Lista de Álgebra Linear

Questão 1 20 Considere a transformação linear T R³ R³ tal que Txyz x y 2x y z a Determine um elemento da imagem de T b Determine o núcleo de T uma base e a dimensão c Determine imagem de T uma base e a dimensão Questão 2 30 Considere o conjunto S xy x 2y x y xy R a Mostre que S é um subespaço vetorial de R⁴ b Determine uma base de S c Obtenha uma base ortonormal de S usando o processo de GramSchmidt Questão 3 15 Considere uma matriz A de ordem 3 com polinômio característico dado por detA λI 1 λ3 λ² a Determine o traço da matriz A b A matriz A é inversível Questão 4 25 Considere a Transformação Linear T R³ R² tal que Txy 3x 4y x 2y a Determine a matriz associada à T b Encontre os autovalores e autoespaços associados a cada autovalor Questão 5 10 Considere o subespaço gerado pelos vetores v₁ 100 v₂ 011 e v₃ 111 Podese dizer v₁ v₂ v₃ R³ Explique Se sim determine as coordenadas do vetor v 234 nas coordenadas de v₁ v₂ v₃ 3 detA λI 1 λ3 λ² pλ Tn A 1 λ3 6λ λ³ pλ 3 6λ λ² 3λ 6λ² λ³ pλ TrA 6 b detA T0 9 δA𝛿 A 𝛿A 𝛿 0 A é invertível 4 Txy 3x 4y x 2y a A 3 4 1 2 b A λI 0 3 λ 4 1 2 λ 0 3 λ2 λ 4 6 λ² λ 250 λ² λ 2 0 λ 1 λ 2 λ 1 1 4T a 6 9 0 T 1 4T a 6 9 0 T 1 4 11 69 T 1 1 E1 41 λ 2 E2 41 λ 1 E1 41 5 v av₁ bv₂ cv₃ 2 3 4 a101 b011 c1 11 2 a c 3 b c 4 a b c I II III a 32 S m v₁v₂v₃ R³ pois gera todo o R³ é base v₃ 32 1 12 T 2 a U1 xyh x x2 y1 x x1 x U2 x1y1x2 x2 y1 x2 x1 2 ou U1 U2 x2 y1 x1 x x2 y1 x2 y1 x2 y1 x2 y1 S como 0 S e que S U1 U2 S αU1 αx1 y1 x y x1 y1 α x1 y α x 2 α y α x α y S U1U2 S αU1U2 sub espaço b x1 y1 x x2 y x x2 y x1 0 1 1 y 0 1 2 base 101 012 c v1 101 w1 v2 012 w1 101 012 v3 012 101 101 012 101 v2 012 101 135 w3 v3v3 w3 135 51 w W 5 A o RONDONRAMA 4 QTxyz2 xy 2xy 2xyz T 111 22 xz Im T b Núcleo T Txyz 00 xyz xx3x z 3x xy 0 y x 2xyz0 3x z 0 z 3x xyz x113 Base 113 Dim 1 c Im T x y 2x y z x12 y11 z01 Perceba Que 12 11 301 Dim 2 Base 11 01