Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas

Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas Introdução Em muitas situações alguns experimentos aleatórios apresentam características bastante peculiares Este fato possibilita que uma vez identificadas estas características um particular modelo probabilístico seja proposto para modelar o fenômeno em estudo É neste contexto que passaremos ao estudo de alguns dos principais modelos probabilísticos Distribuição de Bernoulli Em todos estes casos estamos interessados na ocorrência sucesso ou não fracasso de determinada característica Então para cada experimento citado anteriormente podemos definir uma va X 1 se ocorrer sucesso 0 se ocorrer fracasso Indicaremos por p a probabilidade de sucesso isto é p Psucesso PX 1 0 p 1 Seja X Ω RX uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores possíveis é RX 0 1 Dizemos que X segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p sendo 0 p 1 se a função de probabilidade de X possui a seguinte forma PX k pk1 p1 k k RX 0 1 Notação X Berp 1 Experimentos que resultam numa va de Bernoulli são chamados ensaios de Bernoulli 2 Se X Berp então EX p e VarX p1 p Exemplo 1 Exemplo 1 Solução Distribuição Binomial Considere agora as seguintes situações Seja E um experimento aleatório com as seguintes características Considere uma urna contendo seis bolas azuis e quatro vermelhas Retire três bolas com reposição e defina a va X igual ao número de bolas azuis a Obtenha a função de probabilidade fp da va X b Qual a probabilidade de sair no mínimo 2 bolas azuis Exemplo 2a Solução p0 PV1 V2 V3 410410410 410³ 8125 p1 PA1 V2 V3 PV1 A2 V3 PV1 V2 A3 3610410² 36125 p2 PA1 A2 V3 PA1 V2 A3 PV1 A2 A3 3610²410 54125 p3 PA1 A2 A3 610³ 27125 Exemplo 2a Solução Portanto a função de probabilidade fp da va X é X xi 0 1 2 3 pxi PX xi 8125 36125 54125 27125 Note que a função de probabilidade fp da va X pode ser escrita da seguinte forma PX k 3 k 610k 4103k k RX 0 1 2 3 em que 3 k é um número combinatório que quantifica o total de maneiras de sair k bolas azuis dentre 3 bolas selecionadas Esse número é calculado da seguinte maneira 3 k 3 k3k Exemplo 2b Solução Sabendo que a função de probabilidade fp da va X é dada por X xi 0 1 2 3 pxi PX xi 8125 36125 54125 27125 temos que a probabilidade de sair no mínimo duas bolas azuis é PX 2 PX 2 PX 3 54125 27125 81125 0648 Distribuição Binomial Definição 2 Seja X Ω RX uma va discreta cujo conjunto de valores possíveis é RX 0 1 2 n Dizemos que X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n e p se a função de probabilidade de X tem a seguinte forma PX k n k pk 1 pnk k RX 0 1 2 3 n Notação X bn p Uma vad X que segue uma distribuição binomial quantifica o número de sucessos obtidos em n ensaios independentes e idênticos de um experimento aleatório E Assim X X1 X2 Xn sendo que Xi Berp para todo i 1 2 n Um fabricante de peças de automóvel garante que uma caixa de suas peças conterá no máximo duas defeituosas Sabese que uma caixa contém 20 peças e a experiência tem demonstrado que em seu processo de fabricação 6 das peças são defeituosas Selecionada uma dessas caixas ao acaso encontre a a probabilidade de que nenhuma das peças tenha defeito b a probabilidade de que exatamente uma peça seja defeituosa c a probabilidade de que a caixa não satisfaça a garantia d o número esperado de peças defeituosas nesta caixa Seja X quantidade de peças defeituosas dentre as 20 peças da caixa Observe que X bn p em que n 20 e p 0 06 Daí PX k 20 k 0 06k 0 9420k k RX 0 1 2 3 20 a PX 0 20 0 0 060 0 9420 0 9420 02901 b PX 1 20 1 0 061 0 9419 20 0 06 0 9419 03703 Exemplo 3 Solução c Uma caixa não satisfaz a garantia se tiver mais de 2 peças defeituosas PX 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 PX 2 1 2 k0 20 k 0 06k 0 9420k 1 0 9420 20 0 06 0 9419 190 0 062 0 9418 1 0 8850 0 1150 d Como X b20 0 06 então EX np 20 0 06 1 2 peças defeituosas Bibliografia Estatística Básica 7ª edição Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva Noções de Probabilidade e Estatística 4ª edição Marcos N Magalhães e Antonio C P de Lima 2002 Edusp Probabilidade Aplicações à Estatística 2ª edição Paul L Meyer 1995 LTC Ignacy Paderewski O sucesso conseguese com decisão confiança persistência e não com desânimo indecisão lamúrias