas para o termo das irreversibilidades do escoamento, a equação da energia fica: 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Perdas 2 2 − + + + = − + + V gz p m W V gz p e ρ δ δ ρ 6.18 Os termos da equação 6.18 representam energia por unidade de massa, ou joules por kilograma no SI. Dividindo-se a equação 6.18 pela aceleração da gravidade o resultado não se altera e a equação fica expressa em termos chamados de Carga, muito utilizados na prática quando se trata de escoamentos incompressíveis. Em termos de carga, o balanço de energia fica: p1 γ + 𝑧1 + 𝑉12 2𝑔 − 𝐻𝑀 = p2 γ + 𝑧2 + 𝑉22 2𝑔 + ∆𝐻1−2 6.19 A carga representa energia por unidade de peso do fluido em escoamento, e é expressa em metros no sistema SI, dimensões [L]. A carga de eixo (He) é chamada também de altura manométrica da bomba ou turbina. Lembre que a altura manométrica de uma bomba hidráulica é negativa, pois a bomba adiciona energia ao fluido em escoamento. Inversamente, a altura manométrica de uma turbina é positiva. O termo das perdas dissipativas por unidade de peso é chamado de perda de carga, e é sempre positivo. O termo dissipativo (Perdas) não é calculado com a termodinâmica e sim com equações independentes, baseadas na dinâmica dos escoamentos. É necessário conhecer as tensões de cisalhamento no interior do escoamento, o que só é possível em escoamentos laminares. Essas demonstrações são encontradas em textos mais avançados de mecânica dos fluidos. No escoamento turbulento, entretanto, é indispensável usar resultados experimentais para avaliar as perdas por dissipação. Várias fórmulas empíricas foram ajustadas pelos pesquisadores em hidráulica. O item 6.4 apresenta algumas fórmulas para o cálculo da perda de carga. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 95 6.3 Exemplos Ilustrativos EXEMPLO 6.3.1: troca de calor em escoamento incompressivel Um aquecedor solar com area exposta ao sol de 4m? é utilizado para aquecer agua. Em determinado instante a placa capta a radiagao solar com densidade de fluxo de 500W/m?. A agua a ser aquecida passa através do aquecedor com velocidade de 0,5m/s no interior de tubos de 10mm de diametro interno. Sabe-se que a agua entra no aquecedor com temperatura de 20°C, e que a eficiéncia do aquecedor é de 45%, porque apenas parte do calor captado é transferido para a agua. Supondo que a massa especifica da agua permanega constante (p = 1000kg/m’), pede-se escrever a equa¢gao da energia para o problema e calcular a temperatura de saida da agua. Dado: c = 4185 J/(kg°C). Analise: O escoamento é considerado incompressivel, visto que a diminuigao da massa especifica com a temperatura é desprezada. O volume de controle a ser usado (conjunto de captador solar e serpentina de tubos que formam o aquecedor) possui apenas uma entrada e uma saida. Nao ha bombas ou turbinas no interior do V.C. de modo que o trabalho de eixo é nulo. Além disso, 0 regime de escoamento é permanente. Uma hipdtese simplificadora importante. Solucao: Partindo da equacao basica 5.10 5Q_ 5We _ 9 (2+ e)pV-dA ee = a Svc epdvol + Soc 7+ e)pV-dA Descartando os termos de trabalho de eixo e de variagao no tempo 8Q _ (2 ) V-dA = = Isc 7 t e)pV-da Considerando que o VC so tem uma entrada (se¢ao 1) e uma saida (segao 2) de agua, a integral em SC é dividida 8Q _ (2 ) V-dA (2 ) V-dA cs = 5+ e)pV dA + J, 7 t e)pV-da Considerando que as grandezas sao igualmente distribuidas pelo interior do tubo nas secoes de entrada e saida, os termos da energia especifica “e” e do trabalho nas fronteiras (p/p) pode sair da integral 6Q _ P1 TW oaN P2 TW oaN a Ct e1) J, oV-dA + +e) J, oV-dA Considerando que foi dada a velocidade média nas secoes de entrada e saida, avaliamos as integrais: 5Q y p x os + €)(—p VjAy) + C + €2)(+p V2A2) Sendo 0 escoamento permanente, p V;A; = p V2A:2 e, sendo incompressivel, V,A, = V2Az2 , ou seja, vazao de entrada e saida sao iguais. Além disso, como a area do Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 96 tubo é constante, a velocidade nao se altera. Usando essas informag6es e desdobrando a energia especifica: 8Q _ (2 V3 ) _ (Pa Vi st 7 + B22 t> tue Cy t+ 841 +5 +u,)/pVA Podemos desprezar a diferenca de pressao, assim como a diferenga de cota entre a entrada e saida. Assim, a equagao do balanc¢o global de energia, com as simplificagcdes do problema em questao fica: 6Q ot (uz— uy)pVA = c(T,— Ti) pVA Os valores numéricos conhecidos sao: 6 w 22 = 0,35x500— x4m? = 700W bt m2 x 2 pVA = 1000 & x10 = x=" m? = 0,0785 “2 Substituindo os valores numéricos na equagao do balanco de energia: k 700 w = 4185 ~— x 00785 “2 x (7, — 20) °C kg °C Ss Resolvendo obtém-se: T, = 22,1 °C Resposta: nas condicg6es dadas a agua deixara 0 aquecedor com temperatura de 22,1°C. Comentario: A temperatura de saida ficou muito baixa. Observando-se a equacao deduzida para o problema percebe-se que, para melhorar o resultado, é possivel (a) aumentar a area do coletor solar ou (b) diminuir a vazao de agua através dos tubos. EXEMPLO 6.3.2: escoamento compressivel com troca de calor Uma turbina a vapor usa 4.600 kg/h de vapor e entrega 700 kW de poténcia a um gerador elétrico, conforme a figura. Os dados de entrada e saida do vapor sao dados a seguir. Pede- se calcular a perda de calor através da carcaga da turbina e nos mancais. Calcular a efi- ciéncia da turbina. Entrada: hy = 2790kd/kg; V; = 60m/s. Saida: hz = 2093kd/kg; V2 = 270m/s. (1) (2) dQ Mey et a [_ | (| we. 2 === SE dW. \ —= 700W I | dt I | | bee [ee SS Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 97 Analise: Com o volume de controle desenhado na figura, aplicaremos o balango de energia em regime permanente. Nos casos de escoamentos compressiveis com variagao de temperatura entre a entrada e saida do VC, é util escrever a equagao explicitando a entalpia h (nh =u + p/p). Nesses casos, apos as simplificagdes para regime permanente em um VC com apenas uma entrada e uma saida, a equacao 5.10 é transformada na eq. 5.14 fica: 2 2 dtp VA P4 2 ' ' dtp VA Po 2 Pelo fato do escoamento ser compressivel, os termos p/p e u Sao Somados para formar a entalpia do gas, de forma que a equacao do balanco fica: 80 (My gah OMe (ey gn th —. Z = —_— Z StpVA \2 °° 940% St pVA \2 | 927” Nas condigoes do problema a diferenga de energia potencial pode ser desprezada. Os demais termos foram fornecidos. Solugao: a) Perda de calor: Substituindo os valores numéricos na equagao acima, temos: kg Fn = p VA= 4600 0s = 1,278 kg/s 50 W, V3 Vi — —£ —* — {—+ 2 5 (sn) (on) 5Q kg [(2707 60° \m2 J —= 700000 + 1,278— || ——— — —— ]— + (2093 — 2791) x1000 — ot s 2 2 } Ss kg 6 oe = —147761W ot O sinal negativo indica que o calor deixa o volume de controle. b) Eficiéncia O calculo da eficiéncia usa o fato de que quando ha 100% de eficiéncia a perda de calor é nula. Assim, o trabalho reversivel é dado pela energia total retirada do vapor, conforme a equagao: 2 2 OW,ev V2 Vi — Se mtg (Gen 7 + hy OW, ——* = 847761 W ot Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 98 O trabalho reversível pode ser calculado diretamente, somando o trabalho líquido (700kW) às perdas (147kW). A eficiência é dada pelo trabalho líquido em relação ao trabalho máximo (reversível) η = 𝛿𝑊𝑒 𝛿𝑊𝑟𝑒𝑣 = 700000 847761 = 0,826 Portanto, 82,6% de eficiência da turbina. EXEMPLO 6.3.3: ______ escoamento incompressível isotérmico A figura mostra uma bomba que retira água de um grande reservatório por meio de uma tubulação de 150mm de diâmetro, e descarrega em jato livre num ponto 30m acima do eixo da bomba. A pressão relativa na seção 1 (sucção da bomba é de 100 kPa) e a velocidade é 6m/s. Sabendo que a velocidade no bocal de saída é 10m/s e que as perdas de carga na tubulação são de 5 m.c.a., calcular a potência fornecida pela bomba. Sabendo que o rendimento da bomba é de 65%, calcular a potência consumida pela bomba. Análise: O escoamento é considerado incompressível e permanente. Adotamos como volume de controle a água na tubulação entre as seções 1 e 2. O jato descarrega com pressão atmosférica (jato livre), portanto com pressão relativa nula. O balanço de energia para este caso é dado pela equação 5.19 em termos de trabalho por unidade de massa: 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Perdas 2 2 − + + + = − + + gz V p m W gz V p e ρ δ δ ρ Sabendo que ∆𝐻 = 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑔 , temos que 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠1−2 = ∆𝐻1−2 × 𝑔 ( 𝑚2 𝑠2 ) Solução: Adotando massa específica da água ρ = 1000 kg/m3 e substituindo valores na equação acima, 100000 1000 + 62 2 + 0 − 𝛿𝑊𝑒 𝛿𝑚 = 0 + 102 2 + 9,8 × 30 + 5 × 9,8 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 99 𝛿𝑊𝑒 𝛿𝑚 = − 275 ( 𝐽 𝑘𝑔) O termo é negativo porque se trata de uma bomba que realiza trabalho sobre a água. A potência fornecida pela bomba é calculada multiplicando-se o termo do trabalho de eixo por unidade de massa pelo fluxo de massa do escoamento. 