Slide - Aula 5 - Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão 2023-1

Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 5 Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Engenharia Elétrica Prof. John Fredy Franco 1 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Prof. John Fredy Franco 2 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Serão estudados os seguintes tópicos: − Análise qualitativa do fenômeno de energização (LTEE sem perdas); − Conceitos: Impedância natural e velocidade de propagação; − Análise do fenômeno de energização por meio de balanço de energia armazenada; − Propriedades das componentes incidentes e refletidas das ondas de tensão e corrente; − Definição dos coeficientes de reflexão; − Análise frente às múltiplas reflexões; − Equação diferencial das linhas de transmissão. − Solução da equação para linha alimentada por CA, frequência constante; − Constante de propagação, constante de atenuação e constante de fase; − Conceituação de impedância característica; − Componentes diretas e reversas das ondas de tensão e corrente; − Onda estacionária. Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 3 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Assume-se condutor ideal (𝑅 nulo), perfeitamente isolado e meio dielétrico perfeito. ◼ Além disso é lembrado que cargas elétricos produzem campos elétricos e a movimentação dessas cargas geram campos magnéticos que se propagam do gerador para o receptor. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 4 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Fig. 3.2. – Circuito equivalente aproximado de uma linha bifilar ideal. Prof. John Fredy Franco 5 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Define-se velocidade de propagação ou celeridade para uma linha de comprimento ℓ : 𝑣 = ℓ 𝑇 km/s , pode-se mostrar que 𝑣 = 1 𝐿𝐶. ◼ Se pode deduzir que a impedância natural da linha é: 𝑍𝑜 = 𝐿 𝐶 [Ω]. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 6 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Energia armazenada (𝑉 ⋅ 𝐼𝑜 ⋅ Δ𝑡) − Energia Armazenada no campo magnético (𝐿𝑖2/2): Δ𝐸𝑚 = 𝐼𝑜2𝐿Δ𝑥 2 [𝑊 ⋅ 𝑠] − Energia Armazenada no campo Elétrico (𝐶𝑣2/2): Δ𝐸𝑒 = 𝑉2𝐶Δ𝑥 2 [𝑊 ⋅ 𝑠] ◼ Armazenamento simultâneo: 𝑉𝐼0Δ𝑡 = 1 2 𝐼0 2𝐿Δx + V2CΔ𝑥 𝑊 ⋅ 𝑠 ◼ Como 𝑈 = 𝐼𝑜𝑍𝑜 = 𝐼𝑜 𝐿 𝐶 então: Δ𝐸𝑒 = 𝐼𝑜 𝐿 𝐶 2 𝐶Δ𝑥 2 = 𝐼𝑜2𝐿Δ𝑥 2 = Δ𝐸𝑚 Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 7 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal igual a 𝑍𝑜: 𝐼𝑜 = 𝑈 𝑍𝑜 = 𝑈 𝑅2 Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Fig. 3.4. – Equivalência entre linhas de comprimento infinito e linhas terminadas em 𝑅2 = 𝑍𝑜. Prof. John Fredy Franco 8 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal maior que 𝑍𝑜: 𝑅2 > 𝑍𝑜 → 𝐼2 ′ < 𝐼𝑜 − Ao ter uma redução na corrente e na potência dissipada por 𝑅2, a energia no campo magnético diminui, sendo que o campo elétrico absorve o excesso de energia, levando a um aumento na tensão que se propaga ao longo da linha. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Fig. 3.5. – Variação de tensão e corrente em linha ideal terminada em 𝑅2 > 𝑍𝑜. Prof. John Fredy Franco 9 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal maior que 𝑍𝑜: 𝑅2 > 𝑍𝑜 → 𝐼2 ′ < 𝐼𝑜 − Um caso especial é quando 𝑅2 → ∞, isto é, a linha de comprimento finito está aberta junto ao receptor: a) A corrente se reduz a zero, progressivamente, do receptor ao transmissor; b) O campo elétrico tem que armazenar toda a energia, isto é, aquela que chega pela linha e aquela que é cedida pelo campo magnético; c) Em uma linha ideal aberta a tensão no receptor cresce ao dobro do valor da tensão aplicada: 𝑈2 = 2𝑈. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Fig. 3.6. – Perfil de tensão e corrente na linha ideal aberta. Prof. John Fredy Franco 10 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal menor que 𝑍𝑜: 𝑅2 < 𝑍𝑜 → 𝐼2 ′′ > 𝐼𝑜 − Ao ter um aumento na corrente e na potência dissipada por 𝑅2, haverá um déficit de energia que não pode ser suprido de imediato pela fonte. O novo estado de equilíbrio pode ser atingido se a deficiência for suprida pela própria linha; − Como há um aumento da corrente, a energia armazenada no campo magnético aumenta. Essa energia deve vir do campo elétrico, que levará a uma redução na tensão junto ao receptor 𝑈2, que caminha progressivamente em direção à fonte como mostrado na Figura 3.7. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 11 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal menor que 𝑍𝑜: 𝑅2 < 𝑍𝑜 → 𝐼2 ′′ > 𝐼𝑜 Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Fig. 3.7. – Variação de tensão e corrente em linha ideal terminada em 𝑅2 < 𝑍𝑜. Prof. John Fredy Franco 12 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Linha com resistência terminal menor que 𝑍𝑜: 𝑅2 < 𝑍𝑜 → 𝐼2 ′′ > 𝐼𝑜 − Um caso especial é quando a linha termina em curto-circuito, ou seja, com 𝑅2 = 0: a) A tensão junto ao receptor somente poderá ser nula, propagando- se esse valor do receptor ao transmissor; b) Há um aumento no valor da corrente junto ao receptor que se propaga para o transmissor; c) Uma vez que toda a energia armazenada no campo elétrico não poderá ser retira pelo mesmo, ela é cedida ao campo magnético, que também deverá receber toda a energia que a fonte continuará fornecendo; d) Numa linha em curto-circuito a corrente crescerá, no receptor, ao dobro do seu valor: 𝐼2 ′′ = 2𝐼𝑜. Análise Qualitativa do Fenômeno de Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 13 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Ao energizar uma linha, duas ondas partem do transmissor simultaneamente, uma de tensão de amplitude 𝑈 [𝑉] e uma de corrente de amplitude 𝐼𝑜 𝐴 , que se deslocam com velocidade constante 𝑣 𝑚/𝑠 em direção ao receptor, onde chegam com o nome de ondas direitas ou ondas incidentes. ◼ Dependendo da forma de terminação da linha, podem dar origem a ondas refletidas, que viagem de volta, do receptor para o transmissor, com a mesma velocidade das ondas incidentes. ◼ Tanto as ondas diretas como as refletidas são polarizadas, isto é, tem um sinal. Em cada ponto ao longo de uma linha e em qualquer instante, o valor da tensão ou o valor da corrente será sempre igual ao valor da soma algébrica das duas ondas: 𝑈 = 𝑈𝑑 ± 𝑈𝑟 𝐼 = 𝐼𝑑 ± 𝐼𝑟 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 14 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Ondas refletidas de tensão tem sempre sinais contrários aos da onda reversa de corrente. As ondas refletidas tem as mesmas propriedades das incidentes, logo: 𝑈𝑑 𝐼𝑑 = 𝑈𝑟 𝐼𝑟 = 𝐿 𝐶 = 𝑍𝑜 → 𝐼𝑟 = − 𝑈𝑟 𝑍𝑜 , 𝐼𝑑 = 𝑈𝑑 𝑍𝑜 ◼ Mas, se 𝑅2 ≠ 𝑍𝑜: 𝑈 𝐼 = 𝑈𝑑 + 𝑈𝑟 𝐼𝑑 + 𝐼𝑟 ≠ 𝑍𝑜 ◼ Conhecido 𝑍𝑜 e sendo 𝑍2 o valor da impedância no receptor: 𝑈2 𝐼2 = 𝑍2 = 𝑈𝑑 + 𝑈𝑟 𝐼𝑑 + 𝐼𝑟 Ω também: 𝐼𝑟 = − 𝑈𝑟 𝑍𝑜 , 𝐼𝑑 = 𝑈𝑑 𝑍𝑜 ◼ Das expressões acima se deduze: 𝑈𝑟 = 𝑍2 − 𝑍𝑜 𝑍2 + 𝑍𝑜 𝑈𝑑 𝑉 𝐼𝑟 = 𝑍𝑜 − 𝑍2 𝑍2 + 𝑍𝑜 𝐼𝑑 𝐴 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 15 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Os termos que relacionam as ondas direitas com as refletidas recebem o nome de coeficiente de reflexão: − Coeficiente de reflexão da tensão: 𝑘𝑟𝑢 = 𝑍2 − 𝑍𝑜 𝑍2 + 𝑍𝑜 − Coeficiente de reflexão da corrente: 𝑘𝑟𝑖 = 𝑍𝑜 − 𝑍2 𝑍2 + 𝑍𝑜 ◼ De tal forma que 𝑈𝑟 = 𝑘𝑟𝑢𝑈𝑑 [𝑉] e 𝐼𝑟 = 𝑘𝑟𝑖𝐼𝑑 [𝐴] ◼ Os coeficientes de reflexão 𝑘𝑟𝑢 e 𝑘𝑟𝑖 variam no intervalo −1, +1 . Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 16 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ A) No caso de linha aberta junto ao receptor (𝑍2′ → ∞): − Coeficiente de reflexão da tensão: 𝑘𝑟𝑢 = 𝑍2′ − 𝑍𝑜 𝑍2′ + 𝑍𝑜 → +1 − Coeficiente de reflexão da corrente: 𝑘𝑟𝑖 = 𝑍𝑜 − 𝑍2′ 𝑍2′ + 𝑍𝑜 → −1 ◼ Para a tensão 𝑉2′: 𝑉2 ′ = 𝑉2 𝑑 + 𝑉2 𝑟 = 𝑉2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑢𝑉2 𝑑 = 𝑈 + 𝑈 = 2𝑈 ◼ Para a corrente 𝐼2′: 𝐼2 ′ = 𝐼2 𝑑 + 𝐼2 𝑟 = 𝐼2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑖𝐼2 𝑑 = 𝐼𝑜 − 𝐼𝑜 = 0 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 17 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ B) No caso de linha com impedância de mesmo valor da impedância natural junto ao receptor (𝑍2 = 𝑍𝑜): − Coeficiente de reflexão da tensão: 𝑘𝑟𝑢 = 𝑍2 − 𝑍𝑜 𝑍2 + 𝑍𝑜 = 0 − Coeficiente de reflexão da corrente: 𝑘𝑟𝑖 = 𝑍𝑜 − 𝑍2 𝑍2 + 𝑍𝑜 = 0 ◼ Para a tensão 𝑉2′′: 𝑉2 ′′ = 𝑉2 𝑑 + 𝑉2 𝑟 = 𝑉2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑢𝑉2 𝑑 = 𝑈 − 0 = 𝑈 ◼ Para a corrente 𝐼2′′: 𝐼2 ′′ = 𝐼2 𝑑 + 𝐼2 𝑟 = 𝐼2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑖𝐼2 𝑑 = 𝐼𝑜 + 0 = 𝐼𝑜 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 18 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ C) No caso de linha em curto circuito junto ao receptor (𝑍2 ′′ = 0): − Coeficiente de reflexão da tensão: 𝑘𝑟𝑢 = 𝑍2′′ − 𝑍𝑜 𝑍2′′ + 𝑍𝑜 = −1 − Coeficiente de reflexão da corrente: 𝑘𝑟𝑖 = 𝑍𝑜 − 𝑍2′′ 𝑍2′′ + 𝑍𝑜 = +1 ◼ Para a tensão 𝑉2′′: 𝑉2 ′′ = 𝑉2 𝑑 + 𝑉2 𝑟 = 𝑉2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑢𝑉2 𝑑 = 𝑈 − 𝑈 = 0 ◼ Para a corrente 𝐼2′′: 𝐼2 ′′ = 𝐼2 𝑑 + 𝐼2 𝑟 = 𝐼2 𝑑 + 𝑘𝑟𝑖𝐼2 𝑑 = 𝐼𝑜 + 𝐼𝑜 = 2𝐼𝑜 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 19 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Da mesma forma podem ser definidos os coeficientes de reflexão no terminal transmissor: 𝑘𝑟𝑢1 = 𝑍1−𝑍𝑜 𝑍1+𝑍𝑜 ; 𝑘𝑟𝑖1 = −𝑘𝑟𝑢1 ◼ No caso de uma fonte ideal 𝑍1 = 0: 𝑘𝑟𝑢1 = −1; 𝑘𝑟𝑖1 = +1 Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 20 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Ondas refletidas se deslocam do receptor para o transmissor com a mesma velocidade com que as ondas incidentes viajaram em sentido contrário, sobrepondo-se a estas. Num período de tempo adicional 𝑡 = ℓ/𝑣 [𝑠], as ondas refletidas no receptor chegam ao transmissor agora na qualidade de ondas incidentes. ◼ As condições aí existentes (por exemplo, uma fonte ideal) fazem com que elas vejam uma impedância diferente de 𝑍𝑜, dando então origem ao novo par de ondas refletidas, que se sobrepõem às incidentes no transmissor (que são aquelas que partiram do receptor como ondas refletidas). Seus sinais e valores dependem do valor relativo da impedância da fonte. Ondas Viajantes Prof. John Fredy Franco 21 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ No caso de uma fonte ideal, a onda refletida da tensão anula inteiramente a onda incidente de mesmo valor e sinal oposto e a tensão no transmissor continuará sendo 𝑈 [𝑉]. A linha toda, progressivamente, ficará com nesse valor até ocorrer nova reflexão no receptor, onde chega uma onda, agora de sinal negativo e mesma amplitude da onda que aí foi refletida 2𝑡 𝑠 antes. A nova onda refletiva terá o mesmo sinal que a onda que aí acaba de chegar (negativo), deslocando-se em direção ao transmissor, onde sofrerá nova reflexão, como mostrado na figura. Ondas Viajantes Fig. 3.9(a) - Variação de tensão junto ao receptor de uma linha terminada em 𝑅2 = 3𝑍𝑜 (𝑘𝑟𝑢 = +1/2) Prof. John Fredy Franco 22 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ A onda refletida de corrente tem nome no valor e amplitude que a onda que incidiu na fonte. essa onda refletida ser desloca para o receptor, onde chegará no tempo 𝑡 = 3ℓ/𝑣 [𝑠], sofrendo nova reflexão, como mostrado na figura. ◼ A Figura 3.9 mostra a variação no tempo da tensão e da corrente de um do ao receptor de uma linha ideal, alimentada por fonte ideal, terminada em uma resistência tal que os coeficientes de reflexão sejam ± 1 2. Ondas Viajantes Fig. 3.9(b) - Variação de corrente junto ao receptor de uma linha terminada em 𝑅2 = 3𝑍𝑜 (𝑘𝑟𝑖 = −1/2) Prof. John Fredy Franco 23 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ No caso de uma fonte ideal, a onda refletida da tensão anula inteiramente a onda incidente de mesmo valor e sinal oposto e a tensão no transmissor continuará sendo 𝑈 [𝑉]. A linha toda, progressivamente, ficará com nesse valor até ocorrer nova reflexão no receptor, onde chega uma onda, a coragem não negativo é mesmo a amplitude da onda que aí foi refletida 2𝑡 𝑠 antes. a nova onda refletiva terá o mínimo sinal que a onda que aí acaba de chegar (negativo), deslocando-se em direção ao transmissor, onde sofrerá nova reflexão, como mostrado na figura. Ondas Viajantes Fig. 3.9(b) - Variação de corrente junto ao receptor de uma linha terminada em 𝑅2 = 3𝑍𝑜 (𝑘𝑟𝑖 = −1/2) Prof. John Fredy Franco 24 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 14: Uma linha de transmissão bifilar aérea é suprida por uma fonte de tensão constante e igual a 800 𝑉. A indutância dos condutores é 1,358 𝑚𝐻/𝑘𝑚, sua capacitância é 0,008488 𝜇𝐹/𝑘𝑚 e seu comprimento é 100 𝑘𝑚. Tratando-se de uma linha sem perdas, deseja-se saber: a) Sua impedância natural; b) A energia armazenada por 𝑘𝑚 de linha nos campos elétricos e magnético; c) A velocidade de propagação; d) Qual é o valor da tensão no receptor no decorrido tempo 𝑡 = {0, 𝑇, 2𝑇, 3𝑇} (com 𝑇 = ℓ/𝑣) do instante em que a linha foi energizada, para as seguintes condições terminais no receptor: ➢ 𝑍2 = 100Ω; ➢ 𝑍2 = 400Ω; ➢ 𝑍2 = 1600Ω. Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 25 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 14: Em 𝑡 = 0 parte do transmissor uma onda de tensão de valor 𝑈 𝑉 que chega ao receptor em 𝑡 = 𝑇 na forma de uma onda direta 𝑈𝑑 ′ = 𝑈. Nesse instante acontece a primeira reflexão e tensão no receptor passa a ser: 𝑈2 ′ = 𝑈𝑑 ′ + 𝑈𝑟′ = 𝑈𝑑 ′ + 𝑈𝑑 ′ ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 = 𝑈(1 + 𝑘𝑟𝑢2) A onda refletida 𝑈𝑟′ = 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2, partindo do receptor, chega ao transmissor em 𝑡 = 2𝑇, como onda incidente, e aí sofre reflexão. A tensão no transmissor era 𝑈, será agora: 𝑈1 ′ = 𝑈 + 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 + 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 ⋅ 𝑘𝑟𝑢1 A onda refletida no transmissor é 