Resolução - Lista 4 - Física 3 - 2015 2 - Professor Esdras

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA\nINSTITUTO DE FÍSICA\nDepartamento de Física do Estado Sólido\n\nDisciplina: Física Geral e Experimental III\n2014.2\nProf.: Edmar S. Santos\n\nQuarta Lista de Exercícios\n\n1. Uma bobina circular de raio 3,0 cm, comprimento 5,0 cm, possui 400 espiras e conduz uma corrente de 5mA. Calcule: a) o fluxo magnético através da bobina; b) a indutância da bobina. (Resp. 9,5)6,9 x 10^-7T.m²; b)11,4mH)\n\n2. Em um certo instante dois indutores apresentam correntes i1 e fem. auto-induzido com indícios nas figuras a e b do lado. A corrente está aumentada ou diminuída em cada figura? (Resp. a) aumentando na Fig. a; b) diminuindo na Fig. b)\n\n3. Dois solenóides com raios de 2cm e de 5cm são coaxiais. Cada qual tem 25cm de comprimento, o primeiro 300 espiras e o segundo 1000 espiras. Calcule a indutância\n\n4. Dois indutores L1 e L2 estão separados por umas distâncias que torna desprezável a influência do campo magnético um sobre o outro. Mostre que a indutância equivalente é dada por: a) Leq = L1 + L2 se estiverem ligado em série; b) 1/Leq = 1/L1 + 1/L2 se estiverem ligados em paralelo.\n\n5. Um solenóide com uma indutância de 6,30 H é ligado em série com um resistor R = 12Ω. a) Se uma bateria de 14,0V é ligada ao par de componentes, quanto tempo é necessário para que a corrente no resistor atinja 80% do valor final? b) Qual é a corrente no resistor no instante t, 0,7I2. (Resp. a)8,45s; b)17,37mA)\n\n6. No circuito da figura ao lado a chave S foi mantida fechada durante um tempo muito longo, de modo que a corrente no circuito tomou-se permanente. A dop da fonte é ε = 10V, e os resistores e o indutor têm também as que R = 100Ω, Rn = 100Ω e L = 2 H. a) Calcule as correntes em cada resistor e no indutor. b) Qual a voltagem inicial no indutor quando a chave S for aberta? c) Obtenha a corrente no indutor em função do tempo médio a partir do instante de abertura da chave S. (Resp. a)I_R = I_L = 1A; R_in = ε/100*(1 - e^(-t/τ))\n\n7. No circuito da figura ao lado tem-se que R = 15Ω,\nε = 24V, L1 = 8mH e L2 = 4mH. Obtenha: a) a taxa de variação da corrente em cada indutor e no resistor, logo após a chave S estiver fechada. b) Qual a corrente final? (Resp. a)I_R = 9000A/s; I_L = 3000A/s; I_L2 = 6000A/s; b)1,6A)\n\n8. Considere o circuito de diagramas da questão 6, onde agora a chave S está inclusa e não existe corrente circulando no circuito. Se no instante t = 0 a chave S é fechada, mostre que os corretos nos resistores e no indutor têm tempo sérios expressos por\nI_R = I_R(1 - e^(-t/τ)); I_L = R/(R+R_H)*ε^E*t; e I_L = ε/(R + R_H) (1 - e^(-t/τ)), onde τ = R_RH\n\n9. Na figura ao lado a fonte é ajustada automaticamente de forma a fornecer uma corrente I contínua ao circuito. Determinar: a) a corrente no circuito; b) a energia no indutor; c) a energia no condensador. (Resp. a)I_c = 0,92 uA; b) I = 2,60; - 5 longitudando. densidades de energia elétrica e magnética são iguais.