𝑃𝑜𝑡 = 𝜌 𝑉 𝐴 𝛿𝑊𝑒 𝛿𝑚 𝑃𝑜𝑡 = 1000 × 10 𝑥 0,005625 × 275 = 15470 𝑊 A potência consumida : 𝑃𝑜𝑡𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝑃𝑜𝑡𝐿í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 η𝐵 = 15470 0,65 = 23800 𝑊 Obs: a potência consumida pela bomba é maior do que a transferida ao líquido devido principalmente a perdas por atrito nos mancais e por recirculação do líquido no interior da bomba, das zonas de alta para as de baixa pressão. 6.4 Efeito do Atrito nos Escoamentos Podemos fazer a analogia entre o escoamento no interior de um tubo e um trem sendo empurrado nos trilhos por uma locomotiva, conforme o esquema da Figura 6.4. Figura 6.4: Diagrama de forças aplicadas a cada ligação entre vagões empurrados por uma locomotiva. Na analogia entre trem e escoamento, cada vagão pode ser imaginado como uma certa quantidade de massa do fluido em escoamento. As forças transmitidas para cada vagão pelos vínculos correspondem no escoamento às forças resultantes das pressões que atuam em cada face dos elementos de massa. Supondo massas e atrito iguais em todos os vagões, podemos calcular as forças nos vínculos entre os vagões, que são as barras 1,2,3,4 e 5 vistas na Fig.6.4. Nada impede que as forças sejam colocadas num gráfico da posição dos vagões. Na Figura 6.4 a energia para o movimento é fornecida pela locomotiva, e consumida 1 2 3 4 5 V x F Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 100 pelo trabalho dissipativo do atrito ao longo do trem. Com isso as forgas nos vinculos entre vagoes diminuem. No caso de fluido escoando num tubo, as forgas nos vinculos sao substituidas por distribuigao de tensdes ao longo da area de contato entre os elementos de massa, conforme oO esquema da Figura 6.5. Fo OY —_ 1 2 3 4 5 6 —__ l (a) Tp Diagrama de Forcas a ae eee F —~ FR] = F3.4 <<" Te. 34 eo ~— P54 ~~. — Fe at (b) Tp (c) Figura 6.5: Fluido escoando em um tubo - (a) analogia entre as massas de fluido e os vag6es do trem; (b) isolando o elemento de fluido; (c) diagrama de forcas resultantes no elemento 4. Pensando em cada uma das porcdes de massa de fluido, representadas pelos blocos numerados da Figura 6.5, vemos que elas recebem energia para o escoamento ( fornecida por uma bomba ) e, a medida que passa o tempo, essa energia é dissipada pelo trabalho das forgas de atrito, fazendo com que a pressao diminua. Podemos entao equacionar as diferengas de forgas entre os vinculos em fungao do atrito: F3_4 = Fs_4 + Fat Usando A, = Area lateral e At = Area de secdo transversal vemos que: Fat = Tp A, a F3_4 = p3-4 Ar > Ps-4 = P3-4 — a Fs_4 = ps—4 Ar Observe que o bloco 5 de fluido ja esteve anteriormente na posicao do bloco 1. Como avancgo do tempo ele se desloca e perde pressao. Entretanto, outra massa trazida pelo escoamento ocupa a posi¢ao do bloco 1 quando ele se desloca para a posicao do bloco 2 e assim sucessivamente. Assim, embora as unidades de massa (blocos ) sejam transportadas no espa¢go ao longo do tubo, o perfil de pressdes visualizado em um determinado trecho do tubo permanece constante no tempo. Este raciocinio leva ao perfil de pressdes no tubo conforme a Figura 6.6: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 101 Figura 6.6: Diagrama de pressões resultantes no escoamento de fluido num tubo. devido à viscosidade do fluido (forças de atrito). Veja que a analogia não é perfeita devido a essa maior liberdade de raciocínio que temos ao analisar os escoamentos, já que uma unidade de massa pode sempre ser substituída por outra, num determinado local de análise, à medida que passa o tempo No trem, as forças permanecem constantes ao longo do tempo em cada vagão (Sistema – Análise Lagrangeana). Com o fluido, as pressões permanecem constantes em uma dada região do tubo (Volume de Controle – Análise Euleriana). 6.4.1 Perdas de Carga em Escoamento em Tubos A energia por unidade de peso do fluido em escoamento, ou carga total, foi definida pela equação 4,14, assim como seus componentes, a carga piezométrica e a carga cinética. Os termos da equação da energia podem ser representados graficamente num escoamento em tubos pelas Linhas de Carga, conforme o esquema da Figura 6.7. Figura 6.7: Linhas de carga num trecho de tubo: H = carga total, ∆H = perda de carga. A equação da energia, na forma de cargas da Equação 6.19, pode ser aplicada entre as seções 1 e 2 do escoamento da Figura 6.7. x P 1 2 3 4 5 Perfil de Pressões observadas no tubo. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 102 Vv P. Vy Pry po —~ H, = ~+2z,+— +AH,, y 28 y 28 Como nao ha trabalho de eixo a equagao fica: P1 Ve _ pe V3 — —=— — + AH, y. 214 36 y. 243g F 1-2 Desta forma, no caso do escoamento em tubo da Figura 6.7, a perda de carga é escrita como: v3 p v2 AH,- =(B+z +2) (B+z + 24) 6.20 he y “2 " 2g yo “1 2g As perdas de energia por unidade de peso, ou perdas de carga, numa tubulagao com escoamento forgado, podem ser expressas pela chamada equa¢ao universal: 2 LV AH 45 = f —— 6.21 D 2g em que a perda é dada em metros, f € um adimensional chamado fator de atrito, L € o comprimento em metros entre as segdes 1 e 2 e Dé 0 diametro da tubulagao em metros. O fator de atrito f 6 determinado por ajuste de dados experimentais. Sabe-se que f depende do numero de Reynolds do escoamento e da rugosidade relativa ¢/D. A utilizagao das formulas originais de regressao para o fator de atrito é dificultada porque sao equagdes implicitas, ou seja, com a incdgnita nos dois membros. Varias aproximagées explicitas para o fator de atrito f foram propostas ao longo da segunda metade do século 20. Uma aproximacao bem simples e com faixa de validade bastante ampla foi apresentada por Swamee e Jain (1976), conforme a equagao 6.22. f= 1,325 . 6.22 € 5,74 In| ——— + ———_ 3,7D Re 0,9 sendo € a rugosidade absoluta da parede do tubo, D o diametro interno do tubo e Re o adimensional numero de Reynolds. O numero de Reynolds é dado por: VD VD Re = 2— = — 6.23 w v Sendo: p (kg/m*) a massa especifica; u (kg/m.s) a viscosidade e v = p/p (m*/s) a viscosidade cinematica. A formula de Swamee e Jain possui um erro de no maximo +1% em relagao ao diagrama de Colebrook- Moody. Os limites de utilizacdo sao: 10°%<«/D<10% e 5000 < Re < 10°. Para escoamentos laminares o fator de atrito é: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 103 Re f = 64 ; válida para Re < 2000 6.24 Para facilitar a solução de problemas eventuais que requeiram a determinação do fator de atrito, pode se utilizada uma solução gráfica, com os valores numéricos do fator de atrito fornecidos pelo diagrama de Colebrook – Moody, apresentado na Figura 6.8. Figura 6.8: Diagrama de Colebrook – Moody, apresentando o comportamento do fator de atrito f. O diagrama de Moody mostra que o fator adimensional de atrito possui um comportamento relativamente complexo, em função do tipo de escoamento, da rugosidade do tubo e do número de Reynolds. A explicação deste comportamento é apresentada com mais detalhes no item 6.4.2, com auxílio da análise dimensional do problema. Exemplo 6.4.1: Um reservatório de nível constante alimenta uma tubulação de ferro galvanizado (e = 0,15mm) de 250 mm de diâmetro e 500m de comprimento, que conduz água (ν = 1,1 x 10 –6 m2/s) até um reservatório com o nível de água situado 20m abaixo. Uma vazão de 0,15m3/s é regulada por um registro no final da tubulação. Pede-se calcular: a) a perda de carga na tubulação; b) a pressão antes do registro de regulagem. Análise: Será necessário calcular a perda de carga na tubulação e, para isso, vamos supor escoamento turbulento, aplicando a equação de Swamee e Jain (6.22). A carga antes do registro será calculada pela equação da energia aplicada entre um ponto qualquer da água parada no reservatório e o ponto imediatamente a montante do registro de saída da tubulação. