Exercícios - Capítulo 9 2022-1

Problemas do Capítulo 9 9.1 Determinar a transformada fasorial de cada função trigonométrica: a) V = 170 cos (377t - 40°) volts. V̅ = 170 ∠-40° volts b) i = 10 sen (1000t + 20°) Amperes Transformamos a função seno em cosseno: i = 10 sen (1000t + 20°) = 10 cos (1000t + 20° - 90°) i = 10 cos (1000t - 70°) => Ī = 10 ∠-70° Amperes c) i = [5 cos (ωt + 36,87°) + 10 cos (ωt - 53,13°)] Amperes Ī = 5 ∠36,87° + 10 ∠53,13° = 4 + j3 + 6 - j8 = 10 - j5 Ī = 5 (2 - i) = 5 √5 ∠-26,56° => Ī = 11,18 ∠-26,56° d) V = [300 cos (20.000πt + 45°) - 100 sen (20.000πt)] V = 300 cos (20.000πt + 45°) - 100 cos (20.000πt + 30° - 90°) V = 300 cos (20.000πt + 45°) - 100 cos (20.000πt - 60°) V̅ = 300 ∠45° - 100 ∠-60° = 150√2 + j150√2 - 50 + j50√3 V̅ = 50 [3√2 - 1 + j (3√2 + √3)] V̅ = 162,13 + j298,73 = 339,89 ∠61,51° volts 9.2 Determine a expressão no domínio do tempo correspondente a cada fasor. a) V̅ = 18,6 ∠-54° volt V(t) = 18,6 cos (ωt - 54°) volts b) Ī = 20 ∠45° - 50 ∠-30° mA Ī = 10√2 + j10√2 - 50 (√3/2 - j1/2) = (10√2 - 25√3) + j (10√2 + 25) Ī = -29,16 + j39,14 = 48,81 ∠126,68° => i(t) = 48,81 cos (ωt + 126,68°) mA c) V̅ = (20 + j80 - 30∠165°) volt V̅ = 20 + j80 - 28,977 - j7,764 = -8,977 + j72,235 V̅ = 72,79 ∠97,108° => V(t) = 72,79 cos (ωt + 97,108°) volt 9.3 A corrente no indutor de 20mH é: 10 cos (1000t + 30°) mA. Calcule: (a) a reatância indutiva, (b) a impedância do indutor, (c) a tensão fasorial V̅ e (d) a expressão para regime permanente para V(t). a) XL = ωL = j (10000) (20 x 10⁻³) = 200 Ω b) ZL = jXL = j200 Ω = 200 ∠90° c) V̅ = ZLĪ Ī = 10 ∠30° mA V̅ = 200 ∠90° * 10 ∠30° => V̅ = 2000 ∠120° mV V̅ = 2 ∠120° volts d) V(t) = 2 cos (1000t + 120°) volts 9.4 A tensão nos terminais do capacitor de 5 μF é 30 cos (4000t + 25°) volts. Calcular: (a) a reatância capacitiva, (b) a impedância do capacitor, (c) a corrente fasorial Ī e (d) a expressão de regime permanente para i(t). Ca) XC = -1 / ωC = -1 / 5x10⁻⁶ x 4000 = -1000 / 20 => XC = -50 Ω b) ZC = jXC = -j50 = 50 ∠-90° Ω c) Ī = V̅ / ZC = 30 ∠25° / 50 ∠-90° = 3/5 ∠115° = 0,6 ∠115° amperes d) i(t) = 0,6 cos (4000t + 115°) amperes 9.5 Quatro ramos terminam em um nó de referência. O sentido de referência de cada corrente de ramo (i1, i2, i3 e i4) é em direção ao nó. Se i1(t) = 100cos(wt+25º) A i2(t) = 100cos(wt+145º) A i3(t) = 100cos(wt-95º) A Sabemos que: i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 0 (β1) ou usando a transformada fasorial: I1 + I2 + I3 + I4 = 0 (β2) I1 = 100∠25º → I2 = 100∠145º → I3 = 100∠-95º ⇒ 100∠25º + 100∠145º + 100∠-95º + I4 = 0 100[cos25º + jsin25º - 0,819 + j0,573 - 0,087 - j0,996] + I4 = 0 100[0,906 + j0,422 - 0,906 - j0,422] + I4 = 0 ⇒ I4 = 0 ⇒ i4(t) = 0 /// Rta. 9.6 Usando os valores de resistência e indutância do circuito na figura mostrada com Vs = 125∠-60º volts e w = 5000rad/s encontre: a) o valor da capacitância que fará uma corrente de saída de regime permanente i com um ângulo de