Lista de 6 Exercícios de Álgebra Linear

Questão 1 15 Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais Se sim mostre que são válidas as condições de SV Caso não exiba um contraexemplo a F xyz R³ y 2x z b F xyzw R⁴ z x² Questão 2 15 Dados os vetores V₁ 154 V₂ 321 e V₃ 31114 a Determine V₁ V₂ V₃ b Determine uma base de V₁ V₂ V₃ e dimensão Questão 3 15 Determine uma base ortonormal para o subespaço de R⁴ gerado pelos vetores V₁ 1224 V₂ 2040 e V₃ 1120 Questão 4 30 Considere T R³ R³ tal que Te₁ 157 Te₂ 8416 e Te₃ 2216 a Determine a regra que define T b Verifique se 111 pertence a imagem de T c Determine a imagem de T e uma base para esse subespaço d Determine o núcleo de T e uma base para esse subespaço Questão 5 10 Considere a representação gráfica Determine quais vetores são autovetores de A e explique Determine se o autovalor associado é positivo ou negativo Questão 6 15 Determine os autovalores e autovetores associados à matriz A 4 1 2 1 Solução 5 Como Av λv v é autovetor de A e como os vetores Av e v tem sentidos contrarios λ 0 Isto é o autovalor λ é negativo Solução 6 pλ detλI A λ4 1 λ4λ1 2 2 λ1 λ² 5λ 6 λ 3λ 2 λ 2 λ 3 autovalores Se λ 2 2 1x 0 2x y 0 2 1y 0 y 2x xy x2x x 12 12 autovetor Se λ 3 1 1x 0 x y 0 2 2y 0 y x xy xx x 11 11 autovetor Solução 4 a Seja xyz R³ xyz x e₁ y e₂ z e₃ Txyz x Te₁ y Te₂ z Te₃ Txyz x 157 y 8416 z 2216 Txyz x8y2z 5x4y2z 7x16y16z b 111 x 8y 2z 5x 4y 2z 7x 16y 16z 1 x 8y 2z 2 4x 4y x 1127 1 5x 4y 2z 9 33x 48y y 354 1 7x 16y 16z z 13 logo 111 T1127 554 13 111 ImT c Seja α T e₁ β T e₂ θ T e₃ 000 a combinação linear α 157 β 8416 θ 2216 000 α 8β 2θ 0 5α 4β 2θ 0 7α 16β 16θ 0 4α 4β 0 α β 9α 2θ 0 9α 16θ 0 α θ 0 β 0 Assim T e₁ T e₂ T e₃ é uma base de ImT ImT T e₁ T e₂ T e₃ R³ e uma base β e₁ e₂ e₃ d Como dim NuT dim ImT R³ dim NuT 3 3 dim NuT 0 NuT 000 uma base de NuT é 000 Solução 1 a i Claramente 000 F já que 0200 ii Se x₁y₁z₁ F x₂y₂z₂ F y₁2x₁z₁ y₂2x₂z₂ y₁y₂2x₁x₂z₁z₂ x₁x₂ y₁y₂ z₁z₂ F x₁y₁z₁x₂y₂z₂ F ii Se xyz F α R y2xz αy2αxαz 2αx αy αz F αxyz F Daí F é subespaço vetorial b F não é subespaço vetorial Notemos que 101 F pois 11² 101 F pois 11² 1011 0 1 002 F pois 2 0² Logo F não é subespaço vetorial Solução 2 a Como 31114 31542321 v₁v₂v₃ v₁v₂ xyz xyz α154β321 x α 3β y 5α 2β z 4α β α 2x3y13 β 5x y13 Logo z 42x3y13 5x y 13 z 13x 13y13 x y z 0 Assim v₁v₂v₃ xyz x y z 0 b Como v₁v₂v₃ v₁v₂ uma base de v₁v₂v₃ é β v₁ v₂ e dimensão 2 QUESTÃO 3 Pelo processo de GramSchmidt w₁ 1224 w₁ 14416 5 u₁ 15 1224 w₂ 2040 20401224 1224 12241224 w₂ 2040 1025 1224 w₂ 85 45 165 85 w₂ 6425 1625 25625 6425 40025 205 4 u₂ 85 15 45 25 w₃ 1120 112012241224 12241224 112025 15 45 2525 15 45 25 25 15 45 2525 15 45 25 w₃ 1120 15 1224 25 15 45 25 w₃ 85 45 45 25 w₃ 6425 1625 1625 425 2 u₃ 45 25 25 15