Slide - Conceito de Tensão e Deformação - Resistência dos Materiais 2022-2

Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Molas submetidas à carga axiais respeitam a Lei de Hooke. P = kδ Onde k é a rigidez da mola. f = 1/k Onde f é a flexibilidade da mola. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Solução: Temos duas situações: 1. Alongamento da haste de aço: δ = PL/AE = 80 x 10³ x 0.6 / (200 x 10⁹ x π x (5 x 10⁻³)²) δ = 0.00305m 2. Encurtamento do tubo de alumínio: δ = PL/AE = 80 x 10³ x 0.4 / (70 x 10⁹ x 400 x 10⁻⁶) δ = 0.00114m Como o alongamento e o encurtamento estão no mesmo sentido: δ_total = 0.00305 + 0.00114 = 0.00419m δ_total = 4.19mm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Se a área da seção transversal e a força variarem em função de x, temos : δ = ∫(0 a L) [p(x)dx / A(x)E] Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Conceito de tensão e deformação Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão Normal e Deformação Barra de comprimento L: Alongamento da barra : δ (delta) Barra Esticada : Tensões Normais de Tração (+) Barra Comprimida : Tensões Normais de Compressão (-) Tensão Normal e Deformação Deformação Normal Específica: ε (épsilon): ε = δ/L Tensão Normal : σ (sigma) σ = P/A Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Um poste circular sólido ABC sustenta uma carga P1 de 45 Kg, como ilustrado na figura ao lado. Uma segunda carga P2 está uniformemente distribuída ao redor do chanfro em B. Os diâmetros das partes superior e inferior são 30mm e 60mm respectivamente. Calcule a tensão normal σAB na parte superior do poste. Qual será o valor da carga P2 para que a tensão de compressão σBC seja igual a σAB. Tensão Normal e Deformação Tensão Normal e Deformação Solução: σ_AB = P_1/A_AB = 45 × 9.81/π × (15 × 10^−3)^2 → σ_AB = 624.52kPa σ_BC = σ_AB σ_BC = (P_1 + P_2)/A_BC = (45 × 9.81 + P_2)/π × (30 × 10^−3)^2 = 624.52kPa Resolvendo: P_2 = 1324.33N = 135kg Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Diagramas de Tensão×Deformação Corpo de Prova e Máquina de Tração Ensaio de Tração Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Diagrama de Tensão×Deformação : aço estrutural, em tração Diagramas de Tensão×Deformação Ensaio de Tração Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson • A relação linear entre Tensão e Deformação para uma barra em tração ou compressão é expressa pela Lei de Hooke: σ = Eε onde E é chamado de módulo de Elasticidade ou módulo de Young. • Quando uma barra prismática é carregada em tração, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral (ε’). Assim, define-se o coeficiente de Poisson (ν) como sendo : ν = − Deformação lateral/Deformação axial = − ε'/ε Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão e Deformação de Cisalhamento Quando a força aplicada está na direção transversal da barra, aparece um tipo de tensão diferente da tensão normal, chamada de tensão de cisalhamento, representada pela letra grega τ (tau) e definida como: τ = P/A Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão e Deformação de Cisalhamento Quando o elemento estiver sujeito a cisalhamento duplo, temos: τ = P/2A Parafuso submetido a cisalhamento duplo Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Um punção é usado para fazer um furo em uma placa como ilustrado abaixo. Se uma força de 110kN é necessária, encontre a tensão de cisalhamento na placa e a tensão normal no punção. Tensão e Deformação de Cisalhamento Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Um punção é usado para fazer um furo em uma placa como ilustrado abaixo. Se uma força de 110kN é necessária, encontre a tensão de cisalhamento na placa e a tensão normal no