Anotações_ga resumo

GEOMETRIA ANALÍTICA\nAB =(x2-x1,y2-y1)\n\n- Coordenadas de um vetor no plano\n\\vec{u} = AB; A=(x1,y1) , B=(x2,y2) \\Rightarrow \\vec{u} =(x2-x1,y2-y1)\n\n- Equação Vetorial da Reta\n\\vec{P} = A + t \\vec{v}, t \\in \\mathbb{R} \\text{ e seja: } (x,y) = (x1,y1) + t(a,b)\n\n- Equação Paramétrica da Reta\n\\begin{cases}\nx = x1 + ta \\\ny = y1 + tb\n\\end{cases} \\implies \\frac{x-x1}{a} = \\frac{y-y1}{b}\n\nEq. Simétrica da Reta\n\n- Equação Cartesiana da Reta\nAx + By + C = 0\n\n- Dependência Linear\n\\vec{u} = (a,b) \\text{ e } \\vec{w} = (a',b') \\text{ são LD } \\iff \\begin{vmatrix}a & a' \\ b & b'\\end{vmatrix} = ab' - a'b = 0\n\n\\vec{u} = (a,b) \\text{ e } \\vec{v} = (a',b') \\text{ são LI } \\iff \\frac{ab'}{a' b} \\neq 0\n\n\\vec{u},\\quad\\vec{v} \\text{ vetores linearmente } \\iff \\text{ se existem } \\alpha, \\beta \\text{ tais que } \\vec{u} = \\alpha\\vec{v} + \\beta\\vec{w} - Norma de um vetor\n\\|\\vec{v}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2}\n\n- Produto interno e Produto escalar (.)\n\nProduto escalar: \\vec{u} . \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\|\\vec{v}\\| \\cos(\\theta_{uv})\n\n\\vec{v} = x_1\\hat{i} + y_1\\hat{j}\n\\vec{w} = x_2\\hat{i} + y_2\\hat{j}\n\\vec{w}\\text{ Orthogonalidade de vetores}\n\\|\\vec{N}\\| = \\|\\vec{M}\\|\n\nA=(x1,y1) \\quad \\vec{u} = ax + by = c\n\nB=(x2,y2) \\quad ax + by = c \n\n\\begin{cases}ax + by = c\\\\ (a,b) (x1-x2,y1-y2) = 0\\end{cases} \\\implies\\|\\vec{N}\\|^2 = 0\n\n- Distância de ponto à reta\nPonto P(x1,y1) Reta: r = ax + by + c\n\\hat{d}(P,r) = \\frac{|ax_1 + b y_1 + c|}{\\sqrt{a^2 + b^2}} - Seções Cônicas\n- círculo, elipse, parábola e hipérbole\n\n- Parábola\n\nI.\nv: vértice\np: parâmetro\n\n\\begin{align}\nd(P,F) = d(P,d_1)\\Rightarrow d_1= y - P\\\\\nP' = (x1,p)\n\\end{align}\n\n\\[x^2 = 4py\\Rightarrow \\text{Eq. Reduzida da parábola voltada pra cima.}\\]\n\n\\begin{align} x^2 = -4py \\Rightarrow \\text{Eq. Reduzida da parábola voltada pra baixo.}\\end{align}\n\n\\begin{align} y^2 = 4px \\Rightarrow P|direita\\end{align}\n\n\\begin{align} y^2 = -4px \\Rightarrow P|esquerda\\end{align}\n\n* Translação de eixos\n\nFórmulas.\n\\begin{align} x = h + x' \\Rightarrow x' = x - h\\\\ y = k + y' \\Rightarrow y' = y - k\\end{align} • Elipse\nd(P,F1) + d(P,F2) = 2a\n\n¥ Elipse com eixo focal em x:\nA1 A2: Eixo maior = 2a\nB1 B2: Eixo menor = 2b\nF1 F2: Eixo focal = 2c\nc = (0,0)\na^2 = b^2 + c^2\nA1 = (-a,0)\nA2 = (a,0)\nF1 = (-c,0)\nF2 = (c,0)\nd(P,F1) + d(P,F2) = 2a\n\nx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 => Eq. Reduzida da Elipse