Lista 3 - Mecânica Clássica 2022 2

Terceira Lista de Mecânica Clássica Para 0902 Os exercícios são de fato bem gerais Quero avaliar a capacidade de modelar cada um dos problemas propostos e a elegância matemática das soluções Os exercícios devem ser resolvidos individualmente digitalizados e enviados até o dia 09022023 às 12h Durante a aula do mesmo dia nomearei alguém para discutir a solução no quadro 1 Considere a luz passando de um meio com índice de refração 1 para um outro com índice de refração 2 Use o Princípio de Fermat para minimizar o tempo e deduza a Lei da Refração 2 Em termos gerais uma catenária é uma curva assumida por uma corrente ou cabo flexível suspensa fixada apenas por suas extremidades e sujeita somente à força da gravidade Demonstre a expressão abaixo e comente as relações desta com a equação de Euler 3 Em Mecânica Clássica é dito que as Equações de Lagrange e as Equações de Newton são idênticas se as coordenadas Generalizadas são as coordenadas retangulares Prove esta afirmação 4 Considere uma partícula movendose em um campo de força constante partindo do repouso de algum ponto x1y1 para algum ponto mais abaixo x2y2 Encontre o caminho o qual a partícula realiza no menor tempo 5 Para um sistema fechado e homogêneo é possível escrever um Teorema de Conservação de Energia da seguinte forma Mostre como a expressão é desenvolvida e qual o significado da função H Podemos esquematizar o problema da seguinte forma A Fonte d₁ Mírio 1 Mírio 2 P Θ₁ Θ₂ d₂ Observador e pelo Princípio de Fermat dtdx 0 e temos que v₁ v₂ e então d₁ a²x² e d₂ cx²b² e Também senoΘ₁ xd₁ senoΘ₁ xa²x² senoΘ₂ cxd₂ senoΘ₂ cxcx²b² u o tempo total de percurso t t₁t₂ d₁v₁ d₂v₂ t a²x²v₁ cx²b²v₂ u fazendo dtdx 1v₁ senoΘ₁ 1v₂ senoΘ₂ e como dtdx 0 senoΘ₁v₁ senoΘ₂v₂ A representação do problema é dada por x₂y₂ x₁y₁ y A superfície é gerada pela rotação da curva y γx O elemento de área é dado por dA 2πx ds e como ds² dx² dy² Elemento de deslocamento ds 1dydx²dx logo ds 1γ²dx dA 2pi x sqrt1 doty2 dx yx a int fracdxsqrtx2 a2 a extarcosh left fracxa right b L fracm2 dotx2 doty2 dotz2 Vx y z Fxfracpartial Vpartial x Fyfracpartial Vpartial y u Fzfracpartial Vpartial z u mddotxFx mddotyFy u mddotzFz u somando as componentes nXhatexmddotyhateymddotzhatezFxhatexFyhateyFzhatez vecm ddot vecF com vecuuxuyuz u vecFFxFyFz 4 Suponto o campo de forças como sendo o campo gravitacional e pela conservação de energia vfracdsdtsqrt2gy u como dssqrt1xprime2dy Rightarrow fracdsvdt Rightarrow fracsqrt1xprime2sqrt2gydydt O funcional toma a forma Tyintx2y2x1y1dtintx2y2x1y1fracdsv u suponto que x0y000 u xxyy0x0y0 Tyfrac1sqrt2gint0x0sqrtfrac1xprime24dy logo fxxprimeyleftfrac1xprime2yrightfrac12 e pela Equação de Euler fracpartial fpartial xfracddyleftfracpartial fpartial xprimeright0 Rightarrow fracddyleftfracpartial fpartial xprimerightbiggrvertxprimeC10 xprimeC1sqrty1xprime2 u fazendo a substituição xprime ant Rightarrow antC1sqrty1 an2t Rightarrow Rightarrow an2tC12y1 an2t Rightarrow yfrac an2tC121 an2t fazendo também C2frac1C1 yC2frac an2td an2t fracC2 an2tC121 an2t fracC2cos2tsin2tcos2t yC2sin2t fracC22dcost u como xprimefracdxdy ant Rightarrow dx antdy u assim fracdydtC2sint Rightarrow dyC2sintdt unP dx C₁T sin²t dt u² C₂ x²rt cos t sin t dt cos t dx 2C₂ sin²t dt x 2C₁ sin²t dt C₁ 1 cos 2t dt x C₁t C₂ sin²t C₃ 2 u como x 0 C₃ 0 então x C₂ t sin 2t e y C₂ 1 cos 2t e fazendo xt φ e C₂ ω² C₁ x Cφ sin φ e y C1 cos φ Família de Ciclídeos São equações paramétricas 13 O teorema é dado por L i qi Lqi ctC H H i qi Lqi L A derivada Total dHdt i qi Lqi qi ddt Lqi i Lqi qi Lqi qi Lt e como Lqi ddt Lqi dHdt Lt se L Lqq dHdt 0 H cte daí vemos que H é a função energia total