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 104 Inicialmente, calculamos o número de Reynolds do escoamento: ,0 25 694494 10 1,1 ,015 4 4 Re 6 = × × × × = = = = − π πν ν µ ρ D Q VD VD Como Re está dentro dos limites de utilização, a eq. 6.22 pode ser usada: 0181 ,0 694494 ,5 74 *200 7,3 ,015 ln 325 ,1 2 9,0 =           + f = A perda de carga é dada pela eq. 6.21. Com os valores numéricos temos: m HTubo 17,28 ,0 25 8,9 ,015 8 ,0 25 500 ,0 0181 5 2 2 = × × × × × = π ∆ Resposta item a: Cada Newton de fluido perdeu 17,28 Joules de energia devido ao atrito viscoso, ao percorrer os 500m de tubo. Essa energia foi transformada em calor. Resta calcular a pressão a montante do registro, aplicando a equação da energia. Chamamos o ponto inicial do reservatório de “1”, tomado, por simplicidade, na superfície do reservatório, e de “2” o ponto imediatamente a montante do registro. p1 γ + 𝑧1 + 𝑉12 2𝑔 − 𝐻𝑀 = p2 γ + 𝑧2 + 𝑉22 2𝑔 + ∆𝐻1−2 (eq. 6.19) Como não há trabalho de eixo a equação fica: p1 γ + 𝑧1 + 𝑉1 2 2𝑔 = p2 γ + 𝑧2 + 𝑉2 2 2𝑔 + ∆𝐻1−2 Substituindo os valores numéricos, lembrando que V = /A = 3,06m/s, vem: 17,28 8,9 2 ,3 06 0 0 20 0 2 2 + × + + = + + γ p ⇒ m p ,2 24 ,0 48 17,28 20 2 = − − γ = Tendo a carga equivalente a 2,24m, o cálculo da pressão é imediato: 𝑝2 = 𝛾 × 2,24 = 9.800 × 2,24 = 21.592 𝑃𝑎 Resposta item b: A pressão imediatamente a montante do registro é 21,5kPa. Comentários adicionais: A perda de carga no tubo permite calcular a potência total dissipada pelo atrito viscoso ao longo do comprimento do tubo. Como a perda de carga é a energia perdida por cada Newton que escoa, basta multiplicá-la pelo fluxo de água em Newtons por segundo, como segue: 𝑃𝑜𝑡𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎,𝑇𝑢𝑏𝑜 = 𝛾 𝑄 ∆𝐻1−2 = 9800 0,15 17,28 = 25.402𝑊 Imediatamente após o registro está a saída do tubo com pressão nula, e a carga cinética é a mesma antes e depois do registro, porque o escoamento é permanente. Com isso deduzimos que a perda de carga no registro é igual a 2,24m. Para que a vazão seja regulada o registro dissipa uma potência dada por: 𝑃𝑜𝑡𝐷𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎,𝑅𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜 = 𝛾 𝑄 ∆𝐻𝑅𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜 = 9800 0,15 2,24 = 3.293𝑊 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 105 6.4.2 Sobre o Fator de Atrito Todas as grandezas da equagao 6.21 podem ser medidas experimentalmente, para determinar o coeficiente de atrito, por meio de ensaios de simples execugao. Um esquema experimental tipico 6 mostrado na Figura 6.9. . L DX /~ Venturi a V X 1 Figura 6.9: Arranjo experimental para determinacao de perdas de carga. A segao experimental situa-se entre os pontos 1 e 2 da Figura 6.9, sendo alimentada por agua em circuito fechado por meio da bomba centrifuga. A vazao é regulada pelo registro e medida pelo tubo Venturi. A aplicagao da equagao da energia entre asecao 1e26 apresentada na equagao 6.20. v2 Pi v2 AH,_ =(2+z + 2) — (B+ z + 41) 1-2 Y 27 Fe Y 17 3p Nas condicdes do ensaio a carga cinética e a carga potencial se mantém constantes entre as secdes 1 e 2 porque o tubo é horizontal e com diametro constante. Dessa forma, a dissipagao de energia é indicada pela diferenca de pressao medida pelo mandémetro diferencial. p AH,_2 = Pa —_— =t Y Y Os resultados obtidos nos ensaios mostraram as seguintes caracteristicas da perda de carga: 1. Aperda de carga nao depende da pressao do tubo; 2. Aperda de carga é diretamente proporcional ao comprimento do tubo; 3. A perda de carga depende da rugosidade do tubo no escoamento turbulento, mas nao no escoamento laminar; 4. A perda de carga diminui com o aumento do diametro e aumenta com a velocidade do escoamento; 5. Aperda de carga depende da viscosidade do fluido. Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 106 A partir das informagoes experimentais e analisando o problema fisico podemos afirmar que o fator de atrito ira depender de 7 variaveis dimensionais, ou seja: f=fV,D,p,W6,€',m) 6.25 Na relagao 6.25 temos: ¢ € uma medida do tamanho da rugosidade e tem dimensao L (comprimento), «’ 6 uma medida do arranjo da rugosidade e também tem dimensao L, m é um fator de forma, que depende do formato das rugosidades e é adimensional. A Figura 6.10 mostra um exemplo de como rugosidades de mesmo tamanho podem ser dispostas em diferentes arranjos e como a forma da rugosidade pode influenciar no escoamento. Dd mbes -' ae bho! 0.6.64! + ° Arranjo Fator de forma Figura 6.10: llustragao de diferencas de arranjo e de forma de rugosidades de mesmo tamanho. Além das 3 variaveis descritoras da rugosidade o fator de atrito depende da velocidade V do escoamento, do diametro D do tubo, e do fluido em escoamento, representado pela massa especifica 0 e pela viscosidade dinamica ww. Como f é adimensional, ele deve ser fungao das 7 variaveis agrupadas de forma adimensional. Pensando na situacao de tubo liso, ¢ , ’ e msao nulos, de forma que o fator de atrito depende apenas das 4 primeiras grandezas agrupadas num adimensional. Da andalise das dimensoes das grandezas, ou pela aplicagao do Teorema 7 da analise dimensional, podemos concluir que este adimensional 6 o numero de Reynolds. Para adimensionalizar os descritores da rugosidade basta dividir pelo diametro, ou seja, usar tamanhos relativos. Assim, a descrigao do fator de atrito em termos adimensionais deve ser uma fungao do tipo: =H a) 626 Embora a analise dimensional seja util para definir os parametros adimensionais que irao descrever o fendmeno em qualquer escala, ela nada fala sobre a forma da fungao f, que dever ser determinada experimentalmente. Blasius, em 1913, foi o primeiro a correlacionar os dados experimentais em escoamento turbulento, mas apenas para tubos lisos. A formula empirica de Blasius correlacionou os resultados dos ensaios com uma dispersao de + 5%, sendo dada por: 0,316 f = Zo1/4 6.27 O efeito do parametro &/D, chamado de rugosidade relativa, foi esclarecido por Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 107 Nikuradse, em 1933. Nikuradse utilizou tubos de vidro revestidos internamente com grãos de areia de tamanho uniforme. Os ensaios de Nikuradse demonstraram que o fator de atrito de tubos rugosos comporta a divisão em 3 regiões, que podem ser observadas na Figura 6.8 e, de forma mais esquemática, na Figura 6.11: na primeira, chamada de escoamento turbulento hidraulicamente liso, o tubo possui o mesmo fator de atrito de um tubo liso; nesta região f não depende da rugosidade relativa do tubo. Com o crescimento do número de Reynolds, o fator de atrito começa a depender tanto do número de Reynolds quanto da rugosidade; esta segunda região é chamada de escoamento turbulento de transição. Na terceira região, chamada de escoamento turbulento hidraulicamente rugoso, o fator de atrito depende apenas da rugosidade relativa. Com os dados de Nikuradse para tubos lisos e para a região de escoamento hidraulicamente liso dos tubos rugosos, a equação do fator de atrito é dada por: 8,0 ) ,0 86ln(Re 1 − = f f 6.28 A equação também vale para tubos de pequenas rugosidades relativas, quando o número de Reynolds é baixo. O escoamento na região em que o fator de atrito de um tubo rugoso fica igual ao de um tubo liso, é chamado de Escoamento Hidraulicamente Liso. Para a região de turbulência completa, ou de escoamento hidraulicamente rugoso, a equação de regressão dos dados experimentais é:       − = D f ,0 86ln ε ,114 1 6.29 Observe que na região de turbulência completa, ou de Escoamento Hidraulicamente Rugoso, o fator de atrito não depende de Re, e as curvas de regressão ficam horizontais no diagrama de Moody. Na zona de transição entre os escoamentos hidraulicamente lisos e rugosos, entretanto, os resultados de Nikuradse não são válidos para tubos comerciais, que possuem uma rugosidade composta de diversos tamanhos e formas, dispostos em padrões que dependem da técnica de fabricação do tubo. O comportamento de tubos rugosos comerciais foi estudado por Colebrook que apresentou a equação para a zona de transição entre escoamento hidraulicamente liso e escoamento hidraulicamente rugoso, em 1939.       + = − f D f Re ,2 51 7,3 ,0 86 ln 1 ε 6.30 Finalizando a descrição do comportamento do fator de atrito, para escoamentos laminares, temos uma equação que pode ser deduzida teoricamente, dada por: Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 108 Re f = 64 6.31 A explicação para o comportamento complexo do fator de atrito surge ao observar o tamanho relativo das rugosidades ε em relação à espessura da camada limite δ. A Figura 6.11 reproduz as características principais do diagrama de Moody, realçando as diversas subdivisões de comportamento do fator de atrito. Figura 6.11: Diagrama de Moody realçando as 4 regiões de comportamento diferente do fator de atrito. A Figura 6.12 ilustra o tamanho das rugosidades em relação ao tamanho da camada limite laminar, ou da subcamada limite laminar, no caso dos escoamentos turbulentos. Com o aumento da velocidade, que reflete no aumento do número de Reynolds, a espessura da camada limite diminui, fazendo com que as rugosidades comecem a interferir no escoamento. Na região de turbulência completa toda a rugosidade fica exposta. Turbulência Completa 0,0001 0,0002 0,001 0,01 0,05 0,08 0,04 0,03 0,02 0,01 103 104 105 106 107 108 Número de Reynolds - Rey Fator de Atrito f Rugosidade Relativa (ε/D) Zona Crítica Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 109 Figura 6.12: Tamanho relativo das rugosidades e camada limite nas diversas regiões do Diagrama de Moody determinam o comportamento do fator de atrito. A Figura 6.12 permite compreender também porque os tubos comerciais tem comportamento diferente dos tubos de rugosidade uniforme na região de transição. Nos tubos com rugosidade artificial de Nikuradse as asperezas vão emergindo uniformemente da subcamada laminar, ao passo que nos tubos comerciais as asperezas tem tamanhos irregulares. Por esta razão os dados de Nikuradse não podem ser empregados para prever o fator de atrito de tubos comerciais na região de transição. Apenas com os resultados de Colebrook (eq. 6.30) a descrição do fator de atrito ficou completa. A Figura 6.13 apresenta um resumo das equações utilizadas para descrever os resultados experimentais obtidos nos ensaios de Nikuradse e de Colebrook. δ >> ε δ’ > ε Laminar Hidraulicamente Liso Transição Hidraulicamente Rugoso δ’ ≈ ε δ’ << ε ε δ' Subcamada Limite Laminar Subcamada Limite Amortecedora ε δ' ε δ Camada Limite Laminar ε δ' Subcamada Limite Amortecedora Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 110 Figura 6.13: Resumo das equações do fator de atrito e faixa de validade. Existe uma razoável dificuldade prática de utilização das diversas equações que descrevem o comportamento do fator de atrito, visto que várias são implícitas, ou seja, com o fator de atrito aparecendo nos dois membros da equação. Devido à dificuldade de utilização, o esforço para desenvolver fórmulas explícitas envolveu diversos pesquisadores. A fórmula de Samee e Jain apresentada na equação 6.22 é um exemplo desse desenvolvimento. Entretanto, embora seja bem simples e aplicável na maioria das situações práticas, ela apresenta limitações, ou seja, não reproduz o comportamento completo em todas as faixas do número de Reynolds. Dentre as fórmulas válidas para toda a faixa de número de Reynolds, incluindo o escoamento laminar, podemos citar as de Churchill (1977)1 , Chue (1984)2 , e a de Pereira e Almeida (1986)3 . A fórmula de Pereira e Almeida é apresentada a seguir: 1 CHURCHILL, S.W, 1977. Friction fator equation spans all fluid regimes. Chem. Engng., 84-7, pp. 91-92. 2 CHUE, S.H., 1984. A pipe skin friction Law of universal applicability. Proc. Inst. Civil. Engrs., Part 2, 77 – mar 1977, pp. 43-48. 3 PEREIRA, A.J. e ALMEIDA, A.B., 1986. Formulação explícita e universal da resistência em tubos. XII Congresso Latino-Americano de Hidráulica. São Paulo, S.P. Resumo das Fórmulas do Fator de Atrito f Escoamento Laminar ( Re < 2.300 ) Escoamento Turbulento ( Re > 4.000 ) Tubos Lisos e Hidraulicamente Lisos Turbulência Completa (hidraulicamente rugoso) Região de Transição (Colebrook-Moody) Tubos Rugosos δ’ < 0,008 ε Re = 64 f       − = D f ,0 86ln ε ,114 1 8,0 ) ,0 86ln(Re 1 − = f f       + = − f D f Re ,2 51 7,3 ,0 86 ln 1 ε 0,008ε < δ’ < 1,9 ε δ’ < 1,9 ε Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 111 2 9,0 ,1 11 16 Re ) ( 7,3 Re 9,6 ) log 1( 2 0,5 − −                     + + − = − D T T f ε 6.32 6.5 Efeitos das Bombas e Turbinas sobre as Cargas Aplicando a analogia trem-escoamento podemos representar um escoamento, mantido por uma bomba hidráulica num tubo por meio do esquema da Figura 6.14. Figura 6.14: Representação de uma bomba hidráulica com a analogia entre escoamento e trem de massas unidas por molas A bomba pode ser encarada como um mecanismo que coloca as massas no início do tubo e as comprime em direção à saída. A energia fornecida pela bomba é usada para acelerar as massas e para comprimir as molas (aumentar a pressão). Com o passar do tempo, enquanto as massas deslocam-se no tubo, a pressão cai devido ao trabalho das forças de atrito, conforme deduzido no item 6.1 e 6.2, e as molas vão se distendendo progressivamente. Na saída, à pressão atmosférica, é como se as molas estivessem totalmente distendidas, e só há energia cinética. _____ Variação da Energia com uma Bomba: Linhas de Carga Num caso geral a energia adicionada pela bomba pode provocar variações na carga de pressão e na carga cinética. Essas transformações de energia são visualizadas por meio dos diagramas de carga, que contêm as Linhas de Carga Piezométrica (LP) e Linha de Carga Total (LC). A Linha de Carga Piezométrica indica em cada ponto a altura que a água do tubo alcançaria caso fosse instalado um piezômetro com tomada estática naquele ponto do tubo. 𝐻𝑃 = 𝑃 𝛾 + 𝑧 A Linha de Carga Total, como o nome indica, mostra a altura que seria atingida pela água num piezômetro conectado a um Tubo de Pitot (tomada dinâmica). A distância entre as duas linhas representa a carga cinética HC. ANALOGIA DE BOMBA HIDRÁULICA E TUBULAÇÃO Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 112 𝐻𝑇 = 𝑃 𝛾 + 𝑧 + 𝑉2 2𝑔 = 𝐻𝑃 + 𝐻𝐶 A Figura 6.15 mostra o caso em que a energia introduzida provoca apenas aumento da pressão. Figura 6.15: Bomba adiciona energia que se manifesta no aumento de pressão, já que a energia cinética permanece constante. As bombas usadas em tubos para aumento de pressão são chamadas de “Boosters”. Normalmente as bombas são instaladas na saída de reservatórios e com um diâmetro maior na tubulação de sucção porque a energia disponível na sucção não é grande. Esse caso é ilustrado pela Figura 6.16. Com uma carga cinética menor a pressão pode ser maior, para uma dada energia total. Este efeito é conveniente para evitar a cavitação, um fenômeno que ocorre quando a pressão fica próxima à pressão de vapor. Figura 6.16: Com diâmetros são diferentes, a energia fornecida pela bomba transforma-se em aumento de pressão e de energia cinética. VR VS Carga(m) Recalque Sucção Bomba x VS = VR LP LC Hc HM VR VS Carga(m) Recalque Sucção Bomba x VS < VR Hc L.C. EC,S < EC,R L.P. HM Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 113 A bomba da Figura 6.16 mostra um caso mais comum do que o booster da Figura 6.15. A energia fornecida pela bomba é dividida entre aumento de carga cinética e aumento de pressão. O efeito de redistribuição entre formas de energia não depende da bomba existir, acontece também nas tubulações sempre que varia o diâmetro. Veja o esquema da Figura 6.17. Figura 6.17: Quando a velocidade aumenta, a pressão diminui pois a energia disponível é limitada. O efeito de diminuição de pressão num escoamento quando aumenta a velocidade é chamado de “efeito Venturi”. A distribuição da energia total disponível no fluido entre as formas de energia cinética e pressão é descrita pela equação de Bernoulli, já deduzida. 6.6 Resumo das Transformações de Energia Entre duas seções de um escoamento permanente: 𝐸𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 + 𝐸𝐹𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝐸𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 + 𝐸𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 A relação anterior expressa em palavras a conservação de energia. Numericamente os termos de energia por unidade de peso terão a dimensão de espaço [L], com unidades em (m) metros no SI. A energia por unidade de peso é chamada genericamente de Carga Hidráulica. _____ Caso de Bombas A carga de eixo fornecida é chamada de Altura Manométrica da Bomba (HB). A energia dissipada pelo escoamento entre as duas seções resulta do atrito, e é chamada de V1 Carga (m) x Hc HTotal P/γ Hc ∆Η V1 V2 P/γ LP LC Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 114 Perda de Carga (∆H). Assim, para um trecho de tubulação com início na seção 1 e final na seção 2, e uma bomba em um ponto qualquer entre a seção final e inicial a equação 6.19 fornece: _____ Caso de Turbinas Turbinas são máquinas hidráulicas que retiram energia do escoamento. A carga de eixo retirada por uma turbina é a energia fornecida pela água por unidade de peso do fluido escoado. Esta carga também é chamada de Altura Manométrica da Turbina (HT), com a diferença que é um termo negativo no primeiro membro da equação 6.19. O termo genérico carga de eixo (He) ou ainda altura manométrica (HM) é usado para designar uma máquina hidráulica, que pode ser uma bomba ou turbina. Assim, a equação da energia, na presença de uma máquina hidráulica, seja ela uma bomba ou uma turbina, fica com os termos cujo significado é realçado a seguir. H g V z p H g V z p B ∆ γ γ + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ≡ -He = - (-HB) ≡ -He = - (+HT) Carga InicialHi Carga Final HF H g V z p H g V z p M + ∆ + + = − + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 γ γ Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 115 _____ Relação entre Cargas e Potências As bombas e turbinas são especificadas pela potência (W) que consomem ou produzem. A potência é um fluxo de trabalho, ou seja, trabalho por unidade de tempo. A carga é trabalho por peso de fluido escoado. Assim temos, pelas dimensões: 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝐸𝑠𝑐𝑜𝑎𝑑𝑜 × 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝐸𝑠𝑐𝑜𝑎𝑑𝑜 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 O peso escoado por unidade de tempo (N/s) é dado pelo peso específico do fluido “γ” (N/m3) multiplicado pelo fluxo de volume ou vazão “Q” (m3/s). Assim, da relação entre as dimensões é fácil verificar que: Pot = γ Q HM 6.33 Note que a equação 6.33 define a potência retirada do fluido, ou acrescentada ao fluido. Para obtermos as potências da máquina hidráulica é necessário considerar o seu rendimento, conforme detalhado a seguir. ____ Bombas A potência fornecida ao eixo de uma bomba será maior que a acrescentada ao fluido: 𝑃𝑜𝑡𝐸𝑖𝑥𝑜,𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 = 𝛾 𝑄 𝐻𝐵 η𝐵 em que ηB é o rendimento da bomba (0 < ηB <1) . A potência de eixo da bomba é também chamada de potência bruta da bomba, e corresponde à potência líquida fornecida pelo motor elétrico. A potência consumida pelo motor elétrico que aciona a bomba é maior que a potência fornecida ao eixo da bomba: 𝑃𝑜𝑡𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟 𝐸𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝑃𝑜𝑡𝐸𝑖𝑥𝑜,𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 η𝑀 = 𝛾 𝑄 𝐻𝐵 η𝐵η𝑀 em que ηM é o rendimento do motor elétrico (0 < ηM <1) ____ Turbinas A potência retirada do eixo de uma turbina será menor do que a retirada do fluido. 𝑃𝑜𝑡𝐸𝑖𝑥𝑜,𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = η𝑇 𝛾 𝑄 𝐻𝑇 em que ηT é o rendimento da turbina (0 < ηT <1) . A potência de eixo da turbina é chamada também de potência líquida da turbina. A potência retirada do gerador elétrico acoplado à turbina é menor que a potência fornecida pelo eixo da turbina: 𝑃𝑜𝑡𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐸𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = η𝐺 𝑃𝑜𝑡𝐸𝑖𝑥𝑜,𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = η𝐺η𝑇 𝛾 𝑄 𝐻𝑇 em que ηG é o rendimento do gerador elétrico (0 < ηT <1) Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 116 Exemplo 6.6.1: Sabendo que as perdas de carga entre as seções 1 e 2 na tubulação da figura são de 5m e que o diâmetro da tubulação na seção 1 é 1,0m e na seção 2 é 0,50m, pede-se: a) Identifique se a máquina hidráulica é uma bomba ou uma turbina; b) Calcule a potência retirada ou acrescentada ao fluido. Seção 1: p = 100kPa; V = 0,5m/s; z = 3m Seção 2: p = 30kPa; z = 2m γ = 9800 N/m3. Análise: deve ser aplicado o balanço de energia em forma de cargas, conforme a equação 6.19, para descobrir se a carga da máquina é positiva (bomba) ou negativa (turbina). Antes é necessário calcular a velocidade na seção 2 pela continuidade. Solução: Admitindo regime permanente e escoamento incompressível: 𝑉2 = 𝑉1 𝐴1 𝐴2 = 𝑉1 𝐷12 𝐷2 2 → 𝑉2 = 2,0𝑚/𝑠 A equação do balanço de energia fica: 100000 9800 + 3 + 0,52 2×9,8 − 𝐻𝑀 = 30000 9800 + 2 + 22 2×9,8 + 5 13,313 − 𝐻𝑀 = 10,264 → 𝐻𝑀 = 3,05𝑚 ⇒ a máquina é uma Turbina Potência extraída da água (eq. 6.15): 𝑃𝑜𝑡 = 𝛾 𝑄 𝐻𝑀 = 9800 × 0,5 𝜋 12 4 × 3,05 = 11738 𝑊 Resposta: a máquina é uma Turbina, que retira uma potência de 11,7kW da água. Exemplo 6.6.2: A figura mostra uma tubulação alimentada por um reservatório de grandes dimensões, que descarrega num jato livre na cota 200,00m, com velocidade 5m/s. As perdas de carga no percurso total da tubulação são de 25m. A carga total na entrada da tubulação (seção 1) é de 220m. Informe se a máquina hidráulica é uma bomba ou turbina. Máquina 1 2 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 117 Análise: trata-se de um problema semelhante ao anterior, exceto que não são fornecidas as cargas individuais na seção de entrada da tubulação. Solução: 220 − 𝐻𝑀 = 0 + 200 + 52 2 × 9,8 + 25 𝐻𝑀 = −6,27𝑚 Resposta: A máquina hidráulica é uma bomba, com altura manométrica de 6,3m. 2 Bomba ou Turbina? 1 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 118 6.7 Exercícios Propostos 6.7.1. Água escoa de um grande reservatório e descarrega em jato livre. Calcule H(m) e a pressão relativa p (kN/m2) indicada pelo manômetro antes do bocal. Perdas desprezíveis. 6.7.2. A água se escoa na tubulação da figura. Calcule o diâmetro necessário, d, para que as leituras manométricas sejam as mesmas. 6.7.3. Calcule a potência da bomba que recalca 120 l/s de água. 6.7.4. Supondo que o bocal divergente permaneça cheio, calcule a potência da bomba. 6.7.5. Calcule a altura h necessária para produzir uma vazão de 85 l/s e uma potência de 15 kW na turbina. Despreze as perdas. Ex. 6.7.3 Ex. 6.7.2 Ex. 6.7.4 Ex. 6.7.5 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 119 6.7.6) Considere um recipiente fechado dotado de um tubo de entrada de água de 10mm de diâmetro e um tubo de saída de 5mm de diâmetro. O recipiente possui um aquecedor que gera 2.000 W de potência em regime permanente. A massa específica da água é igual a 1000 kg/m3 na entrada e saída e o calor específico é igual a 4180 J/kg. Sabendo que a água que entra chega com uma temperatura de 25°C, e o perfil de velocidades é dado por: V r r x ( ) . = − − 1 2 5 10 2 5 ; V em (m/s) e r em metros, pede-se: a) V média, Fluxo de Volume e Fluxo de massa que entram no recipiente. b) Fluxo de calor trazido ao recipiente pela água que entra. c) Velocidade média de saída d) Fluxo de calor que a água transporta para fora do recipiente. e) Temperatura da água na saída. 6.7.7) O escoamento da figura ocorre em regime permanente no sentido de 1 para 2. Sabe- se que A1 = 1m2; V1= 1m/s; z1 = 10m; p1 = 9800 Pa; V2= 0,5m/s; z2 = -10m; p2 = 450800 Pa. As perdas de carga totais entre as seções 1 e 2 são de 5m. Pede-se: a) informar se a máquina hidráulica “M” é uma bomba ou turbina, justificando; b) a altura manométrica da máquina “M”; c) a potência líquida da máquina; d) a energia consumida (ou fornecida) pela máquina, em Joules, durante um período de operação de 8 horas, admitindo um rendimento de 85% na máquina. 6.7.8) Calcular a vazão e a potência fornecida pela bomba. As perdas de carga na tubulação são dadas e a perda no bocal é desprezível. Dados: ATUBO = 0,1m2; ABOCAL = 0,05m2; Perdas no tubo ∆HTUBO = 5V2/2g; densidade do mercúrio dHG = 13,6. 1m Bomba Hg Bocal Z = 20m Z = 0m 2m Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 120 CAPITULO 7: BALANCO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO A quantidade de movimento de um dado volume de fluido € uma grandeza extensiva. Quando um escoamento atravessa um volume de controle, a agua carrega consigo quantidades de movimento que entram e saem. O efeito imediato mais importante disso é que aparecem forgas exercidas pelo escoamento sobre o volume de controle. A grandeza extensiva N = mV é um vetor. A quantidade especifica é 7 = V. A lei fisica que trata da variagao da quantidade de movimento num sistema é a segunda lei de Newton. dN 7 - — | = ma = LF dt |, Aplicando-se a relagao sistema-volume de controle para a quantidade de movimento tem-se: > 0 — 3S atl = Fs-ve = 5, Jvc VpdVol + J,.Vp V-dA 7.1 O primeiro termo do segundo membro (variaveis Eulerianas) representa a taxa de variagao da quantidade de movimento no VC. Pode ocorrer porque as velocidades variam no tempo, no interior do VC,m ou porque a quantidade de massa varia no tempo, ou pela combinagao de ambos. O segundo termo representa o saldo de fluxos de quantidade de movimento (fluxo que sai menos fluxo que entra). A equacao é resolvida para cada componente da forca. Em _ problemas bidimensionais, as componentes ficam: 0 > — LF, = > Suc Ve pAVOl + J.Ve p V+ dA 7.2 0 > — ZFy = = Sy VypdVol + J. VypV-dA 7.3 Observe nas equacgées 7.2 e 7.3 que o termo V - dA nao é decomposto porque é um escalar. A avaliagao correta do primeiro membro depende, em cada caso, do correto isolamento do volume de controle, e da consideragao de todas as forcas, tanto de contato como de campo ou de acao a distancia (normalmente a forca peso). Nos itens seguintes serao desenvolvidos exemplos de aplicagao a casos simples de interesse pratico. Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 121 7.1 Aplicagoes Elementares: Pas Defletoras No calculo de pas defletoras admite-se a hipdtese simplificadora basica de que a pa nao muda a velocidade do jato. Isto implica em ignorar as forgas tangenciais devido a viscosidade no contato entra o fluido e a pa defletora. A Figura 7.1 mostra um jato livre (p = Patm) de agua defletido no plano vertical pela pa fixa, presa por um suporte (nao representado na figura). Analise o problema para determinar as componentes da forg¢a transferida pelo jato a pa. NN Vy B ~~ | ‘Jato V, x N\ 4 p=0 \ 2 ‘% sen B cos B p=0 4 Jato \ F, =0— < \/ yy —P| ps <p FitT_\ F (sobre a larmiina) F (sobre o fluido) Figura 7.1: Pa defletora fixa. Inicialmente € necessario definir com clareza o volume de controle adotado, para nao cometer erros no isolamento. Foi escolhido para este problema um V.C. que inclui apenas o jato de agua. Seu isolamento aparece no lado direito da figura. A pressao atmosférica nao atua no contato jato-pa. Mas a area de acao da pressao atmosférica sobre a superficie superior do jato tem a mesma projecao que a superficie inferior da pa, de forma que as forgas devido a pressao atmosférica vao se anular. Por isso é mais conveniente usar pressdes efetivas. Com isso, todas as forgas de pressao se anulam, com excecao da forga F exercida pela pa sobre o jato de fluido. A forga F é resultado da integragao de um diagrama de press6es efetivas que se desenvolve ao longo da pa, como ilustrado na Figura 7.1. Esta distribuigao de pressdes é desconhecida, mas o balango integral nao depende desta informac¢ao para calcular a forga resultante F. Esta € uma grande vantagem da técnica de balancgos globais. Aplicando o balango, para regime permanente, temos: Diregao x: XF, = -— Fy = Joe Va PV dA Diregao y: XFy = Fy-W = J,.VypV-dA Em que W representa 0 peso da agua sobre a pa. Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 122 Desenvolvendo a componente x: -F, =f, V,pV:dA + 5 V, pV: dA Como as secoes 1 e 2 possuem velocidades constantes, as componentes podem ser retiradas da integral, assim como a massa especifica. —F, = (+V,) eS, V-dA + (+V, cos B) pf, V-dA —F, = (4+V,) p (-ViAy) + +V2 cos B) p (+V2 Az) Observe que ha duas consideracédes de sinal a fazer em cada termo. A primeira referente ao sentido da componente de velocidade, e a segunda referente a integral em area de entrada (negativa) ou de saida (positiva). Pela equagao da continuidade, V,A,; = V,A, =Q. Pela hipdtese basica de desprezar a acgao do cisalhamento na pa, V; = V2. Portanto, A; = Ao. F, = pQV,(1 —- cos) Desenvolvimento semelhante no eixo vertical leva a: Fi, -W = pQV, sen EXEMPLO 7.1: A figura mostra um bocal com 0,05m* de area, descarregando um jato livre com V; = 10m/s numa pa defletora horizontal. A pa divide o jato pelo meio, e o angulo 6B = 30°. Calcule a forca necessaria para manter a pa no lugar. PS" a B Sel C 1, |v { = 2 Qy \ WW \ ‘i WW: N Ni \ y i YIN‘i { Ly LO S| b . geo \A | Solugao: Adotando um VC que inclui a pa e o jato, conforme o esquema a direita da figura, percebemos que a forga devido a pressao atmosférica se anula. A forga peso nao age no problema, restrito ao plano horizontal. SF, =-F= [ V,pV-dA= | Ve pV aA + | Ve pV aA + | V,pV:dA SC Al A2 A3 Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 123 —F= (+0) | V-dA+ (—pVjcos8) | V-dA+t (—pVjcosp) | V-dA Al A2 A3 (+Vj Aj) (+Vj Aj) — F = (+pVj)(-V, Aj) + (-pVjcosB) —5— + (—pVjcos8) — —F = p10(-—10 x 0,05) — 2 p (10 cos 30) (10 x 0,025) F = 9330 N O sinal positivo indica que o sentido adotado(-i) é correto. A repetig¢ao do balango na diregao y mostrara que Fy = 0, devido a simetria entre os jatos de saida nas areas 2 e3. 7.2 Aplicagoes Elementares: Curvas em Tubulacoes O calculo de forgas em curvas de tubulagao com escoamento forgado é similar ao de pas defletoras, com a adicao das forgas devido a pressao nas areas de entrada e saida. A Figura 7.2 apresenta uma curva com redugao em tubulagao com paredes finas. V, Lag Ee 2s ) \ : w PB 7 Ow wee = EEE QS P = MS AA R, bream Seseeerteeteastiisies iad ae Ww - HT Me, Ry Figura 7.2: Curva com reducao. Adota-se como volume de controle a agua no interior da tubulagao. O volume de controle isolado como corpo livre aparece no esquema a direita da figura. As forgas de contato sao as forgas de pressao nas faces 1 e 2, e as for¢gas decorrentes das distribui¢des de pressao (p,) e de tensao de cisalhamento (z,) ao longo da parede lateral da curva. A resultante dessas distribuigd6es desconhecidas é a forca resultante que a curva aplica sobre a agua que compoe o VC. Além das forcas de contato, ja descritas, atua a forg¢a de campo (peso) na diregao y. Para calcular as forgas de pressao vamos considerar a pressao efetiva nas segdes 1 e 2. Com isso podemos ignorar a pressao atmosférica atuando sobre a curva. Aplicando o balango, para regime permanente, temos: Notas de Hidrdaulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 124 Diregao x: LF, = Fy1—Fp2cos0+ Ry = fo. Ve pV dA Diregao y: XFy = Ry—W —F,2sen0 = f,.VypV-dA Em que W representa 0 peso da agua contida no interior da curva. Desenvolvendo a componente x: piA; — prA, cos8 +R, = f, V,pV-dA + s V,pV-dA -F, =GVW) pf, V-dA + (4V, cos) pf, V-dA piA; — p2A, cos8+Ry = (+V,) p (-V, Az) + (+V2 cos 8) p (+ V2A2) Lembrando que, pela continuidade, V{A, = V2Az =Q A equacao do balanco, para o caso especial da curva da figura, fica: p,A; — pzAzcos8+R, = pQ(V,cos0— Vj) O tratamento da diregao y é semelhante, levando a: Ry — W —p2Azsen0 = pQVz send EXEMPLO 7.2: A figura mostra uma curva vertical de 120 com reducao de 300mm para 200mm. A cota média da secao 2 situa-se 1,5m acima da cota média da secao 1. A pressao relativa na secao 1 é de 50 kPa. A vazao transportada pela tubulagao é de 200 L/s. O volume interno da curva é de 85 L. Calcule a forga exercida pela agua sobre a curva. Solugao: Vo z : 4 2 60° | 60° 1.5 / w | / F x M4 0,6 m. ! a * \ F, , NX FU F Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 125 a) Primeiramente, calcular V; com a vazao dada e V2 pela continuidade a Q 0,200 = 293 1= 4, > 00707 288 ™/s V,= Q _ 0,200 = 637 2= 4, ~ oo31a O87 ™/S b) Com as velocidades, calcular p2 com a equacgao da energia Pay Vi Poy phy Ah Tt yt = Tt 224+ 5—- - y 1 29 y 2 29 1-2 50000 | 4, 2,83" py - ise 6,37° a 9800 196 y , 19,6 P2 = 19016 Pa c) Adotar e isolar um VC para calcular 0 somatorio de forgas e aplicar o balango de quantidade de movimento. O VC escolhido sera a agua no interior da curva. As distribuigdes de tensdes tangenciais e normais ao longo das paredes internas sao desconhecidas, mas sua integral sobre a area resulta na forga da curva sobre a agua, denotada por F na figura. Diregao x: pA, + poA> cos60—-F, = | V,pV-dA + | V, pV: dA 1 2 p1A, + P2A2 Cos 60 — Fy = (+V,) p (-V,A,) + (-V, Cos 60) p (+V,A>) F, = p,A, + p2A, cos 60 + pQ (V, + V2 cos 60 ) F, = 5036N O sinal positivo indica que o sentido adotado (-i) é correto. Diregao z: —p,A,sen60-W+F, = f, V, oV-dA + i, Vz oV-dA —p,A,sen60-W+F, = (40) p (—V,A,) + (+V, sen 60) p (4+ V,A2) F, = p2Az sen 60 + y Vol + p Q (+4+V, sen 60) F, = 517,37 + 833 + 1103,32 = 2454N O sinal positivo indica que o sentido adotado (+k) é correto. Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 126 7.3 Aplicações Elementares: Perdas em Expansão Brusca Quando a água em escoamento forçado encontra um aumento de diâmetro, passa pelo fenômeno da expansão brusca. O comportamento da água é mostrado na Figura 7.3: o núcleo do escoamento expande-se gradualmente e surge uma zona morta, com vórtices e escoamento reverso na região próxima da expansão. Como resultado, há uma perda de energia que pode ser quantificada com a aplicação do balanço global da quantidade de movimento. Adota-se como volume de controle a água entre a seção imediatamente após expansão (1) e a seção em que a velocidade volta a ser uniforme na seção (2). O VC isolado é mostrado na figura (b). Figura 7.3: Expansão brusca em escoamento forçado. Como primeira hipótese simplificadora, a força de atrito resultante da distribuição de tensões tangenciais na parede lateral do VC é desprezada. Como as acelerações resultantes dos vórtices na zona de estagnação são pequenas, pode-se considerar, como segunda hipótese simplificadora, que a pressão é constante ao longo da seção 1. Com as simplificações adotadas, o balanço de quantidade de movimento sobre o VC fica: p1A2 − p2A2 = (+V1) ρ (−V1A1) + (+V2) ρ (+V2A2) * Aplicando a equação da energia entre as seções 1 e 2: 𝑝1 𝛾 + 𝑧1 + 𝑉1 2 2𝑔 = 𝑝2 𝛾 + 𝑧2 + 𝑉2 2 2𝑔 + ∆ℎ1−2 𝑝1 𝛾 − 𝑝2 𝛾 = 𝑉2 2 2𝑔 − 𝑉1 2 2𝑔 + ∆ℎ1−2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑉22 2 − 𝜌 𝑉12 2 + 𝛾∆ℎ1−2 ** Igualando o termo p1-p2 das equações marcadas com asterisco, pode-se obter a perda de carga: Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 127 Ay V3 Vi — = pV3- pV? —= p—- pt yAh,_ P1 — P2 Pp V2 PM AD Po ar) YAN_2 Ah,» = Vi + Vi 1-2 YON-2 = Pp 2 p 2 ( AD A,\* A 2 (41 2 _ 941 sn. a Hi ya) V; (3) +V? (1 27°) s 2g 2g Ag) 2g A,\’ A 2 |(412 — 2721 Mi (G2) rl 271 Ve. Ay? Ah,_2 = ——_—_—_—eeeeeeeeeeeee 1 —_ — 29 29 Az V? A,\? Ah,_2 = —s (1 _ =) 2g Az O resultado mostra que as perdas aumentam com o quadrado da velocidade e diminuem quando A; se aproxima de Ao. 7.4 Aplicagoes Elementares: Estruturas em Canais Abertos O balango global de quantidade de movimento pode ser usado para calcular os esforg¢os provocados pela agua em estruturas como comportas e vertedores em escoamenios livres. A Figura 7.4 ilustra um trecho de canal retangular, com largura L na diregao perpendicular a figura, com a agua represada por uma comporta plana com inclinagao qualquer. ! N 5 F, ! W | NS _—— ? ; o a oe Le UTIYTTIDE A, Fe Figura 6.4: Estrutura em escoamento livre. Isolando o V.C. O volume de controle adotado é a agua situada entre as secdes 1 e 2. O diagrama a direita mostra o V.C. isolado, com as forgas atuantes. O somatorio de forgas na diregao x fica: AF, = Fy — Fo — Fat — Fy Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 128 A forga Fy, € a componente horizontal da forga F que a comporta exerce sobre a agua. A forga F é resultante de uma distribuigao desconhecida de press6es, ilustrada no diagrama. Observe que a distribuigao de pressdes mostra a pressao atmosférica atuando nos dois extremos da comporta em contato com a agua. Sabemos também que F é perpendicular a face da comporta, porque consideramos despreziveis as forgcas tangenciais, originadas da viscosidade do fluido. Da mesma forma, consideramos desprezivel a forga Fz; causada pelas tensdes tangenciais ao longo das paredes laterais e do fundo do canal. Nas segoes 1 e 2 o diagrama de pressoes 6¢ triangular (distribuigao isostatica), porque as linhas de corrente sao retilineas e paralelas. Forca de Pressao A forga F resultante da distribuigao isostatica de pressdes sobre uma area plana retangular é calculada a seguir, com base na Figura 7.5.. eh pr, dA=Ldh P h [o H F 7 xX, H Figura 7.5: Carregamento de pressao isostatica sobre superficie plana. H F = f, dF= J, pdA= J, yhLdh H2 F=yL— ye?o Aplicando o balancgo Aplicando o balango de quantidade de movimento (eq. 7.2) na diregao x ao V.C. adotado, yz ys _ > > yLS-yL3-Fk = J, VepV-dA+ f, ypV-dA Yi ys yl S —yL S —F, = GV)CpviA1) + +V2)(+pV2A2) Lembrando que, pela continuidade, Notas de Hidraulica Experimental — versdo 1.6 — 2015/s2 129 m2 Vi¥i = V2y2 = 4 (=) sendo q = Q/L a vazao por metro de largura do canal, a equacao do balanc¢o pode ser resolvida para fornecer Fy. Com a componente horizontal e conhecendo a inclinagao da comporta calcula-se a componente vertical, sabendo que a resultante é perpendicular a superficie da comporta. EXEMPLO 7.3: A figura mostra um trecho de canal retangular com 2m de largura, com uma comporta vertical controlando a vazao em regime permanente. Calcule a vazao e a forca exercida pela agua sobre a comporta, sabendo que o nivel de montante é 5 me o de jusante 2m. Despreze a acao das tens6des de cisalhamento. 1 Vi! —: |v 2 —_——_ | _V A, | r Vo A ve) +A Analise: A forga de atrito no fundo sera desprezada, bem como a forca vertical da agua sobre a comporta, resultante das tens6es tangenciais. A equacao da energia entre as secdes 1 e 2, bem como a continuidade, serao utilizadas para determinar a vazao. Com a vazao conhecida pode ser aplicado o balango global da quantidade de movimento para o volume de controle constituido pela agua entre as segées 1 e 2. Solucao: O volume de controle isolado € mostrado no esquema a seguir: V.C. ree ! I | I 3 Be ! I Z F, ; KS I rr | x SS Fo te--e eee eee d O balango global aplicado ao V.C. isolado acima fornece, conforme a discussao do item 7.4: 2 2 yL2—yL* Fy = (+Vi)(—pViAy) + (4V2)(+pV2A2) O balango de energia entre as secoes 1 e 2 fornece: V? v3 Pe tot = a tt an, y 29, —CO 2g Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 130 Desprezando as perdas e tomando as pressões e cotas na seção média 2,5 + 2,5 + 𝑉1 2 2𝑔 = 1 + 1 + 𝑉2 2 2𝑔 A continuidade diz que: 𝑉1𝐿𝑦1 = 𝑉2𝐿𝑦2 ⇒ 𝑉2 = 2,5 𝑉1 Portanto, 𝑉12 2𝑔 (2,52 − 1) = 3 ⇒ 𝑉1 = 3,347 𝑚/𝑠 𝑉2 = 8,367 𝑚/𝑠 𝑄 = 33,47 𝑚3/𝑠 Substituindo no balanço de quantidade de movimento: 9800 × 2( 52 2 − 22 2 ) − Fx = 1000 × 33,47(8,367 − 3,347) 𝐹𝑥 = 37781 𝑁 O sinal positivo indica que o sentido adotado para a força exercida sobre a água é o correto (-i). Resposta: A força exercida pela água sobre a comporta é de 37,8kN, no sentido positivo do eixo x (+i). 7.5 Exercícios Propostos 7.5.1. Calcule a força resultante da água sobre esta placa com orifício. O tubo tem diâmetro de 0,3 m e o diâmetro do orifício é de 0,2 m, sendo a vena contracta de 0,16 m. 7.5.2. Calcule a força exercida pela água sobre esta placa com orifício. Suponha que a água entre o orifício e a vena contracta pese 18N. 7.5.3. O projétil enche parcialmente o terminal do tubo de 0,3 m. Calcule a força necessária para manter o projétil na posição indicada, quando a velocidade média no tubo for 6 m/s. Ex. 7.5.1 Ex. 7.5.2 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 131 7.5.4. Calcule a força horizontal exercida pela água sobre o cone quando a velocidade média no tubo de 200 mm for igual a 3 m/s. 7.5.5. Uma vazão de 1.820 l/min de água ocorre num tubo de 50 mm de diâmetro, o qual se alarga para 100 mm. Se a pressão no tubo pequeno for igual a 138 kN/m2, calcule o módulo e o sentido da força horizontal sobre o alargamento. 7.5.6. Um bocal de 100 mm é rebitado (com 6 rebites) numa dobra de uma tubulação horizontal de 300 mm e descarrega água na atmosfera. Determine a carga de tensão em cada rebite quando a pressão no tubo for igual a 600 kN/m2. Despreze as forças verticais. 7.5.7. Um tubo cônico divergente se encontra na horizontal, possui comprimento de 0,3 m, sendo o diâmetro do estrangulamento igual a 75 mm; o diâmetro na saída e igual a 100 mm, por onde ocorre uma descarga de 28,3 l/s para a atmosfera. Calcule o módulo e o sentido de cada componente da força que a água exerce sobre o tubo. 7.5.8. Neste escoamento de água no plano horizontal, determine a força sobre as cavilhas que prendem o conjunto curva-bocal à tubulação. O bocal descarrega em jato livre e as perdas são desprezíveis. Ex. 6.5.3 Ex. 6.5.4 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 132 7.5.9. Água está fluindo em regime permanente no jato livre com vazão de 50l/s. O jato é desviado pela placa circular com 0,3m de diâmetro. Um manômetro situado no centro da placa acusa uma pressão de 980kPa. Determine a velocidade do jato, a força exercida pela água sobre a placa e a força a ser exercida sobre a placa para mantê-la no lugar. 7.5.10. Quando a bomba indicada na figura pára de funcionar (e não oferece nenhuma resistência ao escoamento), a força exercida sobre a mola é igual a 672 N. Quando a bomba está funcionando, a força cresce para 2,24 kN. Qual a potência que a bomba está fornecendo para a água? Suponha que a superfície da água no tanque não se modifique.. 7.5.11. Um tanque é montado sobre um carro, conforme a figura. Considere a água que sai do tanque através de um bocal de 0,05m2, com velocidade de 10m/s. O nível da água no tanque é mantido constante pela adição de água por meio de uma tubulação vertical. Determinar a tensão no arame que mantém o carro estacionário. 7.5.12. A figura mostra um dispositivo que recebe um jato de água com 10m/s de velocidade e 0,1m2 de área. O jato recebido é desviado e descarrega por duas fendas laterais de 0,1m2 de área cada uma, com a velocidade formando um ângulo de 60° com o plano horizontal. A massa do dispositivo é de 5kg e 10 litros de a água ficam retidos em seu interior, em regime permanente. Pede-se: a) calcular a velocidade média de saída em cada fenda lateral; b) a força indicada no dinamômetro. Ex. 7.5.8 Ex. 7.5.9 Ex. 7.5.11 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 133 Ex. 7.5.12 7.5.13. Calcule a força sobre a curva com bocal da figura, situada no plano horizontal e descarregando com um jato livre. A área do tubo é 1m2 , a velocidade da água no tubo é 3m/s e na saída do bocal é 9m/s. A pressão na entrada da curva pode ser calculada sabendo que as perdas de carga entre a curva e o jato livre podem ser desprezadas. 