Ox\n\n¥ Elipse com eixo focal em y:\n\nx^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 => Eq. Reduzida da Elipse Oy\n\nSe a=b (Circunferência)\n\nx^2 + y^2 = r^2 • Hipérbole\nd(P,F1) - d(P,F2) = 2a\n\nF1 F2: Eixo focal = 2c\nA1 A2: Eixo real = 2a\nB1 B2: Eixo imaginário = 2b\nP e as assintotas\nA1 = (-a,0) B1 = (0,b)\nA2 = (a,0) B2 = (0,-b)\nF1 = (-c,0) F2 = (c,0)\nc^2 = a^2 + b^2\n\nx^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 => Eq. Reduzida da hipérbole com centro na origem e eixo focal sobre Ox\n\nx^2/b^2 - y^2/a^2 = 1 => Eq. Reduzida da hipérbole com centro na origem e eixo focal sobre Oy\n\n* Equação das Assintotas\na) com eixo focal sobre Ox: y = ±b/a * x\nb) com eixo focal sobre Oy: y = ±a/b * x\n\n• Coordenadas no R³\n- coordenadas de um vetor\n\\vec{v} = x^ \\hat{i} + y^ \\hat{j} + z^ \\hat{k} - dois vetores são colineares ou paralelos se:\nx1 y1 z1\nx2 y2 z2\n\n* Dependência Linear\nSe \\vec{v_1} = <x1,y1,z1>, \\vec{v_2} = <x2,y2,z2>, e \\vec{v_3} = <x3,y3,z3>, então:\n\n| x1 x2 x3 |\n| y1 y2 y3 | = 0\n| z1 z2 z3 |\n\n* Eq. da Reta\nP = A + tB\n(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c) => Eq. Vetorial da reta\n\nx = x1 + at => Eq. Paramétrica\n\ny = y1 + bt => Eq. Simétrica\nz = z1 + ct\n\n* Coplanares\nD = A + gB + tC => Eq. vetorial do plano\n(x,y,z) = (x1,y1,z1) + s(a,b,c) + t(d,e,f)\n\nx = x1 + as + d1\ny = y1 + bs + e1\nz = z1 + cs + f1\n\nEq. Paramétrica do Plano Ax + By + Cz + D = 0 ⇔ Eq. cartesiana do Plano\nP1: n̄nT = 0\n(x-x1,y-y1,z-z1)·(a,b,c) = 0\nAx + By + Cz = Ax1 + By1 + Cz1 = 0\n\n* Posições Relativas entre dois Planos\nP1: ax1 + by1 + cz1 + d1 = 0\nP2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0\n\nI - P1 || P2 se, e somente se:\na1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = d1/d2\n\nII - P1 e P2 são coincidentes se, e somente se:\na1 = b1 = c1 = d1\n\nIII - P1 e P2 são concorrentes se, e somente se:\na1/a2 ≠ b1/b2 ou b1 ≠ c1\n\nObs. São perpendiculares se, e somente se n̄1·n̄2 = 0\nRetas reversas não são paralelas, não concorrem.\n\n* Produto Escalar no R3 (Revisto)\n\nr̄1 · r̄2 = ||r̄1|| ||r̄2|| cos θ • Ângulo entre dois vetores\ncos θ = z\n\n(a) se r̄1 · r̄2 > 0, então 0° < θ < 90° \n(b) se r̄1 · r̄2 = 0, θ = 90°\n(c) se r̄1 · r̄2 < 0, então 90° < θ < 180°\n\n* Produto Vetorial ou Externo\n1) r̄1 ≠ 0 se, e somente se, os vetores r̄1 e r̄2 são LD.