fase de -105º. b) a amplitude da corrente de saída de regime permanente i. Vs(t) 90Ω 32mH 90i(t) Transformada fasorial c Vs a b ZL=jwL ZL = j(5000 x 32 x 10⁻³) ZL = j160 ZC = -j ZC = -j wc 5000c I = I∠-105º A impedância equivalente entre os pontos a-b assume a seguinte forma: Zab = 90 + j(160 - 1) / 5000c (β1) Outra forma de encontrar Zab é a seguinte: Zab = Vs / I = 125∠-60º / I∠-105 125∠45º / I (β2) Zab = 125 / √2I + j 125/√2I Zab = 125/√2I = 90 ⇒ I = 125/90√2 = 25/18√2 125/√2I = 90 ⇒ I = 125/90√2 = 25/18√2 ⇒ Zab = 90 + j90 (β3) (β3) e (β1) ⇒ 160 - 1 = 90 5000c 1 = 70 5000c C = 1 / 3,5x10⁴ ⇒ C = 1 / 0,035μF ⇒ C = 2,857μF 9.7 Um resistor de 20Ω está ligado em paralelo com um indutor de 5mH. Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de 5Ω e um capacitor de 25μF. a) Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for 2000 rad/s. b) Repita (a) para uma frequência de 8000 rad/s. c) Em qual frequência finita a impedância da interligação torna-se puramente resistiva? d) Qual é a impedância na frequência determinada em (c)? a 20Ω 5mH 5 25μF w = 2000 rad/s a jω5x10⁻³ (a) ZL = -jωL = j5x10⁻³x2x10³ = j10 ZC = -j40000/w = -j40.000 2000 = -j20 Zab = (20(j10) + 5 - j20) / (2 + j10) 20 + j10 Zab = j20(2-j) + 5 - j20 = 20 + j40 + 5 - j20 (2+j)(2-j) Zab=4 + j8 + 5 - j20 Zab = 9-j12 b) ω = 8000 rad/s ZL = jωL = j 5∙10^-3∙8000 = j 40 ZC = -j 40000 / ω = -j 5 Zab = j40(20) / 20 + j40 + 5 - j5 = j40 / 1 + j2 + 5 - j5 = j40 (1-j2) / (1+j2)(1-j2) + 5-j5 Zab = 80 + j40 / 5 + 5-j5 = 16 + j8 + 5-j5 Zab = 21 + j3 c) Zab = 20 (jω.5∙10^-3) / 20 + jω.5∙10^-3 + 5 - j40.000 / ω Zab = 20 (jω.5∙10^-3) [20 - jω.5x10^3] / [20 + jω.5x10^3] [20 - jω.5x10^3] + 5 - j40.000 / ω Zab = 5 x 10^4ω^2 + j2ω / 400 + 25 x 10^6 ω^2 + 5 - j40.000 / ω Zab = [5 + 5 x 10^4 ω^2 / 400 + 25 x 10^6 ω^2 ] + j [ 2ω / 400 + 25 x 10^6 ω^2 - 40.000 / ω ] Quermos que a parte imaginária de Zab seja zero ⇒ 2ω / 400+25 x 10^6 ω^2 - 40.000 / ω = 0 ⇒ ω / 400 + 25 x 10^6 ω^2 = 20000 40.000 / ω <=> ω^2 = 8 x 10^6 + 0.5 ω^2 ⇒ 1/2 ω^2 = 8 x 10^6 ⇒ ω^2 = 16 x 10^6 ⇒ ω = 4000 rad/s d) De (β1): Com ω=4000 Zab = 5 + 5 x 10^4ω^2 / 400 + 25 x 10^6 ω^2 = 5 + 5 x 10^4 x 16 x 10^6 / 400 + 25 x 10^6 x 16 x 10^6 Zab = 5 + 8000 / 400+400 = 5 + 10 ⇒ Zab = 15 Ω 9.8 A mesma combinação de elementos descrita no problema anterior está ligada aos terminais de uma fonte de tensão de V(t) = 150Eos(4000t) volts. Qual é a amplitude máxima da corrente no indutor de 5mH? a ẐL 20 100 ZL 100 5 j2 ZC = -j40.000 / ω Do problema anterior, quando ω=4000 rad/s, sabemos que Zab=15. Assim temos o seguinte: I̅ = 150100 Igual a / 15 = 1010 Usamos o conceito de divisor de corrente para calcular I̅: J = 100 ZL / 20 + 100 = j10 (2-1) = 11 512 I̅L = 5√2ƒ45° ⇒ Imperceptível {I̅L} = 5√2 = √2 -√2 -√2 / 2 j40 / (1-j) I̅L 13.07 / 2 Amplificadores 9.9 Use uma transformação Δ-Y para determinar a corrente I no circuito mostrado. 