Teoria das Probabilidades: Introdução e Modelos Probabilísticos

Teoria das Probabilidades Introdução Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa ideia da distribuição desse conjunto Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa ideia da distribuição desse conjunto Em particular a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliarmos o comportamento dos resultados de um fenômeno aleatório Em particular as frequências relativas são estimativas de probabilidades de ocorrências de certos eventos de interesse Com suposições adequadas é possível modelar um fenômeno aleatório através de um modelo teórico que denominamos de modelo probabilístico Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa ideia da distribuição desse conjunto Em particular a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliarmos o comportamento dos resultados de um fenômeno aleatório Em particular as frequências relativas são estimativas de probabilidades de ocorrências de certos eventos de interesse Com suposições adequadas é possível modelar um fenômeno aleatório através de um modelo teórico que denominamos de modelo probabilístico Em resumo todo fenômeno aleatório terá seu modelo probabilístico especificado quando estabelecermos Modelo Probabilístico Em resumo todo fenômeno aleatório terá seu modelo probabilístico especificado quando estabelecermos a um espaço amostral Ω que consiste no caso discreto da enumeração fita ou infinita de todos os resultados possíveis do fenômeno em questão Ω ω₁ ω₂ ωₙ Modelo Probabilístico Em resumo todo fenômeno aleatório terá seu modelo probabilístico especificado quando estabelecermos a um espaço amostral Ω que consiste no caso discreto da enumeração finita ou infinita de todos os resultados possíveis do fenômeno em questão Ω ω₁ ω₂ ωₙ b uma probabilidade Pωᵢ para cada ponto amostral ωᵢ de modo que seja possível encontrar a probabilidade PA de qualquer subconjunto evento A de Ω Modelo Probabilístico Em resumo todo fenômeno aleatório terá seu modelo probabilístico especificado quando estabelecermos a um espaço amostral Ω que consiste no caso discreto da enumeração finita ou infinita de todos os resultados possíveis do fenômeno em questão Ω ω₁ ω₂ ωₙ b uma probabilidade Pωᵢ para cada ponto amostral ωᵢ de modo que seja possível encontrar a probabilidade PA de qualquer subconjunto evento A de Ω Mais adiante veremos algumas abordagens para definir probabilidade de um evento A Ω Lançamos uma moeda duas vezes Se C indicar cara e R indicar coroa então um espaço amostral será Ω C C C R R C R R É razoável supor que cada evento simples Ai ωi tenha probabilidade 14 se a moeda for perfeitamente simétrica e homogênea Observação O espaço amostral do Exemplo 1 é chamado de Espaço Finito e Equiprovável Abordagem Clássica Se Ω for um Espaço Finito e Equiprovável podemos utilizar a abordagem clássica para definir a probabilidade de um evento A Ω Abordagem Clássica Se Ω for um Espaço Finito e Equiprovável podemos utilizar a abordagem clássica para definir a probabilidade de um evento A Ω Definição Clássica de Probabilidade Seja Ω um espaço amostral finito Ω ω1 ωn em que todos os pontos amostrais têm mesma probabilidade 1n Se A for um evento com m pontos amostrais então PA número de casos favoráveis à ocorrência do evento A mn AΩ Exemplo 2 Considere o lançamento de dois dados honestos Considere os seguintes eventos A soma dos números obtidos igual a 9 e B número no primeiro dado maior do que o segundo a Enumere os elementos de A B A B e A B b Calcule a probabilidade dos eventos dados no item a Exemplo 2 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório é dado por Ω 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 6 1 6 2 6 6 a Os eventos de interesse são A 3 6 4 5 5 4 6 3 Exemplo 2 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório é dado por Ω 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 6 1 6 2 6 6 a Os eventos de interesse são A 3 6 4 5 5 4 6 3 B 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 5 4 6 4 6 5 Exemplo 2 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório é dado por Ω 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 6 1 6 2 6 6 a Os eventos de interesse são A 3 6 4 5 5 4 6 3 B 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 5 4 6 4 6 5 A B 6 3 5 4 Exemplo 2 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório é dado por Ω 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 6 1 6 2 6 6 a Os eventos de interesse são A 3 6 4 5 5 4 6 3 B 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 5 4 6 4 6 5 A B 6 3 5 4 A B 2 1 3 1 3 6 4 1 4 5 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 5 4 6 4 6 5 Exemplo 2 Solução b As probabilidades dos eventos de interesse são PA A Ω 4 36 Exemplo 2 Solução b As probabilidades dos eventos de interesse são PA AΩ 436 PB BΩ Exemplo 2 Solução b As probabilidades dos eventos de interesse são PA AΩ 436 PB BΩ 1536 Exemplo 2 Solução b As probabilidades dos eventos de interesse são PA AΩ 436 PB BΩ 1536 PA B A BΩ Exemplo 2 Solução Exemplo 2 Solução Exemplo 2 Solução Existem várias ferramentas da Análise Combinatória que nos ajudam a contar o número de elementos de certos conjuntos sem a necessidade de listar exibir os seus elementos Por exemplo Existem várias ferramentas da Análise Combinatória que nos ajudam a contar o número de elementos de certos conjuntos sem a necessidade de listar exibir os seus elementos Por exemplo Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem Princípio Aditivo Permutações Arranjos