7.5.14. Um bocal de 0,01m2 de área lança um jato no plano horizontal sobre a pá dupla da figura, com velocidade 5m/s. Sabendo que na pá o jato se divide em dois jatos iguais, calcule as resultantes Rx e Ry sobre a pá. x y 60o 60o 5m/s 6m/s 1 2 3 45o x y 7.5.15. A figura mostra um jato livre de água de área 0,1 m2 e velocidade 6m/s, atingindo um anteparo no plano horizontal. Ao bater no anteparo o módulo da velocidade não varia e o jato é dividido em duas partes. Sabe-se que sai pela seção 3 duas vezes mais água do que sai pela seção 2. Pede-se: a) áreas A2 e A3 b) as reações sobre o anteparo 60° x y Ex. 7.5.13 Ex. 7.5.14 Ex. 7.5.15 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 134 A N E X O - RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS CAPÍTULO 1 ITEM 1.6 1.6.1 a) Q = 0,02m3/s; b) FM = 19,9kg/s; c) FN = 4g/s (N = sólidos totais); d) FN = 3743kW. 1.6.2 O mapa mostra que as maiores concentrações de matéria orgânica devem-se, provavelmente, à contribuição do afluente. O problema possui solução aberta. Uma das possíveis soluções é discutida a seguir. a) Adotei divisão da seção em subáreas com velocidades constantes. • Seção 1 triangular, com menores velocidades devido à pequena profundidade, com base 2m e profundidade máxima 0,5m. : A1 = 2x0,5/2 = 0,5m2; • Seção 2 trapezoidal, entre y = 2,0 e y =3,5m, com área de transição entre as velocidades baixas da margem e o canal principal do rio com as maiores velocidades: A2 = (0,5 + 1,0)/2 x 1,5 = 1,125m2; • Seção 3 retangular entre y = 3,5m e y = 5,5m, com 1,5m da profundidade, considerando o núcleo de maiores velocidades do escoamento: A3 = 2 x 1,5 = 3,0 m2. b) Q = V1A1 + V2A2 + V3A3 = 8,0m3/s; c) FM = 550g/s. 1.6.3 a) 70m3/s; b) 74 kg/s; c) 1.458.540m3. 1.6.4 Q = 48 L/s (0,048m3/s). 1.6.5 – trajetórias em regime permanente coincidem com as Linhas de Corrente. A seção 1 possui 6 tubos de corrente com igual vazão, visto que a velocidade é uniforme. 1. Q1 = 60m3/s, V2 = 0,533m/s, V3 = 0,5m/s; 2. Cc = 1,875g/m3, Cb = 0; 3. Cc = 0, Cb = 3,75g/m3; A alternativa de lançamento no ponto (a) é melhor do que no ponto (a’), porque a concentração resultante é menor. 1.6.6 Devido à simetria é possível resolver para metade da seção e dobrar o resultado. a) Q = 13,33m3/s, b) FN = 1.667g/s (N = massa de cloretos). 1.6.7 a) VM = 1m/s; b) Q = 3m3/s; c) FM = 3.000kg/s ; d) FN = 300g/s (N = massa de sal). 1.6.8 N = massa de cianetos. Fluxo medido no rio FN = 30,6mg/s; Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 135 Fluxo máximo permitido pelo acordo FN = 9mg/s; A empresa não está cumprindo o acordo. ITEM 1.8 1.8.1: Q = 0,8m3/s 1.8.2: Q = 3,20m3/s 1.8.3: Q = 1,667m3/s 1.8.4: Considerei Área 1 na direção i; Área 2 na direção j; a) Q1 = 2m3/s, saída; Q2 = 3m3/s; saída, Total Q = 5m3/s, saída b) FM = 100g/s, saída c) FM1= 20g/s, FM2= 30g/s, Total: 50g/s , saída d) Q1 = 1 m3/s, Q2 = 1,5m3/s 1.8.5: a) 7,5m3/s; saída b) 150g/s; saída c) 150g/s d) 7,5 m3/s CAPÍTULO 3 ITEM 3.5 Ex 1 : ∆Vol = 77.760.000 m3. Ex. 2: ∆Vol = 23.328.008 m3. Ex.3: Q = 2499 L/s (2,50m3/s). Ex. 4: ∆Vol = 31.968.000 m3. Ex. 5: Q = 1,571m3/s; V = 0,222 m/s Ex. 6: a) h = 3,638m; b) t = 96,4s; e) t = 42,1s Item c) t (s) h (m) 0 5,000 20 4,470 40 3,996 60 3,572 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 136 Item d) Item e) numericamente, interpolar linearmente entre 40 e 45segundos: ∆𝑡 = 40 + (45 − 40) (4,033 − 3,926) ∗ (4,033 − 4,00) = 41,54 𝑠 Obs: analiticamente, obtém-se t = 42,1s Ex. 7: ∆t = 29,2 anos Ex. 8: a) Q1 = Q2 = 0,030m3/s; b) Q3 = Q4 = 0,015m3/s; Vb = 1m/s, sentido (-i) , portanto vazão de entrada. CAPÍTULO 4 Ex. 4.5.1 P = 336.735Pa = 337kPa. Ex. 4.5.2: Q = 0,070m3/s Ex. 4.5.3: a) P2 = 7.400 Pa ; b) P3 = 29.600Pa ; c) P4 = 4.950 Pa ; d) Q = 0,0156 m3/s. Ex. 4.5.4: VOrificio = 5,67m/s ; h = 1,64m ; A vazão depende da área contraída o orifício: Q = 5,67 ASeção Contraída = 0,0073 m3/s. Ex. 4.5.5: Q = 0,0148m3/s. Ex. 4.5.6: a) Q = 0,0430m3/s ; b) p = 84.264 Pa; c) H = 11,82m. Ex. 4.5.7: a) Q = 0,0964m3/s ; b) p = 44.491 Pa; c) H = 7,69m. Ex. 4.5.8: a) H = 3,29m ; b) Q = 0,00215m3/s. Ex. 4.5.9: A carga de pressão do ponto B é 1,51m. O nível do piezômetro C ficará 0,31 acima da cota do ponto A. Ex. 4.5.10: D = 0,0543m Ex. 4.5.11: A ≤ 0,0219m2. Ex. 4.5.12: V = 59,7m/s. Ex. 4.5.13: Q = 0,0082m3/s ; deflexão = 0,397m. CAPÍTULO 6 6.7.1: P = 32.279 Pa; H = 4,82m t (s) h (m) 0 5,000 5 4,867 10 4,738 15 4,613 20 4,491 25 4,372 30 4,256 35 4,143 40 4,033 45 3,926 50 3,822 55 3,721 60 3,622 Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 137 6.7.2: d = 0,236m 6.7.3: Bomba com HM = 16,73m; Pot = 19,7kW. 6.7.4: Pot = 30.093W 6.7.5: h = 23,98m 6.7.6: a) VM = 0,5m/s; Q = 3,96x10-6 m3/s ; FM = 3,93x10-3 kg/s b) 410,7W c) 2,0 m/s d) 2410,7W e) 146,75°C ! (a água irá evaporar, mudando as condições do problema) 6.7.7: a) a) Bomba ; b) HM = 29,96m; c) Pot = 293.625 J/s; d) C = 2.763,5 kWh = 9,95x109 J. 6.7.8: OBS: Nas versões anteriores não foi incluída na proposta do problema a distância entre o centro do tubo e o nível do mercúrio no lado esquerdo do manômetro (2,0m). Com esse dado, as respostas ficam: Q = 0,871m3/s ; b) Pot = 302,9 kW CAPÍTULO 7 Ex. 7.5.1 Força exercida pela água sobre a placa: Fa → p = (17.723 + 0,0393 Patm ) N (sentido +x); esta resposta depende da pressão atmosférica local. Força resultante sobre a placa : F = 17.723 N (sentido -x); esta é a força a ser aplicada pelos vínculos que unem o tubo à placa (parafusos, rebites, solda, etc). Esta força não depende da pressão atmosférica local. Ex. 7.5.2 Força exercida pela água sobre a placa: Fa → p = (322,6 + 0,01767 Patm ) N (sentido -z); esta resposta depende da pressão atmosférica local. Força resultante sobre a placa : F = 322,6 N (sentido +z); esta é a força a ser aplicada pelos vínculos que unem o tubo à placa (parafusos, rebites, solda, etc). Esta força não depende da pressão atmosférica local. 7.5.3 Força necessária para manter o projétil F = 6.570N (sentido -x) 7.5.4 Força exercida pela água sobre o cone: Fa → c = (1.477 + 0,031415 Patm ) N (sentido +x); esta resposta depende da pressão atmosférica local. Força resultante sobre o cone : F = 1.477 N (sentido –x); esta é a força a ser aplicada pela barra que mantém o cone no lugar. Esta força não depende da pressão atmosférica local. 7.5.5 Força aplicada pelo vínculo sobre a expansão F = 1339N (sentido +x); a expansão comprime o tubo menor. 7.5.6 Tensão em cada rebite T = 5655N (tração) Notas de Hidráulica Experimental – versão 1.6 – 2015/s2 138 7.5.7 Componentes da Força exercida pela água sobre o tubo: Componente X: Fx a → t = (–17,34 + 0,003436 Patm ) N (sentido –x); esta resposta depende da pressão atmosférica local. O sentido coincide com o adotado (–x) quando Fx a → t > 0. Isto ocorre para Patm > 5049,5Pa, o que abrange a maioria das situações comuns. Componente Y: Fy a → t = 18 N (sentido –y) 7.5.8 Força do conjunto curva + bocal sobre as cavilhas FVC → Cavilhas = 8.747 N (sentido –x); O sentido indica que as cavilhas são tracionadas. 7.5.9 Velocidade do jato : V = 44,27m/s; Força exercida pela água sobre a placa: Fa → p = (2.213,5 + 0,0707 Patm ) N (sentido +x); esta resposta depende da pressão atmosférica local. Força resultante sobre a placa : F = 2.213,5 N (sentido –x); esta é a força a ser aplicada pelos vínculos sobre a placa para mantê-la no lugar. Esta força não depende da pressão atmosférica local. Ex. 7.5.10 Potência da bomba Pot = 8.828W Ex. 7.5.11 Tensão no arame T = 2.500N (tração no arame) Ex. 7.5.12 Velocidade média de saída em cada fenda lateral V = 5m/s. Força indicada no dinamômetro F = 14.477N (força de compressão na mola) Ex. 7.5.13 Componente X da força sobre a curva Fx = 34.500N (sentido +x). Componente Y da força sobre a curva: Fy = 23.383N (sentido –y). Ex. 7.5.14 Componente x da resultante sobre a pá Rx = 375N (sentido –x) Componente y da resultante sobre a pá Ry = 0. Obs: a resultante sobre a pá é a força necessária para manter a pá no lugar. Ex 7.5.15 a) Áreas: A2 = 0,03333... m2; A3 = 0,06666... m2. b) Reações sobre o anteparo Componente x: Rx = 4.448N (sentido –x) Componente y: Ry = 1.551N (sentido –y) Obs: a reação sobre o anteparo é a força necessária para manter o anteparo no lugar.