Slide - Conservação de Energia - 2024-1

1 - 1 Métodos de Energia Conservação de Energia Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas  Dentro desta definição, também é importante compreender os conceitos de trabalho e energia, para que, então, o estudo possa ser aprofundado através da utilização:  do trabalho virtual;  da energia de deformação;  da energia potencial;  da energia complementar. 1 - 2  A análise estrutural se reveste de fundamental importância na engenharia, uma vez que compreende a idealização do comportamento das estruturas que é definida em função de diversos parâmetros.  Em geral, o objetivo da análise estrutural é determinar esforços internos e externos (esforços solicitantes e reações de apoio) e as correspondentes tensões resultantes, bem como a determinação dos deslocamentos e deformações da estrutura.  Com isso, o desenvolvimento de métodos derivados de teoremas como: 1 - 3  Além disso, com a criação e desenvolvimento de software, a análise estrutural passou a ser vista de forma mais amigável, sendo que esses programas são ótimas ferramentas para simular o comportamento das estruturas.  Todos esses conceitos permitem que o comportamento das estruturas seja melhor compreendido.  Passaram a se mostrarem eficientes, permitindo a obtenção de resultados mais precisos no estudo de estruturas lineares e não-lineares, com efeitos de instabilidade.  1º e 2º Teoremas de Castigliano;  Teorema de Crotti-Engesser;  Teorema Recíproco de Maxwell. 11.4 Energia de Deformação ❑ Para demonstrar os conceitos de energia, considera-se uma barra sujeita a uma força axial P1 que produz uma tensão (σ) e deformação (ε), dadas por: σ1 = \frac{P_1}{A} ε1 = \frac{δ_1}{L} ❑ O material da barra é considerado elástico, com curva tensão-deformação (σ × ε) não-linear. ❑ A relação força versus deslocamento (P × δ) terá a mesma forma da curva tensão versus deformação. ❑ O trabalho (W) realizado pela força P é dado por: W = \int_{0}^{δ_1} P(δ)dδ ❑ Esse W pode ser interpretado como sendo a área abaixo da curva P × δ. ▪ δ1 é máximo valor do deslocamento. ❑ Como a barra se comporta elasticamente e as perdas de energia durante o carregamento e descarregamento são desprezadas, o sistema é conservativo. ❑ Todo o trabalho (W) realizado pela força será armazenado na barra em forma de energia de deformação (U) elástica, que poderá ser recuperado durante o descarregamento. 11.4 Energia de Deformação ❑ Logo, a energia de deformação (U) é igual ao trabalho (W), dada por: U = W = \int_{0}^{δ_1} P(δ)dδ σ1 = \frac{P_1}{A} ε1 = \frac{δ_1}{L} ❑ Se dividir os dois termos da expressão de U pelo volume da barra (V = AL), tem-se a densidade de energia de deformação (u), é dada por: U/V = \int_{0}^{δ_1} \frac{P(δ) dδ}{V} U/V = \int_{0}^{δ_1} \frac{P(δ) dδ}{AL} U/V = u = \int_{0}^{ε_1} σ(ε) dε u = \int_{0}^{ε_1} σ(ε) dε ❑ Essa integral representa a área sob a curva σ × ε. ▪ sendo ε1 o máximo valor da deformação. ❑ A energia de deformação (U) também pode ser determinada por: U = \int_{V} u dV ▪ Onde dV é um elemento de volume da barra. 