\n2) r̄1 ≠ 0, definimos o vetor w̄ do seguinte modo:\nw̄ = r̄1 × r̄2 = ||r̄1|| ||r̄2|| sen θ com 0° < θ < 180°\n\n• w̄ é ortogonal ao plano determinado por r̄1 e r̄2\n• O sentido de w̄ é ortogonal tal que r̄1 · w̄ > 0 devem ser positivos segundo a mesma orientação da base {i, j, k}\n\nObs. o produto vetorial na base {i, j, k}:\n1) i × j = k\n2) j × k = i\n3) k × i = j\n\n* PROPRIEDADES\n\n1 - [r̄1 × r̄2] × (p̄r) = p̄(r̄1 × r̄2)\n2 - (r̄1 × (r̄2 × p̄)) = (r̄1 · p̄)r̄2 - (r̄1 · r̄2)p̄\n3 - [r̄1 × (r̄2 + r̄3)] = r̄1 × r̄2 + r̄1 × r̄3\nII) [r̄1 × r̄2] × r̄3 = r̄1 × [r̄2 × r̄3] * Interpretação Geométrica do Produto Vetorial\nsen θ = h ⇒ h = ||ū||sen θ\n\nSABCD = 1/2 ||ū||k\nSABCD = 1/2 ||ū||·||v̄||\n\n* Expressão Cartesiana do produto vetorial na base {i,j,k}\nM̄ = a1i + a2j + a3k\n\n(ū × v̄) = (a1b2 - a2b1)k + (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j\n\nSABCD = (a1b3 - a3b1) + (a2b1 - a1b2)\n\n* Produto Misto\n[r̄1, r̄2, r̄3] = r̄1 × (r̄2 × r̄3)\n\n* Interpretação Geométrica do Produto Misto\nMódulo do produto misto = volume de um paralelepípedo VP: Área da base h\nAb = |u × v|\nh = |w| cos α\nVP = |Q1| |w1| | cos α|\nVP = |u × v| × |w|\n\nObs: I) O volume do prisma de base triangular:\n|u × v| · w\n2\n\nII) O volume da pirâmide de base quadrangular:\n|u × v| · w\n3\n\nIII) O volume da pirâmide de base triangular/trapezoidal:\n|u × v| · w\n6\n\n* Propriedades do produto misto\n\n1 - Cíclico: |u × v| · w = |w × v| · u = |v × u| · w\n\n2 - Inversão não cíclica muda o sinal do produto:\n|u × v| · w = -|v × w| · u\n\n3 - Os sinais × (vetorial) e · (escalar) são permutáveis:\n|u × v| · w = |w · a| = |w1 · v2| = |x × y| · |w| - Superfícies Quádricas\nAx² + By² + Cz² + Dxyz + Exz + Fy + Gx + Iz² + J = 0\nEstudo restrito:\nAx² + By² + Cz² + αx + βy + Fz + G = 0\n\n(0, 0, 0 não sinalizam nulos)\n\n+ x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 -> Superfície centrada\n\n- Elipsóide\nx²/a² + y²/b² + z²/c² = 1\n\n* Elipsóides de revolução\nx²/a² + y²/b² + z²/c² = 1\n\n- Hipérboloide\n* De uma folha\nx²/a² + y²/b² - z²/c² = 1\n\n* De duas folhas\nx²/a² - y²/b² - z²/c² = 1 * De duas folhas\n-x²/a² - y²/b² + z²/c² = 1\nx²/a² - y²/b² - z²/c² = 1\nx²/a² + y²/b² - 1\n\nHipérboloide de uma folha Hipérboloide de duas folhas\n\n- Superfícies Quádricas não centradas\n+x²/a² + y²/cz = cz\n+x² + z²/b y + y²/z = ax\n\n- Parabóloide Elítico\nx²/b - cz = 1\n+x²/z² = 1\n+y²/b = ax Paraboloide Hiperbólico\n\n y² / b² - x² / a² - z² / c² = 1\n\nx² / a² - y² / b² = z / ax\n\nz² / c² - y² / b² = ax\n\nz² / c² - x² / a² = yb\n\nOBS: PARA CONFECÇÃO DE SUPERFICÍES FAZ-SE A INTERSECÃO COM OS EIXOS OX, OY E OZ, ACHANDO ASSIM OS PONTOS OX → (X,0,0), OY → (0,Y,0) E OZ → (0,0,Z) E DEPOIS A INTERSEÇÃO COM OS PLANOS: XY0, XZ0 E YZ0, ACHANDO AS SÉRIES CANÍCAS E AS IDENTIFICANDO. PIxy0, Z = 0, PIxz0, Y = 0 E PIyz0, X = 0.