Slide - Transformações Lineares - Álgebra Linear 2021-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Álgebra Linear Transformações lineares Prof. a_ Daniela Renata Cantane daniela.cantane@unesp.br Instituto de Biociências - UNESP/Botucatu 24 de fevereiro de 2022 Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Relembrando..... Função: regra que associa a cada elemento de um conjunto A um, e exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento a, então b = f (a) e dizemos que b é a imagem de a por f ou que f (a) é o valor de f em a. Domínio A Contradomínio B f a b = f (a) Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm O domínio e o contradomínio de muitas funções são conjuntos de números reais; Aqui, estamos interessados em funções cujo domínio e contradomínio são espaços vetoriais. Definição: Sejam V e W espaços vetoriais e f uma função de domínio V e contradomínio W , dizemos que f é uma transformação de V em W , ou uma aplicação de V em W , que denotamos por f : V → W No caso especial em que V = W , também é chamada de operador de V . Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Suponha que f1, . . . , fm sejam funções reais de n variáveis w1 = f1(x1, . . . , xn) w2 = f2(x1, . . . , xn) ... ... wm = fm(x1, . . . , xn). (1) Essas m equações associam um ponto (w1, w2, . . . , wm) único em Rm a cada ponto (x1, . . . , xn) em Rn e, assim, definem uma transformação de Rn em Rm. Considere T essa transformação, temos T : Rn → Rm T(x1, . . . , xn) = (w1, . . . , wm). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Quando as equações (1) são lineares, podemos escrever   w1 w2 ... wm   =   a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn     x1 x2 ... xn   Podemos interpretar w = Ax como uma transformação que associa o vetor coluna x em Rn ao vetor coluna w em Rm pela multiplicação à esquerda de x por A. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Assim, temos uma transformação matricial (ou operador matricial se m = n), que denotamos por T : Rn → Rm w = TA(x). Dizemos que: a transformação matricial TA é a multiplicação por A; a matriz A é a matriz canônica dessa transformação. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Exemplo: A transformação matricial T : R4 → R3 definida pelas equações w1 = 2x1 − 3x2 + x3 − 5x4 w2 = 4x1 + x2 − 2x3 + x4 w3 = 5x1 − x2 + 4x3 (2) de modo que a matriz canônica de T é A =   2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0   . A imagem do ponto (x1, x2, x3, x4) pode ser calculada diretamente da Equação (2) por multiplicação matricial. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Teorema: Dada qualquer matriz A, a transformação matricial TA : Rn → Rm tem as seguintes propriedades, com quaisquer vetores u e v em Rn e qualquer escalar k. (a) TA(0) = 0; (b) TA(kv) = kTA(v) [Homogeneidade]; (c) TA(u + v) = TA(u) + TA(v) [Aditividade]; (d) TA(u − v) = TA(u) − TA(v). Demonstração: Os itens são reformulações das propriedades conhecidas da multiplicação matricial: A0 = 0; A(kv) = kA(v); A(u + v) = A(u) + A(v); A(u − v) = A(u) − A(v). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Segue do Teorema que uma transformação matricial faz correspon- der as combinações lineares de vetores em Rn as combinações line- ares correspondentes em Rm: TA(k1v1+k2v2+· · ·+krvr) = k1TA(v1)+k2TA(v2)+· · ·+krTA(vr). Teorema: Se TA : Rn → Rm e TB : Rn → Rm forem transformações matriciais e se TA(x) = TB(x) com qualquer vetor x em Rn, então A = B. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Entre os operadores matriciais mais importantes de R2 e R3 estão o que aplicam cada ponto na sua imagem simétrica em relação a alguma reta ou plano fixados, que são denominados operadores de reflexão; Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Transformações matriciais Rn em Rm Os operadores matriciais R2 e R3 que aplicam cada ponto em sua projeção ortogonal numa reta ou plano fixados são denomi- nados operadores de projeção ou operadores de projeção ortogonal. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Definição Se T : V → W for uma função de um espaço vetorial V num espaço vetorial W , então T é denominada transformação linear de V em W se as duas propriedades seguintes forem válidas com quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar k. (i) T(kv) = kT(v) [Homogeneidade] (ii) T(u + v) = T(u) + T(v) [Aditividade] Observação: No caso especial em que V = W , a transforma- ção linear é denominada operador linear do espaço vetorial V . Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Teorema Toda transformação linear Rn em Rm é uma transformação matricial e, reciprocamente, toda transformação matricial de Rn em Rm é uma transformação linear. Teorema: Se T : V → W for uma transformação linear, então (a) T(0) = 0 (b) T(u − v) = T(u) − T(v), quaisquer que sejam u e v em V . Demonstração: Seja u um vetor qualquer em V . Como 0u = 0, segue da homogeneidade que T(0) = T(0u) = 0T(u) = 0. Reescrevendo T(u − v) como T(u − v) = T(u + (−1)v) = T(u) + (−1)T(v) = T(u) − T(v). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos 1. Sejam V e W dois espaços vetoriais quaisquer. A aplicação T : V → W tal que T(v) = 0, qualquer que seja o vetor v em V , é a transformação linear denominada transformação nula ou zero. Para ver que T é linear, observe que: T(u + v) = 0 , T(u) = 0 , T(v) = 0 e T(kv) = 0 Portanto, T(u + v) = T(u) + T(v) e T(kv) = kT(v) 2. Seja V um espaço vetorial qualquer. A aplicação I : V → V definida por I(v) = v é denominada operador identidade de V . Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos 3. Seja V um espaço vetorial e k um escalar qualquer, a aplicação T : V → V dada por T(x) = kx é um operador linear de V pois dados um escalar c e vetores u e v quaisquer em V , então T(cv) = k(cv) = c(kv) = cT(v) T(u + v) = k(u + v) = ku + kv = T(u) + T(v) Se 0 < k < 1 dizemos que T é uma contração de V , e se k > 1 dizemos que T é uma dilatação de V . x kx (a) Dilatação kx x (b) Contração Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos 4. Seja p = p(x) = c0 + c1x + · · · + cnxn um polinômio em Pn e defina a transformação T : Pn → Pn+1 por T(p) = T(p(x)) = xp(x) = c0x + c1x2 + · · · + cnxn+1. Essa transformação é linear pois, dado qualquer escalar k e quaisquer polinômios p1 e p2 temos T(kp) = T(kp(x)) = kT(p(x)) = k(xp(x)) = kT(p) T(p1 + p2) = T(p1(x) + p2(x)) = x(p1(x) + p2(x)) = = xp1(x) + xp2(x) = T(p1) + T(p2). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos 5. Seja Mnn o espaço vetorial das matrizes n × n. Determine se a transformação é linear. (a) T1(A) = AT; (b) T2(A) = det(A). Solução (a): T1(kA) = (kA)T = kAT = kT1(A) T1(A + B) = (A + B)T = AT + BT = T1(A) + T1(B) Assim, T1 é linear. 6. Seja T : R3 → R2; T(x, y, z) = (x + y, y + 1). Para que a transformação seja linear T(0) = 0: T(0, 0, 0) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1) ̸= (0, 0) Portanto T não é uma transformação linear. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Teorema Se V → W for uma transformação linear, V um espaço vetorial de dimensão finita e S = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V , então a imagem de qualquer vetor v em V pode ser escrita como T(v) = c1T(v1) + c2T(v2) + · · · + cnT(vn), em que c1, c2, . . . , cn são os coeficientes que expressam v como uma combinação linear dos vetores em S. Demonstração: Escreva v como v = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn e use a linearidade de T. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos 7. Considere a base S = {v1, v2, v3} de R3 com v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 0, 0). Seja T : R3 → R2 a transforma- ção linear tal que T(v1) = (1, 0) , T(v2) = (2, −1) e T(v3) = (4, 3). Encontre uma fórmula para T(x1, x2, x3) e use essa fór- mula para calcular T(2, −3, 5). Solução: Escreva (x1, x2, x3) como (x1, x2, x3) = c1(1, 1, 1) + c2(1, 1, 0) + c3(1, 0, 0). Obtemos c1 = x3, c2 = x2 − x3, c3 = x1 − x2. Assim , T(x1, x2, x3) = x3T(v1) + (x2 − x3)T(v2) + (x1 − x2)T(v3) = = x3(1, 0) + (x2 − x3)(2, −1) + (x1 − x2)(4, 3). A partir dessa fórmula, obtemos T(2, −3, 5) = (9, 23). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Definição Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto dos vetores em V que T transforma em 0 é denominado núcleo de T e é denotado por Nuc(T). O conjunto de todos os vetores em W que são imagem por T de pelo menos um vetor em V é denominado imagem de T e é denotado por Im(T). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos Exemplos: 8. Se TA : Rn → Rm for uma multiplicação pela matriz A de tamanho m × n então o núcleo de TA é o espaço nulo de A, e a imagem de TA é o espaço coluna de A. 9. Seja T : V → W a transformação nula. Como T transforma cada vetor em V em 0, segue que Nuc(T) = V . Além disso, como 0 é a única imagem por T de vetores em V , segue que Im(T) = {0}. 10. Seja I : V → V o operador identidade. Como I(v) = v com qualquer vetor em V , qualquer vetor em V é a imagem de algum vetor (ele mesmo); assim, Im(I) = V . Como 0 é o único vetor que I transforma em 0, segue que Nuc(I) = {0}. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Teorema Seja T : V → W uma transformação linear. (a) O núcleo de T é um subespaço de V . (b) A imagem de T é um subespaço de W . Demonstração: (a) O vetor 0 está em Nuc(T), de modo que esse conjunto contém pelo menos um vetor. Sejam v1 e v2 vetores em Nuc(T) e k um escalar. Então T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0 ∈ Nuc(T) T(kv1) = kT(v1) = k0 = 0 ∈ Nuc(T). Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares (b) O vetor 0 está em Im(T), pois T(0) = 0 por (a). Devemos mostrar que se w1 e w2 são vetores em Im(T) e k um escalar, então existem vetores a e b em V com os quais T(a) = w1 + w2 e T(b) = kw1. Como w1 e w2 estão em Im(T), então existem vetores v1 e v2 em V tais que T(v1) = w1 e T(v2) = w2. Assim, T(a) = T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = w1 + w2 T(b) = T(kv1) = kT(v1) = kw1. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Transformações lineares Definição Seja T : V → W uma transformação linear. Se a imagem de T tiver dimensão finita, dizemos que sua dimensão é o posto de T, e se o núcleo de T tiver dimensão finita, dizemos que sua dimensão é a nulidade de T. Teorema Se T : V → W for uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão n num espaço vetorial W , então pos(T) + nul(T) = n. Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Exemplos Exemplo: 8. Determine o posto e a nulidade da transformação linear T : R3 → R3 T(x, y, z) = (x − y, 2x + z, 0). Sabendo que nul(T) = dim(Nuc(T)), vamos encontrar o Nuc(T) { x −y = 0 2x +z = 0 Resolvendo o sistema: x = s, y = s, e z = −2s. Assim Nuc(T) = {(1, 1, −2)}, então nul(T) = dim(Nuc(T)) = 1. Lembrando que pos(T) = dim(Im(T)) e que pos(T)+nul(T) = n, então pos(T) + 1 = 3 ⇒ pos(T) = 2 Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações matriciais Transformações lineares Exemplos Fim Muito obrigada! Prof.a Daniela Cantane - UNESP Álgebra Linear