11.4 Energia de Deformação ❑ Quando a curva tensão-deformação segue a Lei de Hooke, a energia de deformação (U), é dada por: U = \int_{0}^{δ_1} P(δ) dδ W = U = \int_{0}^{δ_1} \frac{P_1}{δ_1} δ dδ = \frac{P_1}{δ_1} \frac{δ_1^2}{2} = \frac{1}{2} P_1 δ_1 = \frac{P_1}{2} × \frac{P_1 L}{EA} \delta_1 = \frac{P_1 L}{EA} U = \frac{P_1^2 L}{2 EA} Energia de deformação (U) de uma estrutura submetida a uma força axial no regime elástico linear. σ(ε) = Eε σ = Eε ❑ A densidade de energia de deformação (u), é dada por: u = \int_{0}^{ε_1} σ(ε)dε u = \int_{0}^{ε_1} \frac{σ_1}{ε_1} ε dε = \frac{σ_1 ε_1}{2} σ_1 = E ε_1 ❑ Ou : \nu = \frac{E ε_1^2}{2} \nu = \frac{σ_1^2}{2 E} 11.5 Energia Complementar ❑ Seja uma barra sujeita a uma força axial P1 que produz uma tensão (σ) e deformação (ε), dadas por: ❑ O material da barra é considerado elástico, com curva tensão-deformação (σ × ε) não-linear. ❑ A relação carga-deslocamento (P × δ) terá a mesma forma da curva tensão-deformação. ❑ O trabalho complementar (W*) realizado pela força P1 é dado por: ▪ P1 é máximo valor da força. W* = ∫₀ᴾ¹ δ(P) dP ❑ W* pode ser interpretado como sendo a área acima da curva P × δ. ❑ Esse trabalho complementar (W*) não tem significado físico, mas pode-se notar que: W + W* = P1δ₁ ❑ Dessa forma, no sentido geométrico, W* é o complemento do W, porque ele completa o retângulo da curva P × δ. 11.5 Energia Complementar ❑ Logo, a energia complementar (U*) é igual ao trabalho complementar (W*), dada por: U* = W* = ∫₀ᴾ¹ δ(P) dP ❑ Se dividir os dois termos da expressão de U* pelo volume da barra (V = AL), tem-se a densidade de energia complementar (u*), é dada por: U*/V = ∫₀ᴾ¹ δ(P) dP/V U*/V = ∫₀ᴾ¹ δ(P/L) dP/A U*/V = u* = ∫₀ ʋ₁ ε(σ) dσ u* = ∫₀ ʋ₁ ε(σ) dσ ❑ Essa integral representa a área sobre a curva σ × ε. ▪ sendo σ₁ o máximo valor da tensão. ❑ A energia complementar (U*) também pode ser determinada por: U* = ∫ᵥ u*dV ▪ Onde dV é um elemento de volume da barra. 11.5 Energia Complementar ❑ Quando a curva tensão-deformação segue a Lei de Hooke, a energia complementar (U*), é dada por: σ = Eε δ₁ = P₁L/EA U* = ∫₀ᴾ¹ δ(P) dP U* = ∫₀ᴾ¹ δ₁/ᴾ¹ P dP = δ₁/ᴾ¹ P₁²/2 U* = ¹/₂ P₁δ₁ = P₁/₂ × P₁L/EA = P₁²L/2EA Nesse caso, U* = U numericamente, mas são duas quantidades de energia conceitualmente distintas. ❑ A densidade de energia complementar (u*), é dada por: u* = ∫₀ ʋ₁ ε(σ) dσ = ∫₀ ʋ₁ ε₁/σ₁ σdσ = σ₁ε₁/2 σ₁ = Eε₁ σ_{1}²/2E ε(σ) = ε₁/σ₁σ dε = ε(σ) 11.6 Considerações finais ❑ Usualmente, as estruturas apresentam mais de uma força atuante e, por esta razão, a