Lista 1 - Mecânica Clássica 2022 2

Primeira Lista de Mecânica Clássica Para 1301 Os exercícios são de fato bem gerais Quero avaliar a capacidade de modelar cada um dos problemas propostos e a elegância matemática das soluções Os exercícios devem ser resolvidos individualmente digitalizados e enviados até o dia 13012023 às 12h Durante a aula do mesmo dia nomearei alguém para discutir a solução no quadro 1 Considerando haver a resistência do ar caso do lançamento de um projétil demonstrar as equações abaixo 2 O estudo das Equações de órbita na Mecânica Clássica é um desafio interessante quando utilizamos sistemas de coordenadas nãoretangulares Demonstre e discuta a equação 3 Um caso particular é quando consideramos a força central variando com o inverso do quadrado da distância no chamado Problema de Kepler A partir da equação abaixo discuta detalhadamente as implicações da solução deste problema 4 No caso de ainda consideramos forças centrais persevera a pergunta se as órbitas circulares são estáveis Comente e prove se sim ou se não 5 Faça um modelo matemático para a observação experimental das marés A solução pela Mecânica Newtoniana é plenamente possível Discuta xt mv₀ₓb 1 ebtm e vₓt v₀ₓ ebtm 2 mẋ bẏ mg mẋ² bɤ 0 ɤ bm A solução geral homogênea ɤht A Bebtm e supondo a solução não homogênea ɤpt Ct então mẋ bẏ mg Cb mg C mgb log ɤpt mg b t A solução geral ɤt A Bebtm mgb t ẏt Bbm e ɤ0 A B 0 B A ẏ0 Bbm mgb v₀ᵧ Bbm mgb v₀ᵧ B mv₀ᵧ gb A Portanto ɤt mgb mv₀ᵧb1 ebtm mgb t ɤᵧt mgb v₀ᵧebtm mgb x fracm v0xb left1 ebtmright o fracm v0x ebtmb fracm v0xb x quad ebtm 1 fracb xm v0x quad log quad t fracmb ln leftfracm v0xm v0x b xright quad u extsubstituindo um yt quad yx leftfracm gb v0x fracv0yv0xrightx fracm2 gb ln leftfracm v0xm v0x b xright 1 mddote e dotphi2 fe quad exte x quad ddotphi 2 dote dotphi 0 quad extA extequação da órbita é da forma e et quad extlogo é necessário eliminar o tempo quad fracd ed t fracd ed t fracd td t quad e extcomo dotphi fracLm e2 fracd phid t quad fracd ed t fracLm e2 fracd ed phi fracd2 ed phi2 fracL2m leftfracd2 ud phi2 uright f quad extEssa equação descreve sistemas no qual atua uma força central fe quad extde modo que podemos encontrar a trajetória por ele A solução homogênea u B 0 u 1 uHphi A cos phi B sin phi De início cos phi0 fracAC e sin phi0 fracBC com C sqrtA2 B2 então uHphi C cos phi0 cos phi C sin phi0 sin phi uHphi Ccos phi0 cos phi sin phi0 sin phi e como cos phi0 cos phi frac12 cosphi phi0 cosphi phi0 sin phi0 sin phi frac12 cosphi phi0 cosphi phi0 ou seja uH C cosphi phi0 e fazendo C equiv A uH A cosphi phi0 u a solução particular vp B fracdudx u fracmku2 B fracmku2 logo uphi A cosphi phi0 fracmku2 u como u frac1c frac1c A cosphi phi0 fracmku2 fracr2mkc2 1 fracA l2mk cosphi phi0 essa é uma cônica com excentricidade fracA l2mk u semieixo reto fracl2mk de modo que o centro de força coincida com o foco 1 Considerando uma força central da forma Fu frackun o potencial sua Uu frackn 1 frac1un1 e o potencial efetivo Uefu frackn 1 frac1un1 fracmu dotx22mu u2 cdot mu é a massa reduzida A condição para que a órbita circular seja estável é fracpartial Uefpartial rr e 0 e fracpartial2 Upartial r2re 0 sendo fracpartial Uefpartial rr e fracken fracdotx2mu e3 0 en3 fracmu kdotx2 e fracpartial vefpartial v2v fracnkcn 3 frac3v2mu c40 o fracnkcn3 frac3v2mu 0 o 3 nfracv2mu 0 o n 3 Concluímos que as órbitas circulares só são estáveis para n 3 ou seja para forças axiais da forma Fv frackr lor Fv frackv2 5 Supomos inicialmente um modelo simples no qual a Terra está completamente coberta de água e desconsolidando a sua voltagem Então Pela segunda lei de Newton mvecv1 fracGmMEvecv fracGmMmvecerR2 ME vecv1E fracGMEMmvecdpD2 vecd2 vecv vecvprimem vecv1E fracmvecvprimemm fracM vecej ME fracGMEv2 vecvr fracGmMmvecerR2 fracGMmD2 Com ponentes FTx fracGmMmD2leftfrac1R2 frac1D2right FTx fracGmMmleft D v right2 FTx fracGmMmD2leftfrac1left 1 fracvDright2right FTx fracGmMmD2left1 frac2vD 3leftfracv2Dright ldots 1right FTx frac2GmMm vD3 lor FTy fracGmMm frac1D2 fracvD fracGmMm vD2 Portanto FTx frac2GmMmxD3 quad e quad FTy fracGmMmyD3 um coordenadas polares FTx frac2GmMm ucos hetaD3 quad e quad FTy fracGmMm usin hetaD3