13660° a j40 c b -j15Ω 50Ω 40Ω 10Ω 12Ω Transformamos os 3 resistores em Δ para Y entre os extremos a-b-c: Zc = 50Ω Za = 10Ω Zb = 40Ω Z1 = ZbZc / Za + Zb + Zc Z2 = ZaZc / Za + Zb + Zc Z3 = ZaZb / Za + Zb + Zc Z = Za + Zb + Zc = 50 + 40 + 10 = 100 ⇒ Z1 = 50(40) / 100 = 20 Z2 = 50(10) / 100 = 5 Z3 = 40(10) / 100 = 4 Assim, o sistema equivalente assume a seguinte forma: Equivalente da combinação em paralelo: Zp = \frac{(20+j40)(5-j15)}{25+j25} = \frac{700-j100}{25(1+j)} = \frac{28-j4}{1+j} = \frac{4(7-j1)}{1+j} Zp = \frac{4(7-j)(1-j)}{(1+j)(1-j)} = \frac{4(6-j8)}{2} = 12-j16 Impedância equivalente do conjunto: Z12 = 14 + 12-j16 + 4 = 30-j16 = 2(15-j8) Assim temos o seguinte: \bar{I} = \frac{136\angle 0^\circ}{Z12} = \frac{136}{2(15-j8)} = \frac{68}{(15-j8)} \times \frac{(15+j8)}{(15+j8)} \bar{I} = \frac{68}{289}(15+j8) = \frac{4}{17}(15+j8) = \frac{60}{17} + j\frac{32}{17} \bar{I} = \frac{4}{17} \times 17\angle 107^\circ \Rightarrow \bar{I} = 4\angle 23,1^\circ \Rightarrow \text{Ampere}. 9.10 Determinar a expressão de regime permanente para Vo(t) no circuito mostrado, usando a técnica de transformações de fontes. As fontes de tensão fornecidas são: V1(t) = 240 \cos(4000t + 53,13^\circ) volts V2(t) = 96 \sen(4000t) volts. Usando a transformada fasorial: V1(t) = 240 \cos(4000t + 53,13^\circ) \Rightarrow \bar{V}_1 = 240\angle 53,13^\circ V2(t) = 96 \sen(4000t) = 96 \cos(4000t - 90^\circ) \Rightarrow \bar{V}_2 = 96\angle -90^\circ ZL = j\omega L = j 4 \times 10^3 \times 15 \times 10^{-3} = j60 Zc = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{4\times 10^3 \times \frac{25}{6} \times 10^{-6}} = \frac{-j6}{10^{1}} = -j60 Deve-se observar que o que está sendo cobrado é a tensão entre os pontos a-b \Rightarrow Vo = Vab. 4\angle 36,87^\circ \[\overline{V}\] \[j60\hspace{8mm}30\hspace{8mm}-j60\hspace{8mm}20\] \[\overline{V_o}\] G9.11 Determinar o circuito equivalente de Thevenin visto a partir dos terminais a-b para o circuito mostrado. 2\angle 45^\circ Amp j60\Omega 20\Omega j10\Omega 10\Omega -10j\Omega \frac{1}{Z_{ab}} = \frac{1}{j60} + \frac{1}{30} - \frac{1}{j60} + \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{Z_{ab}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{20}\] \[\frac{1}{Z_{ab}} = \frac{2+3}{60} \Rightarrow \frac{1}{Z_{ab}} = \frac{1}{12} \Rightarrow Z_{ab} = 12\Omega\] \[\overline{V_o} = 12(4\angle 36,87^\circ) \Rightarrow \overline{V_o} = 48\angle 36,87^\circ\] 2\angle 45^\circ 20 j10 10 40 -j10 \overline{I}_{ab} \overline{I}_{ab} G.12 Use o método das tensões de nó para determinar a expressão \overline{I_{cc}} do regime permanente para v(t) no circuito mostrado. As fontes \[ \overline{I_x} = \sqrt{2}\angle 90^\circ senoidais são \overline{I}_{ab} = \overline{I}_x = \sqrt{2}\angle 90^\circ \] \[ 10\overline{I_x} = 10\overline{I}_{ab} \Rightarrow \overline{I_{cc}} = \sqrt{2}\angle 90^\circ Impedância de Thevenin: \] \[ Z_{TH} = \frac{V_{TH}}{I_{cc}} = \frac{10\angle 45^\circ}{\sqrt{2}\angle 90^\circ} \Rightarrow