energia e os termos de trabalho devem ser obtidos por somatório. ❑ Portanto, se uma estrutura com comportamento elástico não-linear for submetida a vários tipos de carregamentos, a energia de deformação e complementar serão dadas por: U = ∑∫P(δ) dδ U* = ∑∫δ(P) dP ❑ Quando se tem uma estrutura com comportamento elástico linear submetida a vários carregamentos axiais, a energia de deformação e complementar, será dada por: U = U* = ∑i P^2_i L_i / 2EA n é o número de trechos carregados. ❑ Apesar de todas as ideias precedentes relativas a energia de deformação e complementar estarem relacionadas a um barra sob tração, elas podem ser estendidas para incluir outros casos de carregamento, tais como flexão e torção. 11.6 Considerações finais ❑ A expressão da energia de deformação (U) e complementar (U*) para estruturas com comportamento linear elástico, também pode ser dada em função dos esforços solicitantes N, M, V e T: ❑ Os deslocamentos infinitesimais de um elemento dx podem ser dados por: U = 1/2 P1 δ1 U = ∫dU δθ = Ndx / EA δθ = Mdx / EI δλ = χVdx / GA δφ = Tdx / GJ Para estruturas com comportamento linear elástico, tem-se: dU = 1/2 Ndδ dU = 1/2 Mdθ ❑ Quando se tem somente força Normal N: U = ∫est 1/2 N dδ = ∫est N Ndx / 2EA U = ∫estrutura N^2 dx / 2EA ❑ Quando se tem somente Momento Fletor M: U = ∫est 1/2 M dθ = ∫est M Mdx / 2EI U = ∫estrutura M^2 dx / 2EI ❑ Analogamente, se faz o mesmo procedimento para a consideração de força cortante e momento torçor em uma estrutura. ❑ Dessa forma, obtém-se a equação de Fontviolant, dada por: U = ∫est N^2 dx / 2EA + ∫est M^2 dx / 2EI + ∫est χV^2 dx / 2GA + ∫est T^2 dx / 2GJ 11.7 Exemplo de aplicação 1 1) Uma certa estrutura suporta uma força P, que produz um deslocamento correspondente, δ, dado pela equação δ = CP^2, da curva força versus deslocamento, onde C é uma constante. Determinar a energia de deformação e a energia complementar. U = ∫_0^δ1 P(δ) dδ U* = ∫_0^P1 δ(P) dP U = ∫_0^δ1 √(δ/C) dδ U* = ∫_0^P1 CP^2 dP U = ∫_0^δ1 δ^1/2 / C^1/2 dδ U* = CP1^3 / 3 U = 2δ1^3/2 / 3C^1/2 U = 2/3 δ1 √(δ1/C) 11.7 Exemplo de aplicação 2 2) Calcular a energia de deformação da viga considerando o comportamento linear elástico, desprezando-se as influências das deformações devidas à força cortante. • EI = 2,0 x 10⁵ kNm² 1°) Reações de apoio: ΣFₓ = 0 Fₐₓ = 0 ΣFᵧ = 0 Fₐᵧ + Fᵦᵧ - 20 x 5 = 0 Fₐᵧ = 50 kN ΣMᶻₐ = 0 Fᵦᵧ x 5 - 20 x 5 x 𝟧/₂ = 0 Fᵦᵧ = 50 kN U = ∫ᵉˢᵗ M² dx / 2EI U = 1/2EI ∫₀⁵ (50x - 10x²)² dx U = 1/2EI ∫₀⁵ (2500x² - 1000x³ + 100x⁴) dx U = 1/2EI (2500/3 x³ - 1000/4 x⁴ + 100/5 x⁵) |₅₀ U = 2,604 x 10⁻² kNm = 26,04 Nm = 26,04 J 2°)Equação de Momento Fletor. Mₐᵦ = 50x - 20 x x/₂ Mₐᵦ = 50x - 10x² 11.7 Exemplo de aplicação 3 Determine a energia de deformação elástica provocada pela flexão da viga em balanço, se ela for submetida à