\n\n14. Um cabo coaxial é constituído por dois cilindros condutores, de paredes delgadas, com os raios r1 e r2 mostrados na figura ao lado. A corrente I tem uma direção oposta pelo cilindro interno e retorna na direção oposta pelo cilindro externo. Mostre que: a) a densidade de energia magnética na região entre os cilindros é expressa por uB = 12(η2/r2) e; b) a energia no volume de comprimento ℓ é expressa por uE = 14(η2/r1) 2; a auto-indutância é dada por L = μ0η ln(r2/r1)\n\n15. No instante t = 0 uma bateria de fem ε ligada em série a um resistor R e um indutor L. Mostre que no instante t = t1, onde k é uma constante, a) a potência Pn dissipada no resistor e potência PL dissipada no indutor obedecem a relação Pn = ( ηk-1), b) a energia armazenada no campo magnético do indutor é U_L = (ε/k - 1).\n\n16. Um resistor R = 6,70 Ω e um indutor L = 5,50 H estão ligados, no instante t = 0, em série com umas fontes de primeiro, cujo fem é 10,0 V. Qual é a energia fornecida pela fonte durante os primeiros 2,00s? Qual é a energia dissipada pelo resistor nesse intervalo? (Resp. 18,7J; 15,6J, 6,13J)\n\n17. Um solenóide tem 85,6 cm de comprimento, uma seção reta de 17,2 cm2, 950 espiras e percorre um circuito de 6,0A. Calcule a densidade de a) do campo magnético interior do solenoide, b) determine a energia armazenada nesse solenoide.\n\n18. Um fio de cobre conduz uma corrente de 10A uniformemente distribuída em uma secção reta. Calcule a densidade de energia a) do campo magnético b) do campo elétrico na superfície do fio. O diâmetro do fio é 2,5 mm e a resistência é 3,0 × 10^-4 Ω/m.\n\n19. O campo magnético induzido a 6,0 mm do eixo central de um capacitor de placas circulares e paralelas é 2,0 x 10^-7T. As placas têm 3,0rm de raio. Qual é a taxa de variação dE/dt do campo elétrico entre as placas? (Resp. 2,4 x 10^19V/m/s)\n\n20. Na figura ao lado é mostrada a placa de um capacitor de placas paralelas que está sendo descarregado por uma corrente I = 5,0A. a) Qual a taxa de variação do campo elétrico entre as placas? Qual o valor de B.dl ao longo da linha traçada na qual r = 0,7 cm e d = 3,0mm? (Resp. a)8,8 x 10^14W/m2; b)5,9 x 10^-7T.m)\n\n21. a) Prove que a corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas e de capacitância C pode ser escrita na forma I = C(dV/dt), onde V é a ddp entre as placas. Mostre que o módulo da densidade de deslocamento é Jd = ε0(dE/dt), para pontos internos ao capacitor.\n22. Um capacitor de placas paralelas e circulares de raio 40mm está sendo desfalcado por uma corrente de 6,0A. A que distância radial ai) do lado de dentro e b) do lado de fora do espaço entre as placas o campo magnético incluído é igual a 75% do valor máximo? c) Qual é o valor máximo? (Resp. a)30mm; b)3,0 × 10−7)\n23. A região ao lado mostra uma região circular de raio R = 3,00m na qual um fluxo elétrico uniforme aponta para fora do plano. O fluxo elétrico total através da região é ΦE = 3,00m², e t é o tempo medido em segundos. Determinando o módulo da densidade de módulo elétrico induzido a uma distância radial de 20,00cm; b) de 5,00cm. (Resp. a) 1,18 x 10-10 m; b) 0,3 x 10-10 m)\n26. Um fio de prata tem uma resistividade ρ = 1,62 x 10−8Ωm e uma seção reta de 3,00mm². A corrente no fio é uniforme e varia à taxa de 2000A/s quando a corrente está ligada a 100A. a) Determine o módulo do campo elétrico no fio quando a corrente é 100A. b) Determine a corrente de deslocamento no fio nesse instante. c) Determine a razão entre