Combinações dentre outras Dentro as ferramentas citadas daremos ênfase às Combinações Simples Ferramentas de Contagem Dentre as ferramentas citadas daremos ênfase às Combinações Simples Combinações Simples A quantidade de subconjuntos com k elementos do conjunto a1 a2 an é dada por n k Ferramentas de Contagem Dentre as ferramentas citadas daremos ênfase às Combinações Simples Combinações Simples A quantidade de subconjuntos com k elementos do conjunto a1 a2 an é dada por n k n kn k ou seja é o número de maneiras de escolher k objetos distintos dentre n objetos distintos Ferramentas de Contagem Dentre as ferramentas citadas daremos ênfase às Combinações Simples Combinações Simples A quantidade de subconjuntos com k elementos do conjunto a1 a2 an é dada por n k n kn k ou seja é o número de maneiras de escolher k objetos distintos dentre n objetos distintos OBS Lêse combinação simples de n elementos tomados k a k Exemplo 3 Exemplo 3 Solução Exemplo 3 Solução Exemplos 3 Solução a Para formar uma diretoria com 6 sócios basta escolhêlos dentre os 15 sócios da empresa A quantidade de maneiras de se fazer isso é através de uma combinação simples de 15 pessoas tomadas 6 a 6 Exemplos 3 Solução a Para formar uma diretoria com 6 sócios basta escolhêlos dentre os 15 sócios da empresa A quantidade de maneiras de se fazer isso é através de uma combinação simples de 15 pessoas tomadas 6 a 6 15 6 15 615 6 Exemplos 3 Solução a Para formar uma diretoria com 6 sócios basta escolhêlos dentre os 15 sócios da empresa A quantidade de maneiras de se fazer isso é através de uma combinação simples de 15 pessoas tomadas 6 a 6 15 6 15 615 6 15 69 Exemplo 3 Solução a Para formar uma diretoria com 6 sócios basta escolhêlos dentre os 15 sócios da empresa A quantidade de maneiras de se fazer isso é através de uma combinação simples de 15 pessoas tomadas 6 a 6 15 6 15 6156 15 69 5005 maneiras Exemplo 3 Solução b Note que Exemplo 3 Solução b Note que Ω Exemplo 3 Solução b Note que Ω todas as possíveis diretorias com 6 sócios e A Exemplo 3 Solução b Note que Ω todas as possíveis diretorias com 6 sócios e A diretorias com 4 brasileiros e 2 japoneses Exemplo 3 Solução b Note que Ω todas as possíveis diretorias com 6 sócios e A diretorias com 4 brasileiros e 2 japoneses Daí temos que PA Exemplo 3 Solução Exemplo 3 Solução Exemplo 3 Solução Exemplo 3 Solução b Note que Ω todas as possíveis diretorias com 6 sócios e A diretorias com 4 brasileiros e 2 japoneses Daí temos que PA AΩ 10452 21005005 04196 Exemplo 3 Solução b Note que Ω todas as possíveis diretorias com 6 sócios e A diretorias com 4 brasileiros e 2 japoneses Daí temos que PA AΩ 10452 21005005 04196 Observação O produto 10452 no numerador é devido ao Princípio Multiplicativo Espaços Amostrais Finitos Vamos considerar agora experimentos para os quais o espaço amostral Ω seja um conjunto finito não necessariamente equiprovável Ou seja o espaço Ω é da forma Ω ω1 ω2 ωk Vamos considerar agora experimentos para os quais o espaço amostral Ω seja um conjunto fino não necessariamente equiprovável Ou seja o espaço Ω é da forma Ω ω1ω2 ωk A fim de caracterizar PA para este espaço devemos inicialmente considerar o evento formado por um resultado simples do tipo ωi Vamos considerar agora experimentos para os quais o espaço amostral Ω seja um conjunto fino não necessariamente equiprovável Ou seja o espaço Ω é da forma Ω ω1ω2 ωk A fim de caracterizar PA para este espaço devemos inicialmente considerar o evento formado por um resultado simples do tipo ωi A cada evento simples ωi associarmos um número pi denominado probabilidade de ωi que satisfaça as seguintes condições a pi 0 i 1 k b p1 p2 pk 1 Em seguida suponha que um evento A seja constituído por r resultados 1 r k a saber A ωj1ωj2 ωjr onde j1j2 jr representam qualquer um dos r índices de 1 até k Espaços Amostrais Finitos Em seguida suponha que um evento A seja constituído por r resultados 1 r k a saber A ωj1 ωj2 ωjr onde j1j2 jr representam qualquer um dos r índices de 1 até k Consequentemente PA pj1 pj2 pjr Exemplo 4 Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é dada pela expressão pi Pi i21 com i 123456 Calcule a probabilidade dos seguintes eventos Exemplo 4 Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é dada pela expressão pi Pi i21 com i 123456 Calcule a probabilidade dos seguintes eventos a A sair um número par b B sair um número ímpar c C sair um número maior do que 4 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 Note que Ω é um espaço fino mas não é equiprovável portanto a PA Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 Note que Ω é um espaço fino mas não é equiprovável portanto a PA Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 Note que Ω é um espaço fino mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 123456 A 246 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 123456 A 246 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 123456 A 246 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 b PB Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 b PB p1 p3 p5 P1 P3 P5 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 b PB p1 p3 p5 P1 P3 P5 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 b PB p1 p3 p5 P1 P3 P5 121 321 521 921 Exemplo 4 Solução O espaço amostral associado ao experimento aleatório e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 Note que Ω é um espaço finito mas não é equiprovável portanto a PA p2 p4 p6 P2 P4 P6 221 421 621 1221 b PB p1 p3 p5 P1 P3 P5 121 321 521 921 c PC p5 p6