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 ⋅ 𝑘𝑟𝑢1, e chega ao receptor em 𝑡 = 3𝑇, onde sofre nova reflexão. A tensão no receptor passa a ser: 𝑈2 ′′ = 𝑈 1 + 𝑘𝑟𝑢2 + 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 ⋅ 𝑘𝑟𝑢1 + 𝑈 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 ⋅ 𝑘𝑟𝑢1 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2 Como 𝑘𝑟𝑢1 = −1: 𝑈2 ′′ = 𝑈(1 − 𝑘𝑟𝑢2 ⋅ 𝑘𝑟𝑢2) Energização de uma Linha Prof. John Fredy Franco 26 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Circuito equivalente representativo de uma linha: Diagrama de Bewley-Lattice 𝑘𝑟𝑢1 = 𝑍𝑠 − 𝑍𝑜 𝑍𝑠 + 𝑍𝑜 𝑘𝑟𝑢2 = 𝑍𝑟 − 𝑍𝑜 𝑍𝑟 + 𝑍𝑜 Prof. John Fredy Franco 27 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ O diagrama de Bewley-Lattice representa as reflexões que ocorrem durante os transitórios da linha de transmissão: Diagrama de Bewley-Lattice Diagrama de Bewley-Lattice para o circuito representativo da linha 𝒌𝒓𝒖𝟏 𝒌𝒓𝒖𝟐 𝒙 𝒕 𝒕 𝑡 = 0 2𝑇 𝑇 3𝑇 4𝑇 5𝑇 5,5𝑇 6𝑇 6,5𝑇 7𝑇 8𝑇 𝑣 𝑘𝑟𝑢2𝑣 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2𝑣 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 2 𝑣 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 𝑣 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑣 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑣 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 4 𝑣 𝑥 = 1 4 ℓ 𝑥 = 3 4 ℓ Prof. John Fredy Franco 28 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ O tempo definido pela variável T é aquele gasto pela onda para deslocar-se de um extremo ao outro da linha, sendo definido pela expressão: 𝑇 = ℓ 𝑣 𝑠 , sendo ℓ: comprimento da linha 𝑘𝑚 , 𝑣: velocidade de propagação da onda 𝑘𝑚/𝑠 . Diagrama de Bewley-Lattice Representação de uma onda propagando-se sobre a linha (sem perdas) Propagação de uma onda - tempo versus espaço Prof. John Fredy Franco 29 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ A velocidade de propagação é o inverso da inclinação da reta: inclinação: Δ𝑡 Δ𝑥 velocidade: Δx Δ𝑡 ◼ Uma onda viajando na direção −𝑥 teria velocidade negativa e a inclinação da reta seria contrária, conforme a figura: ◼ Observando-se que as ondas diretas e reversas podem cruzar em pontos quaisquer do diagrama, isto é, duas ondas que chegam ao ponto 𝑥𝑛 no mesmo instante 𝑡𝑛. Diagrama de Bewley-Lattice Tempo (𝑡) Espaço (𝑥) onda direta (inclinação positiva) onda reversa (inclinação negativa) 𝑡𝑛 𝑥𝑛 Representação da propagação de ondas direta e reversa – tempo versus espaço Prof. John Fredy Franco 30 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ A partir do diagrama de Bewley-Lattice é possível obter por inspeção os seguintes perfis: Diagrama de Bewley-Lattice Diagrama de Bewley-Lattice para o circuito representativo da linha − Perfil da tensão em um ponto qualquer da linha em função do tempo; − Perfil da tensão ao longo do comprimento da linha em um dado instante; − A tensão 𝑣(𝑥, 𝑡) em qualquer ponto 𝑥 e 𝑡 no diagrama é determinada somando todos os valores imediatamente acima, o que acumula todas as reflexões. Para 𝑡 = 5,5𝑇 e 𝑥 = 1 4 ℓ: 𝑈′ = 𝑈(1 + 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 ) Para 𝑡 = 6,5𝑇 e 𝑥 = 3 4 ℓ: 𝑈′ = 𝑈(1 + 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 3 ) 𝒌𝒓𝒖𝟏 𝒌𝒓𝒖𝟐 𝒙 𝒕 𝒕 𝑡 = 0 2𝑇 𝑇 3𝑇 4𝑇 5𝑇 5,5𝑇 6𝑇 6,5𝑇 7𝑇 8𝑇 𝑈 𝑘𝑟𝑢2𝑈 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2𝑈 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 2 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 4 𝑈 𝑥 = 1 4 ℓ 𝑥 = 