o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento e o módulo do campo magnético produzido pela corrente. (Resp. a)0,324V/m; b)2,87 x 10−16; c) 2,87 x 10−4)\n27. Um capacitor de placas paralelas e circulares de raio R = 18,0cm está ligado a uma fonte de fem e = 226sen(wt), onde ω = 130rad/s. O valor máximo da corrente de deslocamento Id = 72,60uA. a) Determine o efeito de borda. a) Qual o valor máximo dos corrente no circuito? b) Qual o valor máximo de d? Qual é a distância entre as placas? (Resp. a)3,6μA; b) 3859μA; c) 39mm)\n28. Um capacitor de 7,50mF é carregado até 12V e, a seguir, desconectado da fonte. V = V1 + V2\n= L1 dI/dt + L2 dI/dt\n= V = (L1+L2) dI/dt → L = L1 + L2\n\ndI/dt\n\nV = V1 + V2 = I·R\n= L2 dI/dt → L = L1 + L2\n e dI/dt = L2/(L1+L2)\ndI1/dt → I = (dI1/dt)/(L1 + L2)\n R = 12KΩ e L = 6.30 mH : ε = 14V\n\nV1 + V2 = ε = R1 + L dI/dt\n\ndI/dt + RI/L = E\n\nI = I1 + I2\n\nSolução homogênea\n\ndI/dt + R/I = 0 → I = I0 e^(-Rt)\n\nI0 é uma amplitude de corrente\n\nSolução particular\n\nI = Io + λ com constante\n\nI = I0e^(-Rt) + A\n\nAplicando o resultado de volta no eq. diferencial\n\n0 = I0 e^(-Rt) + λ\n\n-1/L Io e^(-Rt) + λ + 2 = λ → A = ε/R\n\nAplicando a condição inicial I(ε=0) = 0 (a corrente vai diminuir sem continuar)\n\nI = E/R(1 - e^(-Rt)\n\nA corrente em todo circuito é direto pela eq. acima. O valor máximo ε = E/R\n\n0,8 ε/R = e^(-Rt) → e^(-t) = 0,12 → -Rt = ln(0,2)\n\nt ≈ 8,45·10^-3 → ts = 8.45 ms\n E = 10V, R = 10Ω, Ra = 100Ω e L = 2H\n\na) Após um longo tempo, a corrente já atingiu seu valor final e este é composto como um 1A\n\nApós um longo tempo, nenhum corrente possui pelo nosso R1 → Ira = 0\n\nb) No momento que a chave é aberta temos\n\nV2 = V1 = R1·IB = V2 = R1, I1 = 100·1 = $ V1 = 400V$\n\nc) Considerando o circuito desenhado em (b), e chamando I = IL\n\nV1 = V2 = R1· dI/dt - R1I → $ dI/dt = 0 $ e $ dI/dt = 0 $\n\nCuyo soluções = I = I0e^(Kt) , onde I0 = 1A e I temos constante\n\nA condição inicial é T(t=0) = 1A (sem circuitos abertos antes de abrir a chave)\n\nAbaixo R2 = 100Ω e L = 2H → I(t) = e^(-60t)\n I\n\nE=24V, R=15Ω\n\nL1=8mH, L2=4mH\n\nL = L1+L2 → L = 2/3mH\n\na) Usando o circuito equivalente (2) e o resultado obtido no exercício 5\n\nI = (E/R)(1 - e^(-t/L)\n\nAssim que a chave é fechada t=0 →\n\ndI/dt|t=0 = 3000A/s\n\ndI/dt|t=0 = 6000A/s\n\nb) corrente final t → ∞ → I = E/R → I = 1.6 A\n b)\n\nUsando as leis das malhas e li dos nós\nI = I1 + I2\nE = R*I + R1*I1\n\n dI dt = R1*I1\nI1 = E - R*I R + R1 \n\ndI1 dt + R1 E - R1*I2 R1 + R1\n\n⇒ dI1 + R1 I1 = R1 E R + R1\n\n dI2 dt = Reg*I2 = Reg E R L \n\n(1)\n\nSegundo os mesmos passos da questão S) \n • Solução particular\n dI dt + Reg*I2 = ⮯ I2 = I0 e -Reg t \n I0 é uma constante \n\n• Solução particular \n I2 = I0 e -Reg t \n\nI2 = I0 e -Reg t + A e, otimizando de volta à equação diferencial (1)\n\nReg E dI2 e = Reg I0 e -Reg t\n \nReg I2 = Reg e -Reg t Σ \n\nAplicando as condições iniciais: I2 (t=0) = 0\n\nO = I0 e + E0 = I0 = -E/R\n\n⇒ I2 = e/R (1 - e -reg t ) que é a constante no snk de snak \n\nI1 = E/R + Reg I2 \n⇒ I1 = E/R (1 - (1 - e -Reg t ))\n⇒ I1 = E/R e -Reg t\nconecte no resistor R.\n\nI = I1 + I2 = E/R (1 - e -Reg t ) + e -Reg t \n→ I = E/R ( 1 - e -Reg t )\nconecte em R, onde Reg = R||R1/2R1.