carga distribuída uniforme (w). EI é constante. Despreze o efeito devido à força cortante; U = ∫ᵉˢᵗ N² dx / 2EA + ∫ᵉˢᵗ M² dx / 2EI + ∫ᵉˢᵗ χV² dx / 2GA + ∫ᵉˢᵗ T² dx / 2GJ U = wL²/40EI = Resposta U = 6,25 kNm = 6,25 kJ w = 20 kN/m L = 5 m EI = 200.000 kNm² 11.7 Exemplo de aplicação 4 Determine a energia de deformação na viga em balanço considerando somente o esforço decorrente ao cisalhamento. A viga apresenta seção transversal quadrada e está submetida a um carregamento uniformemente distribuído, w, (ver Figura). G é constante. U = ∫ᵉˢᵗ N² dx / 2EA + ∫ᵉˢᵗ M² dx / 2EI + ∫ᵉˢᵗ χV² dx / 2GA + ∫ᵉˢᵗ T² dx / 2GJ (Uᵢ)ᵢc = ∫₀ᴸ 6/5 (-wx)² dx / 2GA = 3w² / 5GA ∫₀ᴸ x² dx (Uᵢ)ᵢc = w²L³ / 5GA = Resposta U = 0,5 kNm = 0,5 kJ w = 20 kN/m L = 5 m GA = 20.000 kNm² 11.8 Conservação de Energia • Todos os métodos de energia usados em mecânica baseiam-se em um equilíbrio de energia, e um desses métodos tem como princípio a conservação de energia. • Pelo princípio da conservação de energia o trabalho externo (We) realizado por uma força em um corpo (estrutura) considerando o comportamento elástico linear, é dado por: We = Ue = Ui \frac{1}{2}P\Delta = \int_{est} \frac{N^2 dx}{2EA} + \int_{est} \frac{M^2 dx}{2EI} + \int_{est} \frac{\chi V^2 dx}{2GA} + \int_{est} \frac{T^2 dx}{2GJ} • Por exemplo, quando é somada as energias de deformação de todos os elementos da treliça, o deslocamento vertical (∆) no local que está aplicada a força (P) pode ser calculado por: \frac{1}{2}P\Delta = \sum \frac{N^2 L}{2AE} 11.7 Exemplo de aplicação 5 O eixo tubular está engastado na parede e é submetido aos dois torques ilustrado na Figura. Determine a energia de deformação armazenada no eixo decorrente aos torques aplicados. G = 75 GPa. Solução: U = \int_{est} \frac{N^2 dx}{2EA} + \int_{est} \frac{M^2 dx}{2EI} + \int_{est} \frac{\chi V^2 dx}{2GA} + \int_{est} \frac{T^2 dx}{2GJ} Usando o método das seções, determinamos em primeiro lugar o torque interno dentro das duas regiões do eixo onde ele é constante. 11.7 Exemplo de aplicação 5 Solução: J = \frac{\pi}{2}[(0,08\ m)^4 - (0,065\ m)^4] = 36,30(10^{-6})\ m^4\ r_{int} = r_{ext} - t Portanto, a energia de deformação (U) é dada por: U_i = \sum \frac{T^2L}{2GJ} = \frac{(40\ N\cdot m)^2(0,750\ m)}{2[75(10^9)\ N/m^2]36,30(10^{-6})\ m^4} + \frac{(15\ N\cdot m)^2(0,300\ m)}{2[75(10^9)\ N/m^2]36,30(10^{-6})\ m^4} U = 233\ \mu J 11.8 Conservação de Energia • O deslocamento vertical (∆) de uma viga no ponto que está aplicada a força (P) será determinado pela seguinte expressão: 1/2 P∆ = ∫_est (M^2 dx / 2EI) • O deslocamento angular (θ) de uma viga no ponto que está aplicado o momento (M_0) pode ser obtido por: 1/2 M_0 θ = ∫_est (M^2 dx / 2EI) A limitação que se observa nesse método, é que deverá existir uma força generalarizada (P, M, T) aplicada no ponto em que se pretende determinar o deslocamento. 