3 4 ℓ Prof. John Fredy Franco 31 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ A partir do diagrama de Bewley-Lattice é possível obter por inspeção os seguintes perfis: Diagrama de Bewley-Lattice Diagrama de Bewley-Lattice para o circuito representativo da linha Para 𝑡 = 5,5𝑇 e 𝑥 = 1 4 ℓ: 𝑈′ = 𝑈(1 + 𝑘𝑟𝑢2 + 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 + 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 2 + 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 ) Para 𝑡 = 6,5𝑇 e 𝑥 = 3 4 ℓ: 𝑈′ = 𝑈(1 + 𝑘𝑟𝑢2 + 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 + 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 2 + 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 +𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 3 ) 𝒌𝒓𝒖𝟏 𝒌𝒓𝒖𝟐 𝒙 𝒕 𝒕 𝑡 = 0 2𝑇 𝑇 3𝑇 4𝑇 5𝑇 5,5𝑇 6𝑇 6,5𝑇 7𝑇 8𝑇 𝑈 𝑘𝑟𝑢2𝑈 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2𝑈 𝑘𝑟𝑢1𝑘𝑟𝑢2 2 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 2 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 2 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 3 𝑈 𝑘𝑟𝑢1 3 𝑘𝑟𝑢2 4 𝑈 𝑥 = 1 4 ℓ 𝑥 = 3 4 ℓ Prof. John Fredy Franco 32 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Representação de um elemento de comprimento infinitesimal Δ𝑥 de uma linha real: Equação Diferencial das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 33 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ As equações diferenciais gerais das linhas de transmissão e suas soluções representam ondas viajantes ou progressivas que se deslocam ao longo da linha com velocidade 𝑣: 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ 𝑣 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝐿𝐶 𝜕2𝑣 𝜕𝑡2 𝜕2𝑖 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ 𝑖 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝜕𝑖 𝜕𝑡 + 𝐿𝐶 𝜕2𝑖 𝜕𝑡2 Equação Diferencial das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 34 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Solução das equações no domínio da frequência, em regime permanente: Alimentando a linha por corrente alternada de frequência constante, sendo a tensão e corrente definidas por funções senoidais do tempo. 𝑣 𝑡 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 sen 𝜔𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑖𝑚𝑎𝑥 sen 𝜔𝑡 + 𝜙 ◼ Representada por fasores: ሶ𝑉𝑥 e ሶ𝐼𝑥 𝜕2 ሶ𝑉𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ ሶ𝑉𝑥 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝜕 ሶ𝑉𝑥 𝜕𝑡 + 𝐿𝐶 𝜕2 ሶ𝑉𝑥 𝜕𝑡2 𝜕2 ሶ𝐼𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ ሶ𝐼𝑥 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝜕 ሶ𝐼𝑥 𝜕𝑡 + 𝐿𝐶 𝜕2 ሶ𝐼𝑥 𝜕𝑡2 Equação Diferencial das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 35 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Lembrando que 𝑑 𝑑𝑡 ∗ ≡ 𝑗𝜔(∗), tem-se. 𝜕2 ሶ𝑉𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ ሶ𝑉𝑥 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝑗𝜔 ሶ𝑉𝑥 + 𝐿𝐶 𝑗𝜔 2 ሶ𝑉𝑥 𝜕2 ሶ𝐼𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟𝑔 ⋅ ሶ𝐼𝑥 + 𝑟𝐶 + 𝐿𝑔 𝑗𝜔 ሶ𝐼𝑥 + 𝐿𝐶 𝑗𝜔 2 ሶ𝐼𝑥 ◼ Logo: 𝜕2 ሶ𝑉𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟 + 𝑗𝜔𝐿 𝑔 + 𝑗𝜔𝐶 ሶ𝑉𝑥 = ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝑉𝑥 𝜕2 ሶ𝐼𝑥 𝜕𝑥2 = 𝑟 + 𝑗𝜔𝐿 𝑔 + 𝑗𝜔𝐶 ሶ𝐼𝑥 = ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝐼𝑥 Equação Diferencial das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 36 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ As soluções