Slide - Aula 3 - Indutância de Linhas de Transmissão 2023-1

Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 3 Indutância de Linhas de Transmissão Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica – Indutância de Linhas de Transmissão Engenharia Elétrica Prof. John Fredy Franco 1 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Prof. John Fredy Franco 2 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Será estudado o cálculo dos parâmetros de linhas de transmissão em situações estacionárias (operação do sistema elétrico com tensões e correntes variando senoidalmente, e.g. 60 𝐻𝑧) ◼ Assume-se que o sistema elétrico opera em condições equilibradas. Assim, uma das fases pode ser tomada como representativa do que ocorre nas demais ◼ A impedância é um dos parâmetros mais importantes na linha de transmissão, e depende basicamente da Indutância. ◼ A indutância de linhas de transmissão em CA depende do comprimento da linha: quanto mais longas as linhas, maiores as indutâncias e impedâncias, assim como a oposição oferecida pela linha à transmissão de potência elétrica Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 3 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Uma corrente elétrica produz um campo magnético e um fluxo magnético associado. A relação entre fluxo e corrente é dada pela lei de Ampère Indutância de Linhas de Transmissão Corrente Elétrica Densidade de Campo Magnético Prof. John Fredy Franco 4 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Fluxo concatenado: A Lei de Faraday estabelece que a tensão induzida em uma espira, em um instante 𝑡, é dada pela taxa de variação do fluxo concatenado com a espira naquele instante 𝑒 = d𝜙𝑐 d𝑡 em que 𝑒 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠) é a tensão induzida e 𝜙𝑐 (𝑊𝑏) é o fluxo concatenado ◼ Supondo-se uma relação linear entre fluxo concatenado e corrente, a indutância é definida como: 𝐿 = d𝜙𝑐 d𝑖 = 𝜙𝑐 𝑖 Sendo que a tensão está relacionada com a corrente segundo: 𝑒 = 𝐿 d𝑖 d𝑡 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 5 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Caso A Caso B ◼ Diferença entre Fluxos e Fluxos Concatenados: A figura mostra a distribuição de fluxos em duas espiras para duas situações diferentes Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 6 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Caso A Caso B ◼ Diferença entre Fluxos e Fluxos Concatenados: A figura mostra a distribuição de fluxos em duas espiras para duas situações diferentes ◼ Mesmo apresentando a mesma intensidade de fluxo na parte intermediária das bobinas (o mesmo número de linhas de campo passa pela espira central das bobinas), os fluxos concatenados com as duas bobinas são diferentes Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 7 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Diferença entre Fluxos e Fluxos Concatenados: A figura mostra a distribuição de fluxos em duas espiras para duas situações diferentes ◼ No Caso B, diferentemente do Caso A, todas as linhas do fluxo enlaçam todas as espiras da bobina (por questão de construção), e assim ambos o fluxo concatenado e a tensão induzida são maiores Indutância de Linhas de Transmissão Caso A Caso B Prof. John Fredy Franco 8 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Considere o condutor de um circuito conduzindo a corrente 𝑖 e seja 𝜙 o fluxo gerado por esta corrente que enlaça o circuito Sendo considerada constante a permeabilidade magnética (𝝁) do meio onde o fluxo se estabelece, pode-se afirmar que o fluxo varia linearmente com a corrente Define-se indutância própria como sendo fluxo concatenado por unidade de corrente, Indutância de Linhas de Transmissão 𝐿 = 𝜙 𝑖 [𝐻] Prof. John Fredy Franco 9 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Considere o circuito (1) percorrido pela corrente 𝑖1 e o circuito (2) conduzindo a corrente 𝑖2. Seja 𝜙12 o fluxo concatenado com o circuito (2) e gerado pela corrente 𝑖1 e 𝜙21 o fluxo concatenado com o circuito (1) e criado pela corrente 𝑖2. Define-se indutância mútua como sendo a relação do fluxo concatenado por um circuito pela corrente que circula no outro, Indutância de Linhas de Transmissão 𝑀 = 𝜙12 𝑖1 = 𝜙21 𝑖2 [𝐻] Prof. John Fredy Franco 10 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considere um condutor cilíndrico, maciço, retilíneo, de comprimento infinito, homogêneo e perfeitamente isolado (nenhuma influência externa altera o campo magnético estabelecido pela corrente que circula no próprio condutor), tal que as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste condutor. ◼ Fluxo concatenado com a corrente em um condutor: 𝜙𝑐 = 𝜙𝑐𝑖 + 𝜙𝑐𝑒 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑥 𝑟 Seção transversal do condutor cilíndrico (uma unidade de comprimento) Corrente 𝒊 Prof. John Fredy Franco 11 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Fluxo concatenado com a corrente em um condutor ◼ Pode-se decompor o fluxo concatenado total em duas componentes: uma interna 𝜙𝑐𝑖 e uma externa 𝜙𝑐𝑒 ◼ O cálculo das componentes do fluxo concatenado é feito usando a Lei de Ampère ර 𝛾 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = න 𝑠 Ԧ𝐽 ∙ 𝑑𝑠 → ර 𝛾 𝐻 ⋅ 𝑑𝑙 = න 𝑠 𝑖 𝜋𝑟2 ⋅ 𝑑𝑠 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑥 𝑟 Seção transversal do condutor cilíndrico (uma unidade de comprimento) Corrente 𝒊 Distribuição do fluxo magnético em um condutor cilíndrico de raio r Prof. John Fredy Franco 12 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Fluxo concatenado com a corrente em um condutor ◼ Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 tem-se: 2𝜋𝑥𝐻 = 𝑖 𝜋𝑟2 𝜋𝑥2 ◼ A intensidade do campo magnético no interior corresponde a 𝐻 = 𝑖𝑥 2𝜋𝑟2 ◼ A densidade do campo magnético é dada por 𝐵 = 𝜇0𝐻 = 𝜇0𝑖𝑥 2𝜋𝑟2 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑥 𝑟 Seção transversal do condutor cilíndrico (uma unidade de comprimento) Corrente 𝒊 Distribuição do fluxo magnético em um condutor cilíndrico de raio r Prof. John Fredy Franco 13 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Distribuição do fluxo magnético no interior do condutor ◼ Fluxo incremental em uma superfície de lado 𝑑𝑥 e comprimento unitário: ◼ Fluxo concatenado incremental (o fluxo 𝑑𝜙 se concatena/enlaça apenas com uma parcela da corrente: 𝑖′) Indutância de Linhas de Transmissão d𝜙 = 𝜇0𝑖𝑥 2𝜋𝑟2 𝑑𝑥 d𝜙𝑐 = 𝜋𝑥2 𝜋𝑟2 d𝜙 = 𝜇0𝑖𝑥3 2𝜋𝑟4 𝑑𝑥 𝐵 = 𝜇0𝐻 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 𝑖 𝑥2 𝑟2 𝑖′ = 𝑖 ⋅ 𝜋𝑥2 𝜋𝑟2 Prof. John Fredy Franco 14 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Distribuição do fluxo magnético no interior do condutor ◼ O fluxo total é dado por (intervalo [0, 𝑟]): ◼ Fluxo concatenado interno (intervalo [0, 𝑟]): Indutância de Linhas de Transmissão 𝜙 = න 0 𝑅 𝜇0𝑖𝑥 2𝜋𝑟2 d𝑥 = 𝜇0𝑖 4𝜋 𝜙𝑐𝑖 = න 0 𝑅 𝜇0𝑖𝑥3 2𝜋𝑟4 d𝑥 = 𝜇0𝑖 8𝜋 𝐵 = 𝜇0𝐻 𝑥 r 𝑑𝑥 𝑖 𝑥2 𝑟2 Prof. John Fredy Franco 15 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A partir do fluxo concatenado calculado na parte interna do condutor, é calculada a componente interna da indutância 𝐿𝑖 = 𝜙𝑐𝑖 𝑖 = 𝜇0 8𝜋 𝜇0: permeabilidade magnética do vácuo (4𝜋 ∙ 10−7 𝐻/𝑚) Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 16 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo da indutância externa ◼ O fluxo incremental e o fluxo incremental concatenado coincidem (o fluxo concatena toda a corrente) e são dados por d𝜙 = d𝜙𝑐 = 𝐵d𝑥 = 𝜇0𝑖 2𝜋𝑥 d𝑥 𝐻 = 𝑖 2𝜋𝑥 𝐵 = 𝜇0𝐻 = 𝜇0𝑖 2𝜋𝑥 Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑥 𝑟 Prof. John Fredy Franco 17 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo da indutância externa ◼ O fluxo total e o fluxo total concatenado, a uma distância 𝑥 > 𝑟 são dados por: 𝜙 = 𝜙𝑐𝑒 = න 𝑟 ∞ 𝜇0𝑖 2𝜋𝑥 d𝑥 = 𝜇0𝑖 2𝜋 න 𝑟 ∞ d𝑥 𝑥 𝜙 = 𝜙𝑐𝑒 = 𝜇0𝑖 2𝜋 ln𝑥|∞ 𝑟 Indutância de Linhas de Transmissão 𝐻 = 𝑖 2𝜋𝑥 𝐵 = 𝜇0𝐻 = 𝜇0𝑖 2𝜋𝑥 Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑥 𝑟 Prof. John Fredy Franco 18 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo da indutância externa ◼ A componente externa da indutância 𝐿𝑒, até uma distância finita 𝑑 > 𝑟, está dada por 𝐿𝑒 = 𝜇0 2𝜋 ln𝑥|𝑑 𝑟 Indutância de Linhas de Transmissão 𝐻 = 𝑖 2𝜋𝑥 𝐵 = 𝜇0𝐻 = 𝜇0𝑖 2𝜋𝑥 Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑥 𝑟 Prof. John Fredy Franco 19 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considerando que o cálculo do fluxo concatenado na parte externa é mais simples que aquele para a parte interna, é definido o Raio Reduzido ou Raio Equivalente Indutância de Linhas de Transmissão Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑟 Caso real: condutor com raio 𝐫 Caso equivalente: Condutor com raio 𝒓′ Prof. John Fredy Franco 20 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considerando que o cálculo do fluxo concatenado na parte externa é mais simples que aquele para a parte interna, é definido o Raio Reduzido ou Raio Equivalente ◼ O condutor com raio reduzido 𝑟′ é um condutor que conduz a mesma corrente 𝑖(𝑡) que o condutor original com raio 𝑟 e, ao mesmo tempo, produz o mesmo fluxo concatenado ◼ Assume-se que no condutor de raio reduzido, todo o campo magnético é externo (isso simplifica a análise) Indutância de Linhas de Transmissão Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑟 Caso real: condutor com raio 𝐫 Caso equivalente: Condutor com raio 𝒓′ Prof. John Fredy Franco 21 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Para calcular o Raio Reduzido, igualam-se as indutâncias dos dois condutores (original e equivalente) ◼ A indutância no caso real é calculada integrando o fluxo concatenado até uma distancia finita 𝑑 > 𝑟 𝐿 = 𝜇0 8𝜋 + 𝜇0 2𝜋 ln𝑥|𝑑 𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑 𝑟𝑒− Τ 1 4 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑 𝑟′ em que 𝑟′ = 𝑟𝑒− Τ 1 4 (raio reduzido) Indutância de Linhas de Transmissão Corrente 𝒊 𝑥 𝑟 𝑟’ Caso real: condutor com raio 𝐫 Caso equivalente: Condutor com raio 𝒓′ Prof. John Fredy Franco 22 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 3: a) Comparar o raio, o raio reduzido e o valor GMR Ds da tabela de condutores para o cabo Osprey b) Calcular o raio reduzido (em 𝑐𝑚) para um cabo com área igual a 1.590.000 𝑐𝑚𝑖𝑙 Indutância de Linhas de Transmissão Respostas: a) 𝑟 = 1,1163𝑐𝑚; 𝑟′ = 0,8694𝑐𝑚; 𝐷𝑆 = 0,8656𝑐𝑚; 𝑟′/𝐷𝑆 = 1,0044 b) 𝑟′ = 1,2472𝑐𝑚 Prof. John Fredy Franco 23 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Na prática as linhas são formadas por dois ou mais fios e, em geral, a soma das correntes é nula. Assim, o campo magnético é relativamente mais fraco em pontos mais afastados da linha ◼ No caso em que a terra seja usada para a corrente de retorno, ela funciona como segundo condutor Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 24 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖1 (fluxo que enlaça a corrente 𝑖1): 𝜙𝑐1 = 𝜙𝑐11 + 𝜙𝑐12 em que 