Z_{TH} = 5\sqrt{2}\angle -45^\circ \Rightarrow Z_{TH} = 5-j5 10\angle 45\quad \hspace{4mm}]\overline{V}_{TH} h\ej\hline V_s(t) = 100\sin(\omega t\] Volts, onde \omega = 50000 rad/s. Encontando \(\overline{V}_{Th}\): LCK no nó c: \[\frac{20\overline{I_x}-10\overline{I_x}}{j10} + \overline{I_x} = 2\angle 45^\circ\] \[\frac{10\overline{I_x}}{j10} + \overline{I_x} = 2\angle 45^\circ\] \[10\overline{I_x} + j10\overline{I_x} = 2(\angle 45^\circ \cdot j10) = (10+j10)\overline{I_x} = 20\angle 135^\circ\] \[\overline{I_x} = \frac{20\angle 135^\circ}{10+j10} = \frac{20\angle 135^\circ}{10\sqrt{2}\angle 45^\circ}=\] \[\overline{I_x} = \sqrt{2}\angle 90^\circ\] Também: \[10\overline{I_{2x}} = (10-j10)\overline{I_1},\ \overline{I_1} = \frac{10\overline{I_2x}}{10-j10} = \frac{10\sqrt{2}\angle 90^\circ}{10\sqrt{2} \angle 45^\circ}\ \} \[\overline{I_1} = 2\angle 135^\circ\] \[\overline{V}_{Th} = \overline{V}_{ab} = -j10\overline{I_1} = 10\angle -90^\circ \times 1\angle 135^\circ\] \[\overline{V}_{Th} = 10\angle 45^\circ\] Observação: Veja que \overline{I_x} depende apenas das duas primeiras malhas. Em outras palavras \overline{I_x} não depende do resistir de 10\Omega e do capacitor de -j10. Para encontrar a impedância de Thevenin colocamos os extremos a-b em curto-circuito e calculamos essa corrente. Montar o circuito elétrico na transformada fasorial: i_s(t) = 10 Cos(wt) => Ī_s = 10 ∠0° ampere w=50000 rad/s v_s(t) = 100 Sen(wt) = 100 Cos(wt - 90°) => V̅_s = 100 ∠-90° Z_C = -j / wc = j / 5 x 10⁴ x 0,1 x 10⁻⁶ = -j100 / 45 = -j 20 / 9 Z_L = j wl = j 5 x 10⁴ x 100 x 10⁻⁶ = j5 = j5 ∴ TF SAE de uma equação e uma incógnita: V̅ / 5 + V̅ / -j 20/9 + V̅ / j5 + V - 100 ∠ -90 / 20 = 10 V̅ [1/5 + j9/20 - j/5 + 1/20] + j5 = 10 V̅ (5 + j5) = 100 (2 - j) V̅ [4 + j9 - j4 + 1] => 20(10 - j5) => V̅ (5 + j5) = 100 (2 - j) V̅ = 100 (2 - j) / 5 (1 + j1) = 20 (2 - j) / (1 + j1) x (1- j1) / (1 - j1) = 20/2 [1 - j3] V̅ = 10 (1 - j3) V̅ = √1000 |_ -71,56 = 31,623 | ∠-71,56 => V(t) = 31,623 Cos (50.000t - 71,56°) volts 9.13 Use o método de correntes de malha para determinar a corrente fasorial I̅ no circuito mostrado. Mallha de I̅_1: (4 - j3) Ī_1 - (3 - j5) Ī_2 = 33,8 (β1) Malla de I̅_2: -(3 - j5) Ī_1 + (5 - j5) Ī_2 - 2 Ī_3 = 0 (β2) Relação trivial Ī_3 : Ī_3 = -0,75 V_0 (β3) Da turb dependente: V_0 = -j5 (Ī_2 - Ī_3) (β4) (β1) em (β3) => Ī_3 = (-0,75) (-j5) (Ī_1 - Ī_2) = j3,75 Ī_1 - j3,75 Ī_2 (β5) => -0,7 Ī_3 = -j7,5 Ī_2 + j7,5 Ī_2 (β2) em (β3) => -(3 - j5) Ī_1 + (5 - j5) Ī_2 - j7,5 Ī_1 + j7,5 Ī_2 = 0 -(3 + j2,5) Ī_1 + (5 + j2,5) Ī_2 = 0 (β6) Resolvendo (β1) e (β6): Ī_1 = Δ_1 / Δ Δ = |(4 - j3) (3 - j5)| = (4 - j3) (5 + j2,5) - (3 - j5) (3 + j2,5) Δ = 6 + j2,5 Δ_1 = |33,8 (3-j5)| = 33,8 [5+j2,5] = 33,8(5 + j2,5) = 33,8(2,5) (2+j) = 33,8(2,5) (2+j)(6 - j2,5) = 33,8(25) (14,5 + j) = 33,8(25) (14,5 + j) = 2 (14,5 + j) Ī_1 = 33,8(25) / 42,25 Ī_1 = 29 + j 2 = 29,069 | ∠3,945° Como Ī_2 = Ī_1 => Ī̅ = 29,069 | ∠3,945°