Slide - Métodos de Energia Ii- 2024-1

1 - 1 Métodos de Energia Segundo Teorema de Castigliano Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas 11.9 Métodos da Energia de deformação ❑ Com intuito de continuarmos a desenvolver outros métodos e princípios importantes baseados na energia de deformação que formam a base da Análise Estrutural. ❑ Suponhamos inicialmente, uma estrutura sob a ação de n cargas P₁, P₂, ..., Pₙ, cada qual com seu respectivo deslocamento, δ₁, δ₂, ..., δₙ. ❑ A relação entre P e δ é não-linear e representam forças e deslocamentos generalizados correspondentes, dado pela curva P × δ. ❑ A energia de deformação da estrutura, U, corresponde, portanto, ao trabalho W realizado por todas as cargas durante a sua aplicação, tal que cada uma das forças Pᵢ será expressa em função de seu deslocamento δᵢ, através da seguinte expressão: U = Σ∫ Pᵢ dδᵢ U = Σ∫ dU 11.9 Métodos da Energia de deformação ❑ Se um deslocamento δᵢ sofrer um pequeno aumento de deslocamento dδᵢ, ocorrerá um pequeno aumento da energia de deformação, dU, enquanto os demais deslocamentos serão mantidos constantes. ❑ Neste caso, temos que dU/dδᵢ é igual a derivada parcial ∂U/∂δᵢ que é a razão da variação de U em relação a δᵢ. ❑ Um diferencial de trabalho dW realizado pela força correspondente, é igual ao aumento da energia de deformação dU na estrutura, isto é: dW = dU = Pᵢ dδᵢ ❑ Igualando-se as duas expressões dU, tem-se: Pᵢ = ∂U/∂δᵢ ❑ Essa expressão é chamada de Primeiro Teorema de Castigliano, e indica que a derivada parcial de energia de deformação (U) em relação a qualquer deslocamento (δᵢ) é igual à força correspondente Pᵢ. Método dos Deslocamentos ❑ O Primeiro Teorema de Castigliano é, portanto, um método de utilização da energia de deformação (U) na análise de estruturas não-lineares, onde as incógnitas são os deslocamentos (δᵢ) dos nós (deslocabilidades) provocados por cada uma das cargas atuantes (Pᵢ). 11.14 Princípio da Energia complementar/Teorema de Crotti-Engesser ❑ O Primeiro teorema de Castigliano, é expresso pela força externa aplicada que é dada pela derivada parcial da energia de deformação(U) em relação ao deslocamento (δᵢ) no ponto de aplicação da força. Pᵢ = ∂U/∂δᵢ ❑ Então, no propósito de conceituar o Segundo Teorema de Castigliano iremos deduzir um teorema relativo à energia complementar U*. ❑ Vamos supor inicialmente, uma estrutura sob a ação de n cargas P₁, P₂, ..., Pₙ cada qual com seu respectivo deslocamento, δ₁, δ₂, ..., δₙ. ❑ A relação entre P e δ é não-linear e representam forças e deslocamentos generalizados correspondentes, dado pela curva P × δ. ❑ A energia complementar, U*, corresponde, portanto, ao trabalho complementar W* que será a área entre a curva P × δ e o eixo das ordenadas, dado por: U* = Σ∫ δᵢ dPᵢ U* = Σ∫ dU* 11.14 Princípio da Energia complementar/ Teorema de Crotti-Engesser ❑ Imaginem que para uma carga P_i aplicada seja dado um pequeno aumento de carga, dP_i, enquanto as outras cargas não sofrem alteração, a energia de complementar terá um pequeno aumento, dU*, dado por: \( \frac{dU*}{dP_i} = \frac{\partial U*}{\partial P_i} \) Nesse caso a derivada parcial \( \frac{\partial U*}{\partial P_i} \) é a razão da variação de U* em relação a P_i ❑ Outro meio de se obter uma expressão para dU* é considerar um diferencial de trabalho complementar dW* das cargas, quando a força P_i sofre um aumento dP_i. \( dW* = dU* = \delta_i dP_i \) ❑ Neste caso, a única carga que realiza qualquer trabalho complementar é P_i, porque as outras forças não tiveram alteração. ❑ Igualando-se as duas expressões dU*, tem-se: \( \delta_i = \frac{\partial U*}{\partial P_i} \) ❑ Essa expressão é chamada de Teorema de Crotti-Engesser, e indica que a derivada parcial de energia complementar U* em relação a qualquer força P_i é igual ao deslocamento correspondente \( \delta_i \). 11.14 Princípio da Energia complementar/ Teorema de Crotti-Engesser ❑ É interessante observar que o Teorema de Crotti-Engesser é muito parecido com o Primeiro Teorema de Castigliano, como mostram as expressões a seguir: \( \delta_i = \frac{\partial U*}{\partial P_i} \) \( P_i = \frac{\partial U}{\partial \delta_i} \) ❑ A energia complementar, U*, definida no Teorema de Crotti-Engesser, é expressa em função das cargas para se obter os deslocamentos correspondentes. ❑ Já a energia de deformação, U, definida no Primeiro Teorema de Castigliano, é expressa em função dos deslocamentos para se obter as cargas correspondentes. ❑ O Teorema de Crotti-Engesser é, portanto, um método de utilização da energia complementar na análise de estruturas não-lineares, onde as incógnitas são as forças (hiperestáticos). Método das Forças 11.16 Segundo Teorema de Castigliano ❑ No desenvolvimento deste teorema, diferentemente dos estudos anteriores, voltados para comportamento de estruturas não-lineares, limita-se a atenção para as estruturas com o comportamento elástico linear, tal que a energia complementar (U*) é igual e a energia de deformação (U) da estrutura. \( U* = U \) ❑ Admitindo-se uma estrutura com comportamento linear elástico sob a ação de n cargas P_1, P_2, ..., P_n cada qual com seu respectivo deslocamento, \( \delta_1, \delta_2, ..., \delta_n \) ❑ Podemos substituir U* por U no Teorema de Crotti-Engesser e obter: \( \delta_i = \frac{\partial U*}{\partial P_i} \) \( \delta_i = \frac{\partial U}{\partial P_i} \) ❑ Essa nova equação é chamada de Segundo Teorema de Castigliano e, indica que a derivada parcial da energia de deformação, U, em relação a qualquer carga P_i é igual ao deslocamento correspondente \( \delta_i \). 11.17 Exemplo de aplicação 1 Considerando uma viga engastada em balanço, sujeita à força P e ao momento M_0 atuando em sua extremidade livre (A). A viga tem o comportamento elástico linear e tem rigidez a flexão constante EI. Determine os deslocamentos, vertical e angular, na extremidade livre (A) dessa estrutura considerando somente o efeito de flexão utilizando o Segundo Teorema de Castigliano. Sabe-se que a energia de deformação U é dada por: A equação do momento fletor M para essa estrutura é dada por: M_AB = -M_0 - Px Substituindo a equação do momento fletor M_AB na expressão da U, tem-se: Aplicando o Segundo Teorema de Castigliano, tem-se os deslocamentos na extremidade livre da viga engastada: Os sinais positivos dos deslocamentos δ_vA e θ_A, significam que estão no mesmo sentido de P e M_0 11.17 Exemplo de aplicação 1 Uma outra forma de obter os deslocamentos é utilizar a equação em função do esforço solicitante para Segundo Teorema de Castigliano: A equação do momento fletor M para essa estrutura é dada por: M_AB = -M_0 - Px Substituindo as expressões na equação de δ_i, tem-se: Os sinais positivos dos deslocamentos δ_vA e θ_A, significam que estão no mesmo sentido de P e M_0 1 - 10  O resultado mostrará que o deslocamento é expresso em relação às cargas reais e fictícias.  Por fim, igualando-se a carga fictícia a zero na expressão final, obtém-se o deslocamento desejado devido às cargas reais.  OBSERVAÇÕES:  O Segundo Teorema de Castigliano só pode ser aplicado no cálculo de deslocamentos que correspondam às cargas atuantes na estrutura.  Dessa forma, consegue-se fazer o cálculo do deslocamento usando o Segundo Teorema de Castigliano.  OBSERVAÇÕES:  Para calcular o deslocamento em uma região sem aplicação de carga, será necessário colocar uma carga fictícia na estrutura, equivalente ao deslocamento desejado. A B 11.17 Exemplo de aplicação 2 Determine utilizando o Segundo teorema de Castigliano o deslocamento angular e vertical no ponto A provocado pela flexão da viga em balanço, se ela for submetida à carga uniformemente distribuída q. EI é constante. Solução: Segundo teorema de Castigliano 11.17 Exemplo de aplicação 2 Cálculo da rotação em A: Considerando-se um momento fictício M atuando na extremidade A tem-se: M = -M - \frac{q x^2}{2} \bar{M}^2 = M^2 + M q x^2 + \frac{q^2 x^4}{4} U = \int_{est} \frac{M^2 dx}{2EI} 11.17 Exemplo de aplicação 2 Cálculo da energia de deformação: U = \frac{1}{2} \int_0^l \frac{M^2}{EI} \, dx U = \frac{1}{2EI} \int_0^l M^2 \, dx - \frac{1}{2EI} \int_0^l \left( \bar{M}^2 + \bar{M} q x^2 + \frac{q^2 x^4}{4} \right) dx U = \frac{1}{2EI} \left[ M^2 l + \frac{\bar{M} q l^3}{3} + \frac{q^2 l^5}{20} \right] 11.17 Exemplo de aplicação 2 U = \frac{1}{2EI} \left[ M^2 l + \frac{\bar{M} q l^3}{3} + \frac{q^2 l^5}{20} \right] Aplicando o Segundo Teorema de Castigliano, tem-se: \Theta_A = \frac{\partial U}{\partial \bar{M}} \Theta_A = \frac{1}{2EI} \left[ 2\bar{M} l + \frac{q l^3}{3} + 0 \right] mas \bar{M} = momento fictício = 0. Portanto, \Theta_A = \frac{1}{2EI} \left[ 0 + \frac{q l^3}{3} + 0 \right] \Theta_A = \frac{q l^3}{6EI} 11.17 Exemplo de aplicação 2 *Cálculo da flecha em A:* Considerando uma força fictícia \( \overline{P} \) atuando na extremidade \( A \), tem-se: \[ M = -\overline{P} x - \frac{q x^2}{2} \] \[ M^2 = \overline{P}^2 x + \overline{P} q x^3 + \frac{q^2 x^4}{4} \] 11.17 Exemplo de aplicação 2 *Cálculo da energia de deformação:* \[ U = \frac{1}{2EI} \int_0^l M^2 \,dx - \frac{1}{2EI} \int_0^l \left[ \overline{P}^2 x^2 + \overline{P} q x^3 + \frac{q^2 x^4}{4} \right] \, dx \] \[ U = \frac{1}{2EI} \left[ \frac{\overline{P}^2 l^3}{3} + \overline{P} q \frac{l^4}{4} + \frac{q^2 l^5}{20} \right] \] Aplicando o Segundo Teorema de Castigliano, tem-se: \[ \delta_A = \frac{\partial U}{\partial \overline{P}} \] \[ \delta_A = \frac{1}{2EI} \left[ \frac{2\overline{P} \, l^3}{3} + \frac{q \, l^4}{4} + 0 \right] \] 11.17 Exemplo de aplicação 2 \[ \delta_A = \frac{1}{2EI} \left[ \frac{2\overline{P} \, l^3}{3} + \frac{q \, l^4}{4} + 0 \right] \] mas \( \overline{P} = \) força fictícia = 0. Portanto, \[ \delta_A = \frac{1}{2EI} \left[ 0 + \frac{q \, l^4}{4} + 0 \right] \] \[ \boxed{\delta_A = \frac{q \, l^4}{8EI}} \] 11.17 Exemplo de aplicação 2 Utilizando a equação em função do esforço solicitante para Segundo Teorema de Castigliano: δ_i = ∫_est M ∂M/∂P_i dx/EI A equação do momento fletor M para essa estrutura é dada por: M_AB = -M̅ - P̅x - qx²/2 ∂M_AB/∂P = -x ∂M_AB/∂M̅ = -1 Substituindo as expressões acima na equação de δ_i, tem-se: δ_vA = ∫_0^L M_AB ∂M_AB/∂P dx/EI = ∫_0^L (-M̅ - P̅x - qx²/2)(-x) dx/EI = 1/EI ∫_0^L (M̅x + P̅x² + qx³/2) dx M̅ = 0 P̅ = 0 δ_vA = 1/EI ∫_0^L (qx³/2) dx δ_vA = qL⁴/8EI θ_A = ∫_0^L M_AB ∂M_AB/∂M̅ dx/EI = ∫_0^L (-M̅ - P̅x - qx²/2)(-1) dx/EI = 1/EI ∫_0^L (M̅ + P̅x + qx²/2) dx M̅ = 0 P̅ = 0 θ_A = 1/EI ∫_0^L (qx²/2) dx θ_A = qL³/6EI 11.17 Exemplo de aplicação 3 Calcule as reações de apoio da viga ilustrada sujeita ao momento aplicado na extremidade A utilizando o Segundo Teorema de Castigliano. O módulo de rigidez EI constante. δ_i = ∫_est M ∂M/∂P_i dx/EI 1°) Estaticidade da Estrutura: g = i - e i = i_externa + i_interna e = e_externa + e_interna i_externa = 4 i_interna = 0 e_externa = 3 e_interna = 0 i = 4 e = 3 g = 4 - 3 g = 1 Estrutura restrigida (sujeição completa) Estrutura Hiperestática 2°) Equação do Momento fletor: M_AB = -M_A + V_A·x 11.17 Exemplo de aplicação 3 M_AB = -M_A + V_A·x Utilizando a equação em função do esforço solicitante para Segundo Teorema de Castigliano: δ_i = ∫_est M ∂M/∂P_i dx/EI ∂M_AB/∂V_A = x Substituindo as expressões acima na equação de δ_i tem-se: δ_vA = ∫_0^L M_AB ∂M_AB/∂V_A dx/EI = ∫_0^L (-M_A + V_Ax)(x) dx/EI = 1/EI ∫_0^L (-M_Ax + V_Ax²) dx (δ_vA)_x=0 = 0 δ_vA = -M_AL²/2EI + V_AL³/3EI 0 = -M_AL²/2EI + V_AL³/3EI V_A = 3/2 M_A/L Das equações de equilíbrio tem-se que: ΣF_x = 0 H_B = 0 ΣF_y = 0 V_A + V_B = 0 V_A = -V_B ΣM_B = 0 M_A - V_A·L - M_B = 0 M_B = M_A - V_AL M_B = M_A - 3/2 M_A/L·L M_B = -M_A/2 1 - 21  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Segundo Teorema de Castigliano Pág. 565 - Prob. 14.133; 14.134; 14.135; 14.139; 14.147; 14.155; 14.158. 11.17 Castigliano- Exemplo de aplicação 4 Determine o deslocamento horizontal do nó C do pórtico abaixo, desprezando-se as influências das deformações axiais e da força cortante pelo Segundo Teorema de Castigliano. EI constante. Indique direção correta do deslocamento com uma seta. δ_i = ∂U/∂P_i ou δ_i = ∫_est M ∂M/∂P dx/EI Δh_(C) = -43,65/EI Δh_(C) = 43,65/EI (←) 11.17 Exemplo 5 Determine o deslocamento vertical δ_vc no ponto C da treliça, utilizando o Segundo teorema de Castigliano. Solução: U = ∫_est N^2 dx/(2EA) + ∫_est M^2 dx/(2EI) + ∫_est χV^2 dx/(2GA) + ∫_est T^2 dx/(2GJ) Segundo teorema de Castigliano δ_i = ∂U/∂P_i ou δ_i = ∑N ∂N/∂P L/EA ∑F_y = 0: F_AC . sen36,87° - P = 0 ⇒ F_AC = 5/3 P F_CB P ΣF_x = 0 -F_CB - F_AC cos 36,87° = 0 F_CB = -5/3 P cos 36,87° F_CB = -4/3 P ΣF_y = 0 : F_AB - 5/3 P . cos 53,13° = 0 ⇒ F_AB = -P ∑F_x = 0: -A_x + 3/5 P . sen 53,13° = 0 ⇒ A_x = 4/3 P 11.17 Exemplo 5 Solução: Segundo teorema de Castigliano δ_i = ∂U/∂P_i ou δ_i = ∑N ∂N/∂P L/EA F_AC = 5/3 P F_AB = -P F_CB = -4/3 P U = ∑ N^2 L/2EA U = (5P/3)^2 * 5x10^3/2 * 200x10^3 * 80 + (-P)^2 * 3x10^3/2 * 200x10^3 * 60 + (-4P/3)^2 * 4x10^3/2 * 200x10^3 * 80 δ_i = ∂U/∂P_i δ_c = 5P * 5x10^3/3 * 200x10^3 * 80 + (-P) * 3x10^3/200x10^3 * 60 + (-4P) * 4x10^3/3 * 200x10^3 * 80 P = 6 kN = 6000 N δ_vc = 9,38 mm 11.17 Castigliano - Exemplo de aplicação 6 Determine o deslocamento vertical do nó B da viga contínua ilustrada na figura, considerando somente a influência da deformação por flexão utilizando o Segundo Teorema de Castigliano. Indique o sentido correto do deslocamento vertical desse nó B. Dados: EI = 527,34 kNm² δ_i = ∂U/∂P_i ou δ_i = ∫_est M ∂M/∂P dx/EI δ_v(B) = 15,29 × 10⁻³ m (↓) 1 - 26 Determine os diagramas dos esforços solicitantes do pórtico da figura abaixo. 11.4 Exemplo de aplicação 7 11.4 Exemplo de aplicação 7 11.4 Exemplo de aplicação 7 Reações de Apoio. 10,00 [kNm] 2,0 [kN/m] 5,00 [kN] 4,00 [kN] 2,00 [kN] 1,9 [kN] 6,1 [kN] 5,9 [kN] 5,00 [m] 5,00 [m] 10,00 [m] 5,00 [m] 11.4 Exemplo de aplicação 7 Diagrama de Força Cortante. 0,9 [kN] 0,6 [kN] 3,2 [kN] 3,05 [m] 6,1 [kN] 11.4 Exemplo de aplicação 7 Diagrama de Momento Flestor. -4,5 [kNm] -5,5 [kNm] -0,0 [kNm] 12,4 [kNm] 3,0 [m] 11.17 Exemplo de aplicação 7 Calcular a rotação na extremidade A da viga abaixo e a flecha no meio do vão usando o Segundo Teorema de Castigliano. Considerar apenas a energia de deformação devida ao momento fletor e comportamento elástico linear da estrutura. EI = constante. Solução: U = ∫ (N^2 dx) / (2EA) + ∫ (M^2 dx) / (2EI) + ∫ (χV^2 dx) / (2GA) + ∫ (T^2 dx) / (2GJ) Segundo teorema de Castigliano δ_i = ∂U / ∂P_i 11.17 Exemplo de aplicação 7 Resolução: Cálculo da rotação em A: Considerando um momento fítico \( \overline{M} \) na extremidade de A, tem-se: M = -\( \overline{M} \) + (qL/2 + \( \overline{M} \)/L) x - qx^2/2\} \(0 \leq x \leq l\) 11.17 Exemplo de aplicação 7 Cálculo da energia de deformação: U = 1/(2EI) ∫[0 to l] (M^2 dx) = 1/(2EI) ∫[0 to l] [-\( \overline{M} \) + (qL/2 + \( \overline{M} \)/L) x - qx^2/2]^2 dx Aplicando o Segundo Teorema de Castigliano, tem-se: Θ_A = -∂U/∂\( \overline{M} \) Θ_A = 1/(2EI) ∫[0 to l] 2[-\( \overline{M} \) + (qL/2 + \( \overline{M} \)/L) x - qx^2/2] ⋅ (-1 + x/L) dx Θ_A = 1/(2EI) ∫[0 to l] [2\( \overline{M} \) - qlx - 2\( \overline{M} \)/L x + qx^2 - 2\( \overline{M} \)/L x + qx^2 + 2\( \overline{M} \)/L^2 x^2 - q/12 x^3] dx QA = \frac{1}{2EI} \int_{0}^{l} \left[ 2\bar{M} - qlx - \frac{4M}{l} \cdot x + 2qx^2 + \frac{2M}{l} \cdot x^2 - \frac{ql^3}{l} \right] dx QA = \frac{1}{2EI} \left[2\bar{M}l - \frac{ql^3}{2} - 2\bar{M}l + \frac{2ql^3}{3} + \frac{2M}{l} \cdot l^3 - \frac{ql^3}{4}\right] mas \bar{M} = momento fictício = 0. Portanto, QA = \frac{1}{2EI} \left[-\frac{ql^3}{2} + \frac{2ql^3}{3} + 0 - \frac{ql^3}{4}\right] QA = \frac{1}{2EI} \left[-\frac{6ql^3 + 8ql^3 - 3ql^3}{12}\right] QA = \frac{-ql^3}{24EI} QA = \frac{-ql^3}{24EI} QA = \frac{-ql^3}{24EI} (lado negativo significa que QA tem sentido contrário ao de M. Portanto QA tem sentido horário) sentido horário) Cálculo da flecha no meio do vão: Considerando uma força fictícia P no meio do vão, tem-se: RA = RB = \frac{ql}{2} + \frac{P}{2} M = \left(\frac{ql}{2} + \frac{P}{2}\right) \cdot x - \frac{qx^2}{2} (0 <= x <= \frac{l}{2}) M = \left(\frac{ql}{2} + \frac{P}{2}\right) \cdot x - \frac{qx^2}{2} - P(x - \frac{l}{2}) (\frac{l}{2} <= x <= l) Cálculo da energia de deformação: U = \frac{1}{2EI} \int M^2 dx U = \frac{1}{2EI} \left\{ \int_{0}^{\frac{l}{2}} \left[-\frac{qx^2}{2} + \frac{ql}{2} \cdot x + \frac{P}{2} \cdot x\right]^2 dx + \right. + \int_{\frac{l}{2}}^{l} \left[-\frac{qx^2}{2} + \frac{ql}{2} \cdot x - \frac{P}{2} \cdot x + \frac{Pl}{2}\right]^2 dx \right\}