𝜙𝑐11: fluxo concatenado devido à própria corrente 𝑖1 𝜙𝑐12: fluxo concatenado devido à corrente 𝑖2 Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 25 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖1 𝜙𝑐11 = න 𝑟1′ 𝑑1𝑃 Bd𝑥 = 𝜇0𝑖1 2𝜋 න 𝑟1′ 𝑑1𝑃 d𝑥 𝑥 = 𝜇0𝑖1 2𝜋 ln 𝑑1𝑃 𝑟1 ′ Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 26 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖1 𝜙𝑐12 = 𝜇0𝑖2 2𝜋 ln 𝑑2𝑃 𝐷 como 𝑖1 + 𝑖2 = 0: 𝜙𝑐12 = 𝜇0𝑖1 2𝜋 ln 𝐷 𝑑2𝑃 Fração do fluxo produzido por 𝒊𝟐 e que se concatena com 𝒊𝟏 Somente 𝑯𝟒 enlaça o condutor 1 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝐻4 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 27 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖1 (fluxo que enlaça a corrente 𝑖1): 𝜙𝑐1 = 𝜇0𝑖1 2𝜋 ln 𝑑1𝑃 𝑟1 ′ + ln 𝐷 𝑑2𝑃 𝜙𝑐1 = 𝜙𝑐11 + 𝜙𝑐12 𝜙𝑐1 = 𝜇0𝑖1 2𝜋 ln 𝐷 𝑟1 ′ ponto 𝑃 → ∞ Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 28 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖2 (fluxo que enlaça a corrente 𝑖2): 𝜙𝑐2 = 𝜇0𝑖2 2𝜋 ln 𝐷 𝑟2 ′ Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 29 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Fluxos concatenados na forma matricial: 𝜙𝑐1 𝜙𝑐2 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟1 ′ ln 1 𝐷 ln 1 𝐷 ln 1 𝑟2 ′ 𝑖1 𝑖2 Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Na diagonal principal: Coeficiente de campo magnético próprio Fora da diagonal principal: Coeficiente de campo magnético mútuo Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 30 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) ◼ Indutância da linha: 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 𝐿 = 𝜇0 𝜋 ln 𝐷 𝑟′ Τ 𝐻 𝑚 (𝑟′ = 𝑟1 ′ = 𝑟2 ′) Indutância da Linha (considera os dois condutores) Cálculo da indutância de uma linha monofásica bifilar 𝑖1 + 𝑖2 = 0 2𝑟1 2𝑟2 𝑖1 𝑖2 𝐷 𝑑1𝑝 𝑑2𝑝 𝑃 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 31 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linha Monofásica (bifilar) - Método alternativo 𝜙𝑐 = 𝜇0𝑖 2𝜋 න 𝑟1′ 𝐷 d𝑥 𝑥 + 𝜇0𝑖 2𝜋 න 𝑟2′ 𝐷 d𝑥 𝑥 Fluxo na espira KLMN: 𝜙𝑐 = 𝜇0𝑖 2𝜋 ln 𝐷 𝑟1 ′ + 𝜇0𝑖 2𝜋 ln 𝐷 𝑟2 ′ 𝐿 = 𝜇0 𝜋 ln 𝐷 𝑟′ 𝐷 𝐾 𝑁 𝐿 𝑀 1 𝑚 𝑖 𝑖 Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 32 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considere dois condutores maciços, de raios 𝑟𝑎 e 𝑟𝑏, conduzindo respectivamente as correntes 𝑖𝑎 e 𝑖𝑏 e suspensos acima do nível do solo (solo ideal, condutor perfeito). Como o retorno da corrente pelo solo não é possível de ser estabelecido, admite- se que este retorno é feito por meio de condutores imagens. Considerações sobre o Retorno de Corrente pelo Solo ◼ Seja 𝑃 um ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores e condutores imagens, conforme mostrado na figura Prof. John Fredy Franco 33 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Considerações sobre o Retorno de Corrente pelo Solo ◼ Assumindo que 𝑟𝑎, 𝑟𝑏 ≪ 𝑑𝑎𝑃, 𝑑𝑏𝑃 e ainda que 𝑟𝑎, 𝑟𝑏 ≪ 𝑑𝑎𝑏. 𝜙𝑎 = 𝜇0𝑖𝑎 2𝜋 ln 𝑑𝑎𝑃 𝑟𝑎′ + 𝜇0𝑖𝑏 2𝜋 ln 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑏 − 𝜇0𝑖𝑎 2𝜋 ln 𝑑𝑎′𝑃 2ℎ𝑎 − 𝜇0𝑖𝑏 2𝜋 ln 𝑑𝑏′𝑃 𝐷𝑎𝑏 ◼ Desmembrando e reagrupando a expressão, tem-se: 𝜙𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑎 𝑟𝑎′ 𝑖𝑎 + ln 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑖𝑎 + ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 𝑖𝑏 ◼ Deslocando-se o ponto 𝑝 para o infinito, a relação 𝑑𝑎𝑃/𝑑𝑏𝑃 tende para a unidade e o correspondente ln 1 tende para zero: 𝜙𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑎 𝑟𝑎′ 𝑖𝑎 + ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 𝑖𝑏 Prof. John Fredy Franco 34 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Considerações sobre o Retorno de Corrente pelo Solo ◼ Procedendo da mesma forma para o ponto 𝑏 e adotando notação matricial, se obtém: 𝜙𝑐1 𝜙𝑐2 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑎 𝑟𝑎′ ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 ln 2ℎ𝑏 𝑟𝑏 ′ 𝑖𝑎 𝑖𝑏 ◼ Como 𝑑𝑎𝑏 = 𝑑𝑏𝑎 e 𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑎, a matriz é simétrica. Prof. John Fredy Franco 35 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Considerações sobre o Retorno de Corrente pelo Solo ◼ Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos da matriz têm dimensão de indutância e são denominados coeficientes de campo magnético. ◼ Na diagonal principal: coeficiente de campo magnético próprio: 𝐿𝑖𝑖 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑖 𝑟𝑖 ′ ◼ Na diagonal principal: coeficiente de campo magnético mútuo: 𝐿𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 ◼ Pode-se demonstrar que grandeza 𝐷𝑖𝑗, distância entre um condutor genérico 𝑖 e a imagem de um condutor genérico 𝑗, de uma configuração qualquer, é calculado como: 𝐷𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗 2 + 4ℎ𝑖ℎ𝑗 Prof. John Fredy Franco 36 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 4: a) Calcular a impedância para uma linha de transmissão monofásica de 100 𝑘𝑚 com cabo Grosbeak se os condutores estão separados por 3 𝑚; b) Assumir que a linha tem um condutor a uma altura de 12𝑚 e retorno pelo solo; c) Considerar a linha do ponto a), em uma configuração em duplo circuito, com retorno pelo solo a uma altura de 12𝑚.Desconsiderar primeiro o efeito do solo e depois comparar com sua inclusão assumindo uma altura de 12𝑚. Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Prof. John Fredy Franco 37 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exercício 6: a) Calcular a impedância (𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋), para uma linha de transmissão monofásica de 180 𝑘𝑚 com cabo Finch para uma a distância de separação entre condutores de 8 m; b) Considerar a linha do ponto a), em uma configuração em duplo circuito, com retorno pelo solo a uma altura de 14𝑚. Indutância de Linhas de Transmissão Monofásicas Respostas: a) 𝑍 = 19,1482 + 𝑗136,0953 Ω b) 𝑍 = 19,1482 + 𝑗154,9097 Ω c) 𝑍 = 19,1482 + 𝑗173,7240 Ω Prof. John Fredy Franco 38 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Raio Médio Geométrico ◼ Considere uma área qualquer representada na figura segmentada em um número 𝑛 de áreas elementares: ◼ Define-se raio médio geométrico desta área como sendo: “o limite para o qual tende a média geométrica das distâncias de cada área elementar a si mesma e a todas as demais quando o número de áreas elementares tende para o infinito”. ◼ Usando notação matemática, tem-se: 𝑅𝑀𝐺 = lim 𝑛→∞ 𝑛2 𝑑1,1𝑑1,2 … 𝑑1,𝑛 𝑑2,,1𝑑2,2 … 𝑑2,𝑛 … (𝑑𝑛,1𝑑𝑛,2 … 𝑑𝑛,𝑛) Prof. John Fredy Franco 39 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Raio Médio Geométrico ◼ Para áreas elementares de seção circular de raio 𝑟, as distâncias de cada área elementar a ela mesma serão todas iguais a 𝑟′ = 0,7788 ⋅ 𝑟. ◼ Considerando condutores encordoados, 𝑛 fios de seção circular e sendo 𝑟 o raio externo deste condutor, seus RMG podem ser escritos em função de 𝑟. Cabo de Raio Externo 𝒓 e Formação Raio Médio Geométrico (RMG) Cabo com 7 fios homogêneos 0,726 ⋅ 𝑟 Cabo com 19 fios homogêneos 0,758 ⋅ 𝑟 Cabo com 37 fios homogêneos 0,768 ⋅ 𝑟 Cabo com 61 fios homogêneos 0,772 ⋅ 𝑟 Cabo com 91 fios homogêneos 0,774 ⋅ 𝑟 Cabo com 127 fios homogêneos 0,776 ⋅ 𝑟 Cabo maciço 0,7788 ⋅ 𝑟 Prof. John Fredy Franco 40 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Raio Médio Geométrico ◼ O raio médio geométrico de uma coroa circular, onde 𝑟𝑖 é o raio interno e 𝑟𝑒 o raio externo da coroa de material condutor, se calcula como: ln 𝑅𝑀𝐺 = ln 𝑟𝑒 − 𝑟𝑖 𝑟𝑒2 − 𝑟𝑖 2 2 ln 𝑟𝑒 𝑟𝑖 + 3𝑟𝑖 2 − 𝑟𝑒2 4 𝑟𝑒2 − 𝑟𝑖 2 Prof. John Fredy Franco 41 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Distância Média Geométrica ◼ Distância Média Geométrica de um ponto a um grupo de pontos (DMG): Por definição é a média geométrica das distâncias do ponto considerado aos pontos do grupo. ◼ Aumentando-se indefinidamente o número de pontos sobre a circunferência, 𝐷𝑀𝐺 = 𝑑 (distância entre o ponto e o centro). ◼ A 𝐷𝑀𝐺 de qualquer ponto sobre a circunferência em relação a todos os demais é 𝐷𝑀𝐺 = 𝑟 (raio da circunferência). 𝐷𝑀𝐺 = 4 𝑑𝑎𝑑𝑏𝑑𝑐𝑑𝑑 Prof. John Fredy Franco 42 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Distância Média Geométrica ◼ Considerar uma área dividida em 𝑛 áreas elementares e um ponto externo 𝑃: ◼ Define-se a Distância Média Geométrica de um ponto a uma área (DMG) como o limite para da DMG do ponto às áreas elementares, igual à média geométrica das distâncias do ponto às áreas elementares, quando o número das áreas elementares tende a infinito. 𝐷𝑀𝐺 = lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑑1𝑑2 … 𝑑𝑛 Para a área circular: 𝐷𝑀𝐺 = 𝑑 Prof. John Fredy Franco 43 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Distância Média Geométrica ◼ Considerar duas áreas dividas em áreas elementares. Seja 𝑚 o número de áreas elementares da 1ª e 𝑛 o número de áreas elementares da 2ª: ◼ Define-se a distância média geométrica entre duas áreas como sendo: “o limite da raiz 𝑚 ⋅ 𝑛-ésima, dos 𝑚 ⋅ 𝑛 produtos das distâncias entre as 𝑚 áreas elementares da 1ª e as 𝑛 áreas elementares da 2ª, quando 𝑚 e 𝑛 tendem para infinito”. 𝐷𝑀𝐺 = lim 𝑚,𝑛→∞ 𝑚⋅𝑛 𝑑1,1 … 𝑑1,𝑛 𝑑2,1 … 𝑑2,𝑛 … (𝑑𝑚,1 … 𝑑𝑚,𝑛) Prof. John Fredy Franco 44 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Com base na definição é possível concluir que a DMG entre duas áreas circulares é igual à distância entre os seus centros. ◼ Raio Médio Geométrico (RMG) entre 𝑛 pontos: 𝑅𝑀𝐺 = lim 𝑛→∞ 𝑛2 𝑑1,1𝑑1,2 … 𝑑1,𝑛 𝑑2,1𝑑2,2 … 𝑑2,𝑛 … 𝑑𝑛,1𝑑𝑛,2 … 𝑑𝑛,𝑛 ◼ Distância Média Geométrica (DMG) entre duas áreas circulares corresponde à distância entre seus centros: 𝐷𝑀𝐺 = lim 𝑚,𝑛→∞ 𝑚⋅𝑛 𝑑1,1 … 𝑑1,𝑛 𝑑2,1 … 𝑑2,𝑛 … (𝑑𝑚,1 … 𝑑𝑚,𝑛) Distância Média Geométrica Prof. John Fredy Franco 45 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 5: Calcular o RMG do condutor Penguin e usando o diâmetro de cada fio de alumínio encontrado no arquivo Overhead Conductors. Comparar o cálculo com o valor Geometric Mean Radius dessa tabela. Indutância de Linhas de Transmissão 2𝑟 𝑟 1 2 3 4 5 6 Dica: Desconsiderar o aço nos cálculos Resposta: DS = 0,01803𝑓𝑡 Prof. John Fredy Franco 46 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ As relações entre os fluxos concatenados com as correntes podem ser escritas na forma matricial: 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 = ℓ𝑎𝑎 ℓ𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 ℓ𝑏𝑎 ℓ𝑏𝑏 ℓ𝑏𝑐 ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑐𝑏 ℓ𝑐𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 47 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Os fluxos concatenados são calculados considerando uma superfície plana de uma unidade de comprimento (ao longo do eixo do condutor) e que vai até o ponto 𝑃. Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 48 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖𝑎: 𝜙𝑎 = 𝜙𝑎𝑎 + 𝜙𝑎𝑏 + 𝜙𝑎𝑐 𝜙𝑎𝑎 = 𝜇0𝑖𝑎 2𝜋 ln 𝑑𝑎𝑝 𝑟𝑎′ Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 49 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖𝑎: 𝜙𝑎 = 𝜙𝑎𝑎 + 𝜙𝑎𝑏 + 𝜙𝑎𝑐 𝜙𝑎𝑏 = 𝜇0𝑖𝑏 2𝜋 ln 𝑑𝑏𝑝 𝑑𝑎𝑏 𝜙𝑎𝑐 = 𝜇0𝑖𝑐 2𝜋 ln 𝑑𝑐𝑝 𝑑𝑎𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 50 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖𝑎: 𝜙𝑎 = 𝜙𝑎𝑎 + 𝜙𝑎𝑏 + 𝜙𝑎𝑐 𝜙𝑎 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎ln 𝑑𝑎𝑝 𝑟𝑎′ + 𝑖𝑏ln 𝑑𝑏𝑝 𝑑𝑎𝑏 + 𝑖𝑐ln 𝑑𝑐𝑝 𝑑𝑎𝑐 𝜙𝑎 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎ln 1 𝑟𝑎′ + 𝑖𝑏ln 1 𝑑𝑎𝑏 + 𝑖𝑐ln 1 𝑑𝑎𝑐 + 𝑖𝑎ln𝑑𝑎𝑝 + 𝑖𝑏ln𝑑𝑏𝑝 + 𝑖𝑐ln𝑑𝑐𝑝 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 51 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Fluxo concatenado com a corrente 𝑖𝑎: (levando 𝑃 → ∞) 𝜙𝑎 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎ln 1 𝑟𝑎′ + 𝑖𝑏ln 1 𝑑𝑎𝑏 + 𝑖𝑐ln 1 𝑑𝑎𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 52 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Fluxos concatenados com as corrente 𝑖𝑏 e 𝑖𝑐: 𝜙𝑏 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎ln 1 𝑑𝑎𝑏 + 𝑖𝑏ln 1 𝑟𝑏 ′ + 𝑖𝑐ln 1 𝑑𝑏𝑐 𝜙𝑐 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎ln 1 𝑑𝑎𝑐 + 𝑖𝑏ln 1 𝑑𝑏𝑐 + 𝑖𝑐ln 1 𝑟𝑐′ Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 53 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Matriz Indutância de Linha: 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln ൗ 1 𝑟𝑎′ ln ൗ 1 𝑑𝑎𝑏 ln ൗ 1 𝑑𝑎𝑐 ln ൗ 1 𝑑𝑎𝑏 ln ൗ 1 𝑟𝑏 ′ ln ൗ 1 𝑑𝑏𝑐 ln ൗ 1 𝑑𝑎𝑐 ln ൗ 1 𝑑𝑏𝑐 ln ൗ 1 𝑟𝑐′ 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 54 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios ◼ Matriz Indutância de Linha: (considerando que 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0) 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln ൘ 𝑑𝑎𝑐 𝑟𝑎′ ln ൗ 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 0 ln ൗ 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑏 ln ൘ 𝑑𝑏𝑐 𝑟𝑏 ′ 0 0 ln ൗ 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑏𝑐 ln ൘ 𝑑𝑎𝑐 𝑟𝑐′ 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 2𝑟𝑏 2𝑟𝑎 2𝑟𝑐 𝑃 𝑑𝑏𝑃 𝑑𝑎𝑃 𝑑𝑐𝑃 𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 55 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutância de Linhas Trifásicas a circuito simples e sem cabos para-raios − Linha com arranjo equilátero de condutores − Linha com disposição linear simétrica Indutância de Linhas de Transmissão 2𝑟 2𝑟 2𝑟 𝐷 𝐷 𝐷 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 𝐷 2𝑟 𝐿 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷 𝑟′ Prof. John Fredy Franco 56 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 6: a) Calcular a indutância de uma linha de transmissão trifásica (arranjo equilátero) com cabos Grosbeak e separação entre condutores igual a 8 𝑚; b) Construir a matriz de indutâncias para uma linha de transmissão trifásica (arranjo horizontal) com cabos Bluejay e separação igual a 6 𝑚 em relação ao condutor do meio. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 57 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considerações no cálculo da indutância de linhas trifásicas − Assume-se que o sistema de energia elétrica é trifásico e ainda alimentado, sob condições normais de operação, por tensões simétricas; − A determinação de parâmetros elétricos sequenciais torna-se necessária em decorrência de possível análise de situações desequilibradas; − Se não houver a simetria mencionada, as indutâncias das fases serão diferentes entre si, provocando desequilíbrio nas correntes das fases. Solução: Transposição. ◼ Cabos para-raios: − Protegem as linhas contra descargas atmosféricas diretamente nos condutores das fases; − Podem ser isolados ou multi-aterrados; − São desprezados no cálculo de indutâncias de sequência positiva; − Devem ser inclusos no cálculo das indutâncias de sequência nula. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 58 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutâncias aparentes de linhas trifásicas − Assume-se que o sistema de energia elétrica é trifásico e ainda alimentado, sob condições normais de operação, por tensões simétricas; 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 = ℓ𝑎𝑎 ℓ𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 ℓ𝑏𝑎 ℓ𝑏𝑏 ℓ𝑏𝑐 ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑐𝑏 ℓ𝑐𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Quando 𝑖𝑎 = 𝑖𝑚𝑎𝑥 → 𝑖𝑏 = 𝑖𝑐 = Τ −𝑖𝑚𝑎𝑥 2 Então 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑏+ℓ𝑎𝑐 2 𝑖𝑚𝑎𝑥 Prof. John Fredy Franco 59 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutâncias aparentes de linhas trifásicas − Define-se 𝐿𝑎 = 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑖𝑚𝑎𝑥 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑏+ℓ𝑎𝑐 2 − Da mesma forma: 𝐿𝑏 = ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑏𝑐 2 𝐿𝑐 = ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑎 + ℓ𝑐𝑏 2 − As grandezas 𝐿𝑎, 𝐿𝑏 e 𝐿𝑐 são chamadas de indutâncias aparentes. Não possuem significado físico, entretanto são aquelas “sentidas” pela fonte de alimentação da linha. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 60 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Indutâncias aparentes de linhas trifásicas − A matriz dos coeficientes de campo magnético é simétrica e seus elementos próprios e mútuos podem ser calculados por meio das equações desenvolvidas anteriormente e colocadas em função das condições estabelecidas. Indutância de Linhas de Transmissão Figura 9.18 – (a) Coeficientes de campo magnético, (b) Indutâncias aparentes “vistas” pela fonte. Prof. John Fredy Franco 61 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas desprezando o efeito do solo e sem transposição − A matriz dos coeficientes de campo magnético é simétrica e seus elementos próprios e mútuos podem ser calculados por meio das equações desenvolvidas anteriormente e colocadas em função das condições estabelecidas; − Desprezando-se o efeito do solo e sem transposição os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados pelas expressões abaixo; − Coeficiente de campo magnético próprio: ℓ𝑖𝑖 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟′ − Coeficiente de campo magnético mútuo: ℓ𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑖𝑗 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 62 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas desprezando o efeito do solo e sem transposição − Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔: ℓ𝑎𝑎 = ℓ𝑏𝑏 = ℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 − Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico RMG: ℓ𝑎𝑏 = ℓ𝑏𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 = ℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑐 ℓ𝑏𝑐 = ℓ𝑐𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑏𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 63 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas desprezando o efeito do solo e sem transposição − Em geral, as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações anteriores, apresentarão valores diferentes, isto é: 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes: 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐 /3 − Caso os condutores das fases ocupem os vértices de um triângulo equilátero, as distâncias (𝑑𝑎𝑏 = 𝑑𝑏𝑐 = 𝑑𝑐𝑎), entre as fases, serão iguais entre si e igualmente os coeficientes de campo magnéticos mútuos, isto é: 𝑙𝑎𝑏 = 𝑙𝑏𝑐 = 𝑙𝑐𝑎. Nestas condições as indutâncias aparentes serão iguais entre si e iguais à indutância de sequência positiva ou serviço, ou seja: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = 𝐿1 = 𝐿𝑠 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑏 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 64 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas considerando o efeito do solo ideal e sem transposição − Coeficiente de campo magnético próprio: ℓ𝑖𝑖 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑖 𝑟′ − Coeficiente de campo magnético mútuo: ℓ𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 Indutância de Linhas de Transmissão 𝐷𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗 2 + 4ℎ𝑖ℎ𝑗 Prof. John Fredy Franco 65 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas considerando o efeito do solo ideal e sem transposição − Coeficiente de campo magnético próprio: ℓ𝑖𝑖 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑖 𝑟′ − Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico RMG e ainda que os condutores estejam suspensos em alturas diferentes (ℎ𝑎 ≠ ℎ𝑏 ≠ ℎ𝑐) acima do solo: ℓ𝑎𝑎 ≠ ℓ𝑏𝑏 ≠ ℓ𝑐𝑐 ℓ𝑎𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑎 𝑟𝑚𝑔 ℓ𝑏𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑏 𝑟𝑚𝑔 ℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑐 𝑟𝑚𝑔 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 66 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas considerando o efeito do solo ideal e sem transposição − Coeficiente de campo magnético mútuo: ℓ𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 − Considerando que as três distâncias entre as fases não são iguais e que as três alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si: ℓ𝑎𝑏 ≠ ℓ𝑏𝑐 ≠ ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 ℓ𝑏𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑏𝑐 𝑑𝑏𝑐 ℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑐𝑎 𝑑𝑐𝑎 Indutância de Linhas de Transmissão 𝐷𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗 2 + 4ℎ𝑖ℎ𝑗 𝐷𝑎𝑏 = 𝑑𝑎𝑏 2 + 4ℎ𝑎ℎ𝑏 𝐷𝑏𝑐 = 𝑑𝑏𝑐 2 + 4ℎ𝑏ℎ𝑐 𝐷𝑐𝑎 = 𝑑𝑐𝑎 2 + 4ℎ𝑐ℎ𝑎 Prof. John Fredy Franco 67 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Cálculo de indutâncias de linhas trifásicas considerando o efeito do solo ideal e sem transposição − Coeficiente de campo magnético mútuo: ℓ𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 − Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações anteriores, apresentarão valores diferentes, isto é: 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes: 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐 /3 − Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. Indutância de Linhas de Transmissão 𝐷𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗 2 + 4ℎ𝑖ℎ𝑗 Prof. John Fredy Franco 68 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores − Quando o espaçamento entre os condutores não é simétrico (seção reta da linha não é equilátera), a matriz de indutância será assimétrica; − Para resolver esse problema é aplicada a transposição dos condutores em intervalos regulares (feita em estações de chaveamento); − Os condutores ficam 1/3 do percurso em cada posição possível. Indutância de Linhas de Transmissão Transposição de uma linha trifásica 𝑙/3 𝑙/3 𝑙/3 𝑖𝑎 𝑖𝑎 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑐 𝑖𝑐 𝑖𝑏 𝑖𝑏 Prof. John Fredy Franco 69 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 70 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de igual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão que vimos no inicio da aula pode ser desmembrada assim: 1o trecho: 𝜙𝑎1𝑇 = 1 3 ℓ𝑎𝑎𝑖𝑎 + ℓ𝑎𝑏𝑖𝑏 + ℓ𝑎𝑐𝑖𝑐 2o trecho: 𝜙𝑎2𝑇 = 1 3 ℓ𝑏𝑏𝑖𝑎 + ℓ𝑏𝑐𝑖𝑏 + ℓ𝑏𝑎𝑖𝑐 3o trecho: 𝜙𝑎3𝑇 = 1 3 ℓ𝑐𝑐𝑖𝑎 + ℓ𝑐𝑎𝑖𝑏 + ℓ𝑐𝑏𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Transposição de uma linha trifásica 𝑙/3 𝑙/3 𝑙/3 𝑖𝑎 𝑖𝑎 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑐 𝑖𝑐 𝑖𝑏 𝑖𝑏 Prof. John Fredy Franco 71 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Somando membro a membro as contribuições nos trechos resulta: 𝜙𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 𝑖𝑎 + ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 𝑖𝑏 + ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 𝑖𝑐 − Fazendo-se: തℓ𝑎𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 തℓ𝑎𝑏 = 1 3 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 − Resulta: 𝜙𝑎 = 1 3 തℓ𝑎𝑎𝑖𝑎 + തℓ𝑎𝑏𝑖𝑏 + തℓ𝑎𝑏𝑖𝑐 − Sendo que തℓ𝑎𝑎 representa o coeficiente médio próprio e തℓ𝑎𝑏 o coeficiente médio mútuo considerando o ciclo completo de transposição. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 72 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Em um sistema equilibrado 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 e, portanto: 𝑖𝑎 = 𝑖𝑚𝑎𝑥 → 𝑖𝑏 = 𝑖𝑐 = Τ −𝑖𝑚𝑎𝑥 2 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 = തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑏 + തℓ𝑎𝑏 2 𝑖𝑚𝑎𝑥 − Fazendo-se: 𝐿𝑎 = 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑖𝑚𝑎𝑥 = തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑏 − Adotando-se procedimento idêntico para as fases 𝑏 e 𝑐: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑏 − No caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesma indutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de sequência positiva poderá ser qualquer uma delas, ou seja: 𝐿𝑠 = 𝐿1 = 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 73 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas expressões: തℓ𝑎𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 തℓ𝑎𝑏 = 1 3 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 em que: ℓ𝑎𝑎 = ℓ𝑏𝑏 = ℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 ℓ𝑎𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑏 ℓ𝑏𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑏𝑐 ℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 74 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Coeficiente de campo magnético próprio médio: തℓ𝑎𝑎 = തℓ𝑏𝑏 = തℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 − Coeficiente de campo magnético mútuo médio (independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases, estes coeficientes serão iguais entre si): തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 − Definindo 𝑑𝑚𝑔: 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 − Resulta: തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑚𝑔 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 75 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) − Com isto as indutâncias aparentes, apresentarão os mesmos valores: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será igual a qualquer das indutâncias aparentes 𝐿𝑠 = 𝐿1 = 𝐿𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 − 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑚𝑔 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 76 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (desprezando o efeito do solo) 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln ൗ 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 0 0 0 ln ൗ 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 0 0 0 ln ൗ 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Efeito da Transposição: Transformação da linha original em uma linha equilátera equivalente 𝑑𝑚𝑔 = 3 2𝐷 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝐷 ∙ 2𝐷 ∙ 𝐷 (média geométrica das distâncias) 𝐷𝑒𝑞 𝐷𝑒𝑞 𝐷𝑒𝑞 2𝑟 𝐷 𝐷 2𝑟 Prof. John Fredy Franco 77 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (considerando o efeito do solo ideal) − Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas expressões: തℓ𝑎𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 തℓ𝑎𝑏 = 1 3 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 − Coeficiente de campo magnético próprio, considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes (ℎ𝑎 ≠ ℎ𝑏 ≠ ℎ𝑐) acima do solo: തℓ𝑎𝑎 = തℓ𝑏𝑏 = തℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 2 ⋅ ℎ𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 sendo ℎ𝑚𝑔 = 3 ℎ𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 78 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (considerando o efeito do solo ideal) − Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas expressões: തℓ𝑎𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 തℓ𝑎𝑏 = 1 3 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 − Coeficiente de campo magnético mútuo, considerando que as alturas das fases e que as distâncias elas são diferentes entre si: തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑀𝐺 𝑑𝑚𝑔 sendo 𝐷𝑀𝐺 = 3 𝐷𝑎𝑏𝐷𝑏𝑐𝐷𝑐𝑎 e 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 com as distâncias: Indutância de Linhas de Transmissão 𝐷𝑎𝑏 = 𝑑𝑎𝑏 2 + 4ℎ𝑎ℎ𝑏 𝐷𝑏𝑐 = 𝑑𝑏𝑐 2 + 4ℎ𝑏ℎ𝑐 𝐷𝑐𝑎 = 𝑑𝑐𝑎 2 + 4ℎ𝑐ℎ𝑎 Prof. John Fredy Franco 79 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Transposição de Condutores (considerando o efeito do solo ideal) − Com isto as indutâncias aparentes, apresentarão os mesmos valores: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será igual a qualquer das indutâncias aparentes 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 2 ⋅ ℎ𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 − 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑀𝐺 𝑑𝑚𝑔 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 ⋅ 2 ⋅ ℎ𝑚𝑔 𝐷𝑀𝐺 Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 80 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 7: Calcular os coeficientes de campo magnético próprio, mútuo, aparente e de serviço para uma linha de transmissão trifásica (arranjo horizontal), com transposição, com cabos Bluejay e separação igual a 6 𝑚 em relação ao condutor do meio; incluir o efeito do solo e considerar que a base do arranjo tem uma altura média de 14𝑚. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 81 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exercício 7: a) Calcular a indutância (𝐻/𝑘𝑚) de uma linha de transmissão trifásica (arranjo equilátero) com cabos Pelican e separação entre condutores igual a 6 𝑚; b) Calcular a indutância de sequência positiva para uma linha de transmissão trifásica (arranjo em “L”) com cabos Pelican e separação igual a 5 𝑚 (em relação ao condutor do vértice) e altura média da base do “L” igual a 12𝑚. Considerar os seguintes casos: i. Sem efeito do solo e sem transposição; ii. Com efeito do solo e sem transposição; iii. Sem enfeito do solo e com transposição; iv. Com efeito do solo e com transposição. Indutância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 82 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Assume-se que a linha não tem transposição e os condutores das fases são idênticos, portanto, tem o mesmo raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔. O cabo para-raios é representado por 𝑟 e seu raio médio geométrico é 𝑟𝑚𝑔𝑟. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios 5,6 𝑚 8,6 𝑚 8,5 𝑚 8,0 𝑚 20 𝑚 9,4 𝑚 6,4 𝑚 40 𝑐𝑚 5,8 𝑚 8,4 𝑚 Prof. John Fredy Franco 83 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A expressão do fluxo concatenado de cada uma das fases com as correntes que circulam pelas mesmas é: 𝜙𝑎 𝜙𝑏 𝜙𝑐 𝜙𝑟 = ℓ𝑎𝑎 ℓ𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑏𝑎 ℓ𝑏𝑏 ℓ𝑏𝑐 ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑟𝑎 ℓ𝑐𝑏 ℓ𝑟𝑏 ℓ𝑐𝑐 ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑐 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑟 ◼ A queda de tensão pode ser escrita como: Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 Δ𝑉𝑟 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 ℓ𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑏𝑎 ℓ𝑏𝑏 ℓ𝑏𝑐 ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑟𝑎 ℓ𝑐𝑏 ℓ𝑟𝑏 ℓ𝑐𝑐 ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑐 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑟 ◼ Representando na forma compacta, tem-se: Δ𝑉𝑓 Δ𝑉𝑝 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 ℓ𝑓𝑝 ℓ𝑝𝑓 ℓ𝑝𝑝 𝑖𝑓 𝑖𝑝 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios Prof. John Fredy Franco 84 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Desmembrando a equação: Δ𝑉𝑓 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 𝑖𝑓 + ℓ𝑓𝑝 𝑖𝑝 Δ𝑉𝑝 = 𝑗𝜔 ℓ𝑝𝑓 𝑖𝑓 + ℓ𝑝𝑝 𝑖𝑝 ◼ No caso de uma linha sem para-raios: Δ𝑉𝑓 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 𝑖𝑓 + ℓ𝑓𝑝 𝑖𝑝 ◼ Caso o para-raios seja isolado não haverá corrente induzida circulando pelo para-raios, ou seja, 𝑖𝑝 = 0 . Portanto o cabo para- raios não provoca nenhum efeito sobre os condutores das fases. ◼ Entretanto as correntes nas fases induzem uma diferença de potencial no cabo para-raios, conforme pode ser verificado por meio da equação para Δ𝑉𝑝 . Prof. John Fredy Franco 85 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Caso o para-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. Essa corrente exerce influência nos condutores das fases. Nesse caso a diferença de potencial sobre o cabo para-raios será nula Δ𝑉𝑝 = 0 . Pode-se determinar a corrente no para-raios: 𝑖𝑝 = − ℓ𝑝𝑓 ℓ𝑝𝑝 −1 𝑖𝑓 Δ𝑉𝑓 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 𝑖𝑓 − ℓ𝑝𝑓 ℓ𝑝𝑝 −1 𝑖𝑓 ◼ Expandindo: Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑏 − ℓ𝑏𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 sendo ℓ𝑎𝑟 = ℓ𝑟𝑎, ℓ𝑏𝑟 = ℓ𝑟𝑏 e ℓ𝑐𝑟 = ℓ𝑟𝑐 ◼ A equação representa a queda de tensão nas fases de uma linha trifásica sem para-raios equivalente a uma linha trifásica com um cabo para-raios. Prof. John Fredy Franco 86 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Caso o para-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. − Em um sistema equilibrado 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0 e, portanto: 𝑖𝑎 = 𝑖𝑚𝑎𝑥 → 𝑖𝑏 = 𝑖𝑐 = Τ −𝑖𝑚𝑎𝑥 2 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑚𝑎𝑥 − Fazendo 𝐿𝑎 = 𝜙𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑖𝑚𝑎𝑥 , resulta: 𝐿𝑎 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 − Com um procedimento idêntico para as fases 𝑏 e 𝑐, tem-se: 𝐿𝑏 = ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑏𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑏𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝐿𝑐 = ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑐𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑐𝑏 − ℓ𝑏𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 Prof. John Fredy Franco 87 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Caso o para-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. − Pode-se afirmar que o cabo para-raios exerce influência sobre as indutâncias aparentes de uma linha, embora esta contribuição seja pequena. 