Força de Resistência do Ar e Dinâmica dos Objetos

2 Visão geral Um tipo especial de força que atua sobre diferentes tipos de objetos é a força de resistência do ar Esse tipo de força é modelada como uma função da velocidade do objeto Assim sendo é possível aperfeiçoar o entendimento de alguns fenômenos físicos que antes eram tratados de forma ideal como a queda livre e o sistema massamola No caso da queda livre ainda é possível introduzir outros fatores como a dependência da aceleração da gravidade com a altura ou mesmo os efeitos da rotação da Terra O entendimento de como se pode introduzir o efeito de resistência do ar na dinâmica dos objetos é fundamental até para definir os limites em que o tratamento anteriormente idealizado possa ser justificado Isso será discutido em detalhes nessa Sessão Objetivos 1 Resolver a equação de movimento para uma força com dependência na velocidade Força de amortecimento Dependente da Velocidade Um outro tipo de força de fácil solução para a equação de movimento e de importante implicação nos fenômenos físicos cotidianos é quando força depende apenas da velocidade 51 Efetuando uma separação de variáveis nessa equação em que do lado esquerdo ficará as variáveis envolvendo a velocidade e do lado direito a variável de tempo podese escrever 3 Efetuando a integração dessa equação diferencial temse que 52 Portanto basta conhecer a relação funcional entre força e velocidade a fim de se obter uma solução para a equação de movimento No caso do movimento unidimensional os vários tipos de forças que dependem da velocidade são em geral forças de atrito Este pode ser o caso da força de atrito entre superfícies lubrificadas ou entre um objeto sólido e um meio líquido ou gasoso Embora no caso mais geral a função possa ser demasiadamente complicada para alguns casos e sobre certos intervalos de tempo a força de atrito pode ser modelada como sendo proporcional a alguma potência da velocidade do objeto em que é uma constante ajustável e arbitrária que pode depender do meio e do formato do objeto O sinal que aparece nessa expressão dever ser escolhido de maneira que a força de atrito tenha o sinal oposto ao sinal da velocidade Isto pois a força de atrito sempre se opõe ao movimento ou a tendência do movimento Logo para a potência para Já para a potência ímpar 4 Além disso é possível também que a força de atrito seja uma combinação de diferentes potencias da velocidade como por exemplo em que e são duas constantes ajustáveis É muito importante salientar que as forças de atrito são de natureza empírica e variam amplamente em forma funcional com relação a sua dependência com a velocidade para deferentes tipos de caso Essa situação é frontalmente oposta àquela vista por exemplo com a lei universal da gravidade em que a força gravitacional entre dois objetos é proporcional ao produto das massas deles e inversamente proporcional à distância entre eles ou seja a função da força da gravidade é bem definida para todos os objetos massivos Com efeito a escolha de como a força de atrito ou força viscosa ou força de resistência vai depender da velocidade dependerá do problema físico específico a fim de que todas as características cinemáticas sejam compatíveis com a fenomenologia EXEMPLO 1 Considere um barco viajando com uma velocidade que desliga seu motor no instante na posição A força de atrito entre o casco do barco e a superfície da água pode ser modelada como sendo a Qual a dimensão de b Encontre c Encontre Discuta o comportamento dos resultados obtidos nos dois itens anteriores considerando d e e Resolução a Sabese que a unidade de força é o newton que é uma composição de outras unidades e a velocidade é dada em metros por segundo Logo ou seja a constante tem unidade de quilograma por segundo 5 b Usando a equação 52 para a força de atrito dada temse Aplicando a função exponencial dos dois lados do último passo feito acima em que se usou a propriedade Logo é a velocidade instantânea do barco c Lembrando que fazse uma separação de variáveis para posterior integração em que conforme dado no enunciado do problema Desse modo Para calcular essa última integral é necessário introduzir uma mudança de variáveis conveniente Nesse caso escolhese a variável de modo que Feito isso é necessário alterar os limites de integração bem como a diferencial de integração Logo o processo de integração fica 6 Agora a integração definida da função exponencial resulta na própria função exponencial calculada nos limites de integração que é a posição instantânea do barco após o motor ser desligado d A condição implica que o argumento da função exponencial é muito pequeno e por isso passível de uma expansão em série de Taylor em torno de zero Lembrando que tal expansão é dada por então Deste modo a velocidade instantânea do barco pode ser aproximada como Já a posição instantânea do barco fica 7 Observe atentamente que esses resultados aproximados para e indicam que bem no inicio do movimento do barco após o motor ser desligado o movimento é tipicamente um MRUV sob efeito de um forma constante que por sua vez produz uma desaceleração constante e O limite expressa matematicamente a ideia de uma passagem de tempo física suficientemente grande Assim e consequentemente as funções e tornamse Com efeito é necessário um tempo muito grande para o barco atingir seu repouso ao passo que nesse intervalo de tempo ele se desloca por uma distância finita Portanto a modelagem da força de atrito das águas sobre o casco do barco como sendo proporcional a sua velocidade conduz a resultados físicos sobre o movimento do barco satisfatórios Objetos em Queda com Resistência do Ar 8 Um dos exemplos mais simples e cotidiano de movimento unidimensional é aquele que envolve objetos em queda livre Um objeto de massa em queda livre próximo à superfície terrestre desprezando o efeito de resistência do ar achase sob efeito apenas da força gravitacional Aqui considerase que a direção vertical é dada pelo eixo orientado positivamente para cima A equação de movimento subjacente é cuja solução já foi amplamente