dessas equações: ሶ𝑉𝑥 = ሶ𝐴1𝑒+𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 + ሶ𝐴2𝑒−𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝐼𝑥 = 1 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝐴1𝑒+𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 − ሶ𝐴2𝑒−𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ◼ As constantes ሶ𝐴1 e ሶ𝐴2 são fasores e tem dimensão de tensão. Equação Diferencial das Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 37 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Tomando-se o receptor da linha como referência para a medida das distâncias, tem-se: ሶ𝑉𝑥 = ሶ𝑉2 ሶ𝐼𝑥 = ሶ𝐼2 ሶ𝑉2 = ሶ𝐴1 + ሶ𝐴2 ሶ𝐼𝑥 = 1 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝐴1 − ሶ𝐴2 ሶ𝐴1 = ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 = 𝐴1𝑒+𝑗Ψ1 ሶ𝐴2 = ሶ𝑉2 − ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 = 𝐴2𝑒+𝑗Ψ2 Solução das Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 38 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Estas são as equações gerais e exatas das linhas de transmissão alimentadas por correntes alternadas senoidais em regime permanente: ሶ𝑉𝑥 = ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 𝑒+𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 + ሶ𝑉2 − ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 𝑒−𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝐼𝑥 = 1 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 𝑒+𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 − ሶ𝑉2 − ሶ𝐼2 ሶ𝑧 ሶ𝑦 2 𝑒−𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 ◼ Com estas equações é possível determinar a tensão e a corrente em qualquer ponto 𝑥 ao longo do comprimento da linha em função das condições existentes em seu terminal receptor, o que determina seu comportamento. Solução das Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 39 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Constante de propagação: ሶ𝛾 = ሶ𝑧 ሶ𝑦 ሶ𝛾 = ሶ𝑧 ሶ𝑦 = 𝑟 + 𝑗𝜔𝐿 𝑔 + 𝑗𝜔𝐶 = 𝛼 + 𝑗𝛽 − 𝛼: Constante de atenuação (linhas sem perdas 𝑟 = 𝑔 = 0; 𝛼 = 0) − 𝛽: Constante de fase ◼ Elevando-se os dois membros da expressão anterior ao quadrado e tomando-se as partes real e imaginária de ሶ𝛾: 𝛼 = ℜ𝔢 ሶ𝛾 = 1 2 𝑟𝑔 − 𝜔2𝐿𝐶 + 𝑟2 + 𝜔2𝐿2 𝑔2 + 𝜔2𝐶2 [Néper/km] 𝛽 = 𝔗𝔪 ሶ𝛾 = 1 2 𝜔2𝐿𝐶 − 𝑟𝑔 + 𝑟2 + 𝜔2𝐿2 𝑔2 + 𝜔2𝐶2 [rad/km] Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 40 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Assim as funções exponenciais complexas podem ser escritas como segue: 𝑒±𝑥 ሶ𝑧 ሶ𝑦 = 𝑒±𝑥 ሶ𝛾 = 𝑒±𝛼𝑥𝑒±𝑗𝛽𝑥 ◼ Ocorrerá alteração exponencial, provocada por 𝑒±𝛼𝑥, nas amplitudes das ondas senoidais, à medida que a distância 𝑥 do receptor ao ponto considerado aumenta. A alteração pode ser de diminuição ou de aumento, dependendo do sinal do expoente; ◼ Ocorrerá, ao mesmo tempo, alteração de ±𝛽𝑥 na fase da onda de tensão ou corrente à medida que a distância 𝑥 do receptor ao ponto considerado varia; ◼ A grandeza 𝛼 recebe o nome de constante de atenuação. Seu valor afeta as perdas de energia na linha. A grandeza 𝛽 denomina-se constante de fase e governa a forma como as fases da tensão e da corrente modificam-se ao longo do comprimento da linha. Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 41 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Examinando-se o radical ሶ𝑧 ሶ𝑦 , verifica-se que para 𝑟 = 𝑔 = 0 ele se transforma em 𝑍𝑜, isto é, na impedância natural ou de surto. E muitas situações, uma vez que 𝑟 e 𝑔 são bastante pequenos quando comparados com 𝜔𝐿 e 𝜔𝐶, respectivamente, estas duas quantidades são confundidas pois se os valores numéricos são bastante próximos. No caso de 𝑟 ≠ 𝑔 ≠ 0 está grandeza apresenta-se como complexa e denomina-se impedância característica, sendo seu argumento muito pequeno. ◼ Como a impedância natural, a impedância característica também independe do cumprimento da linha e é denotado por: ሶ𝑍𝑐 = ሶ𝑧 ሶ𝑦 = 𝑟 + 𝑗𝜔𝐿 𝑔 + 𝑗𝜔𝐶 [Ω] Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 42 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Retomando as equações anotadas ሶ𝐴1 = 𝐴1𝑒𝑗Ψ1, ሶ𝐴2 = 𝐴2𝑒𝑗Ψ2 e ሶ𝑍𝑐 = 𝑍𝑐𝑒𝑗𝛿, pode-se reescrevê-las como segue: ሶ𝑉𝑥 = 𝐴1𝑒+𝑗𝑥𝑒𝑗(𝛽𝑥+Ψ1) + 𝐴2𝑒−𝑗𝑥𝑒−𝑗(𝛽𝑥−Ψ2) ሶ𝐼𝑥 = 𝐴1 𝑍𝑐 𝑒+𝑗𝑥𝑒𝑗(𝛽𝑥+Ψ1−𝛿) − 𝐴2 𝑍𝑐 𝑒−𝑗𝑥𝑒−𝑗(𝛽𝑥−Ψ2−𝛿) ◼ Seus valores instantâneos podem ser obtidos através das seguintes expressões: 𝑣𝑥 = 𝔗𝔪 ሶ𝑉𝑥 2𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑖𝑥 = 𝔗𝔪 ሶ𝐼𝑥 2𝑒𝑗𝜔𝑡 ◼ Logo resulta: 𝑣𝑥 = 2 𝐴1𝑒+𝛼𝑥 sen 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 + Ψ1 + 𝐴2𝑒−𝛼𝑥 sen 𝜔𝑡 − 𝛽𝑥 + Ψ2 𝑖𝑥 = 2 𝑍𝑐 𝐴1𝑒+𝛼𝑥 sen 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 + Ψ1 − 𝛿 − 𝐴2𝑒−𝛼𝑥 sen 𝜔𝑡 − 𝛽𝑥 + Ψ2 − 𝛿 ◼ Notar que as equações são dependentes do tempo 𝑡 e da distância 𝑥. Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 43 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Considerando apenas a componente incidente da onda de tensão, tem-se: 𝑣𝑥𝑖 = 2𝐴1𝑒+𝛼𝑥 sen 𝜔𝑡 + 𝛽𝑥 + Ψ1 ◼ Admitindo-se o instante que apenas esta componente exista e, considerando-se ainda os pontos 𝐴 e 𝐵, conforme a figura: ◼ Então: 𝑣𝑎𝑖 = 2𝐴1𝑒+𝛼a sen 𝜔𝑡 + 𝛽a + Ψ1 𝑣𝑏 𝑖 = 2𝐴1𝑒+𝛼𝑏 sen 𝜔𝑡 + 𝛽𝑏 + Ψ1 Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 44 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão 𝑣𝑎𝑖 = 2𝐴1𝑒+𝛼a sen 𝜔𝑡 + 𝛽a + Ψ1 𝑣𝑏 𝑖 = 2𝐴1𝑒+𝛼𝑏 sen 𝜔𝑡 + 𝛽𝑏 + Ψ1 ◼ As tensões em 𝐴 e 𝐵 variam senoidalmente; ◼ Em um mesmo instante 𝑡, medições efetuadas em 𝐴 e 𝐵 mostram que: 2𝐴1𝑒+𝛼a < 2𝐴1𝑒+𝛼𝑏 ⇔ 𝑎 < 𝑏 ◼ Fixado um ponto qualquer de fase constante, sobre a onda 𝜔𝑡 + 𝛽a + Ψ1 = constante, esse seria registrado primeiro pelo observador 𝐴 e posteriormente por 𝐵. ◼ Então, com base nas verificações precedentes, pode-se afirmar que o ponto desloca-se descrevendo uma exponencial crescente. Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 45 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 46 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Onda estacionária, resultante da composição das ondas viajantes, sendo uma direta e a outra reversa. Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 47 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão Considerações sobre as Equações no Domínio da Frequência em Regime Permanente Prof. John Fredy Franco 48 Geração, Transmissão e Distribuição– Análise de Tensão e Corrente em Linhas de Transmissão ◼ Exemplo 15: Uma linha de transmissão trifásica possui os seguintes parâmetros: − resistência ôhmica: 𝑟 = 0,0715 [Ω/𝑘𝑚] por fase; − reatância indutiva : 𝑥𝐿 = 0,512 [Ω/𝑘𝑚] por fase; − condutibilidade de dispersão: 𝑔 = 0 [Ω−1/𝑘𝑚] por fase; − susceptância capacitiva: 𝑏 = 3,165 ⋅ 10−6 [Ω−1/𝑘𝑚] por fase. Sendo 𝑓 = 60𝐻𝑧 a frequência do sistema, determinar considerado primeiro a linha real e depois a linha ideal: a) Constante de propagação; b) Atenuação, constante de fase, velocidade de face e comprimento da onda; c) Impedância característica; d) Impedância natural. 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