Slide - Posto Nulidade e Os Espaços Matriciais - Álgebra Linear 2021-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Álgebra Linear Posto, nulidade e os espaços matriciais Profa. Daniela Renata Cantane daniela.cantane@unesp.br 13 de janeiro de 2022 Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Temos que o espaço linha e coluna da matriz A A =   1 −3 4 −2 5 4 2 −6 9 −1 8 2 2 −6 9 −1 9 7 −1 3 −4 2 −5 −4   tem três vetores na base, pois reduzindo à forma escalonada, temos: R =   1 −3 4 −2 5 4 0 0 1 3 −2 −6 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0   . Assim, formam uma base para o espaço linha de A: r1 = [ 1 −3 4 −2 5 4 ] , r2 = [ 0 0 1 3 −2 −6 ] r3 = [ 0 0 0 0 1 5 ] . Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais e os vetores c′ 1 =   1 0 0 0   , c′ 3 =   4 1 0 0   , c′ 5 =   5 −2 1 0   formam uma base para o espaço coluna de R. Assim, os vetores coluna de A correspondentes c1 =   1 2 2 −1   , c3 =   4 9 9 −4   , c5 =   5 8 9 −5   formam uma base do espaço coluna de A. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Os espaços linha e coluna de uma matriz têm a mesma dimensão. Demonstração: Seja R uma forma escalonada de uma matriz A. Vimos que dim(espaço linha de A)=dim(espaço linha de R) dim(espaço coluna de A)=dim(espaço coluna de R) Precisamos mostrar que os espaços linha e coluna de R têm a mesma dimensão. A dimensão do espaço linha de R é o número de linhas não nulas e, por um teorema anterior, vimos que a dimensão do espaço coluna de R é o número de pivôs. Como esses dois números são iguais, os espaços linha e coluna têm a mesma dimensão. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Definição: A dimensão comum do espaço linha e do espaço coluna de uma matriz A é denominada posto de A e denotada por pos(A). A dimensão do espaço nulo de A é denominada nulidade de A e denotada por nul(A). Observação: Seja A uma matriz m × n, com m ̸= n, então pos(A) ≤ min(m, n) (Por quê?). Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: dimensão para matrizes Se A for uma matriz com n colunas, então pos(A) + nul(A) = n. (1) Demonstração: Como A tem n colunas, o sistema linear homogêneo Ax = 0 tem n variáveis. Essas variáveis entram em duas categorias: as líderes e as livres. Assim, [ número de variáveis líderes] + [ número de variáveis livres] = n. O número de variáveis líderes é igual ao número de pivôs na forma escalonada reduzida por linhas de A, que é o posto de A, e o número de variáveis livres é igual ao número de parâmetros na solução geral de Ax = 0, que é a nulidade de A. Assim, obtemos a Fórmula (1). Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo Encontre o posto e a nulidade da matriz A =   −1 2 0 4 5 −3 3 −7 2 0 1 4 2 −5 2 4 6 1 4 −9 2 −4 −4 7   . A forma escalonada reduzida por linhas de A é R =   1 0 −4 −28 −37 13 0 1 −2 −12 −16 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   . Como essa matriz tem dois pivôs, seus espaços linha e coluna são bidimensionais e pos(A) = 2. Para encontrar a nulidade de A, devemos encontrar a dimensão do espaço solução do sistema linear Ax = 0. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo O sistema de equações correspondente será { x1 − 4x3 − 28x4 − 37x5 + 13x6 = 0 x2 − 2x3 − 12x4 − 16x5 + 5x6 = 0 ⇒ { x1 = 4x3 + 28x4 + 37x5 − 13x6 x2 = 2x3 + 12x4 + 16x5 − 5x6 com solução geral                x1 = 4r + 28s + 37t − 13u x2 = 2r + 12s + 16t − 5u x3 = r x4 = s x5 = t x6 = u Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo Assim,   x1 x2 x3 x4 x5 x6   = r   4 2 1 0 0 0   + s   28 12 0 1 0 0   + t   37 16 0 0 1 0   + u   −13 −5 0 0 0 1   . Como os quatro vetores formam uma base do espaço solução, temos que nul(A) = 4. Além disso, temos que a matriz A é 4 × 6: pos(A) + nul(A) = 2 + 4 = 6 pos(A) = 2 ≤ min(4, 6). Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Se A for uma matriz m × n, então a) pos(A) =número de variáveis líderes na solução geral de Ax = 0; b) nul(A) =número de parâmetros na solução geral de Ax = 0. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n × n, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é inversível; b) Ax = 0 tem somente a solução trivial; c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In; d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; e) Ax = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1; f) Ax = b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n × 1; g) det(A) ̸= 0; h) Os vetores coluna de A são LI; Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Afirmações equivalentes (continuação) i) Os vetores linha de A são LI; j) Os vetores coluna de A geram ℜn; k) Os vetores linha de A geram ℜn; l) Os vetores coluna de A formam uma base de ℜn; m) Os vetores linha de A formam uma base de ℜn; n) A tem posto n; o) A tem nulidade 0; Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Se Ax = b for um sistema linear consistente de m equações e n incógnitas e se A tiver posto r, então a solução geral do sistema contém n − r parâmetros. Demonstração: O número de parâmetros é igual a nulidade de A, que é igual a n − r. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Seja A uma matriz m × n. a) Caso sobredeterminado: Se m > n, então o sistema Ax = b é inconsistente com pelo menos um vetor b em ℜn; b) Caso subdeterminado: Se m < n, então dado qualquer vetor b em ℜm, o sistema Ax = b é inconsistente ou tem uma infinidade de soluções. Demonstração: a) Suponha que m > n, caso em que os vetores coluna de A não podem gerar o ℜm (menos vetores do que a dimensão de ℜm). Assim, existe pelo menos um vetor b em ℜm que não está no espaço coluna de A e, para esse b, o sistema Ax = b é inconsistente. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Demonstração: b) Suponha que m < n. Dado qualquer b em ℜm, há duas possibilidades: o sistema Ax = b é consistente ou inconsistente. Se for inconsistente o item b) está provado. Se for consistente, então o teorema anterior nos diz que a solução geral tem n − r parâmetros, em que r = pos(A). Como pos(A) é o menor dentre m e n e, por hipótese m < n, então r = pos(A) = m. Assim, temos que n − r = n − m > 0. Isso significa que a solução geral tem pelo menos um parâmetro e que, portanto, há uma infinidade de soluções. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo: O sistema linear            x1 − 2x2 = b1 x1 − x2 = b2 x1 + x2 = b3 x1 + 2x2 = b4 x1 + 3x2 = b5 é sobredeterminado, portanto, não pode ser consistente com todos os valores possíveis de bi, i = 1, . . . , 5. Pode-se obter condições sob as quais esse sistema é consistente. Temos que   1 −2 b1 1 −1 b2 1 1 b3 1 2 b4 1 3 b5   ∼   1 0 2b2 − b1 0 1 b2 − b1 0 0 b3 − 3b2 + 2b1 0 0 b4 − 4b2 + 3b1 0 0 b5 − 5b2 + 4b1   Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo: Assim, o sistema é consistente se, e somente se, b1, . . . , b5 satisfazem as condições    2b1 −3b2 +b3 = 0 3b1 −4b2 +b4 = 0 4b1 −5b2 +b5 = 0 Resolvendo o sistema linear homogêneo, obtemos b1 = 5t − 4u, b2 = 4t − 3u, b3 = 2t − u, b4 = t, b5 = u, com r e s arbitrários. Observação: A matriz dos coeficientes tem n = 2 colunas e tem posto r = 2, porque há duas linhas não nulas em sua forma escalonada reduzida. Assim, quando o sistema for consistente, sua solução geral conterá n − r = 0 parâmetros, ou seja, a solução será única. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Espaços fundamentais de uma matriz: o espaço linha de A, o espaço linha de At o espaço coluna de A, o espaço coluna de At o espaço nulo de A, o espaço nulo de At Teorema: Se A for uma matriz qualquer, então pos(A) = pos(At). Demonstração: pos(A) = dim(espaço linha de A) = = dim(espaço coluna de At) = pos(At). Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Se A for uma matriz m × n, aplicando a fórmula pos(A) + nul(A) = n, temos pos(At) + nul(At) = m. Que pode ser reescrito como pos(A) + nul(At) = m . Assim, se pos(A) = r, então dim[lin(A)] = r, dim[col(A)] = r dim[nul(A)] = n − r, dim[nul(At)] = m − r Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Vimos uma relação algébrica entre os tamanhos da matriz e as dimensões de seus espaços fundamentais. Encontraremos agora uma relação geométrica entre os próprios espaços fundamentais. Definição: Se W for um subespaço de ℜn, então o conjunto de todos os vetores de ℜn ortogonais a cada vetor em W é denominado complemento ortogonal de W e denotado por W ⊥. Teorema: Seja W um subespaço de ℜn. a) W ⊥ é um subespaço de ℜn; b) O único vetor comum a W e a W ⊥ é 0; c) O complemento ortogonal de W ⊥ é W . Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Exemplo Complementos ortogonais: O complemento ortogonal de uma reta W pela origem em ℜ2 é a reta pela origem que é perpendicular a W (Figura (a)); O complemento ortogonal de um plano W pela origem em ℜ3 é a reta pela origem que é perpendicular àquele plano (Figura (b)). Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Seja A uma matriz m × n. a) O espaço nulo de A e o espaço linha de A são complementos ortogonais em ℜn; b) O espaço nulo de At e o espaço coluna de A são complementos ortogonais em ℜm. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Observações: O teorema anterior fornece uma relação geométrica entre os espaços fundamentais de uma matriz; Já foi visto o seguinte teorema: Se A for uma matriz m × n, então o conjunto de soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 consiste em todos vetores em ℜn que são ortogonais a cada vetor linha de A. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n × n, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é inversível; b) Ax = 0 tem somente a solução trivial; c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In; d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; e) Ax = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1; f) Ax = b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n × 1; g) det(A) ̸= 0; h) Os vetores coluna de A são LI; Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Posto, nulidade e os espaços matriciais Teorema: Afirmações equivalentes (continuação) i) Os vetores linha de A são LI; j) Os vetores coluna de A geram ℜn; k) Os vetores linha de A geram ℜn; l) Os vetores coluna de A formam uma base de ℜn; m) Os vetores linha de A formam uma base de ℜn; n) A tem posto n; o) A tem nulidade 0; p) O complemento ortogonal do espaço nulo de A é ℜn; q) O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}. Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posto, nulidade e os espaços matriciais Fim Muito obrigada! Profa. Daniela R. Cantane Álgebra Linear