Slide - Aula 4 - Capacitância de Linhas de Transmissão 2023-1

Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica Aula 4 Capacitância de Linhas de Transmissão Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica – Capacitância de Linhas de Transmissão Engenharia Elétrica Prof. John Fredy Franco 1 Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Prof. John Fredy Franco 2 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Quando uma linha é energizada por um gerador, mesmo sem carga, aparece uma corrente capacitiva. Esse efeito é semelhante ao energizar um capacitor com duas placas em paralelo Capacitância de Linhas de Transmissão + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + - Prof. John Fredy Franco 3 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Quando uma linha é energizada por um gerador, mesmo sem carga, aparece uma corrente capacitiva. Esse efeito é semelhante ao energizar um capacitor com duas placas em paralelo Capacitância de Linhas de Transmissão Sob uma tensão alternada, as polaridades se alternam + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + - Prof. John Fredy Franco 4 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Quando uma linha é energizada por um gerador, mesmo sem carga, aparece uma corrente capacitiva. Esse efeito é semelhante ao energizar um capacitor com duas placas em paralelo − Ao associar uma capacitância 𝐶𝐶 = 𝑄𝑄/𝑉𝑉 aos condutores, é obtida uma relação entre tensão e corrente, dada pela admitância (susceptância) capacitiva da linha 𝑰𝑰 = 𝒋𝒋𝝎𝝎𝝎𝝎𝝎𝝎 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 5 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão Capacitância de Linhas de Transmissão  Campo Elétrico de um condutor isolado − Seja um condutor cilíndrico isolado no espaço, carregado com uma densidade de carga 𝑄𝑄 por unidade de comprimento − 𝑟𝑟: raio do condutor − 𝑥𝑥: raio da superfície cilíndrica, 𝑥𝑥 > 𝑟𝑟 − 𝐷𝐷: vetor deslocamento − 𝐸𝐸: vetor do campo elétrico 𝑄𝑄 𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝐸𝐸, 𝐷𝐷 Prof. John Fredy Franco 6 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Lei de Gauss: Permite o cálculo do fluxo do vetor deslocamento 𝐷𝐷 para uma distribuição espacial de cargas com densidade 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 e considerando uma superfície gaussiana (fechada) Capacitância de Linhas de Transmissão Região com cargas Superfície Gaussiana 𝜌𝜌(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑆𝑆 𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝐷𝐷 Capacitancia de Linhas de Transmissao » Fluxo de campo elétrico e Lei de Gauss $0 -dS = | eav =Q S V — D:campo elétrico da superficie — dS: vetor normal a superficie — p: densidade volumetrica de carga (ou superficial, se a carga estiver concentrada em uma superficie — dV: elemento diferencial de volume — Q:carga total no interior de S Prof. John Fredy Franco 8 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão + + + + + + + +  Distribuição do fluxo elétrico em um condutor cilíndrico − Condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior é nulo porque as cargas elétricas em excesso tendem a se agrupar na superfície externa do condutor Linhas de campo elétrico Condutor 𝑟𝑟 𝐸𝐸 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 9 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão + + + + + + + +  Superfície gaussiana empregada no cálculo da intensidade do campo elétrico utilizando a Lei de Gauss Capacitância de Linhas de Transmissão Cargas Excedentes Superfície Condutora Superfície Gaussiana Campo Elétrico 𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝐸𝐸 Capacitancia de Linhas de Transmissao » Campo Eléetrico de um condutor isolado — Seja um condutor cilindrico isolado no espaco, carregado com uma densidade de carga Q por unidade de comprimento 2 Q * we “x we D=€9E / \ B.D Eo: permissividade do vacuo Eo = 8,85-10°12F/m $5 -ds = 9 > p=—2— (para x > 1r) s ZTE QX Prof. John Fredy Franco 11 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Campo Elétrico de um condutor isolado − Como não existem cargas internas no condutor, o cálculo só tem interesse a uma distância 𝑥𝑥 do centro, tal que 𝑥𝑥 ≥ 𝑟𝑟 − Não é necessário considerar efeitos internos como as correções do raio efetivo (ou reduzido). Assim, o raio do condutor a ser utilizado nos cálculos será o raio externo − Para o cálculo do campo externo, em vez de consideraremos a carga distribuída na superfície do condutor, resultada em boa aproximação considera-la concentrada no centro desse condutor 𝐸𝐸 = 𝑄𝑄 2𝜋𝜋𝜖𝜖0𝑥𝑥 Capacitância de Linhas de Transmissão Capacitancia de Linhas de Transmissao » Diferenca de potencial entre dois pontos no espaco Linha Equipotencial Yr 2’ 1 SK Em Dy O D> / 2 P2 => Vp. — Vpn = Mp, — Ups = | Edr P1 Vy —v ~@ 4,22 P1 P2 2MEy Dy, Prof. John Fredy Franco 13 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha monofásica bifilar − Assume-se que a soma das cargas dos condutores é nula − A diferença de potencial entre os condutores 1 e 2 (na superfície dos condutores) é devida a ambas as cargas Capacitância de Linhas de Transmissão − Diferença de potencial devido à carga 𝑄𝑄1: 𝑣𝑣12 (1) = 𝑄𝑄 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷 𝑟𝑟1 − Diferença de potencial devido à carga 𝑄𝑄2: 𝑣𝑣12 (2) = −𝑄𝑄 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟2 𝐷𝐷 Equipotencial devido a 𝑄𝑄1 que intercepta o condutor 2 𝑸𝑸𝟏𝟏 = −𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝑟𝑟1 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝐷𝐷 𝑟𝑟2 𝑫𝑫 ≫ 𝒓𝒓 Prof. John Fredy Franco 14 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha monofásica bifilar − Assume-se que a soma das cargas dos condutores é nula − A diferença de potencial entre os condutores 1 e 2 (na superfície dos condutores) é devida a ambas as cargas Capacitância de Linhas de Transmissão − Superpondo a contribuição de ambas as cargas: 𝑣𝑣12 = 𝑣𝑣12 (1) + 𝑣𝑣12 (2) 𝑣𝑣12 = 𝑄𝑄 𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷 𝑟𝑟1𝑟𝑟2 − Se, 𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟2 = 𝑟𝑟: 𝑣𝑣12 = 𝑄𝑄 𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝑸𝑸𝟏𝟏 = −𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝑟𝑟1 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝐷𝐷 𝑟𝑟2 𝑫𝑫 ≫ 𝒓𝒓 Equipotencial devido a 𝑄𝑄1 que intercepta o condutor 2 Prof. John Fredy Franco 15 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha monofásica bifilar − A capacitância entre os condutores 1 e 2 (capacitância da linha) é dada por: 𝐶𝐶12 = 𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝐷𝐷 𝑟𝑟 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 16 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha monofásica bifilar − A capacitância entre os condutores 1 e 2 (capacitância da linha) é dada por: 𝐶𝐶12 = 𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝐷𝐷 𝑟𝑟 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] − O raio 𝑟𝑟 é o raio externo, mesmo no caso de cabos encordoados − Ao alimentar a linha, mesmo sem carga, aparece uma corrente capacitiva dada por 𝐼𝐼 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶12𝑉𝑉 Essa corrente capacitiva ocorre em todas as linhas de transmissão quando é aplicada tensão nos terminais da linha em vazio, operação conhecida como energização da linha − A admitância (susceptância) da linha é dada por 𝑌𝑌𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝐶𝐶12 [𝑆𝑆/𝑚𝑚] A capacitância e a admitância aumentam com o comprimento da linha (a reatância capacitiva diminui) Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 17 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha monofásica bifilar − No cálculo da capacitância de linhas de transmissão é de grande interesse conhecer as capacitâncias com relação a elementos de potencial nulo. − Sabe-se: 𝑉𝑉1𝑁𝑁 = 𝑉𝑉12 2 Então: 𝐶𝐶1𝑁𝑁 = 𝐶𝐶2𝑁𝑁 = 2𝐶𝐶12 𝐶𝐶1𝑁𝑁 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝐷𝐷 𝑟𝑟 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 18 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Exemplo 10: Calcular a reatância capacitiva de uma linha monofásica bifilar com 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚 de comprimento e cabos Grosbeak separados por 1 𝑝𝑝𝑝 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 19 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferença de potencial entre um condutor carregado e o solo − Sendo o condutor 1 de raio 𝑟𝑟 e com carga 𝑄𝑄, suspenso acima do solo − O solo é representado pelo um condutor fictício (condutor imagem) a uma profundidade 𝑚 com relação à superfície do solo. 𝑣𝑣11′ = 𝑄𝑄 𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2ℎ 𝑟𝑟 𝑣𝑣1𝑁𝑁 = 𝑣𝑣11′ 2 = 𝑄𝑄 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2ℎ 𝑟𝑟 Capacitância de Linhas de Transmissão Assim, o potencial do condutor com relação a um condutor neutro de potencial nulo é: 𝑁𝑁 Prof. John Fredy Franco 20 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferença de potencial entre condutores carregados e o solo − Tem-se os condutores 1 e 2 com raios 𝑟𝑟1 e 𝑟𝑟2 e cargas 𝑄𝑄1 e 𝑄𝑄2 e suas respetivas imagens. Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑁𝑁 𝑚1: altura média do condutor 1 𝐷𝐷12: distância do condutor 1 à imagem do condutor 2 𝑑𝑑12: distância do condutor 1 ao condutor 2 Prof. John Fredy Franco 21 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferença de potencial entre condutores carregados e o solo − A diferença de potencial seria: 𝑣𝑣1𝑁𝑁 = 𝑄𝑄1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚1 𝑟𝑟1 + 𝑄𝑄2 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟2 𝑑𝑑12 − 𝑄𝑄2 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑟𝑟2 𝐷𝐷12 𝑣𝑣1𝑁𝑁 = 𝑄𝑄1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚1 𝑟𝑟1 + 𝑄𝑄2 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷12 𝑑𝑑12 De forma análoga, para o condutor 2 𝑣𝑣2𝑁𝑁 = 𝑄𝑄2 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚2 𝑟𝑟2 + 𝑄𝑄1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷12 𝑑𝑑12 Na forma matricial: 𝑣𝑣1𝑁𝑁 𝑣𝑣2𝑁𝑁 = 1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚1 𝑟𝑟1 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷12 𝑑𝑑12 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷12 𝑑𝑑12 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚2 𝑟𝑟2 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 22 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferencia de potencial entre condutores carregados e o solo − Estendendo o resultado anterior para uma linha de transmissão com 𝑙𝑙 condutores aéreos Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣1𝑁𝑁 = 𝑄𝑄1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚1 𝑟𝑟1 + ⋯ + 𝑄𝑄𝑖𝑖 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷1𝑖𝑖 𝑑𝑑1𝑖𝑖 + ⋯ + 𝑄𝑄𝑛𝑛 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷1𝑛𝑛 𝑑𝑑1𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑛𝑛= 𝑄𝑄1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑛𝑛1 𝑑𝑑𝑛𝑛1 + ⋯ + 𝑄𝑄𝑖𝑖 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖 + ⋯ + 𝑄𝑄𝑛𝑛 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑛𝑛 Linha de transmissão genérica com n condutores 𝑁𝑁 Prof. John Fredy Franco 23 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferencia de potencial entre condutores carregados e o solo − Os potenciais podem ser colocados na forma matricial: 𝑣𝑣1 ⋮ 𝑣𝑣𝑖𝑖 ⋮ 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚1 𝑟𝑟1 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷1𝑖𝑖 𝑑𝑑1𝑖𝑖 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷1𝑛𝑛 𝑑𝑑1𝑛𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑖𝑖1 𝑑𝑑𝑖𝑖1 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑛𝑛1 𝑑𝑑𝑛𝑛1 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖 ⋯ 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑛𝑛 𝑟𝑟𝑛𝑛 𝑄𝑄1 ⋮ 𝑄𝑄𝑖𝑖 ⋮ 𝑄𝑄𝑛𝑛 − Na forma compacta: 𝑉𝑉 = 𝑃𝑃 𝑄𝑄 em que 𝑃𝑃 é a matriz dos coeficientes de potenciais − A matriz de capacitâncias está dada por: 𝐶𝐶 = 𝑃𝑃 −1 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 24 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Diferencia de potencial entre condutores carregados e o solo − Da expressão anterior obtém-se: 𝑄𝑄 = 𝐶𝐶 𝑉𝑉 Onde a matriz de capacitâncias tem a forma seguinte: 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶1𝑁𝑁 + 𝐶𝐶12 + ⋯ + 𝐶𝐶1𝑛𝑛 −𝐶𝐶12 ⋯ −𝐶𝐶1𝑛𝑛 −𝐶𝐶12 𝐶𝐶2𝑁𝑁 + 𝐶𝐶12 + ⋯ + 𝐶𝐶2𝑛𝑛 ⋯ −𝐶𝐶2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝐶𝐶1𝑛𝑛 −𝐶𝐶2𝑛𝑛 ⋯ 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑁𝑁 + 𝐶𝐶1𝑛𝑛 + ⋯ + 𝐶𝐶(𝑛𝑛−1)𝑛𝑛 − A matriz de admitâncias 𝑌𝑌 : 𝑌𝑌 = 