𝐿𝑎 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝐿𝑏 = ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑏𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑏𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝐿𝑐 = ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑐𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑐𝑏 − ℓ𝑏𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 Prof. John Fredy Franco 88 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e desprezando-se o solo, para linhas não transpostas. − Coeficiente de campo magnético próprio: Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔, e ainda que o cabo para-raios, também encordoado, tenha raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔𝑟, resulta: ℓ𝑎𝑎 = ℓ𝑏𝑏 = ℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 ℓ𝑟𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔𝑟 Prof. John Fredy Franco 89 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e desprezando-se o solo, para linhas não transpostas. − Coeficiente de campo magnético mútuo: Considerando as distâncias entre as fases diferentes entre si, os coeficientes também serão diferentes entre si: ℓ𝑎𝑏 ≠ ℓ𝑏𝑐 ≠ ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑏 ; ℓ𝑏𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑏𝑐 ; ℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑟 ≠ ℓ𝑏𝑟 ≠ ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑎𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑎𝑟 ; ℓ𝑏𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑏𝑟 ; ℓ𝑐𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑐𝑟 − Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações anteriores, apresentarão valores diferentes, isto é: 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐 /3 Prof. John Fredy Franco 90 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e desprezando-se o solo, para linhas não transpostas. − Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações anteriores, apresentarão valores diferentes, isto é: 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐 /3 − Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. Prof. John Fredy Franco 91 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas não transpostas. − Coeficiente de campo magnético próprio: Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔 e 𝑟𝑚𝑔𝑟, e ainda que estes cabos encontrem-se suspensos em alturas diferentes(ℎ𝑎 ≠ ℎ𝑏 ≠ ℎ𝑐) e ℎ𝑟, acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis por: ℓ𝑎𝑏 ≠ ℓ𝑏𝑐 ≠ ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑎 𝑟𝑚𝑔 ; ℓ𝑏𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑏 𝑟𝑚𝑔 ; ℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑐 𝑟𝑚𝑔 ℓ𝑟𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑟 𝑟𝑚𝑔𝑟 Prof. John Fredy Franco 92 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas não transpostas. − Coeficiente de campo magnético mútuo: Considerando que as 3 distâncias entre as fases assim como as distâncias entre as fases e o para-raios não são iguais, e todas as alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si: − Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações anteriores, apresentarão valores diferentes, isto é: 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐 − A indutância de serviço ou de sequência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes: 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐 /3 𝐷𝑎𝑟 = 𝑑𝑎𝑟 2 + 4ℎ𝑎ℎ𝑟 𝐷𝑏𝑟 = 𝑑𝑏𝑟 2 + 4ℎ𝑏ℎ𝑟 𝐷𝑐𝑟 = 𝑑𝑐𝑟 2 + 4ℎ𝑐ℎ𝑟 ℓ𝑎𝑏 ≠ ℓ𝑏𝑐 ≠ ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑏 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏 ; ℓ𝑏𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑏𝑐 𝑑𝑏𝑐 ; ℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑐𝑎 𝑑𝑐𝑎 ℓ𝑎𝑟 ≠ ℓ𝑏𝑟 ≠ ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑎𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟 ; ℓ𝑏𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑏𝑟 𝑑𝑏𝑟 ; ℓ𝑐𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑐𝑟 𝑑𝑐𝑟 Prof. John Fredy Franco 93 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios, para linhas transpostas. − Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de igual comprimento e tomando a fase 𝑎 para desenvolvimento, o fluxo concatenado da fase 𝑎 é: 1o trecho: 𝜙𝑎1𝑇 = 1 3 ℓ𝑎𝑎𝑖𝑎 + ℓ𝑎𝑏𝑖𝑏 + ℓ𝑎𝑐𝑖𝑐 + ℓ𝑎𝑟𝑖𝑟 2o trecho: 𝜙𝑎2𝑇 = 1 3 ℓ𝑏𝑏𝑖𝑎 + ℓ𝑏𝑐𝑖𝑏 + ℓ𝑏𝑎𝑖𝑐 + ℓ𝑏𝑟𝑖𝑟 3o trecho: 𝜙𝑎3𝑇 = 1 3 ℓ𝑐𝑐𝑖𝑎 + ℓ𝑐𝑎𝑖𝑏 + ℓ𝑐𝑏𝑖𝑐 + ℓ𝑐𝑟𝑖𝑟 − Somando membro a membro as contribuições nos trechos resulta: 𝜙𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 𝑖𝑎 + ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 𝑖𝑏 + ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 𝑖𝑐 + ℓ𝑎𝑟 + ℓ𝑏𝑟 + ℓ𝑐𝑟 𝑖𝑟 Prof. John Fredy Franco 94 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios, para linhas transpostas. − Fazendo-se: തℓ𝑎𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 തℓ𝑎𝑏 = 1 3 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 = 1 3 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑐𝑏 ; തℓ𝑎𝑟 = 1 3 ℓ𝑎𝑟 + ℓ𝑏𝑟 + ℓ𝑐𝑟 − Resulta: 𝜙𝑎 = 1 3 തℓ𝑎𝑎𝑖𝑎 + തℓ𝑎𝑏𝑖𝑏 + തℓ𝑎𝑏𝑖𝑐 + തℓ𝑎𝑟𝑖𝑟 − Sendo que തℓ𝑎𝑎 representa o coeficiente médio próprio e തℓ𝑎𝑏 o coeficiente médio mútuo envolvendo as fases e തℓ𝑎𝑟 o coeficiente médio mútuo envolvendo as fases e o para-raios, considerando o ciclo completo de transposição. Prof. John Fredy Franco 95 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios, para linhas transpostas. − É importante observar que no caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente da disposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não do solo, são todos iguais aos respectivos valores médios. Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 = 𝑗𝜔 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 − Considerando o sistema equilibrado 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0: 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑏 Prof. John Fredy Franco 96 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e desprezando o efeito do solo, para linhas transpostas. − Coeficiente de campo magnético próprio médio: തℓ𝑎𝑎 = തℓ𝑏𝑏 = തℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 ; ℓ𝑟𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔𝑟 − Coeficiente de campo magnético mútuo médio (independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases, estes coeficientes serão iguais entre si): തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 തℓ𝑎𝑟 = തℓ𝑏𝑟 = തℓ𝑐𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 3 𝑑𝑎𝑟𝑑𝑏𝑟𝑑𝑐𝑟 − Definindo 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 e 𝑑𝑚𝑔𝑟 = 3 𝑑𝑎𝑟𝑑𝑏𝑟𝑑𝑐𝑟 − Resulta: തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑚𝑔 e തℓ𝑎𝑟 = തℓ𝑏𝑟 = തℓ𝑐𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑚𝑔𝑟 Prof. John Fredy Franco 97 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e desprezando o efeito do solo, para linhas transpostas. − Com isto as indutâncias aparentes, apresentarão os mesmos valores: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será igual a qualquer das indutâncias aparentes 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 Prof. John Fredy Franco 98 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. − Coeficiente de campo magnético próprio médio: തℓ𝑎𝑎 = തℓ𝑏𝑏 = തℓ𝑐𝑐 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 ; ℓ𝑟𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 2ℎ𝑟 𝑟𝑚𝑔𝑟 sendo ℎ𝑚𝑔 = 3 ℎ𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐, ℎ𝑟 a altura e 𝑟𝑚𝑔𝑟 o raio médio geométrico do cabo para-raios. Prof. John Fredy Franco 99 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. − Coeficiente de campo magnético mútuo médio: തℓ𝑎𝑏 = തℓ𝑏𝑐 = തℓ𝑐𝑎 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑀𝐺 𝑑𝑚𝑔 തℓ𝑎𝑟 = തℓ𝑏𝑟 = തℓ𝑐𝑟 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝐷𝑀𝐺𝑟 𝑑𝑚𝑔𝑟 𝐷𝑀𝐺 = 3 𝐷𝑎𝑏𝐷𝑏𝑐𝐷𝑐𝑎 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 𝐷𝑀𝐺𝑟 = 3 𝐷𝑎𝑟𝐷𝑏𝑟𝐷𝑐𝑟 𝑑𝑚𝑔𝑟 = 3 𝑑𝑎𝑟𝑑𝑏𝑟𝑑𝑐𝑟 − Com isto as indutâncias aparentes, apresentarão os mesmos valores: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será igual a qualquer das indutâncias aparentes: 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 𝐷𝑎𝑟 = 𝑑𝑎𝑟 2 + 4ℎ𝑎ℎ𝑟 𝐷𝑏𝑟 = 𝑑𝑏𝑟 2 + 4ℎ𝑏ℎ𝑟 𝐷𝑐𝑟 = 𝑑𝑐𝑟 2 + 4ℎ𝑐ℎ𝑟 𝐷𝑎𝑏 = 𝑑𝑎𝑏 2 + 4ℎ𝑎ℎ𝑏 𝐷𝑏𝑐 = 𝑑𝑏𝑐 2 + 4ℎ𝑏ℎ𝑐 𝐷𝑐𝑎 = 𝑑𝑐𝑎 2 + 4ℎ𝑐ℎ𝑎 Prof. John Fredy Franco 100 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. − Com isto as indutâncias aparentes, apresentarão os mesmos valores: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 − Nestas condições, a indutância de serviço ou de sequência positiva será igual a qualquer das indutâncias aparentes 𝐿1 = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑎 Prof. John Fredy Franco 101 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. − Para uma linha trifásica a circuito simples com um cabo para- raios: Δ𝑉𝑓 3x1 Δ𝑉𝑝 1x1 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 3x3 ℓ𝑓𝑝 3x1 ℓ𝑝𝑓 1x3 ℓ𝑝𝑝 1x1 𝑖𝑓 3x1 𝑖𝑝 1x1 − O produto matricial − ℓ𝑓𝑝 3x1 ℓ𝑝𝑝 1x1 −1 ℓ𝑝𝑓 1x3 3x3 decorrente do desenvolvimento da expressão acima, resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos se encontram sendo subtraídos dos elementos da matriz ℓ𝑓𝑓 3x3. Prof. John Fredy Franco 102 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑏𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑏 − ℓ𝑏𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 = 𝑗𝜔 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑏 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 തℓ𝑎𝑎 − തℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 Prof. John Fredy Franco 103 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Um Cabo Para-Raios ◼ Com um cabo para-raios e considerando o efeito do solo ideal, para linhas transpostas. − Com isto é possível obter equações para o cálculo das indutâncias aparentes considerando o cabo para-raios aterrado: 𝐿𝑎 = ℓ𝑎𝑎 − ℓ𝑎𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑎𝑏 − ℓ𝑟𝑏ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑎𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝐿𝑏 = ℓ𝑏𝑏 − ℓ𝑏𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑏𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑏𝑐 − ℓ𝑟𝑐ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑟𝑟 𝐿𝑐 = ℓ𝑐𝑐 − ℓ𝑐𝑟 2 ℓ𝑟𝑟 − 1 2 ℓ𝑐𝑎 − ℓ𝑟𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 + ℓ𝑐𝑏 − ℓ𝑏𝑎ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑟𝑟 Prof. John Fredy Franco 104 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Quando a linha é de circuito simples com dois cabos para-raios o equacionamento e desenvolvimento da situação anterior continua válido, embora a ordem dos vetores e das matrizes na expressão abaixo impossibilite que o desenvolvimento possa ser feito literalmente devido ao tamanho das expressões decorrentes. Δ𝑉𝑓 3x1 Δ𝑉𝑝 2x1 = 𝑗𝜔 ℓ𝑓𝑓 3x3 ℓ𝑓𝑝 3x2 ℓ𝑝𝑓 2x3 ℓ𝑝𝑝 2x2 𝑖𝑓 3x1 𝑖𝑝 2x1 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Simples e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 105 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Nas expressões desenvolvidas emprega-se a altura média dos condutores, calculável pela equação definida a seguir. ℎ = 𝐻 − 0,7 ⋅ 𝑓 onde: ➢ ℎ: altura média corrigida; ➢ 𝐻: altura de fixação dos condutores na cadeia de isoladores; ➢ 𝑓: flecha. ◼ Esta equação é empregada com a finalidade de promover a correção das alturas dos condutores com relação à superfície do solo. Sua demonstração não é trivial. Correção da Altura dos Condutores 𝐻 𝐻𝑚𝑖𝑛 𝑓 ℎ Prof. John Fredy Franco 106 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ No cálculo da indutância de um condutor múltiplo, considera-se este condutor substituído por um condutor fictício equivalente. Assim tudo se resume na determinação do raio médio geométrico (𝑅𝑀𝐺) do condutor equivalente. ◼ Considere um condutor múltiplo formado por 𝑛 subcondutores iguais e distribuídos sobre um círculo de raio 𝑅, conforme a figura: Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑅𝑀𝐺 = 𝑛 𝑑1,1𝑑1,2 … 𝑑1,𝑘 … 𝑑1,𝑛 Onde a variável 𝑑1,1 é o próprio raio médio geométrico de um subcondutor, isto é, 𝑟𝑚𝑔. 