discutida em várias instâncias do Curso O ingrediente novo a ser considerado nesse fenômeno é a força de resistência do ar Uma vez que esse tipo de força sempre se opõe ao movimento então durante a queda do objeto essa força estará dirigida para cima assim como ilustrado na figura abaixo Logo o vetor da força de resistência do ar pode ser escrito como em que se considerou a proporcionalidade linear entre a força de resistência e a veloci dade do objeto Note também que a veloci dade de queda do objeto segundo a orien tação dada é negativa e por isso a compo nente da força de resistência é positiva concordando com a indicação do vetor força da resistência apresentada no diagrama de corpo livre Com efeito a componente vertical da força resultante que atua no objeto em queda é 9 e portanto a equação de movimento será 53 Antes de avançar na busca da solução desta equação diferencial já se pode extrair um conceito importante aqui a chamada velocidade terminal O que acontece é que a medida que o objeto cai a sua velocidade aumenta e consequentemente a força de resistência do ar também Isso diminui a aceleração de queda do objeto Chegase a um ponto em que a força de resistência se iguala em magnitude à força da gravidade Nesse ponto a aceleração do objeto é nula e o objeto a partir daí descreve um MRU logo fazendo na equação 53 chegase a que é a velocidade terminal do objeto O sinal negativo apenas indica que o objeto cai no sentido oposto à orientação positiva previamente definida Note que a velocidade terminal é diretamente proporcional à massa do objeto Então quanto mais massivo o objeto maior a sua velocidade terminal Isso implica que um objeto massivo atingirá sua velocidade terminal em um ponto mais próximo da superfície terrestre do que um objeto mais leve que atingirá sua velocidade terminal em um ponto mais alto O exemplo a seguir ilustra a importância do conceito da velocidade terminal para um fenômeno cotidiano que é a chuva EXEMPLO 2 Nuvens médias de chuva podem ter base a partir de acima do solo Considerando que não exista resistência do ar qual seria a velocidade que uma gota de chuva atingiria solo em quilômetros por hora 10 Resolução Supondo que a gota de chuva caia a partir do repouso da base da nuvem então pela equação de Torricelli temse que transformando em quilômetros por hora fica cuja magnitude seria suficiente para perfurar o tecido humano No entanto não é isso que se observa no fenômeno de chuva graças exatamente à velocidade terminal da gota de chuva que por ser muito leve é rapidamente atingida logo após a precipitação A fim de se obter a solução da equação 53 fazse uma fatoração da constante que aparece no lado direito da equação Efetuando uma separação de variáveis nessa expressão As condições iniciais serão e Posto isto procedese com a integração a expressão acima A integral do lado esquerdo dessa equação é do tipo logarítmica bastando apenas efetuar uma mudança de variáveis conveniente para evidenciar isso Então seja a nova variável tal que 11 Os novos limites de integração serão de modo que e Além disso a diferencial do tempo deve ser reescrita em termos da diferencial da nova variável Para tanto fazse Deste modo a integral anterior é reescrita em termos da nova variável como Aplicando a função exponencial dos dois lados dessa expressão e lembrando da propriedade envolvendo a exponencial de um logaritmo natural chegase ao resultado que ao reintroduzir a variável original tornase ou seja 54 Este resultado representa a velocidade instantânea de um objeto que cai sob efeito de um força de resistência proporcional à velocidade A grandeza tem unidade de tempo verifique isso e é denominada de tempo característico do movimento Interessantemente podese calcular a aceleração instantânea do objeto durante a queda 12 Note que para o instante inicial e supondo que o objeto caia a partir do repouso a aceleração vale conforme o esperado Para se obter a função horária da posição do objeto em queda observase inicialmente que em que é dado pela equação 54 Procedendo como de habitual com a separação de variáveis temse 55 é a posição instantânea do objeto em queda Observe que em as soluções obtidas para a velocidade e a posição do objeto em queda satisfazem as condições iniciais previamente estabelecidas 13 EXERCÍCIOS 1 Mostre que no limite em que a velocidade instantânea de queda de um objeto massivo tornase a velocidade terminal desse objeto 2 Mostre que o movimento do objeto em queda tornase um MRU quando a condição de velocidade terminal é atingida Dica aplique o limite temporal na expressão para a posição instantânea 3 A partir das expressões para e a mostre que para o movimento de queda do objeto é tipicamente um MRUV b Encontre o primeiro termo de correção para a aproximação do MRUV que é proporcional a no caso da velocidade e a no caso da posição Dica é necessário fazer a expansão em série de Taylor em torno do zero c Qual condição é necessária afim de que o movimento do objeto em queda se aproxime do caso ideal sem resistência do ar Basta examinar os termos de correção do item anterior 4 Considere um objeto em queda a partir do repouso Em que instante de tempo sua velocidade instantânea será igual a metade de sua velocidade terminal 5 Considere o lançamento vertical de uma bola a partir do chão com velocidade inicial a Em que instante de tempo a bola atinge sua altura máxima b Qual é a altura máxima da bola 6 Um bloco de madeira de massa desliza sobre uma superfície horizontal que foi lubrificada com óleo O bloco sofre a ação de uma força viscosa de resistência do tipo em que é uma constante a Se a velocidade inicial do bloco é em mostre que o deslocamento máximo do bloco será dado por b Qual a dimensão da constante 14 7 Um barco cuja velocidade inicial é é desacelerado por uma força de atrito em que e são constantes Determine seu movimento e encontre o tempo e a distância necessária para o barco parar Referências M Alonso e E J Finn Física um Curso Universitário LTC vol1 1ª edição São Paulo 1972 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004