11.8 Conservação de Energia – Exemplo 1 A treliça de três barras na Figura está sujeita a uma força (P) horizontal de 20 kN. Se a área da seção transversal de cada elemento estrutural for 100 mm², determine o deslocamento horizontal no ponto B. E = 200 GPa. Solução: Usando o método de nós. N_BC = 23,094 kN ΣF_x = 0 N_BC = 23,094 kN ΣF_y = 0 N_AB = 11,547 ΣF_x = 0 N_AC = 20,0 kN ΣF_y = 0 C_y = 11,547 kN Substituindo A e E pelos dados numéricos, tem-se: 1/2 P∆ = Σ N²L / 2AE (1/2)(20 x 10³ N)(∆_B)_h = (11,547 x 10³)²(1 m) / 2AE + (-23,094 x 10³ N)²(2 m) / 2AE + [+20(10³)N]²(1,732 m) / 2AE (∆_B)_h = 94.640,0 N.m / AE (∆_B)_h = 94.640,0 N.m / (100 mm²)(1 m/1.000 mm)²200(10⁹) N/m² = 4,73 x 10⁻³ m = 4,73 mm → Resposta 11.8 Conservação de Energia – Exemplo 2 Determine o deslocamento (∆_B) no ponto B, considerando os efeitos da flexão desprezando o efeito do cisalhamento. EI = 1577,64 kNm² Solução: 1/2 P∆ = [∫_est (N² dx / 2EA) + ∫_est (M² dx / 2EI) + ∫_est (χV² dx / 2GA) + ∫_est (T² dx / 2GJ)] ∆_vB = 7,606 x 10⁻² m (↓) Solução se encontra no Ava-Moodle do componente curricular em Exercício Resolvidos - Slides 11.8 Conservação de Energia – Exemplo 3 Determine o deslocamento horizontal (Δₕ(c)) no ponto C, considerando os efeitos da flexão e da força axial desprezando o efeito do cisalhamento. ½ PΔ = ∫ (N² dx / 2EA) + ∫ (M² dx / 2EI) + ∫ (χV² dx / 2GA) + ∫ (T² dx / 2GJ) Equação e Diagrama de Força Normal N(CB) = 0 N(AB) = 6 kN Equação e Diagrama de Momento fletor ΣFₓ = 0 Aₓ = 6 kN ΣF𝑦 = 0 A𝑦 = 0 ΣMᶻ(A) = 0 M(A) = 3 kNm M(AB) = -3 kNm M(CB) = -6x 11.8 Conservação de Energia – Exemplo 3 N(AB) = 6 kN M(AB) = -3 kNm N(CB) = 0 M(CB) = -6x ½ PΔₕ(c) = ∫ (N² dx / 2EA) + ∫ (M² dx / 2EI) ½ × 6 × Δₕ(c) = ∫₀² 6² dx / 2EA + ∫₀⁰·⁵⁰ dx / 2EA + ∫₀² (-3)² dx / 2EI + ∫₀⁰·⁵ (-6x)² dx / 2EI 3 × Δₕ(c) = 1/2EA [36x |₂₀ + 0] + 1/2EI [9x |₀⁰·⁵ + 36x³/3 |₀] 3Δₕ(c) = 36/EA + 9.75/EI Δₕ(c) = 12/EA + 3.25/EI Δₕ = 1/2EA (72) + 1/2EI (18 + 1.5) Δₕ(c) = 12 kNm / (200 × 10⁶ kN/m²)(2.36 × 10⁻³ m²) + 3.25 kNm³ / (200 × 10⁶ kN/m²)(9.19 × 10⁻⁶ m⁴) Δₕ(c) = 0.0254 × 10⁻³(m) + 1.77 × 10⁻³(m) Δₕ(c) = 1.79 × 10⁻³ m 1 - 24 Solução: Determine o deslocamento vertical (∆v(c) = vc) no ponto C , utilizando o método da conservação de energia. Fx 11.8 Conservação de Energia – Exemplo 4 Solução (kN) E = 200 GPa A = 60 mm² A = 80 mm² ( GPa - kN - mm ) P . vₓ / 2 = ∑(i=1 to 3) [Nᵢ² . Lᵢ / (2 Eᵢ Aᵢ)] 6 . vₓ / 2 = 1 / 2.200 [10² . 5 (10³) / 80 + (-8)² . 4 (10³) / 80 + (-6)² . 3 (10³) / 60] |vᶜ| = 9,38 mm 1 - 26  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Energia de Deformação Pág. 529 - Prob. 14.9; 14.16; 14.17 e 14.21. Pág. 528 - Prob. 14.2; 14.3; 14.4; 14.6.  Conservação de Energia Pág. 534 - Prob. 14.26; 14.27; 14.28; 14.29; 14.31; 14.32; 14.33; 14.34.