punção. Tensão e Deformação de Cisalhamento Tensão e Deformação de Cisalhamento Solução: τ = P/A = P/(π × d × t) = 110 × 10³/(π × (20 × 10⁻³) × (8 × 10⁻³)) → τ = 219MPa σ = P/A = 110 × 10³/(π × (10 × 10⁻³)²) → σ = 350.14MPa Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • As tensões de cisalhamento tendem a causar uma modificação na forma do elemento, como ilustrado, pelo ângulo γ : Lei de Hooke em Cisalhamento : @ = 2 2(1 + A) Relação entre G, E e νννν : *G é o módulo de elasticidade para cisalhamento ou módulo de rigidez > = @B Tensão e Deformação de Cisalhamento Tensões Num Plano Oblíquo ao Eixo Axial Forças axiais podem causar, simultaneamente, tensões axiais e de cisalhamento, em planos não perpendiculares ao seu eixo principal. N = P \cos θ ; \ V = P \sinθ \sigma_θ = \frac{P \cos θ}{\frac{A}{\cos θ}}; \ τθ = \frac{P \sinθ}{\frac{A}{\cos θ}} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensões Num Plano Oblíquo ao Eixo Axial Exemplo: Um elemento em tração deve ser construído a partir de duas peças de plástico coladas no plano pq, conforme ilustrado. Para fins de corte e colagem, o ângulo θ deve estar entre 25º e 45º.As tensões admissíveis na junta colada em tração e cisalhamento são 15MPa e 9MPa respectivamente. (a) Determine o ângulo θ de forma que a barra suporte a maior carga P (assuma que a resistência da junta colada controle o dimensionamento). Determine a máxima carga admissível Pmax se a área de seção transversal da barra é 900 mm2. Tensões Num Plano Oblíquo ao Eixo Axial Solução: σθ = \frac{Pcos^2θ}{A} = 15 \times 10^6; \ τθ = \frac{Psinθcosθ}{A} = 9 \times 10^6 \frac{τθ}{σθ} = \frac{9}{15} = tgθ \rightarrow θ = 30.96^0 P = \frac{σθA}{cos^2θ} = \frac{15 \times 10^6 \times 900 \times 10^{-6}}{cos^2θ} = \frac{9 \times 10^6 \times 900 \times 10^{-6}}{cosθsinθ} \rightarrow P = 18.361kN Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficientes de Segurança Tensão Última à Tração : \ σu = \frac{Pu}{A} Coeficiente de Segurança: \ C.S.= \frac{Tensão Ultima}{Tensão Admissível} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Propriedades Mecânicas Médias de Materiais Típicos de Engenharia (Unidades SI) Materiais Metálicos Ligas Forjadas de Alumínio 2014-T6 2,79 73,1 27 414 414 172 469 469 290 10 0,35 23 6061-T6 2,71 68,9 26 255 255 131 290 290 186 12 0,35 24 Ligas de Ferro Fundido Cinza ASTM 20 7,19 67,0 27 – – – 179 669 – 0,6 0,28 12 Maleável ASTM A-197 7,28 172 68 – – – 276 572 – 5 0,28 12 Ligas de cobre Latão Vermelho CB3400 8,74 101 37 70,0 70,0 – 241 241 – 35 0,35 18 Bronze C86100 8,83 103 38 345 345 – 655 655 – 20 0,34 17 Liga de Magnésio [Am 1004-T61] 1,83 44,7 18 152 152 – 276 276 152 1 0,30 26 Ligas de Aço Estrutural A36 7,85 200 75 250 250 – 400 400 – 30 0,32 12 Inoxidável 304 7,86 193 75 207 207 – 517 517 – 40 0,27 17 Ferramentas L2 8,16 200 75 703 703 – 800 800 – 22 0,32 12 Liga de Titânio [Ti-6Al-4V] 4,43 120 44 924 924 – 1,000 1,000 – 16 0,36 9,4 Não metálicos Concreto Baixa Resistência 2,38 22,1 – – – – 12 – – – – 0,15 11 Alta Resistência 2,38 29,0 – – – – 38 – – – – 0,15 11 Plástico Reforçado Kevlar 49 1,45 131 – – – – 717 483 20,3 2,8 0,34 – 30% Vidro 1,45 72,4 – – – – 90 131 – – 0,34 – Madeira Selecionada Abeto Douglas 0,47 13,1 – – – – 2,1e 26a 6,2a – 0,29e – Abeto Branco 3,60 9,65 – – – – 2,5e 36a 6,7a – 0,31e – a Os valores específicos podem variar para um material em particular devido à composição da liga ou do mineral, ao processamento mecânico da amostra ou ao tratamento térmico. Para se obter valor mais exato devem ser consultados livros de referência do material. b A tensão de escoamento e o limite de resistência para materiais dúcteis podem ser admitidos como iguais tanto para a tração quanto para a compressão. c Medida perpendicular ao grão. d Medida paralela ao grão. e Deformação medida perpendicular ao grão quando a carga é aplicada ao longo deste. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Para uma barra prismática de comprimento L e sujeita a um carga P, se a tensão atuante não exceder o Limite de Proporcionalidade do material, ele obedece à Lei de Hooke: σ = Eε → ε = σ/E = P/AE ε = δ/L → δ/L = P/AE → δ = PL/AE P: Força de tração ou compressão no elemento; L: Comprimento do elemento; A: Área da seção transversal do elemento; E: Módulo de Young do material do elemento. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm² de área de seção transversal. Determinar o deslocamento final do rolete, em C, quando a carga W=10kN. Reações: ∑MA = 0 → FC * (1.6 + 1.2) = W * 1.6 → FC = 57.24kN Nó C: ∑Fx = 0 → BC * cos(36.86°) = FC → BC = 71.55kN ∑Fy = 0 → BC * sin(36.86°) = AC → AC = 42.92kN Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm² de área de seção transversal. Determinar o deslocamento final do rolete, em C, quando a carga W=10kN. Portanto: \( \delta = \frac{PL}{AE} = \frac{42.92 \times 10^3 \times (1.2 + 1.6)}{200 \times 10^9 \times 400 \times 10^{-6}} \) \( \rightarrow \delta = 0.0015m = 1.5mm \) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm2 de área de seção transversal. Determinar a carga W requerida para deslocar o rolete de 0.2mm, para baixo. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Se a barra possui distintas seções axiais ou solicitações, aplica-se a Lei de Hooke por trechos, ou seja : \( \delta = \sum_{i}\frac{P_{i}L_{i}}{A_{i}E_{i}} \) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Para aplicarmos a equação anterior, devemos estabelecer uma convenção de sinais para a força axial interna. Consideraremos força e deslocamento positivos se provocarem tração e alongamento e negativos, caso contrário. Assim, podemos escrever para a barra: \( \delta = \sum_{i}\frac{P_{i}L_{i}}{A_{i}E_{i}} = \frac{5L_{AB}}{EA} + \frac{(-3)L_{BC}}{EA} + \frac{(-7)L_{CD}}{EA} \) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: O conjunto ilustrado abaixo, consiste de um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400mm2. Uma haste de aço de 10mm de diâmetro está acoplada ao colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? Dado: Eaço=200GPa e Eal=70GPa. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Experimento para o cálculo da rigidez de molas Mola M [g] x [mm] P [N] X0= k = \frac{P}{x} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: O dispositivo ilustrado abaixo consiste de um ponteiro ABC sustentado por uma mola de rigidez k=1400N/m. A mola está posicionada a uma distância b=200mm da extremidade A do ponteiro presa por um pino. O dispositivo está ajustado de forma que, quando não há nenhuma carga P, o ponteiro mostra zero na escala angular. Se a carga P=12N, a que distância x a carga deve ser posicionada de forma que o ponteiro leia 2o na escala? Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Solução: Elemento ABC: \sum M_A = 0 \rightarrow P * x = F_B * b \rightarrow x = \frac{F_B * b}{P} Força na mola: F_B = k\delta Angulo do ponteiro: tg(2°) = \frac{\delta}{b} Assim: x = \frac{k * tg(2°) * b * b}{P} x = \frac{1400 * tg(2°) * 0.2 * 0.2}{12} = 0.162cm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Estruturas que não possuem solução através da aplicação das leis da estática, são chamadas estruturas estaticamente indeterminadas. Barra estaticamente determinada : R=P1+P2 Barra estaticamente indeterminada : RA+RB=P Estruturas Estaticamente Indeterminadas Para solucionar este tipo de estrutura, usa-se a equação do alongamento, ou seja, dada a