𝑅𝑀𝐺 = 𝑛 𝑟𝑚𝑔 ⋅ 𝑑1,2 … 𝑑1,𝑘 … 𝑑1,𝑛 Prof. John Fredy Franco 107 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ O raio médio geométrico (𝑅𝑀𝐺) de um condutor múltiplo formado por 𝑛 subcondutores de raio médio geométrico (𝑟𝑚𝑔): 𝑅𝑀𝐺 = 𝑛 𝑑1,1𝑑1,2 … 𝑑1,𝑘 … 𝑑1,𝑛 ◼ Os condutores múltiplos empregados em linhas de transmissão são padronizados podendo ser formados por 2, 3, 4 e 6 subcondutores, espaçados entre si por 6, 9, 12, 15 e 18 polegadas. Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) Prof. John Fredy Franco 108 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) − Permitem reduzir o efeito corona: os campos elétricos tendem a ser nulos nas regiões internas aos condutores que formam uma fase. Assim, o conjunto de condutores se comporta como se fosse um condutor único de raio maior, diminuindo a intensidade do campo elétrico. − Tipicamente são usados dois, três ou quatro condutores por fase. Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 109 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) ◼ O fluxo concatenado com o condutor 𝑎 da fase 1 é: 𝜙𝑎1 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎 2 ln 𝑑𝑎1𝑝 𝑟′ + 𝑖𝑎 2 ln 𝑑𝑎2𝑝 𝑑 + 𝑖𝑏 2 ln 𝑑𝑏1𝑝 𝐷 + 𝑖𝑏 2 ln 𝑑𝑏2𝑝 𝐷 + 𝑑 + 𝑖𝑐 2 ln 𝑑𝑐1𝑝 2𝐷 + 𝑖𝑐 2 ln 𝑑𝑐2𝑝 2𝐷 + 𝑑 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 110 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) ◼ Levando 𝑃 → ∞ e considerando que 𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0: 𝜙𝑎1 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎 2 ln 1 𝑟′ + 𝑖𝑎 2 ln 1 𝑑 + 𝑖𝑏 2 ln 1 𝐷 + 𝑖𝑏 2 ln 1 𝐷 + 𝑑 + 𝑖𝑐 2 ln 1 2𝐷 + 𝑖𝑐 2 ln 1 2𝐷 + 𝑑 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 111 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) ◼ Como na prática 𝐷 ≫ 𝑑 (e.g. 𝐷 = 5𝑚 e 𝑑 = 10𝑐𝑚): 𝜙𝑎1 = 𝜙𝑎2 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑎 2 ln 1 𝑟′ + 𝑖𝑎 2 ln 1 𝑑 + 𝑖𝑏ln 1 𝐷 + 𝑖𝑐ln 1 2𝐷 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 112 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) ◼ Para as outras duas fases: 𝜙𝑏1 = 𝜙𝑏2 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑏 2 ln 1 𝑟′ + 𝑖𝑏 2 ln 1 𝑑 + 𝑖𝑎ln 1 𝐷 + 𝑖𝑐ln 1 𝐷 𝜙𝑐1 = 𝜙𝑐2 = 𝜇0 2𝜋 𝑖𝑐 2 ln 1 𝑟′ + 𝑖𝑐 2 ln 1 𝑑 + 𝑖𝑏ln 1 𝐷 + 𝑖𝑎ln 1 2𝐷 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 113 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) ◼ A partir dos fluxos concatenados, poderiam ser calculadas as indutâncias por fase, resultando em uma matriz indutância assimétrica ◼ Fazendo transposição, a indutância por fase é definida por: 𝐿 = 𝜇0 2𝜋 ln 3 2𝐷 𝑟′𝑑 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑃 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 114 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) 𝐿 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑅𝑀𝐺 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑑𝑚𝑔 = 3 2𝐷 𝑅𝑀𝐺 = 𝑟′𝑑 𝑹𝑴𝑮 é a média geométrica entre o raio reduzido (𝑅′) e o espaçamento entre os condutores da fase (𝒅) 𝑹𝑴𝑮: raio médio geométrico 𝒅𝒎𝒈 é a média geométrica entre as distâncias dos condutores de fase 𝒅𝒎𝒈: distância média geométrica 2𝑟𝑚𝑔 𝑑𝑚𝑔 𝑑𝑚𝑔 𝑑𝑚𝑔 𝑖𝑐 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝐷 2𝑟 𝑑 𝐷 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 𝑐1 𝑐2 Prof. John Fredy Franco 115 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) 𝐿 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑅𝑀𝐺 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑹𝑴𝑮 é a média geométrica entre o raio reduzido (𝑟′) e o espaçamento entre os condutores da fase (𝒅) 𝑹𝑴𝑮: raio médio geométrico 𝒅𝒎𝒈 é a média geométrica entre as distâncias dos condutores de fase 𝒅𝒎𝒈: distância média geométrica 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 𝒊𝒂𝟏 = 𝒊𝒂 𝒏 𝒏𝟐 distâncias devem ser consideradas no cálculo do 𝒓𝒎𝒈 (incluindo 𝒓′) 𝒏 condutores de fase Fase 𝒂 𝑅𝑀𝐺 = 𝑛2 𝑟𝑎1 ′ 𝐷𝑎1𝑎2𝐷𝑎1𝑎3 ⋯ 𝐷𝑎1𝑎𝑛 𝐷𝑎2𝑎1𝑟𝑎2 ′ 𝐷𝑎2𝑎3 ⋯ 𝐷𝑎2𝑎𝑛 𝐷𝑎3𝑎1𝐷𝑎3𝑎2𝑟𝑎3 ′ ⋯ 𝐷𝑎3𝑎𝑛 ⋯ 𝐷𝑎𝑛𝑎1𝐷𝑎𝑛𝑎2𝐷𝑎𝑛𝑎3 ⋯ 𝑟𝑎𝑛 ′ Prof. John Fredy Franco 116 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Linhas com vários condutores por fase (em feixe) 𝐿 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑅𝑀𝐺 Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 Fase 𝒂 No cálculo de 𝒅𝒂𝒃 devem ser consideradas as distâncias de cada subcondutor da fase 𝒂 para cada subcondutor da fase 𝒃 Fase 𝒃 𝑑𝑎𝑏 = 𝑛2 𝐷𝑎1𝑏1 ⋯ 𝐷𝑎1𝑏𝑛 𝐷𝑎2𝑏1 ⋯ 𝐷𝑎2𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑎𝑛𝑏1 ⋯ 𝐷𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑎𝑐𝑑𝑏𝑐 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏𝑛 No caso de 3 condutores 𝒓𝒎𝒈 é a média geométrica entre o raio reduzido (𝑟′) e o espaçamento entre os condutores da fase (𝒅) 𝒓𝒎𝒈: raio médio geométrico 𝒅𝒎𝒈 é a média geométrica entre as distâncias dos condutores de fase 𝒅𝒎𝒈: distância média geométrica Prof. John Fredy Franco 117 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 8: a) Calcular o RMG para linhas com 2, 3 ou 4 condutores por fase (em feixe); b) Calcular a indutância por fase para uma linha trifásica com 3 condutores por fase, arranjo vertical, transposição e cabos Drake (𝐷 = 10𝑚, 𝑑 = 30𝑐𝑚). Condutores Múltiplos em Linhas de Transmissão (em Feixe ou Bundle) Prof. John Fredy Franco 118 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exercício 8: Calcular a impedância por fase para uma linha trifásica de 765𝑘𝑉, arranjo horizontal, 4 condutores por fase, transposição, comprimento igual a 889𝑘𝑚 e cabos Bluejay (𝐷 = 15𝑚, 𝑑 = 45,7𝑐𝑚). Indutância de Linhas de Transmissão Resposta: ℤ = 11,8929 + 𝑗303,7956Ω Prof. John Fredy Franco 119 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considere uma linha não transposta com condutores 𝑎, 𝑏 e 𝑐, do circuito 𝐼 e condutores 𝑑, 𝑒, e 𝑓, do circuito 𝐼𝐼. Condutores das fases idênticos e, portanto, tem o mesmo raio médio geométrico 𝑟𝑚𝑔. Os cabos para-raios 𝑟 e 𝑠 com raio médio geométrico é 𝑟𝑚𝑔𝑟: Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 120 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Fundamentado em desenvolvimentos anteriores para a expressão do fluxo concatenado com cada uma das fases com as correntes que circulam pelas mesmas, a queda de tensão segue a expressão: 𝛥𝑉𝑎 𝛥𝑉𝑏 𝛥𝑉𝑐 𝛥𝑉𝑟 𝛥𝑉𝑠 𝛥𝑉𝑑 𝛥𝑉𝑒 𝛥𝑉𝑓 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 ℓ𝑎𝑏 ℓ𝑎𝑐 ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑎𝑠 ℓ𝑎𝑑 ℓ𝑎𝑒 ℓ𝑎𝑓 ℓ𝑏𝑎 ℓ𝑏𝑏 ℓ𝑏𝑐 ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑏𝑠 ℓ𝑏𝑑 ℓ𝑏𝑒 ℓ𝑏𝑓 ℓ𝑐𝑎 ℓ𝑐𝑏 ℓ𝑐𝑐 ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑐𝑠 ℓ𝑐𝑑 ℓ𝑐𝑒 ℓ𝑐𝑓 ℓ𝑟𝑎 ℓ𝑟𝑏 ℓ𝑟𝑐 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑟𝑠 ℓ𝑟𝑑 ℓ𝑟𝑒 ℓ𝑟𝑓 ℓ𝑠𝑎 ℓ𝑠𝑏 ℓ𝑠𝑐 ℓ𝑠𝑟 ℓ𝑠𝑠 ℓ𝑠𝑑 ℓ𝑠𝑒 ℓ𝑠𝑓 ℓ𝑑𝑎 ℓ𝑑𝑏 ℓ𝑑𝑐 ℓ𝑑𝑟 ℓ𝑑𝑠 ℓ𝑑𝑑 ℓ𝑑𝑒 ℓ𝑑𝑓 ℓ𝑒𝑎 ℓ𝑒𝑏 ℓ𝑒𝑐 ℓ𝑒𝑟 ℓ𝑒𝑠 ℓ𝑒𝑑 ℓ𝑒𝑒 ℓ𝑒𝑓 ℓ𝑓𝑎 ℓ𝑓𝑏 ℓ𝑓𝑐 ℓ𝑓𝑟 ℓ𝑓𝑠 ℓ𝑓𝑑 ℓ𝑓𝑒 ℓ𝑓𝑓 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑟 𝑖𝑠 𝑖𝑑 𝑖𝑒 𝑖𝑓 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 121 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Representando na forma compacta, tem-se: Δ𝑉𝐼 3x1 Δ𝑉𝑝 2x1 Δ𝑉𝐼𝐼 3x1 = 𝑗𝜔 ℓ𝐼,𝐼 3x3 ℓ𝐼,𝑝 3x2 ℓ𝐼,𝐼𝐼 3x3 ℓ𝑝,𝐼 2x3 ℓ𝑝𝑝 2x2 ℓ𝑝,𝐼𝐼 2x3 ℓ𝐼𝐼,𝐼 3x3 ℓ𝐼𝐼,𝑝 3x2 ℓ𝐼𝐼,𝐼𝐼 3x3 𝑖𝐼 3x1 𝑖𝑝 2x1 𝑖𝐼𝐼 3x1 ◼ Os dois circuitos podem: − Ser idênticos ou ter características diferentes; − Estar suspensos por uma mesma estrutura ou por estruturas distintas em uma mesma faixa de servidão e operando em paralelismo físico e/ou elétrico. ◼ Considerando os dois circuitos idênticos, se tem 𝑖𝐼 = 𝑖𝐼𝐼 : Δ𝑉𝐼 = 𝑗𝜔 ℓ𝐼,𝐼 + ℓ𝐼,𝐼𝐼 𝑖𝐼 + ℓ𝐼,𝑝 𝑖𝑝 Δ𝑉𝑝 = 𝑗𝜔 ℓ𝑝,𝐼 + ℓ𝑝,𝐼𝐼 𝑖𝐼 + ℓ𝑝,𝑝 𝑖𝑝 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 122 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Considerando apenas o circuito I e voltando a expandir as expressões: 𝛥𝑉𝑎 𝛥𝑉𝑏 𝛥𝑉𝑐 𝛥𝑉𝑟 𝛥𝑉𝑠 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑎𝑑 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑎𝑒 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑎𝑓 ℓ𝑎𝑟 ℓ𝑎𝑠 ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑏𝑑 ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑏𝑒 ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑏𝑓 ℓ𝑏𝑟 ℓ𝑏𝑠 ℓ𝑐𝑎 + ℓ𝑐𝑑 ℓ𝑐𝑏 + ℓ𝑐𝑒 ℓ𝑐𝑐 + ℓ𝑐𝑓 ℓ𝑐𝑟 ℓ𝑐𝑠 ℓ𝑟𝑎 + ℓ𝑟𝑑 ℓ𝑟𝑏 + ℓ𝑟𝑒 ℓ𝑟𝑐 + ℓ𝑟𝑓 ℓ𝑟𝑟 ℓ𝑟𝑠 ℓ𝑠𝑎 + ℓ𝑠𝑑 ℓ𝑠𝑏 + ℓ𝑠𝑒 ℓ𝑠𝑐 + ℓ𝑠𝑓 ℓ𝑠𝑟 ℓ𝑠𝑠 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 𝑖𝑟 𝑖𝑠 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 123 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Como discuto antes, o cabo para-raios pode ser isolado ou aterrado: − Caso seja isolado não haverá corrente induzida circulando pelo para-raios, ou seja, 𝑖𝑝 = [0]. Portanto o cabo para-raios não provoca nenhum efeito sobre os condutores das fases. Entretanto, as correntes nas fases induzem uma diferença de potencial no cabo para-raios, conforme pode ser verificado por meio das equações para 𝛥𝑉𝑟 e 𝛥𝑉𝑠. − Caso o para-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. Essa corrente exerce influência nos condutores das fases conforme pode ser comprovado pelas equações para 𝛥𝑉𝑎, 𝛥𝑉𝑏 e 𝛥𝑉𝑐. Nesse caso a diferença de potencial sobre o cabo para-raios será nula Δ𝑉𝑝 = [0]. Pode-se determinar a corrente no para-raios 𝑖𝑝 , que substituído na equação levaria a: Δ𝑉𝐼 = 𝑗𝜔 ℓ𝐼,𝐼 + ℓ𝐼,𝐼𝐼 − ℓ𝐼,𝑝 ℓ𝑝,𝑝 −1 ℓ𝑝,𝐼 + ℓ𝑝,𝐼𝐼 𝑖𝐼 O resultado do produto matricial − ℓ𝐼,𝑝 ℓ𝑝,𝑝 −1 ℓ𝑝,𝐼 + ℓ𝑝,𝐼𝐼 é uma matriz de ordem 3x3, assim como ℓ𝐼,𝐼 + ℓ𝐼,𝐼𝐼 também é uma matriz de ordem 3x3. