Lista de Exercícios de Algebra Linear

Questão 1 20 Considere as transformações a seguir Verifique se cada transformação é linear Caso não seja apresente um contraexemplo a T R3 R2 tal que Txyz x y 2x y z b T R3 R2 tal que Txyz x y 2x y 1 Questão 2 35 Considere o conjunto S 111 120 310 a O conjunto S é uma base de R3 Justifique b É uma base ortogonal em relação ao produto interno usual Justifique c Determine as coordenadas do vetor 453 em relação à base S d Ao adicionarmos um vetor de R3 ao conjunto S obtemos uma nova base de R3 Explique Questão 3 15 Considere uma matriz A de ordem 4 com polinômio característico dado por detA λI λ1λ3λ2 a Determine o traço da matriz A b A matriz A é inversível Explique Questão 4 15 Considere W o subespaço gerado pelos vetores v1 1201 v2 1001 e v3 1100 Determine uma base ortononormal de W Questão 5 20 Considere a matriz A 0 0 1 0 1 2 0 0 1 a Encontre os autovalores e autoespaços de associados aos autovalores da matriz b É possível formar uma base de R3 com os autovetores associados Para uma transformação TAB A B espaços vetoriais ser linear 2 propriedades devem ser satisfeitas PS Podemos fazer usar esse artifício para vermos se é LI pois quando o determinante de uma matriz é zero significa que pode mos escrever uma das linhas como combinação linear de outra logo provaria que os vetores são linearmente dependentes caso fosse igual a zero b Não pois para ser uma base ortogonal o produto interno entre dois vetores quaisquer da base deveria ser zero No caso 111120 11 12 10 1 2 3 logo não são ortogonais Portanto não é uma base ortogonal c Basta escrevermos o vetor 453 na forma α 111 β 120 γ 310 que o vetor na base S será α β γ Quero 453 α 111 β 120 γ 310 α β 3γ 4 α 2β 0γ 5 α 0β 0γ 3 α 3 logo 3 β 3γ 4 β 3γ 1 x2 3 2β γ 5 2β 6γ 2 2β γ 8 subtrair 6γ γ 2 8 5γ 2 8 10 γ 2 2β 2 8 2β 10 β 5 Logo 453S 3 5 2 Não obtemos pois se S já forma uma base de R³ todos os vetores de R³ podem ser escrito como combinação li near dos 3 vetores de S logo colocar um vetor a mais se ria redundante pois ele será a combinação linear entre os 3 já presentes logo não seria linearmente independente deles logo não seria uma base nova mas sim a anterior com um vetor redundante a O traço da Matriz A será igual a soma dos autovalores dessa matriz e os autovalores são as raízes dos polinômios característico no caso 01 e 3 Logo Traço de A 0133 3 é autovalore com multiplicidade 2 7 bNão é inversível pois o determinante de A será igual ao pro duto dos autovalores de A logo detA 0133 0 Logo A é uma matriz singular e não é inversível μ2 v2 proju1v2 1001 μ1v2μ1μ1 1201 1001 11 116 1201 1001 13 23 0 13 2323023 e2 μ2μ2 23 23 0 23232 232 232 23 23 0 233 49 23 23 0 2323 33 33 0 33 μ3 v3 proju1v3 proju2v3 v3 v3μ1 μ1 μ1 μ1 v3 μ2 μ2 μ2 μ2 1100 11 216 1201 43 43 23 23 0 23 1100 16 13 0 16 23 23 0 23 1 16 23 1 13 23 0 16 23 6 1 46 0 0 1 46 12 0 0 12 e3 u3 u3 12 0 0 12 sqrt122 122 12 0 0 12 sqrt22 sqrt22 0 0 sqrt22 Logo base ortnormal sqrt66 sqrt63 0 sqrt66 sqrt33 sqrt33 0 sqrt33 sqrt22 0 0 sqrt22 Questão 5 20 Considere a matriz A 0 0 1 0 1 2 0 0 1 a Encontre os autovalores e autoespaços de associados aos autovalores da matriz b É possível formar uma base de R3 com os autovetores associados a detA λI λ 0 1 0 1λ 2 0 0 1λ λ1λ1λ λ0 λ1 Logo autovetores associados λ0 λ1 Autovetores λ0 Av0v vv1 v2 v3 0 0 1 0 1 2 0 0 1 v1 v2 v3 0 0 0 v30 v22v30 v30 v30 v20 Logo autovetor associado 1 0 0 Não é possível formar uma base de R³ com os autovetores associados pois temos apenas 2 vetores logo poderíamos gerar algo de 2 dimensões não podendo gerar o R³ de 3 di mensões Outro modo de pensar mais geral é quando temos um autovalor com multiplicidade algébrica vinda da multiplicidade do polinômio característico diferen te da multiplicidade geométrica dimensão do autoespaço associado