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝐶𝐶 − O vetor de corrente 𝐼𝐼 fica dada por: 𝐼𝐼 = 𝑌𝑌 𝑉𝑉 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 25 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios Linha trifásica a circuito simples e sem para-raios Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑁𝑁 Prof. John Fredy Franco 26 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − A matriz de coeficientes de potencial elétrico é simétrica e dada por: 𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 −1 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ Capacitância de Linhas de Transmissão 𝒑𝒑𝒊𝒊𝒊𝒊 e 𝒑𝒑𝒊𝒊𝒋𝒋 : coeficientes de potencial eléctrico proprios e mutuos ∆: determinante da matriz 𝑃𝑃 𝒇𝒇𝒊𝒊𝒊𝒊 e 𝒇𝒇𝒊𝒊𝒋𝒋 : menores co-fatores da matriz adjunta da matriz 𝑃𝑃 transposta Prof. John Fredy Franco 27 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − A matriz de coeficientes de potencial elétrico é simétrica e dada por: 𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 −1 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 ∆ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ − A matriz de capacitâncias também simétrica: 𝐶𝐶 = 𝑃𝑃 −1 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 28 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − As capacitâncias parciais: Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 = − 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 = − 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 = − 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 ∆ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ Prof. John Fredy Franco 29 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Em um sistema equilibrado, quando a tensão em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo (𝑣𝑣𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ), nas demais passa por metade do valor máximo com o sinal trocado (𝑣𝑣𝑏𝑏 = 𝑣𝑣𝑐𝑐 = − 1 2 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚). − E quando 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝑄𝑄𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑄𝑄𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎 = [(𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐) + 1 2 (𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐)] 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − Calculando a capacitância da equação anterior: 𝐶𝐶𝑎𝑎 = 𝑄𝑄𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] 𝐶𝐶𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 30 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Desta forma, o arranjo de capacitâncias parciais pode ser substituído por outro com três capacitâncias equivalentes − É por meio destas capacitâncias que se podem evidenciar possíveis desequilíbrios eletrostáticos. Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑏𝑏 𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑎𝑎 𝑉𝑉𝑏𝑏 𝑉𝑉𝑐𝑐 ≅ Prof. John Fredy Franco 31 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Equilibrado: (𝐶𝐶𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑐𝑐) − Para que isso aconteça: 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 e 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 (E só acontece quando a linha é transposta) Capacitância de Linhas de Transmissão a. coeficientes médios próprios de campo elétrico. b. coeficientes médios mútuos de campo elétrico. ̅𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑖𝑖 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] ̅𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] 𝑟𝑟1: raio externo do 𝑚𝑚–ésimo condutor 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚: alturas média geométrica das alturas dos condutores d𝑚𝑚𝑚𝑚: distância média geométrica das distâncias entre os condutores. D𝐷𝐷𝐷𝐷: distância média geométrica das distâncias entre os condutores e a imagem dos condutores adjacentes Prof. John Fredy Franco 32 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Considerando que a linha é transposta ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 3 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 2 3 𝑚𝑎𝑎𝑚𝑏𝑏𝑚𝑐𝑐 𝑟𝑟 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 3 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑏𝑏𝐷𝐷𝑏𝑏𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑎𝑎 3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 − Sendo a linha transposta, a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será: 𝑃𝑃 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 −1 = ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆ ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆ ̅𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 ∆ ̅𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 ∆ ̅𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ ̅𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 ∆ ̅𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 ∆ ̅𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 33 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios Onde: ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 = ̅𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 = ̅𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 2 ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 = ̅𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 ∆= ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 2 ( ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏) − E as capacitâncias parciais serão dadas por: ̅𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 = ̅𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 = ̅𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 3 = 𝐶𝐶0 = ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ ̅𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 = ̅𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 = − ̅𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 34 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Substituindo os valores de 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖na equação anterior: 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] ̅𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 ( ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏)( ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏) [𝐹𝐹/𝑚𝑚] − Para uma linha transposta as capacitâncias equivalentes ̅𝐶𝐶𝑎𝑎 = ̅𝐶𝐶𝑏𝑏 = ̅𝐶𝐶𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑐𝑐 3 = 𝐶𝐶1 = ̅𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛 + 3 ̅𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶1 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 35 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples e sem para-raios − Substituindo os coeficientes de campo elétrico médios na expressão: 𝐶𝐶1 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 − ln 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − Como por conta da construção das linhas, em geral, as quantidades 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 e 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 , assumirem valores muito próximos. Tem-se a seguinte simplificação: 𝐶𝐶1 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 − Pode-se afirmar que a presença do solo não exerce influência na capacitância de sequência positiva de linhas de transmissão de energia elétrica transposta. Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 36 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica − Calcula-se a diferença de potencial entre cada condutor e 𝑃𝑃: 𝑣𝑣1𝑝𝑝 = 1 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑄𝑄1𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑1𝑝𝑝 𝑟𝑟1 + 𝑄𝑄2𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑2𝑝𝑝 𝑑𝑑12 + 𝑄𝑄3𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑3𝑝𝑝 𝑑𝑑13 Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑸𝑸𝟏𝟏 + 𝑸𝑸𝟐𝟐 + 𝑸𝑸𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 𝑄𝑄3 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 2𝑟𝑟2 2𝑟𝑟1 2𝑟𝑟3 𝑃𝑃 𝑑𝑑2𝑃𝑃 𝑑𝑑1𝑃𝑃 𝑑𝑑3𝑃𝑃 𝑑𝑑23 𝑑𝑑13 𝑑𝑑12 Capacitancia de Linhas de Transmissao s Linha trifasica — Fazendo P tender para o infinito (potencial zero): _— l * + Ql . + Q3l . z= QTE Q4 uA Qo "ho Q3 "a _ l * + Q,l . + Q3l . v2 = QTE, Qo nT Q4 "ho Q3 " dos _— l * + Ql . + Q,l . v3 = 2me Q3 nT Qo "os Q1 "hs — Representacgao matricial: “4 In 1/ In 1) In 1) Q4 1 1 d42 d43 _ 1 1 1 V2| = one, In / ay, In*/r, In | dys Q. 1 1 1 v4 In /a,4 In | a4 In |r. 0; Capacitancia de Linhas de Transmissao » Linha trifasica — Considerando que Q, + Q, + Q3 = 0, obtém-se a expressao simplificada: Vy In “13/,, In 3/4 0 Q1 1 d d Vv2|— 23 23 | | 21, In /a,, In |r, 0 Q> V3 0 In “13/4 In “13/, Qs Prof. John Fredy Franco 39 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica: arranjo equilátero − Capacitância de um condutor (fase-neutro): 𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷 𝑟𝑟 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝑄𝑄3 𝑸𝑸𝟏𝟏 + 𝑸𝑸𝟐𝟐 + 𝑸𝑸𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 2𝑟𝑟 2𝑟𝑟 2𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐷𝐷 Prof. John Fredy Franco 40 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Exemplo 11: Calcular a reatância capacitiva (por fase) para uma linha trifásica com espaçamento simétrico de 20 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, comprimento de 200 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝 e cabo Bluejay usando os dados fornecidos na tabela de condutores Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 41 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica com espaçamento assimétrico e transposição Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒= 3 𝑑𝑑12𝑑𝑑13𝑑𝑑23 𝑑𝑑12 = 𝐷𝐷 𝑑𝑑23 = 𝐷𝐷 𝑑𝑑13 = 2𝐷𝐷 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒= 3 2𝐷𝐷 Transpondo a linha, teremos uma representação equilátera da linha com um espaçamento equivalente 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 2𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝐷𝐷 2𝑟𝑟 Fase 1 Fase 2 Fase 3 Capacitância (fase-neutro): Prof. John Fredy Franco 42 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Consideração de condutores compostos ou Bundle Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 𝒓𝒓𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄: raio equivalente para condutores em feixe em que é usado o raio externo do condutor e as distâncias entre os condutores do feixe Vejamos o caso de uma linha monofásica, com dois subcondutores por fase e casa subcondutor com metade da carga total da fase 𝐷𝐷 ≫ 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑄𝑄/2 𝑄𝑄/2 −𝑄𝑄/2 −𝑄𝑄/2 𝑚𝑚 𝑏𝑏 1 2 𝑒𝑒 ≫ 𝑟𝑟 𝑫𝑫: distancia entre eixos das fases 𝑚𝑚 e 𝑏𝑏 𝒆𝒆: espaçamento entre os subcondutores de cada fase 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 = 𝑟𝑟𝑒𝑒 [𝐹𝐹/𝑚𝑚] 𝐷𝐷 = 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒 Prof. John Fredy Franco 43 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Exemplo 12: Calcular a reatância capacitiva (por fase) para uma linha trifásica com transposição, arranjo triangular com espaçamentos de 10 m, 10 m e 18 m, comprimento de 120 𝑘𝑘𝑚𝑚 e cabo Drake com 3 condutores em feixe por fase, separados por 15 𝑐𝑐𝑚𝑚 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 44 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Consideração de condutores compostos ou Bundle Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 = 3 𝑟𝑟 × 𝑒𝑒 × 𝑒𝑒 Com vários subcondutores por fase 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 2𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 = 𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 = 4 𝑟𝑟 × 𝑒𝑒 × 𝑒𝑒 × 2𝑒𝑒 = 1,09 4 𝑟𝑟𝑒𝑒3 Cabo composto de 2 subcodutores por fase Cabo composto de 3 subcodutores por fase Cabo composto de 4 subcodutores por fase Prof. John Fredy Franco 45 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Efeito do solo sobre a capacitância de linhas de transmissao trifásica onde: Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝑄𝑄3 −𝑄𝑄1 −𝑄𝑄2 −𝑄𝑄3 𝑑𝑑12 𝑑𝑑13 𝑑𝑑23 𝐷𝐷13 𝐷𝐷23 𝐷𝐷12 𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 𝐻𝐻1: distancia entre o condutor 1 e sua imagem (𝐻𝐻1 = 2𝑚1) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚: alturas média geométrica das alturas dos condutores d𝑚𝑚𝑚𝑚: distância média geométrica das distâncias entre os condutores. D𝐷𝐷𝐷𝐷: distância média geométrica das distâncias entre os condutores e a imagem dos condutores adjacentes 𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 − ln 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Prof. John Fredy Franco 46 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Efeito do solo sobre a capacitância de linhas de transmissao trifásica Onde: Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑄𝑄1 𝑄𝑄2 𝑄𝑄3 −𝑄𝑄1 −𝑄𝑄2 −𝑄𝑄3 𝑑𝑑12 𝑑𝑑13 𝑑𝑑23 𝐷𝐷13 𝐷𝐷23 𝐷𝐷12 𝐻𝐻1 𝐻𝐻2 𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝜖𝜖0 ln 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 − ln 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 𝑚1𝑚2𝑚3 d𝑚𝑚𝑚𝑚= 3 𝑑𝑑12𝑑𝑑13𝑑𝑑23 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷= 3 𝐷𝐷12𝐷𝐷13𝐷𝐷23 Observa-se que o efeito do solo é de aumentar a capacitância de uma linha Prof. John Fredy Franco 47 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Exercício 9: Calcular a impedância série (𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑋𝑋𝐿𝐿) e a reatância capacitiva (𝑋𝑋𝐶𝐶), por fase, para uma linha de transmissão trifásica de 765 𝑘𝑘𝑉𝑉 com 200 𝑘𝑘𝑚𝑚 de comprimento e transposição. As fases estão separadas por distâncias de 15 𝑚𝑚, 15 𝑚𝑚 e 12 𝑚𝑚. Cada fase está conformada por 4 condutores Bobolink em feixe (dispostos em um quadrado de 60 𝑐𝑐𝑚𝑚 de lado). Desenhar o arranjo e mostrar os cálculos passo a passo Parâmetros de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 48 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Linha trifásica com um cabo para-raios Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑚𝑏𝑏 𝑚𝑎𝑎 𝑚𝑐𝑐 𝑚𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑏𝑏 Prof. John Fredy Franco 49 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑛𝑛 Sabe-se que os para-raios podem estar isolados ou aterrados. As duas situações podem ser analisadas a partir do conjunto de equações acima, bastando utilizar as condições de contorno adequadas em cada um dos casos. Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 50 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios − Sendo os coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, envolvendo os para-raios 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑔𝑔 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔 ; 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑏𝑏𝑔𝑔 ; 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑔𝑔 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] − E ainda o que já havíamos definido considerando linha transposta ̅𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑖𝑖 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] ̅𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑚𝑚 𝐹𝐹] Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 51 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios isolados Linha trifásica com um para-raios isolado 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 Prof. John Fredy Franco 52 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios isolados − O cabo para-raios não tem cargas próprias, isto é 𝑄𝑄𝑔𝑔 = 0. − As cargas existentes nos cabos condutores das fases induzirão eletrostaticamente uma diferença de potencial entre o cabo para- raios e o solo. 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 − Potenciais dos cabos condutores das fases com relação ao solo, não são afetados. 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 −𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑛𝑛 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑛𝑛 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 53 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios isolados − Substituindo-se esta condição (𝑄𝑄𝑔𝑔 = 0) na última equação do sistema, determina-se o valor desta diferença de potencial (d.d.p.) induzida, empregada para efeito de dimensionamento da isolação do cabo para-raios. 0 = −𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 + (𝐶𝐶𝑔𝑔𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐)𝑉𝑉𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑁𝑁 = 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑁𝑁 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑐𝑐 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 54 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios isolados − Para a determinação das capacitâncias parciais Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 = − 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 ∆ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 = − 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 = − 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 = − 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 = − 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 = − 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑔𝑔 ∆ 𝐶𝐶𝑔𝑔𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔 ∆ Prof. John Fredy Franco 55 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados Linha trifásica com um para-raios isolado 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 Prof. John Fredy Franco 56 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Pelo fato do para-raios estar aterrado, a diferença de potêncial entre o mesmo e o solo será nula ( 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑁𝑁 = 0 ). Como consequência capacitância parcial entre o para-raios e o solo (𝐶𝐶𝑔𝑔𝑁𝑁) não pode ser definida e não é representada na figura. − Capacitâncias parciais entre os condutores das fases e o solo estão em paralelo com as capacitâncias parciais entre as fases e o cabo para-raios. − Assim, em termos práticos esta associação paralela pode ser substituída pelo valor resultante. Com isto, valores individuais são perdidos sem comprometer os resultados. − No cabo para raios 𝑄𝑄𝑔𝑔 ≠ 0 (aterrado absorve cargas desde o solo) Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 57 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Reduzir a uma matriz equivalente de ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem para-raios. Este processo de redução conhecido como método de Kron. 