Slide - Espaço Linha Espaço Coluna e Espaço Nulo - Álgebra Linear 2021-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Álgebra Linear Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Prof. a_ Daniela R. Cantane daniela.cantane@unesp.br Instituto de Biociências - UNESP / Botucatu 6 de janeiro de 2022 Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Definição: Considere a matriz m × n A =   a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn   . Os vetores r1 = [ a11 a12 . . . a1n ] , ... ... rm = [ am1 am2 . . . amn ] . em ℜn formados pelas linhas de A são denominados vetores linha de A. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Definição: E os vetores c1 =   a11 a21 ... am1   , c2 =   a12 a22 ... am2   , . . . , cn =   a1n a2n ... amn   em ℜm formados pelas colunas de A são denominados vetores coluna de A. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Definição: Se A for uma matriz m × n, então o subespaço de ℜn gerado pelos vetores linha de A é denominado espaço linha de A; o subespaço de ℜm gerado pelos vetores coluna de A é denominado espaço coluna de A; o espaço solução do sistema homogêneo de equações Ax = 0, que é um subespaço de ℜn, é denominado espaço nulo de A. Questões: 1. Quais relações existem entre as soluções de um sistema linear Ax = b e espaço linha, espaço coluna e o espaço nulo da matriz de coeficientes A? 2. Quais relações existem entre e espaço linha, espaço coluna e o espaço nulo de uma matriz? Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Sejam A =   a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn   e x =   x1 x2 ... xn   . Então, Ax =   a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a1nxn ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn   = = x1   a11 a21 ... am1   + x2   a12 a22 ... am2   + · · · + xn   a1n a2n ... amn   = = x1c1 + x2c2 + · · · + xncn = b Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Teorema: Um sistema Ax = b de equações lineares é consistente se, e somente se, b está no espaço coluna de A. Exemplo: Seja Ax = b o sistema linear   −1 3 2 1 2 −3 2 1 −2     x1 x2 x3   =   1 −9 −3   . Mostre que b está no espaço coluna de A expressando b como uma combinação linear dos vetores coluna de A. Resolvendo o sistema por eliminação gaussiana, obtemos x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3. Assim, temos que 2   −1 1 2   −   3 2 1   + 3   2 −3 −2   =   1 −9 −3   . Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Teorema: Se x0 denotar uma solução qualquer de um sistema linear consistente Ax = b e se S = {v1, v2, . . . , vk} for uma base do espaço nulo de A, então cada solução de Ax = b pode ser expressa da forma x = x0 + c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk. (1) Reciprocamente, com qualquer escolha dos escalares c1, c2, . . . , ck o vetor x dessa fórmula é uma solução de Ax = b. Observação: a Equação 1 dá uma fórmula geral de Ax = b. O vetor x0 nessa fórmula é denominado solução particular de Ax = b, e a parte restante da fórmula é denominada solução geral de Ax = 0. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Teorema: 1. As operações elementares com linhas não alteram o espaço nulo de uma matriz. 2. As operações elementares com linhas não alteram o espaço linha de uma matriz. Observação: As operações elementares com linhas afetam espaço coluna de uma matriz. Sejam A = [ 1 3 2 6 ] e B = [ 1 3 0 0 ] . O espaço coluna de A consiste nos múltiplos escalares de [ 1 2 ] enquanto o espaço coluna de B consiste nos múltiplos escalares de [ 1 0 ] e os dois espaços são diferentes. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplo 1. Considere o sistema linear homogêneo   1 3 −2 0 2 0 2 6 −5 −2 4 −3 0 0 5 10 0 15 2 6 0 8 4 18     x1 x2 x3 x4 x5 x6   =   0 0 0 0   . A solução geral do sistema é dada por:   x1 x2 x3 x4 x5 x6   =   −3r − 4s − 2t r −2s s t 0   = r   −3 1 0 0 0 0   +s   −4 0 −2 1 0 0   +t   −2 0 0 0 1 0   . Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplo O espaço nulo de A é o espaço solução do sistema Ax = 0 que tem base v1 =   −3 1 0 0 0 0   , v2 =   −4 0 −2 1 0 0   , v3 =   −2 0 0 0 1 0   . Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Teorema: Se uma matriz R está em forma escalonada por linhas, então os vetores linha com os pivôs (ou seja, os vetores linha não nulos) formam uma base do espaço linha de R, e os vetores coluna com os pivôs formam uma base do espaço coluna de R. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplo 2. A matriz   1 −2 5 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0   está na forma escalonada por linhas. Pelo Teorema, os vetores r1 = [ 1 −2 5 0 3 ] r2 = [ 0 1 3 0 0 ] r3 = [ 0 0 0 1 0 ] formam uma base do espaço linha de R e os vetores c1 =   1 0 0 0   , c2 =   −2 1 0 0   , c4 =   0 0 1 0   formam uma base do espaço coluna de R. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Teorema: Sejam A e B matrizes equivalentes por linhas. a. Um conjunto qualquer de vetores coluna de A é LI se, e somente se, o conjunto de vetores coluna correspondente de B é LI. b. Um conjunto qualquer de vetores coluna de A forma uma base do espaço coluna de A se, e somente se, o conjunto de vetores coluna correspondente de B forma uma base do espaço coluna de B. Observação: Uma operação elementar com linhas pode alterar o espaço coluna, mas não altera as relações de dependência linear entre os vetores colunas. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplos 3. Encontre uma base do subespaço ℜ5 gerado pelos vetores v1 = (1, −2, 0, 0, 3), v2 = (2, −5, −3, −2, 6), v3 = (0, 5, 15, 10, 0), v4 = (2, 6, 18, 8, 6). O espaço gerado por esses vetores é o espaço linha da matriz   1 −2 0 0 3 2 −5 −3 −2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6   Reduzindo essa matriz a uma forma escalonada por linhas   1 −2 0 0 3 0 1 3 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0   w1 = (1, −2, 0, 0, 3), w2 = (0, 1, 3, 2, 0), w3 = (0, 0, 1, 1, 0) formam uma base para o espaço linha e assim formam uma base do ℜ5. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplos 4. Encontre uma base do espaço linha de A =   1 −2 0 0 3 2 −5 −3 −2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6   consistindo totalmente de vetores linha de A. O espaço linha de A é o espaço coluna de At. At =   1 2 0 2 −2 −5 5 6 0 −3 15 18 0 −2 10 8 3 6 0 6   ≈   1 2 0 2 0 1 5 −10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exemplos A primeira, segunda e quarta colunas contém pivôs, de modo que os vetores coluna de At correspondentes formam uma base para o espaço coluna de At c1 =   1 −2 0 0 3   , c2 =   2 −5 −3 −2 6   , c4 =   2 6 18 8 6   . Transpondo novamente, obtemos os vetores r1 = [ 1 −2 0 0 3 ] , r2 = [ 2 −5 −3 −2 6 ] , r4 = [ 2 6 18 8 6 ] que formam uma base do espaço linha de A. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Exercício 1a. Encontre um subconjunto dos vetores v1 = (1, −2, 0, 3), v2 = (2, −5, −3, 6), v3 = (0, 1, 3, 0), v4 = (2, −1, 4, −7) e v5 = (5, −8, 1, 2) que forma uma base para o espaço gerado por esses vetores. 1b. Expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo Fim Muito obrigada! Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear