Slide - Bases Ortogonais Ortonormais e O Processo de Gram-schmidt - Álgebra Linear 2021-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Álgebra Linear - Bases Ortogonais, Ortonormais e o Processo de Gram-Schmidt Prof. a_ Daniela Renata Cantane daniela.cantane@unesp.br 9 de fevereiro de 2022 Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Ortogonalidade e Ortonormalidade Definição: Dizemos que um conjunto de dois ou mais vetores num espaço com produto interno real é ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto forem ortogonais. Um conjunto ortogonal no qual cada vetor tem norma 1 é dito ortonormal. Exemplo: Conjunto Ortogonal. 1. Sejam u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1) e u3 = (1, 0, −1) e suponha que ℜ3 tenha o produto interno euclidiano. Então o conjunto de vetores S = {u1, u2, u3} é ortogonal, pois ⟨u1, u2⟩ = ⟨u1, u3⟩ = ⟨u2, u3⟩ = 0 Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear a ae eee ee ea Ortogonalidade e Ortonormalidade Se v for um vetor ndo nulo num espaco com produto interno, segue do Teorema (||Av|| = || ||v||) com k = 1/||v]| que 1 1 1 Leye = {gg e = eqt IIv| IIv| IIv| Esse processo é denominado normalizacao de v. tee acseai rotten acteelc tiaras aie Secu ellol} Ortogonalidade e Ortonormalidade e@ Exemplo: Construindo um conjunto ortonormal. 2. Do Exemplo 1 temos |/u;|| = 1, ||u2|| = V2 e |jug|| = V2. A normalizacao de uj, U2, u3 fornece Uy ud 1 1 “= —— = (0,1,0 w= =(% 0 =) fag PO Tay ee a) u3 ( 1 0 1 ) v3 = —— = | —,0,-—= }. lus] \ V2" 2 O conjunto S = {uy, up, uz} é ortonormal, pois (vi, V2) = (Vi, v3) = (v2, v3) = Oe ||vil] = || val] = |]val] = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Teorema 1: Se S = {v1, v2, . . . , vn} for um conjunto ortogonal de vetores não nulos num espaço com produto interno, então S é linearmente independente. Demonstração: Suponha que k1v1 + k2v2 + · · · + knvn = 0. Para demonstrar que S é LI, temos que provar que k1 = k2 = · · · = kn = 0. Dado qualquer vi e S, temos que ⟨k1v1 + k2v2 + · · · + knvn, vi⟩ = ⟨0, vi⟩ = 0. Como S é um conjunto ortogonal, temos que ⟨vi, vj⟩ = 0 para i ̸= j. Assim, a equação anterior se reduz a ki⟨vi, vi⟩ = 0. Por hipótese, os vetores de S são não nulos e pelo axioma da positividade ⟨vi, vi⟩ ̸= 0. Portanto, pela equação anterior cada ki = 0. (cqd) Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear Ortogonalidade e Ortonormalidade togonal e Base Ortonormal Num espaco com produto interno, uma base consistindo em vetores ortonormais é denominada base ortonormal e uma base consistindo em vetores ortogonais é denominada base ortogonal. e@ Exemplo: Sao bases ortonormais: (a) Base canénica do R": €, = (1,0,0,...,0),e2 = (0,1,0,...,0),...,e, = (0,0,0,...,1); (b) Base de R: 1 1 1 1 vz = (0,1,0 a=(% 0 =) a=(% 0 -=). ( ’ ’ ), J2’ */2 d J2 ’ J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Uma maneira de expressar um vetor u como uma combinação linear dos vetores de uma base S = {v1, v2, . . . , vn} é converter a equação vetorial u = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn num sistema linear e encontrar os coeficientes, mas se a base for ortogonal ou ortonormal, temos uma maneira mais simples de encontrá-los. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Teorema 2: (a) Se S = {v1, v2, . . . , vn} for uma base ortogonal de um espaço com produto interno V e u for um vetor qualquer em V , então u = ⟨u, v1⟩ ∥v1∥2 v1 + ⟨u, v2⟩ ∥v2∥2 v2 + · · · + ⟨u, vn⟩ ∥vn∥2 vn. (b) Se S = {v1, v2, . . . , vn} for uma base ortonormal de um espaço com produto interno V e u for um vetor qualquer em V , então u = ⟨u, v1⟩v1 + ⟨u, v2⟩v2 + · · · + ⟨u, vn⟩vn. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear ean a ee ek xemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal e@ Assim, temos que 0 vetor de coordenadas de um vetor u em V em relacdo a uma base ortogonal S = {v1, v2, v3} é (u)s _ (F V1) (u, v2) (u, 2) I|vill? ° [val|? °° {I vl? e em relacdo a uma base ortonormal S = {vy, v2,...,Vn} é (u)s = ((u, V1); (u, V2) a) (u, Vn)) : Se eee ee cesso de Gram-ocnmid Exemplos Exemplos 4. Sejam v1 = (0,1,0), v2 = (—$,0, 2) , v3 = (2,0, ). Temos que S = {vy, v2, v3} é uma base ortonormal de #? com produto interno euclidiano (verifique!). Escreva o vetor u = (1,1,1) como uma combinac¢Ao linear dos vetores em S e encontre o vetor de coordenadas (u)s. Verifique que (u, v1) = 1, (u, v2) = —1/5, (u, v3) = 7/5. Portanto, pelo Teorema obtemos u=VvWy— 1/5vo +7/5v3 1 4 . 3 7/3 ,.4 > (1,1, 1) = (0, 1,0) — 5 (3.0.2) + 5 (3.0.2) . Assim, 0 vetor de coordendas de u em relacdo a S é (u)s = ((u, V1), (u, V2), (u, v3) ) = (1, —1/5,7/5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Exemplos 5. Base ortonormal a partir de uma base ortogonal: (a) Mostre que os vetores w1 = (0, 2, 0), w2 = (3, 0, 3), w3 = (−4, 0, 4) formam uma base ortogonal de ℜ3 com produto interno euclidiano e use essa base para encontrar uma base ortonormal normalizando cada vetor. (b) Expresse o vetor u = (1, 2, 4) como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal obtida na parte (a). Solução: (a) Os vetores dados formam um conjunto ortogonal, pois ⟨w1, w2⟩ = 0, ⟨w1, w3⟩ = 0, ⟨w2, w3⟩ = 0. Segue do Teorema 1 que esses vetores são LI e, portanto, formam uma base de ℜ3. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear Se eee ee as Sect elol} Exemplos A base ortonormal é dada por Wi Wo 1 1 wu] = (0,1,0), v2 = yy = (0.5) ’ || wa | I|wol| \ V2) ° V2 v w3 ( 1 0 1 ) 3 = CU Te, > fF . || wa V2 V2 (b) Segue do Teorema 2(b) que u = (u,v¥)V1 + (U, V2) V2 + (U, V3) V3. Como (u,v) = 2, (u, v2) = 5/V2 e (u, v3) = 3/V2, entao 5 1 1 3 1 1 1,2, 4) = 2(0, 1,0)+— (0 a)tF (-=.0. =) . OD) 20 BR a) BR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Teorema 3: Teorema da Projeção Se W for um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V , então cada vetor u em V pode ser expresso de maneira única como u = w1 + w2 em que w1 é um vetor em W e w2 é um vetor em W ⊥. Esses vetores w1 e w2 costumam ser denotados por w1 = projW u e w2 = projW ⊥u e denominados projeção ortogonal de u em W e projeção ortogonal de u em W ⊥ (ou componente de u ortogonal a W ), respectivamente. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Assim, podemos escrever u = projW u + projW ⊥u. Como projW ⊥u = u − projW u, também podemos escrever: u = projW u + u − projW u. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Teorema 4: Seja W um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V . (a) Se {v1, v2, . . . , vr} for uma base ortogonal de W e u for um vetor qualquer em V , então projW u = ⟨u, v1⟩ ∥v1∥2 v1 + ⟨u, v2⟩ ∥v2∥2 v2 + · · · + ⟨u, vr⟩ ∥vr∥2 vr. (b) Se S = {v1, v2, . . . , vr} for uma base ortonormal de W e u for um vetor qualquer em V , então projW u = ⟨u, v1⟩v1 + ⟨u, v2⟩v2 + · · · + ⟨u, vr⟩vr. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Uma interpretação geométrica da projeção ortogonal W for um espaço unidimensional de um espaço com produto interno V , digamos, ger[a], então a fórmula projW u = ⟨u,v1⟩ ∥v1∥2 v1 + ⟨u,v2⟩ ∥v2∥2 v2 + · · · + ⟨u,vr⟩ ∥vr∥2 vr. Só tem a parcela projW u = ⟨u, a⟩ ∥a∥2 a. Caso especial: V for R3 com o produto interno euclidiano: Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Ortogonalidade e Ortonormalidade Base Ortogonal e Base Ortonormal Exemplos Base Ortogonal e Base Ortonormal Teorema 5: Cada espaço vetorial não nulo de dimensão finita possui alguma base ortonormal. Seja W um subespaço não nulo de dimensão finita de um espaço com produto interno e suponha que {u1, u2, . . . , ur} seja alguma base de W . A sequência de passos a seguir produz uma base ortogonal {v1, v2, . . . , vr} de W : v1 = u1, v2 = u2 − ⟨u2,v1⟩ ∥v1∥2 v1, . . . , Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Processo de Gram-Schmidt Processo de Gram-Schmidt: Para converter uma base {u1, u2, . . . , ur} numa base ortogonal {v1, v2, . . . , vr}, efetue as seguintes contas. Passo 1:v1 = u1; Passo 2:v2 = u2 − ⟨u2, v1⟩ ∥v1∥2 v1; Passo 3:v3 = u3 − ⟨u3, v1⟩ ∥v1∥2 v1 − ⟨u3, v2⟩ ∥v2∥2 v2; Passo 4:v4 = u4 − ⟨u4, v1⟩ ∥v1∥2 v1 − ⟨u4, v2⟩ ∥v2∥2 v2 − ⟨u4, v3⟩ ∥v3∥2 v3; (continue até r passos) Passo opcional Para converter a base ortogonal numa base ortonormal {q1, q2, . . . , qr}, normalize os vetores da base ortogonal. Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Processo de Gram-Schmidt Exemplo 6: Considere o espaço vetorial ℜ3 com o produto interno euclidiano. Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores da base u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1) numa base ortogonal {v1, v2, v3} e, depois, normalize os vetores da base ortogonal para obter uma base ortonormal {q1, q2, q3}. Passo 1 v1 = u1 = (1, 1, 1); Passo 2 v2 = u2 − ⟨u2, v1⟩ ∥v1∥2 v1 = (0, 1, 1) − 2/3(1, 1, 1) = (−2/3, 1/3, 1/3); Passo 3 v3 = u3 − ⟨u3, v1⟩ ∥v1∥2 v1 − ⟨u3, v2⟩ ∥v2∥2 v2 = (0, 1, 1) − 1 3(1, 1, 1) − 1/3 2/3(−2/3, 1/3, 1/3) = (0, −1/2, 1/2); Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Processo de Gram-Schmidt Assim, vy = (1,1,1), v2 = (—2/3,1/3,1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) formam uma base ortogonal de #3. Temos que || val] = V3, ||vall = 2 llvall = 4. Portanto, uma base ortonormal de 3? é dada por V4 ( 1 1 1 ) Vo ( 2 1 1 ) Me I) ee eS de Ilva v3 V3 V3 || v2|| v6 vo V6 v3 (0 1 1 ) q3 = = 9 TR Fe Ys ll val V2 V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalidade e Ortonormalidade Processo de Gram-Schmidt Fim Muito obrigada! Prof.a_ Daniela R. Cantane Álgebra Linear