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 124 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Conforme observado em resultados anteriores, o efeito do solo ideal e do para-raios pode ser desprezado no cálculo das indutâncias de sequência positiva. Levando esta consideração na expressão matricial, ela pode ser reduzida para: Δ𝑉𝑎 Δ𝑉𝑏 Δ𝑉𝑐 = 𝑗𝜔 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑎𝑑 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑎𝑒 ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑎𝑓 ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑏𝑑 ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑏𝑒 ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑏𝑓 ℓ𝑐𝑎 + ℓ𝑐𝑑 ℓ𝑐𝑏 + ℓ𝑐𝑒 ℓ𝑐𝑐 + ℓ𝑐𝑓 𝑖𝑎 𝑖𝑏 𝑖𝑐 ◼ Considerando o sistema equilibrado, e analogamente ao que já foi feito, tem-se as indutâncias aparentes: 𝐿𝑎 = ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑎𝑑 − 1 2 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑎𝑒 + ℓ𝑎𝑐 + ℓ𝑎𝑓 𝐿𝑏 = ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑏𝑒 − 1 2 ℓ𝑏𝑎 + ℓ𝑏𝑑 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑏𝑓 𝐿𝑐 = ℓ𝑐𝑐 + ℓ𝑐𝑓 − 1 2 ℓ𝑐𝑎 + ℓ𝑐𝑑 + ℓ𝑐𝑏 + ℓ𝑐𝑒 ◼ Analogamente se obtém os valores de 𝐿𝑑, 𝐿𝑒 e 𝐿𝑓. Se os circuitos são idênticos, verifica-se que: 𝐿𝑎 = 𝐿𝑑 , 𝐿𝑏 = 𝐿𝑒 e 𝐿𝑐 = 𝐿𝑓, mas 𝐿𝑎 ≠ 𝐿𝑏 ≠ 𝐿𝑐. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 125 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Para que 𝐿𝑎 = 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 se tem as seguintes condições: 1) Desprezar o efeito do solo, considerado ideal, e o efeito da presença dos para-raios, assim como fazer com que os condutores de fase ocupem os vértices de um hexágono; 2) Empregar transposição. Assim: 𝐿𝑠 = (𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝐿𝑐)/3. Substituindo as equações de 𝐿𝑎, 𝐿𝑏 e 𝐿𝑐, tem-se: ◼ Desconsiderando a presença do solo os coeficientes de campo magnético seriam: ℓ𝑖𝑖 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 ; ℓ𝑖𝑗 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑑𝑖𝑗 ◼ Substituindo na equação anterior considerando o caso analisado: 𝐿𝑠 = 𝐿1 = 𝜇0 2𝜋 ln 1 𝑟𝑚𝑔 + ln 1 3 𝑑𝑎𝑑𝑑𝑏𝑒𝑑𝑐𝑓 − ln 1 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 − ln 1 6 𝑑𝑎𝑒𝑑𝑎𝑓𝑑𝑏𝑑𝑑𝑏𝑓𝑑𝑐𝑑𝑑𝑐𝑒 Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios 𝐿𝑠 = 1 3 ℓ𝑎𝑎 + ℓ𝑏𝑏 + ℓ𝑐𝑐 + ℓ𝑎𝑑 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑓 − 1 2 2 ℓ𝑎𝑏 + ℓ𝑏𝑐 + ℓ𝑐𝑎 + ℓ𝑎𝑒 + ℓ𝑎𝑓 + ℓ𝑏𝑑 + ℓ𝑏𝑓 + ℓ𝑐𝑑 + ℓ𝑐𝑒 Prof. John Fredy Franco 126 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Fazendo-se: 𝑑𝑚𝑔 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎 : distância média geométrica entre os condutores do circuito 𝐼; 𝐷𝐼 = 3 𝑑𝑎𝑑𝑑𝑏𝑒𝑑𝑐𝑓 : distância média geométrica entre os condutores dos circuitos 𝐼 e 𝐼𝐼 que conduzem corrente da mesma fase; 𝐷𝐼𝐼 = 6 𝑑𝑎𝑒𝑑𝑎𝑓𝑑𝑏𝑑𝑑𝑏𝑓𝑑𝑐𝑑𝑑𝑐𝑒: distância média geométrica entre os condutores dos circuitos 𝐼 e 𝐼𝐼 que conduzem corrente de fases distintas. ◼ Logo, a equação do slide anterior toma a forma: 𝐿𝑠 = 𝐿1 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 + ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 ◼ Esta equação difere da sua correspondente para linha de circuito simples pelo termo adicional que representa a indutância mútua entre circuitos. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 127 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 9: Calcular a indutância por fase para uma linha trifásica de 440𝑘𝑉, arranjo mostrado na figura, dois condutores em feixe, linha com transposição, comprimento igual a 500𝑘𝑚, cabos Finch. Parâmetros de Linhas de Transmissão 5,6 𝑚 8,6 𝑚 8,5 𝑚 8,0 𝑚 20 𝑚 9,4 𝑚 6,4 𝑚 40 𝑐𝑚 5,8 𝑚 8,4 𝑚 Resposta: ℤ = 6,6501 + 𝑗119,5702Ω; xc = 252,1659Ω Prof. John Fredy Franco 128 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Comentários gerais: − No caso de linhas a circuito duplo, comumente os dois circuitos são idênticos. Entretanto, pode ocorrer que os circuitos apresentem características diferentes; − Por outro lado é frequente que linhas diferentes estejam operando em paralelo e na mesma faixa de servidão. Nessas duas condições, as correntes nas fases poderão ser diferentes em módulo e fase; − Para linhas de uma mesma classe de tensão a defasagem entre as correntes é pequena, sendo em geral desprezada; − Quando duas ou mais linhas ocupam a mesma faixa de servidão, ou uma mesma estrutura, mesmo que alimentadas por uma mesma barra, as defasagens entre as correntes podem ser maiores. Nestas condições o valor da indutância mútua é, em geral, muito menor, podendo ser desconsiderada; − Assim, o cálculo das indutâncias para cada um dos circuitos é feito considerando apenas as diferenças físicas. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 129 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ O equacionamento anterior pode ser escrito como: 𝐿1,𝐼 = 𝐿𝑠,𝐼 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔𝐼 𝑟𝑚𝑔𝐼 + ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 𝐿1,𝐼𝐼 = 𝐿𝑠,𝐼𝐼 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑑𝑚𝑔𝐼𝐼 𝑟𝑚𝑔𝐼𝐼 + ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 ◼ Nos cálculos de desempenho é de praxe substituir-se uma linha por seu circuito elétrico equivalente, isto é: 𝐿1,𝑒𝑞 = 𝐿1,𝐼𝐿1,𝐼𝐼 𝐿1,𝐼 + 𝐿1,𝐼𝐼 ◼ Quando houver várias linhas em paralelo, consideram-se todas as indutâncias mútuas entre o circuito sob análise e os demais. Bastaria ir acrescentando os termos que representam as indutâncias mútuas. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 130 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Para a reatância indutiva: 𝑥𝐿1,𝐼 = 2𝜋𝑓𝐿1,𝐼 [Ω/𝑘𝑚] onde 𝑓: frequência [𝐻𝑧]; 𝐿1,𝐼: indutância [𝐻/𝑘𝑚]. ◼ Assim, levando à expressão mais geral para cálculo da indutância: 𝑥𝐿1,𝐼 = 4𝜋𝑓 10−4 ln 𝑑𝑚𝑔 𝑟𝑚𝑔 + ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 [Ω/𝑘𝑚] ◼ Essa expressão pode ser decomposta em três parcelas: 𝑥𝐿1,𝐼 = 4𝜋𝑓 10−4 ln 1 𝑟𝑚𝑔 + 4𝜋𝑓 10−4 ln 𝑑𝑚𝑔 + 4𝜋𝑓 10−4 ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 [Ω/𝑘𝑚] Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 131 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A primeira parcela é denotada por: 𝑥𝐿′ = 4𝜋𝑓 10−4 ln 1 𝑟𝑚𝑔 [Ω/𝑘𝑚] ◼ Denomina-se 𝑥𝐿′ reatância indutiva para espaçamento unitário e seus valores encontram-se tabelados para condutores singelos e múltiplos em função de suas características e para as frequências de 50 e 60𝐻𝑧. − Singelos: bitola (código) e frequência; − Múltiplos: bitola (código), frequência e número de subcondutores e espaçamento entre eles. Emprego de Tabelas na Determinação de Reatâncias Indutivas Prof. John Fredy Franco 132 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A segunda parcela é denotada por: 𝑥𝐿 ′′ = 4𝜋𝑓 10−4 ln 𝑑𝑚𝑔 [Ω/𝑘𝑚] ◼ Esta parcela é denominada fator de espaçamento indutivo e seus valores encontram-se tabelados em função da frequência e da distância média geométrica 𝑑𝑚𝑔, calculada para a linha ou circuito em estudo. ◼ Considere que o valor calculado da 𝑑𝑚𝑔 é 𝑋𝑌, 𝑍𝑊. ◼ Com a parte inteira (𝑋𝑌, 00) do valor da 𝑑𝑚𝑔 entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [0,00; 20,00] e com a parte fracionária (0, 𝑍𝑊) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [0,00; 0,90]. ◼ No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor do fator de espaçamento indutivo. Emprego de Tabelas na Determinação de Reatâncias Indutivas Prof. John Fredy Franco 133 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Fator de Espaçamento Indutivo 𝒙𝑳 ′′ 𝜴 𝒌𝒎 (𝟔𝟎 𝑯𝒛) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,00 -0,17364 -0,12137 -0,09079 -0,06909 -0,05227 -0,03852 -0,02689 -0,01683 -0,00794 1,00 0 0,00719 0,01375 0,01978 0,02537 0,03058 0,03544 0,04001 0,04432 0,04840 2,00 0,05227 0,05595 0,05946 0,06281 0,06602 0,06909 0,07005 0,07490 0,07764 0,08029 3,00 0,08285 0,08532 0,08771 0,09003 0,09228 0,09447 0,09659 0,09866 0,10067 0,10263 4,00 0,10154 0,1064 0,10822 0,10999 0,11173 0,11342 0,11508 0,11670 0,11829 0,11984 5,00 0,12137 0,12286 0,12432 0,12676 0,12717 0,12855 0,12991 0,13125 0,13256 0,13385 6,00 0,13512 0,13636 0,13759 0,13879 0,13908 0,14115 0,14230 0,14344 0,14455 0,14565 7,00 0,14674 0,14781 0,14886 0,1499 0,15093 0,15191 0,15294 0,15393 0,15490 0,15586 8,00 0,15681 0,15775 0,15867 0,15959 0,16040 0,10138 0,16227 0,16314 0,16400 0,16485 9,00 0,16569 0,16653 0,16735 0,16817 0,16897 0,16977 0,17056 0,17134 0,17212 0,17288 10,00 0,17364 0,17439 0,17513 0,17587 0,17670 0,17732 0,17803 0,17874 0,17944 0,18014 11,00 0,18083 0,18151 0,18219 0,18280 0,18352 0,18418 0,18483 0,18548 0,18612 0,18676 12,00 0,18739 0,18801 0,18863 0,18925 0,18936 0,19047 0,19107 0,19166 0,19225 0,19284 13,00 0,19342 0,19400 0,19458 0,19514 0,19571 0,19627 0,19683 0,19738 0,19793 0,19847 14,00 0,19901 0,19955 0,20008 0,20061 0,20114 0,20166 0,20218 0,20269 0,20320 0,20371 15,00 0,20122 0,20472 0,20521 0,20571 0,20620 0,20669 0,20717 0,20765 0,20813 0,20861 16,00 0,20908 0,20955 0,21002 0,21018 0,21094 0,21140 0,21186 0,21231 0,21276 0,21321 17,00 0,21365 0,21409 0,21454 0,21497 0,21541 0,21584 0,21627 0,21669 0,21712 0,21754 18,00 0,21796 0,21838 0,21879 0,21921 0,21962 0,22003 0,22044 0,22084 0,22124 0,22164 19,00 0,22201 0,22244 0.22283 0,22322 0,22361 0,22400 0,22439 0,22477 0,22515 0,22553 20,00 0,22591 0,22628 0,22666 0,22703 0,2274 0,22777 0,22814 0,22850 0,22887 0,22923 Prof. John Fredy Franco 134 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A terceira parcela é denotada por: 𝑥𝐿 ′′ = 4𝜋𝑓 10−4 ln 𝐷𝐼𝐼 𝐷𝐼 [Ω/𝑘𝑚] ◼ A parcela acima é denominada reatância indutiva mútua entre circuitos e seus valores encontram-se tabelados em função da frequência e da relação (𝐷𝐼𝐼/𝐷𝐼) entre as distâncias médias geométricas 𝐷𝐼𝐼 e 𝐷𝐼 calculadas para as distâncias envolvendo os condutores dos dois circuitos. ◼ Considere que o valor encontrado para a relação entre as distâncias médias geométricas seja igual a 𝑋, 𝑌𝑍. Com a parte até a primeira casa decimal (𝑋, 𝑌) do valor da relação entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [0,5; 1,5] e com o valor centesimal (0, 0𝑍) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [0,00; 0,09]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor da reatância indutiva mútua entre circuitos. correspondente valor do fator de espaçamento indutivo. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 135 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão 𝑫𝑰𝑰/𝑫𝑰 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,5 -0,05226 -0,03077 -0,0493 -0,047868 -0,046159 -0,01508 -0,043716 -0,042382 -0,041071 -0,03978 0,6 -0,03852 -0,03727 -0,03604 -0,034836 -0,033649 -0,03248 -0,031328 -0,030195 -0,029078 -0,02798 0,7 -0,02689 -0,02582 -0,02477 -0,023728 -0,022702 -0,02169 -0,011371 -0,019706 -0,018733 -0,01777 0,8 -0,01682 -0,01589 -0,01496 -0,014048 -0,013145 -0,01225 -0,011371 -0,010499 -0,009638 -0,00879 0,9 -0,00794 -0,00711 -0,00629 -0,005471 -0,001665 -0,00387 -0,003077 -0,002296 -0,001523 -0,00076 1 0 0,00075 0,001493 0,002228 0,002957 0,003678 0,004393 0,005101 0,005802 0,005497 1,1 0,007186 0,007868 0,008544 0,003214 0,009878 0,010537 0,01119 0,011837 0,012479 0,013115 1,2 0,013746 0,014372 0,014992 0,015608 0,016218 0,016824 0,017425 0,018021 0,018612 0,019199 1,3 0,019781 0,020359 0,020962 0,021501 0,022066 0,022627 0,023183 0,023735 0,024284 0,024828 1,4 0,025369 0,025905 0,026438 0,026967 0,027493 0,028015 0,028533 0,029017 0,029559 0,030066 1,5 0,030571 0,031072 0,031569 0,032064 0,032555 0,033043 0,033528 0,03401 0,034488 0,034964 Reatância Indutiva Mútua Entre Dois Circuitos 𝒙𝑳 ′′′ 𝜴 𝒌𝒎 (𝟔𝟎 𝑯𝒛) Prof. John Fredy Franco 136 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Caso existam mais do que dois circuitos em paralelo, basta acrescentar as parcelas mútuas entre circuitos correspondentes, conforme expressão a seguir: 𝑥𝐿1,𝐼 = 𝑥𝐿 ′ + 𝑥𝐿 ′′ + 𝑥𝐿 ′′ ′1 + 𝑥𝐿 ′′ ′2 + 𝑥𝐿 ′′ ′3 + ⋯ onde: − 𝑥𝐿 ′′ ′1 : reatância indutiva mútua entre os circuitos 𝐼 e 𝐼𝐼; − 𝑥𝐿 ′′ ′2 : reatância indutiva mútua entre os circuitos 𝐼 e 𝐼𝐼𝐼; − 𝑥𝐿 ′′ ′3 : reatância indutiva mútua entre os circuitos 𝐼 e 𝐼𝑉. Indutâncias de Linhas de Transmissão Trifásicas a Circuito Duplo e com Dois Cabos Para-Raios Prof. John Fredy Franco 137 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ São constituídas por uma componente real (resistência à corrente alternada) e uma componente imaginária (reatância indutiva na frequência do sistema). É representada por: ሶ𝑧 = 𝑟𝑐𝑎 + 𝑗2𝜋𝑓𝐿 = 𝑟𝑐𝑎 + 𝑗𝑥𝐿 ◼ Caso a linha seja formada por condutores múltiplos e sendo 𝑛 o número de subcondutores por condutor múltiplo, a resistência a ser empregada na expressão da impedância será 1/𝑛 do valor da resistência de um subcondutor. Impedâncias de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 138 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ No cálculo das reatâncias indutivas se considera o sistema equilibrado, devendo ser usadas reatâncias positivas e negativas. ◼ Para um sistema desequilibrado: reatância de sequencia zero (ou nula). ◼ Como, em geral, o solo é envolvido no retorno das correntes, sua resistividade deve ser considerada, bem como a distribuição das correntes no mesmo. Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 139 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método de Carson – “exato”: − Com base nos elementos da figura Carson definiu as impedâncias próprias e mútuas para circuitos com retorno pelo solo. − Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo: ሶ𝑧𝑖𝑖 = 𝑟𝑖𝑖 + 𝑗4𝜋 ⋅ 10−4𝑓 ⋅ ln 2ℎ𝑖 𝑟𝑚𝑔𝑖 + 8𝜋 ⋅ 10−4𝑓 Δ𝑅 + 𝑗Δ𝑋𝐿 [Ω/𝑘𝑚] − Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo: ሶ𝑧𝑖𝑘 = 𝑗4𝜋 ⋅ 10−4𝑓 ⋅ ln 𝐷𝑖𝑘 𝑑𝑖𝑘 + 8𝜋 ⋅ 10−4𝑓 Δ𝑅 + 𝑗Δ𝑋𝐿 [Ω/𝑘𝑚] Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 140 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método de Carson – “exato”: − Os fatores de correção Δ𝑅 + 𝑗Δ𝑋𝐿 são definidas por Carson como segue: Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Δ𝑅 = 𝜋 8 − 𝑝 3 2 cos 𝜃 + 𝑝2 16 cos 2𝜃 0,6728 + ln 2 𝑝 + 𝑝2 16 𝜃 sen 2𝜃 + 𝑝3 cos 3𝜃 45 2 − 𝜋𝑝3 cos 4𝜃 1536 [Ω/𝑘𝑚] Δ𝑋𝐿 = −0,0386 + 1 2 ln 2 𝑝 + 𝑝 cos 𝜃 3 2 − 𝜋𝑝2 cos 2𝜃 64 + 𝑝3 cos 3𝜃 45 2 − 𝑝4𝜃 sen 4𝜃 384 − 𝑝4 cos 𝜃 384 (ln 2 𝑝 + 1,0895) [Ω/𝑘𝑚] Prof. John Fredy Franco 141 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método de Carson – “exato”: − Com 𝜃 e 𝑝 definidos por Carson como segue: − Para as impedâncias próprias: 𝜃𝑖𝑖 = 0 𝑝𝑖𝑖 = 5,620 ⋅ 10−3ℎ𝑖 𝑓 𝜌 , com 𝜌 em Ω/𝑚3 − Para as impedâncias mútuas: 𝜃𝑖𝑗 = arctg − 𝑥𝑖𝑘 ℎ𝑖 + ℎ𝑘 𝑝𝑖𝑖 = 28,1004 ⋅ 10−4𝐷𝑖𝑘 𝑓 𝜌 , com 𝜌 em Ω/𝑚3 Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 142 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método de Carson – “exato”: − Assim, a matriz de impedâncias corrigidas por meio da metodologia de Carson, considerando o solo um condutor real, será dada por: 𝑍 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑎𝑏𝑐 = 𝑟 + 𝜉 Δ𝑅 + 𝑗 𝑋𝐿 + 𝜉 Δ𝑋𝐿 sendo 𝜉 = 8𝜋 ⋅ 10−4𝑓 − A matriz [𝑟] é diagonal e as demais são cheias. − A ordem da matriz 𝑍 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑎𝑏𝑐 depende do número de circuitos e do número de para-raios. Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 143 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método aproximado: − Trata-se de uma simplificação do método de Carson. − A simplificação consiste em desprezar os termos das equações de Δ𝑅 e 𝛥𝑋𝐿 que contenham 𝜃. Nestas condições resulta: Δ𝑅 = 𝜋 8 𝛥𝑋𝐿 = −0,0386 + 1 2 ln 2 𝜌 − Ou seja, o termo 𝜉 Δ𝑅 torna-se constante e proporcional à frequência da rede enquanto que o termo 𝜉 Δ𝑋𝐿 é proporcional à resistividade do solo (𝜌) e inversamente proporcional à frequência. Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 144 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método aproximado: − Com isto as impedâncias próprias e mútuas passam a ser calculadas por: − Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo: ሶ𝑧𝑖𝑖 = 𝑟𝑖𝑖 + 𝜋2 ⋅ 10−4𝑓 + 𝑗4𝜋 ⋅ 10−4𝑓 ⋅ ln 658,37 𝜌 𝑓 𝑟𝑚𝑔𝑖 [Ω/𝑘𝑚] − Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo: ሶ𝑧𝑖𝑘 = 𝜋2 ⋅ 10−4𝑓 + 𝑗4𝜋 ⋅ 10−4𝑓 ⋅ ln 658,37 𝜌 𝑓 𝑑𝑖𝑘 [Ω/𝑘𝑚] sendo 𝐷𝑒 = 658,37 𝜌 𝑓 em metros. Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Prof. John Fredy Franco 145 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método aproximado: − 𝐷𝑒: distância entre os condutores e um único condutor de retorno de corrente e de diâmetro unitário. Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Figura 11.02. – Retorno de corrente por meio de um condutor com retorno único. ℎ𝑖 𝐷𝑒 𝐷𝑒 ℎ𝑘 𝑑𝑖𝑘 𝑖 𝑘 Prof. John Fredy Franco 146 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Método aproximado: − 𝐷𝑒: Os valores desta distância são muito grandes quando comparados com as distâncias horizontais 𝑥𝑖𝑘 entre os condutores 𝑖 e 𝑘. − O método aproximado difere em 10% do Método de Carson (exato). Componentes Real e Imaginária da Impedância de Circuitos com Retorno Pelo Solo Tabela 11.01. – Valores típicos de resistividade e distâncias equivalentes (Tabela 7.1., página 332, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.) Elemento Resistividade 𝛀/𝐦𝟑 𝑫𝒆 𝒎 Água do mar 0,01 a 1,0 8,5 a 85,0 Solo pantanoso 10,0 a 100,0 268,8 a 850,0 Terra seca 1.000 2.688,0 Pedregulho 1,0x107 268.800,0 Arenito 1,0x109 2.688.000,0 Valor médio de um grande número de medições 100,0 850,0 Prof. John Fredy Franco 147 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ As impedâncias sequenciais das linhas de transmissão são obtidas por meio de transformação matricial. ◼ A queda de tensão entre os extremos 𝑅 e 𝑆, em componentes de fase, da linha é dada por: Δ𝑉𝑅𝑆 𝑎,𝑏,𝑐 = 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 𝐼 𝑎,𝑏,𝑐 (11.08. ) Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão 𝑅𝑎 𝑖𝑎 ሶ𝑧𝑎𝑎 Δ𝑣𝑎 𝑆𝑎 ሶ𝑧𝑎𝑏 𝑅𝑏 𝑖𝑏 ሶ𝑧𝑏𝑏 Δ𝑣𝑏 𝑆𝑏 ሶ𝑧𝑏𝑐 𝑅𝑐 𝑖𝑐 ሶ𝑧𝑐𝑐 Δ𝑣𝑐 𝑆𝑐 ሶ𝑧𝑐𝑎 Prof. John Fredy Franco 148 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ A queda de tensão e a corrente colocadas em termos de componentes simétricas podem ser escritas conforme segue: Δ𝑉𝑅𝑆 𝑎,𝑏,𝑐 = 𝐴 Δ𝑉𝑅𝑆 0,1,2 11.09. 𝐼 𝑎,𝑏,𝑐 = 𝐴 𝐼 0,1,2 (11.10. ) ◼ Substituindo as expressões (11.09.) e (11.10.) em (11.08.), resulta: Δ𝑉𝑅𝑆 0,1,2 = 𝐴 −1 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝐼 0,1,2 ◼ Sendo as matrizes 𝐴 e 𝐴 −1 definidas por: 𝐴 = 1 1 1 1 𝑎2 𝑎 1 𝑎 𝑎2 𝐴 −1 = 1 3 1 1 1 1 𝑎 𝑎2 1 𝑎2 𝑎 Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 149 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão Δ𝑉𝑅𝑆 0,1,2 = 𝐴 −1 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝐼 0,1,2 ◼ O produto matricial na equação acima é a matriz de impedâncias sequenciais, sendo designada por: 𝑍 3x3 0,1,2 = 𝐴 −1 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 ◼ 𝑍 3x3 0,1,2 pode representar a matriz de qualquer linha trifásica. ◼ Considerando a matriz resultante do processo de redução 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 dada a seguir, o desenvolvimento do produto matricial, mostrado na expressão (11.12.), fornece a matriz de impedâncias sequenciais 𝑍 3x3 0,1,2, também definida a seguir. Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 150 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão 𝑍 3x3 0,1,2 = 𝐴 −1 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝑍 3x3 𝑎,𝑏,𝑐 = ሶ𝑍𝑎𝑎 ሶ𝑍𝑎𝑏 ሶ𝑍𝑎𝑐 ሶ𝑍𝑏𝑎 ሶ𝑍𝑏𝑏 ሶ𝑍𝑏𝑐 ሶ𝑍𝑐𝑎 ሶ𝑍𝑐𝑏 ሶ𝑍𝑐𝑐 (11.13. ) 𝑍 3x3 0,1,2 = ሶ𝑍00 ሶ𝑍01 ሶ𝑍02 ሶ𝑍10 ሶ𝑍11 ሶ𝑍12 ሶ𝑍20 ሶ𝑍21 ሶ𝑍22 11.14. ◼ Expandindo, os elementos da matriz : ሶ𝑍00 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + ሶ𝑍𝑏𝑏 + ሶ𝑍𝑐𝑐 + 2 3 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + ሶ𝑍𝑐𝑎 (11.15. ) ሶ𝑍11 = ሶ𝑍22 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + ሶ𝑍𝑏𝑏 + ሶ𝑍𝑐𝑐 − 2 3 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + ሶ𝑍𝑐𝑎 (11.16. ) ◼ Sendo respectivamente ሶ𝑍00, ሶ𝑍11 e ሶ𝑍22 as impedâncias de sequencia nula, positiva e negativa. Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 151 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ As impedâncias intersequenciais ሶ𝑍01, ሶ𝑍02, ሶ𝑍10, ሶ𝑍12, ሶ𝑍20 e ሶ𝑍21 se forem diferentes de zero anulam a simplificação introduzida pela ferramenta componente simétrica. Estas impedâncias são calculadas por: ሶ𝑍12 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑏𝑏 + 𝑎 ሶ𝑍𝑐𝑐 + 2 3 𝑎 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑐𝑎 ሶ𝑍21 = ሶ𝑍22 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + 𝑎 ሶ𝑍𝑏𝑏 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑐𝑐 + 2 3 𝑎2 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + 𝑎 ሶ𝑍𝑐𝑎 ሶ𝑍10 = ሶ𝑍02 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + 𝑎 ሶ𝑍𝑏𝑏 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑐𝑐 − 1 3 𝑎2 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + 𝑎 ሶ𝑍𝑐𝑎 ሶ𝑍01 = ሶ𝑍20 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑏𝑏 + 𝑎 ሶ𝑍𝑐𝑐 − 1 3 𝑎 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + 𝑎2 ሶ𝑍𝑐𝑎 Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 152 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ◼ Para que as impedâncias intersequenciais sejam nulas é necessário que haja transposição, fazendo com que as impedâncias próprias sejam iguais entre si e as mútuas também sejam iguais entre si, ou seja: ሶ𝑍𝑎𝑎 = ሶ𝑍𝑏𝑏 = ሶ𝑍𝑐𝑐 ሶ𝑍𝑎𝑏 = ሶ𝑍𝑏𝑐 = ሶ𝑍𝑐𝑎 ◼ Considerando as igualdades definidas a seguir, as impedâncias sequenciais mostradas nas equações (11.15.) e (11.16.) ficam reduzidas às equações (11.18.) e (11.19.). Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão 11.17. Prof. John Fredy Franco 153 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Indutância de Linhas de Transmissão ሶҧ𝑍𝑎𝑎 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑎 + ሶ𝑍𝑏𝑏 + ሶ𝑍𝑐𝑐 ሶҧ𝑍𝑎𝑏 = 1 3 ሶ𝑍𝑎𝑏 + ሶ𝑍𝑏𝑐 + ሶ𝑍𝑐𝑎 Logo: ሶ𝑍00 = ሶҧ𝑍𝑎𝑎 + ሶҧ𝑍𝑎𝑏 (11.18. ) ሶ𝑍11 = ሶ𝑍22 = ሶҧ𝑍𝑎𝑎 − ሶҧ𝑍𝑎𝑏 (11.19. ) ◼ E a matriz de impedâncias sequenciais passa a ser definida por: 𝑍 3x3 0,1,2 = ሶ𝑍00 0 0 0 ሶ𝑍11 0 0 0 ሶ𝑍22 Impedâncias Sequenciais das Linhas de Transmissão