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 − 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 58 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Adotando uma notação simplificada 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑁𝑁 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑃𝑃𝑐𝑐 Prof. John Fredy Franco 59 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − 𝑃𝑃𝑐𝑐 , uma vez invertida fornecerá os elementos para a determinação das capacitâncias parciais, lembrando que deverá ser escrita uma matriz de capacitâncias compatível para a situação de uma linha trifásica equivalente sem para-raios. − Onde as grandezas 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 e 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 são os menores cofatores da adjunta da matriz [𝑃𝑃𝑐𝑐] e Δ é o determinante da mesma matriz [𝑃𝑃𝑐𝑐]. Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 = − 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 = − 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 = − 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑐𝑐 ∆ 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆ Prof. John Fredy Franco 60 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Os valores das capacitâncias parciais 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔, 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑔𝑔 e 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑔𝑔 foram perdidos individualmente embora estejam incorporados aos valores das capacitâncias parciais 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁, 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 e 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁, respectivamente. − As capacitâncias equivalentes podem ser obtidas empregando-se as mesmas equações definidas para linhas trifásicas a circuito simples sem para-raios, isto é: Capacitância de Linhas de Transmissão 𝐶𝐶𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑏𝑏 = 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑏𝑏𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑁𝑁 + 3 2 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑏𝑏 Prof. John Fredy Franco 61 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Considerando a linha transposta, os coeficientes de potencial elétrico próprios e mútuos, assumirão valores médios definidos ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 3 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 2 3 𝑚𝑎𝑎𝑚𝑏𝑏𝑚𝑐𝑐 𝑟𝑟 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 3 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑏𝑏𝐷𝐷𝑏𝑏𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑎𝑎 3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 = 1 3 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑔𝑔𝐷𝐷𝑏𝑏𝑔𝑔𝐷𝐷𝑐𝑐𝑔𝑔 3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐𝑔𝑔 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 62 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − O coeficiente próprio do cabo para-raios, por ser único 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 2𝑚𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑔𝑔 − Assim, os elementos próprios e mútuos da matriz passarão a ser calculados ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 63 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com um para-raios Para-raios aterrados − Logo as capacitâncias de sequência positiva e zero passam a ser definidas pelas seguintes expressões: 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − 3 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 − A equação seguinte, demonstra a afirmação feita anteriormente de que a presença do cabo para-raios não afeta a capacitância de sequência positiva. 𝐶𝐶1 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 64 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com dois para-raios 𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − A matriz mostrada pode ser subdividida. 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓 3×3 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑓𝑓 2×3 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 2×2 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 65 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com dois para-raios − Considerando os para-raios aterrados, a matriz pode ser reduzida à ordem 3x3 analogamente ao procedimento empregado no desenvolvimento de indutâncias. 𝑃𝑃𝑐𝑐 3×3 = 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓 3×3 − 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 3×3 −1 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑓𝑓 2×3 3×3 − Com isto o efeito da presença dos para-raios é incorporado aos coeficientes de potencial elétrico, próprios e mútuos, das fases. Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 66 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com dois para-raios − Admitindo a transposição, é possível demonstrar que o produto matricial mostrado na expressão anterior resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos são para efeitos práticos aproximadamente iguais a: ∆ ̅𝑝𝑝 ≅ 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 − Neste caso o coeficiente médio, devido à existência de dois para- raios ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 6 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑔𝑔𝐷𝐷𝑏𝑏𝑔𝑔𝐷𝐷𝑐𝑐𝑔𝑔𝐷𝐷𝑎𝑎𝑎𝑎𝐷𝐷𝑏𝑏𝑎𝑎𝐷𝐷𝑐𝑐𝑎𝑎 6 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐𝑔𝑔𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2ℎ𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝐷𝐷𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑔𝑔 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 67 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos simples com dois para-raios − Assim, as capacitâncias sequenciais são calculáveis empregando os coeficientes médios corrigidos: 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − 6 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝐶𝐶1 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 Onde ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 68 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios Linha a circuito duplo com dois para-raios 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑔𝑔 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑒𝑒 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑓𝑓 𝑝𝑝 𝑚𝑚 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑑𝑑 Prof. John Fredy Franco 69 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑏𝑏𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑁𝑁 𝑣𝑣𝑓𝑓𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑑𝑑 𝑄𝑄𝑒𝑒 𝑄𝑄𝑓𝑓 𝑉𝑉𝐼𝐼,𝑁𝑁 3×1 𝑉𝑉𝑝𝑝,𝑁𝑁 2×1 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑁𝑁 3×1 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 𝑃𝑃𝐼𝐼𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 𝑃𝑃𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝐼𝐼𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 𝑄𝑄𝐼𝐼 3×1 𝑄𝑄𝑝𝑝 2×1 𝑄𝑄𝐼𝐼𝐼𝐼 3×1 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 70 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Considerando a sobreposição de efeitos é possível realizar o desenvolvimento para cada um dos circuitos isoladamente. Admitindo que os circuitos são idênticos: 𝑉𝑉𝐼𝐼,𝑁𝑁 = 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑁𝑁 𝑄𝑄𝐼𝐼 = 𝑄𝑄𝐼𝐼𝐼𝐼 − Desmembrando a equação do slide anterior, levando em conta apenas o circuito 𝐼𝐼 e considerando ainda as igualdades representadas acima: 𝑉𝑉𝐼𝐼,𝑁𝑁 3×1 𝑉𝑉𝑝𝑝,𝑁𝑁 2×1 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 𝑄𝑄𝐼𝐼 3×1 𝑄𝑄𝑝𝑝 2×1 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 71 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Expandindo o conjunto 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑔𝑔𝑛𝑛 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 (𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑) 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑄𝑄𝑏𝑏 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑄𝑄𝑔𝑔 𝑄𝑄𝑎𝑎 𝑉𝑉𝐼𝐼,𝑁𝑁 3×1 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 𝑄𝑄𝐼𝐼 3×1 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑄𝑄𝑝𝑝 2×1 𝑉𝑉𝑝𝑝,𝑁𝑁 2×1 = 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 𝑄𝑄𝐼𝐼 3×1 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 𝑄𝑄𝑝𝑝 2×1 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 72 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Admitindo que os para-raios sejam aterrados, o conjunto de ordem 5x5 pode ser reduzido à ordem 3x3. Para a condição de pára-raios aterrado, tem-se: 𝑉𝑉𝑝𝑝,𝑁𝑁 2×1 = 0 Isolando 𝑄𝑄𝑝𝑝 2×1 na segunda expressão do conjunto, e substituindo este resultado na primeira expressão do mesmo conjunto, resulta: 𝑉𝑉𝐼𝐼,𝑁𝑁 3×1 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 − 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 −1 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 𝑄𝑄𝐼𝐼 3×1 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 73 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Obtém-se a matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha equivalente, cujos elementos incorporam a contribuição do circuito 𝐼𝐼𝐼𝐼 e dos para-raios, isto é: 𝑃𝑃𝑐𝑐 3×3 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 3×3 − 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 −1 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 3×3 − Os elementos próprios e mútuos da matriz 𝑃𝑃𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖′ − ∆𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖′ − ∆𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 74 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Considerando 𝑚𝑚 e 𝑗𝑗 condutores genéricos do circuito 𝐼𝐼, 𝑚𝑚𝑖 e 𝑗𝑗𝑖 condutores genéricos do circuito 𝐼𝐼𝐼𝐼, 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2ℎ𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 e 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖′ = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖′ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖′ = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑗𝑗′ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑗𝑗′ e 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑗𝑗 Lembrando que: 𝑚𝑚 e 𝑚𝑚𝑖 sejam condutores dos circuitos 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼𝐼 respectivamente, e que estão ao mesmo potencial. Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 75 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − Relembrando, vimos: 𝑃𝑃𝑐𝑐 3×3 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼 3×3 + 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝐼𝐼𝐼𝐼 3×3 3×3 − 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 −1 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 3×3 A matriz que define os fatores de correção, próprios (Δ𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖) e mútuos (Δ𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 ), que incorporam o efeito da presença dos para-raios aos elementos representativos fases do circuito 𝐼𝐼 ∆𝑃𝑃𝑐𝑐 3×3 = 𝑃𝑃𝐼𝐼,𝑝𝑝 3×2 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝑝𝑝 2×2 −1 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼 2×3 + 𝑃𝑃𝑝𝑝,𝐼𝐼𝐼𝐼 2×3 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 76 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − As capacitâncias parciais e equivalentes são obtidas com procedimento idêntico ao empregado na determinação destas grandezas, para o caso de linha a circuito simples com um pára- raios, observando que neste caso existem três capacitâncias parciais conectadas entre cada condutor fase e o solo. Os termos de correção que representam o efeito da presença dos pára-raios são decorrentes de um produto matricial. 𝐶𝐶1 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 − 6 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 77 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios Porém ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 − ∆ ̅𝑝𝑝 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 − ∆ ̅𝑝𝑝 Sendo ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑐 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑒𝑒 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑓𝑓 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑒𝑒𝐷𝐷𝑐𝑐𝑓𝑓 𝐷𝐷𝐼𝐼 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑓𝑓 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑑𝑑 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑓𝑓 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑑𝑑 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑒𝑒 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 6 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑒𝑒𝐷𝐷𝑎𝑎𝑓𝑓𝐷𝐷𝑏𝑏𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑓𝑓𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑𝐷𝐷𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐷𝐷𝐼𝐼𝐼𝐼 