estrutura obtenha as reações em A e B. Equação de Equilíbrio: \sum F_{VERT} = 0 \rightarrow R_A - P + R_B = 0 Alongamento da Barra: \delta_{AB} = 0; \delta_{AC} = \frac{R_A a}{E_A}; \delta_{CB} = \frac{(R_A - P)b}{E_A} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Continuando... \delta_{AB} = 0 \rightarrow \delta_{AC} + \delta_{CB} = 0 \rightarrow \frac{R_A a}{E A} + \frac{(R_A-P)b}{E A} = 0 \rightarrow R_A a + R_A b - Pb = 0 \rightarrow R_A = \frac{Pb}{a + b} R_A + R_B = P \rightarrow \frac{Pb}{a + b} + R_B = P \rightarrow R_B= \frac{Pa}{a + b} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: Uma barra rígida AB de comprimento L=1600mm está articulada em A e sustentada por dois fios verticais nos pontos C e D. Ambos os fios tem área de seção transversal de 16mm2 e são feitos do mesmo material (E=200GPa). O fio em C tem comprimento h=0.4m e o fio em D tem comprimento duas vezes este valor. As distâncias horizontais são c=0.5m e d=1.2m. Determine as tensões de tração σC e σD nos fios devido à carga P=970N agindo na extremidade B da barra. Encontre o deslocamento para baixo δB na extremidade B da barra. Estruturas Estaticamente Indeterminadas Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: Estática: \sum M_A = 0 \rightarrow F_C * c + F_D * d = P * L Equação de compatibilidade: \frac{\delta_C}{c} = \frac{\delta_D}{d} = \frac{\delta_B}{L} \frac{F_C * h}{c * E * A_C} = \frac{F_D * 2h}{d * E * A_D} \rightarrow \frac{F_C}{c} = \frac{F_D * 2}{d} \rightarrow F_C = \frac{2 * c * F_D}{d} \rightarrow F_C = 0.84F_D Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: 0.84F_D * c + F_D * d = P * L \rightarrow 1.62F_D = P * L \rightarrow F_D = \frac{P * L}{1.62} \rightarrow F_D = 958.02N; F_C = 804.74N \sigma_D = \frac{958.02}{16 \times 10^{-6}} \rightarrow \sigma_D = 59.87MPa \sigma_C = \frac{804.74}{16 \times 10^{-6}} \rightarrow \sigma_C = 50.29MPa Retomando: \frac{\delta_C}{c} = \frac{\delta_D}{d} = \frac{\delta_B}{L} \rightarrow \delta_B = L * \frac{\delta_C}{c} = L * \frac{F_C * h}{c * E * A_C} = \frac{804.74 * 0.4}{0.5 * 200 \times 10^9 * 16 \times 10^{-6}} \rightarrow \delta_B = 0.0003216m Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Exemplo: Determine as reações, em A e B, da barra de aço carregada abaixo. Solução: Estática: ∑F_y = 0 → R_A + R_B - 300 - 600 = 0 Equação de compatibilidade: δ_AB = 0 → δ_AD + δ_DC + δ_CK + δ_KB = 0 \frac{R_A * 0.15}{E * 250 \times 10^{-6}} + \frac{(R_A - 300) * 0.15}{E * 250 \times 10^{-6}} + \frac{(R_A - 300) * 0.15}{E * 400 \times 10^{-6}} + \frac{(R_A - 300 - 600) * 0.15}{E * 400 \times 10^{-6}} = 0 Resolvendo: R_A = 333.3185N; R_B = 566.6814N Estruturas Estaticamente Indeterminadas Exemplo: A viga AB rígida, ilustrada abaixo, repousa sobre duas colunas. A coluna AC é de aço e tem um diâmetro de 20mm e a coluna BD é de alumínio e tem diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F sobre AB, se uma carga vertical de 90 kN é aplicada neste ponto. R.: δδδδF=0.225mm Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: Estática: ∑F_y = 0 → R_A + R_B = 90000 ∑M_A = 0 → R_B * 0.6 = 90000 * 0.2; → R_B = 30000N; R_A = 60000N Equação de alongamento: \delta_{AC} = \frac{R_A * 0.3}{200 \times 10^9 * \pi * (10 \times 10^{-3})^2} = 2.8647 \times 10^{-4}m \delta_{BD} = \frac{R_B * 0.3}{70 \times 10^9 * \pi * (20 \times 10^{-3})^2} = 1.0231 \times 10^{-4}m \delta_A = \delta_{AC} - \delta_{BD} = 1.8416 \times 10^{-4} Equação de compatibilidade: \frac{\delta_A}{0.6} = \frac{\delta_F}{0.4} → \delta_F = 1.2277 \times 10^{-4} \delta_{Ftotal} = \delta_F + \delta_{BD} = 1.2277 \times 10^{-4} + 1.0231 \times 10^{-4} = 2.2509 \times 10^{-4}m Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares