P2 Resolvida-2022 2

Prova escrita n° 2 - Geometria Analítica Informações sobre a execução da prova: O aluno deve enviar, no prazo máximo de 3 horas, uma digitalização de todo seu trabalho. - A primeira página digitalizada deve conter um elenco claro e legível de todas as suas respostas obtidas. - As demais páginas devem ser ordenadas e conter a resolução legível e detalhada de cada questão. Questão 1. No espaço, relativamente a um referencial cartesiano ortonormal com coordenadas {x, y, z}, determinar a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P(2, 0, 4) e é paralelo às duas retas seguintes: r1 : {x + y + z - 4 = 0 x - y + z - 2 = 0 r2 : {x - 2z = -1 y + 2z = 8 Sucessivamente calcular a distância de Q(3,4,-5) até π, e determinar também o ponto Q' simétrico de Q em relação a π. Finalmente, considerando a reta r3 que passa pelos pontos Q e P dados acima, calcular a distância entre a reta r2 e a reta r3. Questão 2. No plano, relativamente a um referencial cartesiano ortonormal com coordenadas {x, y}: 1) dizer qual das seguintes equações (i) y² + 10x - 6y = 29 (ii) 36x² - 9y² + 144x + 8y + 284 = 0 (iii) 4x² - 16y² - 50y + 9 = 0 descreve uma parábola, uma elipse e uma hipérbole; 2) no caso da parábola, determinar a equação cartesiana canônica, a transformação de coordenadas das coordenadas {x, y} para as coordenadas canônicas {ξ, η} e, usando as coordenadas (x, y), determinar a equação cartesiana do eixo de simetria assim como a equação cartesiana da diretriz e as coordenadas do vértice e do foco; 3) no caso da elipse, determinar a equação cartesiana canônica, a transformação de coordenadas das coordenadas {x, y} para as coordenadas canônicas (ξe, ηe) e, usando as coordenadas {x, y}, determinar o centro, os focos, os vértices, as equações dos eixos de simetria e calcular também a excentricidade; 4) no caso da hipérbole, determinar a equação cartesiana canônica, a transformação de coordenadas das coordenadas {x, y} para as coordenadas canônicas (ξe, ηe) e, usando as coordenadas {x, y}, determinar o centro, os focos, os vértices, as equações cartesianas dos eixos de simetria, as equações cartesianas das assíntotas e calcular também a excentricidade. Questão 3. No plano, relativamente a um referencial cartesiano ortonormal com coordenadas {x, y}, considere a cônica descrita pela equação 4x² + 6xy - 4y² + 20x - 20y - 19 = 0. Reduzir à forma canônica esta cônica, determinando em particular a correspondente transformação de coordenadas. Nesta questão não é exigida a determinação dos eventuais focos, vértices, eixos de simetria, diretriz ou assíntotas. Questão 1 P(2,0,4) r1: {x + y + z - 4 = 0 x - y + z - 2 = 0 r2: {x - 2z = -1 y + 2z = 8 | η1: {x + 3 = -y + 4 x + 3 = y + 2 η1 : x + 3 - 3 = 0 → vetor u = (2, 0, 1) r2: {x = 2y - 1 → vetor v = (1, 6, 12) y = -2z + 8 z = 3 Eq. Geral do plano π π: ax + by + cz + d = 0 u ∧ v = (-6, -1, 12) logo: π: -6x - y + 12 z + d =0 agora precisamos encontrar o valor de d como o ponto P=(2,0,4) ∈ π, podemos substituir na eq. geral do plano, assim: -6.2 - 0 + 12.4 + d =0 ⇒ d = -36 ∴ π : -6x - y + 12z - 36 = 0 (II) distância do ponto Q(3,4,-5) até π: -6x-y+12z-36=0 dQ,π = | -6x - y + 12z - 36 | √(6²)+(-1)²+(12)² Substituindo o ponto Q em dQ,π dQ,π = | -6.3 - 4 - 12.5 - 36 | √(-6)²+(-1)²+(12)² dQ,π = |-118| √(181) = 118 √(181) 181 (III) Ponto Q' (IV) r3 passa por P e Q, onde P(2,0,4) Q=(3,4,-5) Q PQ = Q-P = (3,4,-5) - (2,0,4) = (1,4,-9) r3: (x1,y1,z1) = (2,0,4) + (1,4,-9)t ou r3: {x = 2 + t y = 4t z = 4 - 9t π2: {x - 2z = -1 y + 2z = 8 conti.nua continuando (IV) vamos encontrar um vetor u referente a r2 e v ao r3. Vetor diretor de r3: v = (1, 1, -9) Vetor diretor de r1: u = | i j k | | 1 0 -2 | | 1 0 +2 | = (2, -2, 1) Verificando se u e v nao L. I. | i j k | u ^ v | 2 -2 1 | | 1 4 -9 | = (-14, 17, 6) \neq 0 tomando P = (2,0,4) \in r3 e A=(-1,8,0) AP = P - A = (2,0,4) - (-1,8,0) = (3,-8,4) d_{r3, r2} = \frac{|AP. (u ^ v)|}{||u ^ v||} = \frac{|(3,-8,4).(-14,17,6)|}{||(-14,17,6)||} = \frac{|154|}{\sqrt{521}} d_{r3, r2} = \frac{|154|}{\sqrt{521}} = \frac{154}{\sqrt{521}} Questao 3 4x^2 + 6xy - 4y^2 + 20x - 20y - 19 = 0 transformacao de coordenadas x = cos a X - sen a Y; y = cos a Y + sen a X 4x^2 = 4 cos^2 a X^2 + 4 sen^2 a Y^2 - 2.4 sen a cos a XY 6xy = 6 sen a cos a (X^2 - Y^2) + 6 (cos^2 a - sen^2 a) XY -4y^2 = -4 sen^2 a X^2 - 4 cos^2 a Y^2 - 8 sen a cos a XY 20x = 20 cos a X - 20 sen a Y -20y = -20 sen a X - 20 cos a Y tan d = \frac{(-4 - 1) \pm \sqrt{(-8)^2 + 6^2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} # sen a = \frac{tan d}{\sqrt{1 + tg^2 d}}; cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 d}} logo: sen a = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{10}}; cos a = \frac{1}{\sqrt{10}\frac{9}{9}} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}}.X - \frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}}.Y y = \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}}(Y + \frac{1}{3}X) [\sqrt{4} \frac{ ][9}{10} (x - \frac{1}{3} y)^2 + 6.\frac{9}{10} (x - \frac{1}{3} y).(x + \frac{1}{3} y) - 4.\frac{9}{10} (y + \frac{1}{3} x)^2 + 20\sqrt{9\frac{10}(x - \frac{1}{3} y)} - 20\sqrt{9\frac{10} (x + \frac{1}{3} y)}