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑔𝑔 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑔𝑔 = ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎 = ̅𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 6 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑔𝑔𝐷𝐷𝑏𝑏𝑔𝑔𝐷𝐷𝑐𝑐𝑔𝑔𝐷𝐷𝑎𝑎𝑎𝑎𝐷𝐷𝑏𝑏𝑎𝑎𝐷𝐷𝑐𝑐𝑎𝑎 6 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐𝑔𝑔𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 78 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios Onde Capacitância de Linhas de Transmissão 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 𝑚𝑎𝑎𝑚𝑏𝑏𝑚𝑐𝑐 Altura média geométrica dos condutores do circuito I; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑏𝑏𝐷𝐷𝑏𝑏𝑐𝑐𝐷𝐷𝑐𝑐𝑎𝑎 Distância média geométrica entre os condutores e as respectivas imagens de condutores adjacentes, todos do circuito I; 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 Distância média geométrica entre os condutores do circuito I; 𝐷𝐷𝐼𝐼 = 3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏𝑒𝑒𝑑𝑑𝑐𝑐𝑓𝑓 Distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que estão ao mesmo potencial; 𝐷𝐷𝐼𝐼𝐼𝐼 = 6 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒𝑑𝑑𝑎𝑎𝑓𝑓𝑑𝑑𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑒𝑒 Distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que estão em diferentes potenciais; ∆ ̅𝑝𝑝 ≅ 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 Prof. John Fredy Franco 79 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios 𝐶𝐶1 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 − ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 − ( ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒) 𝐶𝐶1 = 1 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 + ln 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑒𝑒𝐷𝐷𝑐𝑐𝑓𝑓 𝐷𝐷𝐼𝐼 − ln 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 − ln 6 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑒𝑒𝐷𝐷𝑎𝑎𝑓𝑓𝐷𝐷𝑏𝑏𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑓𝑓𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑𝐷𝐷𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐷𝐷𝐼𝐼𝐼𝐼 Fazendo 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≈ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷: 𝐶𝐶1 = 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 ln 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟 + ln 𝐷𝐷𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐷𝐷𝐼𝐼 + ln 3 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑒𝑒𝐷𝐷𝑐𝑐𝑓𝑓 6 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑒𝑒𝐷𝐷𝑎𝑎𝑓𝑓𝐷𝐷𝑏𝑏𝑑𝑑𝐷𝐷𝑏𝑏𝑓𝑓𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑𝐷𝐷𝑐𝑐𝑒𝑒 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 80 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Linha trifásica a circuitos duplo com dois para-raios − E a capacitância de sequencia zero: 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 − ∆ ̅𝑝𝑝 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 − ∆ ̅𝑝𝑝 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 − 3∆ ̅𝑝𝑝 Logo: 𝐶𝐶0 = 1 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑 + 2 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏 + ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑒𝑒 − 6 ̅𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔 2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑎𝑎 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 81 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Condutores múltiplos Capacitância de Linhas de Transmissão Suponha que o condutor múltiplo encontra-se carregado com uma carga 𝑄𝑄 uniformemente distribuída, e que cada subcondutor fique carregado com uma carga 𝑄𝑄 𝑛𝑛. 𝑁𝑁 2 1 𝑅𝑅 𝑚 𝑙𝑙 3 𝑚 ≫ 𝑅𝑅 𝑝𝑝1𝑛𝑛 𝑝𝑝13 𝑝𝑝12 Considere um condutor múltiplo, formado por 𝑙𝑙 subcondutores iguais e de raio 𝑟𝑟, uniformemente distribuídos sobre um círculo de raio 𝑅𝑅. Subcondutor de raio 𝑟𝑟 Prof. John Fredy Franco 82 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Condutores múltiplos − Nestas condições é possível demonstrar que este condutor múltiplo pode ser substituído por um condutor fictício único e cilíndrico cujo raio externo 𝑅𝑅𝑐𝑐 𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑛𝑛 𝑟𝑟 𝑝𝑝12 ⋯ 𝑝𝑝1𝑘𝑘 ⋯ 𝑝𝑝1𝑛𝑛 𝑅𝑅𝑐𝑐: condutor cilíndrico equivalente com mesma carga 𝑄𝑄. 𝑚 ≫ 𝑅𝑅: mesmo gradiente de potencial em cada subcondutor, sem deformações. − O QUE NÃO OCORRE NA REALIDADE. Há deformação no campo elétrico e aumento do gradiente principalmente no sucondutores mais externos. − Nesse caso, substituímos “𝑟𝑟” nas expressões anteriores por “𝑅𝑅𝐶𝐶”. 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 2𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑚𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑐𝑐 Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 83 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Condutores múltiplos − A aplicabilidade das equações desenvolvidas verifica-se nas seguintes situações: a. Para linhas ou circuitos idênticos, em paralelo e simétricos com relação a um eixo de simetria; b. Para linhas ou circuitos diferentes, operando em paralelismo elétrico (mesma tensão) e físico; c. Linhas em simples paralelismo físico – em geral é desprezada a iteração entre circuitos. Havendo necessidade de incluir a iteração, é preciso conhecer as defasagens das fases de um circuito com relação ao outro. − Nas análises e estudos de desempenho, as linhas paralelas ou de circuito duplo podem ser substituídas por linhas de circuito simples equivalente. Para tanto é preciso determinar a capacitância de serviço ou de sequência positiva da linha equivalente, associando em paralelo às capacitâncias de serviço das linhas ou circuitos. Capacitância de Linhas de Transmissão Prof. John Fredy Franco 84 Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica - Capacitância de Linhas de Transmissão  Exemplo 12: Capacitância de Linhas de Transmissão Calcular a capacitância (por fase) considerando o efeito do solo para uma linha trifásica com transposição, arranjo triangular com espaçamentos de 10 m, 10 m e 16 m, comprimento de 120 𝑘𝑘𝑚𝑚 e cabo Drake com 3 condutores em feixe por fase, separados por 15 𝑐𝑐𝑚𝑚. 𝑚1 = 𝑚3 = 20 𝑚2 = 26 𝑑𝑑12 1 2 3 1′ 2′ 3′ 𝐷𝐷23′ 𝐻𝐻11′ 𝐻𝐻22′ 𝐷𝐷12′ 𝐷𝐷13′