Resolução - Lista Parte_3 32-41 - Física 3 - Professor Esdras

31. Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no íon pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma \\( \\rho = -p_e r^{-2} \\), onde r representa a distância do centro do núcleo e a raio de Bohr. Calcule: a) \\( \\phi(r) \\) o campo elétrico à uma distância r do centro do núcleo. (Resp. a)0; b)\\( E = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\left[1 - \\left(1 + \\frac{r}{a}\\right)e^{-r/a}\\right] \\) \n32. No modelo de quark de partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks; dos 1/3, cada um com carga de \\( 2e/3 \\) um quark down, com a carga de -e/3. Suponha que os três quarks estão equidistantes uns dos outros. Assuma essa distância como 1,32 x 10^{-15} m e calcule a) a energia potencial das interações entre os quarks up e b) a energia potencial elétrico total do sistema. (Resp. d) 84 e) b) zero \n33. As cargas mostradas na figura ao lado são fixadas no espaço e possuem valores \\( q_1 = 3\\mu C, q_2 = 4\\mu C e q_3 = -6\\mu C. \\) Encontre o valor da distância z de tal forma que a energia potencial do \n\n34. Os dois anéis da figura ao lado são separados por uma distância 2R, possuindo raio R e mesma carga q. Mostre que o potencial mínimo devido a carga dos anéis é \\( V_{min} = \\frac{q}{2\\pi\\epsilon_0 \\sqrt{R^2 + x^2}} \\) ocorre no ponto médio entre os anéis e sobre o eixo de simetria. \n35. Considere duas finas lâminas carregadas, interligadas e paralelas, numa plano z = 0 e a outra no plano z = d e positivas ou negativas em origem. a) Determine o potencial elétrico em todos os pontos do espaço se os planos têm densidades positivas e iguais neste. b) Determine o potencial elétrico em todos os pontos do espaço se a lâmina no plano x=0 tem densidade de carga +σ e a lâmina no plano x=a tem densidade -σ.\nResp.\n x ≤ 0 0 ≤ x ≤ a x ≥ a\na) \\( \\frac{σ}{2ε_0} \\) 0 -\\( \\frac{σ}{2ε_0} \\)(x-a)\nb) 0 -\\( \\frac{σ}{2ε_0} \\)\n36. a) Quanta carga está na superfície de um condutor esférico isolado que tem raio 10cm e está carregado com 2,00kV? b) Qual é a energia potencial eletrostática deste condutor? (Resp. a) 22, 3nC; b) 22, 3µC? \n37. Duas esferas metálicas têm raio 10cm cada uma. Os centros das duas esferas estão separados por 50,0cm. As esferas estão inicialmente neutras, mas uma carga Q é transferida de uma esfera para outra, criando uma diferença de potencial entre elas de 100V. Um próton é liberado do repouso na superfície da esfera carregada positivamente e viaja para a esfera carregada negativamente. Com que rapidez ele colide na esfera? (Resp. 1, 38 x 10^5 m/s)\n38. Um condutor esférico de raio R possui potencial V. Quando ele é conectado através de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esférico muito distante, seu potencial cai para 3V/5. Qual é o raio da segunda esfera? (Resp. 2R/3)\n39. Três finas cascas esféricas condutoras e concêntricas têm raios a, b e c onde a < b < c. Inicialmente a casca interna está descarregada, a casca intermediária tem uma carga positiva +Q e a casca externa tem uma carga -Q. a) Determine o potencial elétrico de cada uma das três cascas. Se agora, as cascas interna e externa forem conectadas por um fio condutor que está isolado e que passa através de um pequeno orifício pela esfera intermediária, b) qual é o potencial das três cascas e c) qual é a carga final em cada uma? \nResp.\nVa = Vb = 0\nV_c = 0\nb) \\( V_a = KQ(\\frac{c-b}{c(a-b)}) \\)\nK = 1/4\\pi\\epsilon_0 40. Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio a e b, onde b > a. A casca externa tem uma carga Q, mas a interna está aterrada. Determine: a) a carga na casca interna; b) o potencial V(r) devido às duas cascas para todo o espaço.\nResp.\n a) q = -Qa/b;\nb) V(r) = \\frac{KQ}{r} para r < a; \\frac{KQ}{b} para a ≤ r < b e V(r) = \\frac{KQ}{r} para r > b \nonde K = 1/4πε_0\n41. Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras carregadas têm raios a e b, onde a < b. A casca interna tem carga q e a casca externa possui potencial elétrico V0. Mostre que o potencial da casca interna é expresso por V(a) = V0 + \\frac{2πλln(b/a)}{ε0}. Mostre também que a carga da casca externa deve ser igual a -q para que o potencial seja constante nos pontos externos às cascas. 33) Distribuição Equilibrada de cargas\n\\( \\rho_{rec} = \\frac{Q}{l} = \\frac{8. 10^{-6}}{=5} \\)\n\\( U = \\frac{1}{4\\pi \\epsilon_0} \\frac{(Q_{1})(Q_{2})}{d} \\)\n\\( U = 0 \\)\nComo é, \\( U = 4.8.10^{-6} eV \\)\n\\( U = 0\\)\n34)\\( \\U = 0 \\)\n35) \(d\)\\( =0 \\) \n\\( (x-x_d) = 0 \\)\n\\( (x+x_d)(x_{x_d}) = 0 \\)\n\\( x = d \\)\n36) \n\\( d = \\frac{q}{\\mu} \\)\n\\( q = \\int_a^b \\) \\( \\lambda{\\circ}r \\)\n\\( V = - \\frac{1}{2r^3} \\)\n\\( V = \\int_0^0r da) \n\\( = \\frac{1}{C} \\)\n\\( 2πr_{1} \\) } Vamos calcular o campo elétrico de uma linha 2, proveniente de uma carga. Suponha uma superfície Gaussiana em forma de cilindro com área igual a A. Pela Lei de Gauss: \n\n\\[ \\int E \\cdot dA = \\frac{q_{enc}}{\\varepsilon_0} \\]\n\n\\[ E \\cdot (2\\pi rL) = \\frac{\\lambda L}{\\varepsilon_0} \\rightarrow E = \\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0 r} \\]\n\nPara x<0 é algo similar para a linha 1 e obtemos: \n\n\\[ E = 0 \\]\n\nPara x>a:\n\n\\[ E = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} \\]\n\nE para 0<x<a:\n\n\\[ E = E_1 + E_2 = \\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0 r} \\]\n\n\\[ V = -\\int E.dx \\rightarrow V = -\\frac{\\lambda}{2\\pi\\varepsilon_0} \\log \\left(\\frac{x-a}{x}\\right) \\]\n\nO potencial na superfície de um condutor é:\n\n\\[ V = \\frac{\\lambda z}{4\\pi\\varepsilon_0} \\]\n\nAssim, para 0<x<a:\n\n\\[ V = 0 \\]\n\nPara a potencial: \n\n\\[ V = \\frac{\\lambda}{4\\pi\\varepsilon_0} \\int \\frac{dx}{x} \\rightarrow V = -\\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} \\]\n\n\\[ E = \\left. {V(y)} \\right|_{y=0} ~ 2.225 \\times 10^{-6} \\]\n\nDiagrama:\nC1 C2 O potencial na superfície do corpo é:\n\n\\[ V = \\frac{q}{4\\pi \\varepsilon R} \\]\n\nA partir da conexão, o potencial cai para:\n\n\\[ V = \\frac{q}{4\\pi \\varepsilon (R + r)} \\rightarrow q = \\frac{2q}{3} \\]\n\nO potencial na esfera 2 é:\n\n\\[ V = \\frac{1}{4\\pi \\varepsilon R} \\]\n\nE então a carga transferida para a esfera 2:\n\n\\[ q' = q - q' = \\frac{2}{5} \\rightarrow q = \\frac{3q}{7} \\]\n\nO potencial na esfera 2 é:\n\n\\[ V = V = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon(2R)} \\]\n\nAssim como:\n\n\\[ V = \\frac{2k(e)}{R^{2} + R} \\]\n\nConcluindo:\n\\[ V(r) = V(n) + V(n) + \ldots = \\frac{2q}{4\\pi \\varepsilon r} + \\frac{q}{R} \\] Para os planos:\n\n\\[ V_c = V_a + V_b + V' = - \\frac{q}{4\\pi\\varepsilon b} - \\frac{q}{4\\pi\\varepsilon b'} \\rightarrow V = 0 \\]\n\nO potencial devido às duas cargas:\n\n\\[ V(r) = V_a + V_b \\rightarrow V(n) = 0 \\]\n\nSe a<b:\n\n\\[ V(n) = \\frac{qa}{4\\pi\\varepsilon b} - \\frac{q}{4\\pi \\varepsilon b} \\rightarrow V' = 0 \\]\n\nEntão se r > b:\n\n\\[ V(n) = V_a + V_b + V'(n) \\rightarrow V(n) = \\frac{Qa}{4\\pi \\varepsilon (1 - \\frac{a}{b})} \\] 4)\n\na) Considere uma superfície Gaussiana desenhada, envolvendo a carga em causa.\n\n∫ E . dS = \n\nt \n\nd \n\td \n\td\n\td \n\td\n\td \n\td\n\n\t\n∫ E . dS = \n\t\to E = \frac{qa}{2\pi\varepsilon_0 L}.\n\n\tdesde que dada uma carga por unidade de comprimento.\n\nE_r = \frac{q}{L} \cdot \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 r}\n\nO potencial em V(r) é:\n\nV(b) = \int_{n_0}^{b} E \cdot dr = -\int_{n_0}^{b} E_r dr.\n\nV(b) = -\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln(b/n_0)\n\nEnt.\n\nV(a) = V(b) - \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln(\frac{a}{n_0})\n\nb) O potencial em V(a) = V(b) - q a carga na caixa externa é S_b.\n\nAplicando o Lei de Gauss:∫ E . dS = -\frac{q}{\varepsilon_0}\n\nd => E = -\frac{q}{2\pi \varepsilon_0 L} \Rightarrow E = 0, pois E =-\nabla V