Slide - Torção - Resistência dos Materiais 2022-2

Solução: I_P = \frac{\pi}{32}(d_e^4 - d_i^4) = \frac{\pi}{32}((60 \times 10^{-3})^4 - (40 \times 10^{-3})^2) I_P = 1.021 \times 10^{-6} mm^4 T = \frac{\tau}{r_{externo}} I_P \rightarrow T = \frac{120 \times 10^6}{30 \times 10^{-3}} \times 1.021 \times 10^{-6} \rightarrow T = 4.084 N.m \tau = \frac{T \times r_{interno}}{I_p} = \frac{T \times 20 \times 10^{-3}}{I_p} = 80 MPa Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção Ângulo de Torção (ϕ) τ = Gγ; (Lei de Hooke em Cisalhamento) γ = ρθ; (Deformação de Um Elemento em Torção) τ = Gρθ ⇒ θ = \frac{τ}{Gρ}; τ = \frac{Tρ}{I_P} (θ é a razão de torção) θ = \frac{T}{G I_P}; ϕ = Lθ ⇒ ϕ = \frac{TL}{G I_P} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção A Fórmula de Torção Para Tubos Circulares Para tubos circulares, o Momento polar de Inercia (Ip), fica: I_P = \frac{\pi}{2} (r_2^4 - r_1^4) = \frac{\pi}{32} (d_2^4 - d_1^4) ou: I_P = \frac{\pi rt}{2}(4r^2 + t^2) = \frac{\pi dt}{4}(d^2 + t^2) onde: r = \frac{(r_1 + r_2)}{2} e d = \frac{(d_1 + d_2)}{2} ou: I_P = \frac{\pi d^3 t}{4} para valores pequenos de t. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Deformação de Uma Barra Circular em Torção Pura Torção Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Deformação de Uma Barra Circular em Torção Pura (b) Barra sujeita a torção Torção (a) Barra sem esforço; Torção • Deformação de Um Elemento Extraído de Uma Barra em Torção Da figura (b), temos : γ_{max} = \frac{bb'}{ab} γ_{max} dx = r \, dφ, ou: γ_{max} = r \frac{dφ}{dx}, ou γ_{max} = rθ, onde θ = \frac{dφ}{dx} θ é conhecida como razão de torção. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Deformação de Um Elemento Extraído de Uma Barra em Torção Para o caso de haver torção pura, a razão de torção pode ser escrita como : θ = \frac{φ}{L} \Rightarrow γ_{max} = r \frac{φ}{L} Assim , para uma posição intermediária, temos : γ = ρ θ \Rightarrow γ = \frac{ρ}{r} γ_{max} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Deformação de Cisalhamento em Um Tubo Circular Para o caso de um tubo circular, como ilustrado, temos : γ_max = r_2 ϕ / L ; γ_min = r_1 ϕ / L = r_1 / r_2 γ_max Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Tensões de Cisalhamento em Uma Barra em Torção τ = Gγ γ = ρθ ⇒ γ = ρ / r γ_max τ_max = G r θ τ = Gρθ = ρ / r τ_max Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • A Fórmula de Torção Momento Elementar (dM): dM = τρdA → dM = τ_max ρ / r ρdA → dM = τ_max ρ^2 / r dA Torque : T = ∫_A dM = τ_max / r ∫_A ρ^2 dA = τ_max / r I_P → T = τ_max / r I_P Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • A Fórmula de Torção O Momento polar de Inércia p/ um círculo de raio r e diâmetro d é dado por: I_P = \frac{\pi r^4}{2} = \frac{\pi d^4}{32} Com isso, podemos escrever: \tau_{max} = \frac{Tr}{I_P}, \rightarrow \tau_{max}= \frac{16T}{\pi d^3} Obs.: Como foi usado o Ip de uma área circular, esta expressão só é válida para elementos com áreas circulares, cheias. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • A Fórmula de Torção A tensão de cisalhamento (τ), também pode ser expressa por : \tau = \frac{\rho}{r} \tau_{max} = \frac{T \rho}{I_P} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção (Exemplo 1) • Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no cilindro ilustrado abaixo, sabendo que o torque aplicado (T) é de 4.6kN.m. Solução: \tau_{max} = \frac{Tr}{I_P} \rightarrow \tau_{max}= \frac{4.6 \times 10^3 \times 38 \times 10^{-3}}{\pi \times \frac{(76 \times 10^{-3})^4}{32}} \tau_{max} = 53.3687MPa Torção (Exemplo 2) • Para o tubo de aço ilustrado abaixo, encontre o torque máximo a ser aplicado em sua extremidade livre, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 120MPa. Qual a tensão cisalhante mínima aplicada ao tubo. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção (Exemplo 3) Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque de 1200N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40MPa nem uma razão de torção de 0.75o/m, (Gaço=78GPa). (a) Determine o diâmetro necessário (d0) do eixo sólido. (b) Determine o diâmetro externo necessário, d2, do eixo vazado se a espessura t do eixo está especificada em um décimo do diâmetro externo. Torção (Exemplo 3) Solução (a): Dados: T = 1200N.m; τ_max = 40MPa; θ = 0.75°/m 1° Caso: Não ultrapassar a Tensão Cisalhante Máxima τ_max = Tr/Ip = 16/πd^3 T → d = (3√16/π * τ_max T) → d = (3√16/π * 40 * 10^6) * 1200 → d = 53.46mm 2° Caso: Não ultrapassar a razão de torção máxima θ = T/G * πd^4/32 → d = (4√32T/G * π * θ) → d = (4√32 * 1200/78 * 10^9 * π * 0.75 * π/180) → d = 58.82mm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção (Exemplo 3) Solução (b): Dados: T = 1200N.m; τ_max = 40MPa; θ = 0.75°/m Ip = π/32 (d_2^4 - d_1^4) = π/32 [d_2^4 - (0.8d_2)^4] ⇒ Ip = 0.05796d_2^4 1° Caso: Não ultrapassar a Tensão Cisalhante Máxima τ_max = Tr/Ip = Td_2/2 * 0.05796d_2^4 → d_2 = (3√1200/2 * 0.05796 * 40 * 10^6) → d_2 = 63.72mm 2° Caso: Não ultrapassar a razão de torção máxima θ = T/G * 0.05796d_2^4 → d_2 = (4√T/G * 0.05796 * θ) → d_2 = (4√1200/78 * 10^9 * 0.05796 * 0.75 * π/180) → d_2 = 67.10mm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Torção Não Uniforme (Caso 1) Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de cada segmento. φ = Σ (i=1 to n) φ_i = Σ (i=1 to n) T_i L_i/G_i (I_P)_i Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Torção Não Uniforme (Caso 2) Barra com seção transversal variando continuamente e torque constante. ϕ = ∫ ₀ ᴸ dϕ = ∫ ₀ ᴸ (T dx) / G I_P(x) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Torção Não Uniforme (Caso 3) Barra com seção transversal variando continuamente e torque variando continuamente. ϕ = ∫ ₀ ᴸ dϕ = ∫ ₀ ᴸ (T(x) dx) / G I_P(x) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Transmissão de Potência Por Eixos Circulares Definição: Trabalho(W) : W = Tϕ Potência : P = dW/dt = T dϕ/dt = Tω OBS.: 1. ω é a velocidade angular (ω [rd/s]) 2. ω = 2πf, onde f é a frequência de rotação do eixo, f [s⁻¹ = Hz] Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • O eixo circular com diâmetro de 30mm, é utilizado para transmitir 90kW de potência. Determine a frequência de rotação de forma que a tensão Cisalhante não ultrapasse 50MPa. Torção (Exemplo 4) Torção (Exemplo 4) Solução: P = Tω = 90 \times 10^3 = Tω \Rightarrow T = \dfrac{90 \times 10^3}{\underline{2\pi f}} \, \omega τ_{MAX} = \dfrac{16T}{\pi d^3} = \dfrac{16}{\pi d^3} \dfrac{90 \times 10^3}{2\pi f} f = \dfrac{16}{\pi (30 \times 10^{-3})^3} \times \dfrac{90 \times 10^3}{2\pi \times 50 \times 10^6} \rightarrow f \cong 54Hz Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção Membros em Torção Estaticamente Indeterminados Torção Membros em Torção Estaticamente Indeterminados 1. Equilíbrio: \quad T_1 + T_2 = T 2. Compatibilidade: \quad \phi_1 = \phi_2 3. Ângulo de torção: \quad \phi_1 = \dfrac{T_1 L}{G_1 I_p_1} \quad \phi_2 = \dfrac{T_2 L}{G_2 I_p_2} 4. Solução: \quad T_1 = T \left( \dfrac{G_1 I_p_1}{G_1 I_p_1 + G_2 I_p_2} \right) \quad T_2 = T \left( \dfrac{G_2 I_p_2}{G_1 I_p_1 + G_2 I_p_2} \right) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção (Exemplo 5) • Um eixo de aço vazado ABC de diâmetro externo 50mm e diâmetro interno 40mm está preso como ilustrado. Determinar o valor admissível das forças P se a máxima tensão de cisalhamento admissível é de 55MPa. Torção (Exemplo 5) Solução: 1. Equilíbrio: \quad T_{AC} + T_{CB} = 0.4P 2. Compatibilidade: \quad \phi_{AC} = \phi_{CB} \quad \dfrac{T_{AC} L_{AC}}{ G I_p} = \dfrac{T_{CB} L_{CB}}{G I_p} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{T_{AC} \times 900}{G I_p} = \dfrac{T_{CB} \times 600}{G I_p} \quad T_{AC} = \dfrac{2}{3} T_{CB} (2); \text{ Substituindo em (1): } \quad \dfrac{2}{3} T_{CB} + T_{CB} = 0.4P \quad \Rightarrow \quad T_{CB} = 0.24P \quad \Rightarrow \quad T_{AC} = 0.16P Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção (Exemplo 5) τ_{MAX} = \frac{Tr}{I_p} \rightarrow 55 \times 10^6 = \frac{0.24P \times r}{I_p} Colocando P, em evidência: P = \frac{55 \times 10^6 \times I_p}{0.24 \times \frac{25 \times 10^{-3}}{r}} I_p = \frac{\pi}{32} (d_e^4 - d_i^4) = 362.26 \times 10^{-9} m^4 \Rightarrow P = 3320N Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Energia de Deformação em Torção e Cisalhamento Puro U = \frac{T^2 L}{2 G I_p} = \frac{G I_p \phi^2}{2L} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Energia de Deformação em Torção e Cisalhamento Puro Torção Não-Uniforme U = \sum_{i=1}^{n} \frac{T_i^2 L_i}{2 G_i (I_p)_i} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Torção • Energia de Deformação em Torção e Cisalhamento Puro Torção Não-Uniforme U = ∫[0, L] [T(x)]²dx / 2GIP(x) Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M.S. Soares