Cálculo de Capacitâncias e Densidades de Energia em Campos Elétricos

Capacitação Os dois objetos de metal da Fig 2524 possuem cargas de 70 pC e 70 pC que resultam em uma diferença de potencial de 20 V a Qual é a capacitância do sistema b Se as cargas mudarem para 200 pC e 200 pC qual será o novo valor da capacitância c Qual será o novo valor da diferença de potencial Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2528 para C1 100 µF C2 500 µF e C3 400 µF As placas de um capacitor esférico têm 380 mm e 400 mm de raio a Calcule a capacitância b Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2529 para C1 100 µF C2 500 µF e C3 400 µF Na Fig 2530 a bateria tem uma diferença de potencial V 100 V e os cinco capacitores têm uma capacitância de 100 µF cada um Determine a carga a do capacitor e b do capacitor 2 b Considere primeiro o conjunto formado pelo capacitor C₂ e os dois vizinhos mais próximos A capacitância do conjunto é Ceq C C₂C₁C C₂ 150 C A diferença de potencial entre os terminais do conjunto é V CV₁C Ceq CV₁C 150 C 040 V₁ Como essa diferença de potencial é dividida igualmente entre C₂ e o capacitor em série com C₂ a diferença de potencial entre os terminais de C₂ é V₂ V2 V₁5 Assim q₂ C₂V₂ 100 μF100 V5 20010⁵ C 200 μC Uma esfera de metal carregada com 10 cm de diâmetro tem uma energia potencial de 8000 V em relação a V 0 no infinito Calcule a densidade de energia do campo elétrico perto da superfície da esfera 33 Como E q4πε₀R² VR temos u 12 ε₀E² 12 ε₀ VR² 12 88510¹² C²Nm² 8000 V²0050 m 011 Jm³ Considera um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a a 100 mm de distância b a 100 μm de distância c a 100 nm de distância e d a 100 pm de distância e Qual é o limite de u quando a distância tende a zero a Para r 100 10³ m u 916 10¹⁸ Jm³ b Para r 100 10⁶ m u 916 10⁶ Jm³ c Para r 100 10⁹ m u 916 10⁶ Jm³ d Para r 100 10¹² m u 916 10¹⁸ Jm³ e De acordo com a expressão anterior u r⁴ Assim para r 0 u Um capacitor de placas paralelas cujas placas têm área de 850 cm² e estão separadas por uma distância de 300 mm é carregado por uma bateria de 600 V A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada sem descarregálo para 800 mm Determine a a diferença de potencial entre as placas b a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial c a energia armazenada pelo capacitor no estado final e d a energia necessária para separar as placas 37 a Seja q a carga da placa positiva Como a capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por ε₀Ad a carga q é q CV ε₀AVd na qual Vᵢ é a tensão inicial do capacitor e dᵢ é a distância inicial entre as placas Quando a distância entre as placas é aumentada para df a tensão do capacitor passa a ser Vf Nesse caso como a carga permanece a mesma q ε₀AVdf e Vf dfdiVi 800 x 10³ m600 V300 x 10³ m 160 V b A energia armazenada pelo capacitor no estado inicial é Uᵢ 12CVᵢ² ε₀AVᵢ²2dᵢ 885 x 10¹² C²Nm²850 x 10⁴ m²600 V²2300 x 10³ m 451 x 10¹¹ J 451 pJ c A energia armazenada pelo capacitor no estado final é Uf 12ε₀AVf² 12ε₀Adfdi²Vi² dfdi²12ε₀AVᵢ²dᵢ 800 x 10³ m300 x 10³ m451 x 10¹¹ J 120 x 10¹⁰ J 120 pJ d O trabalho necessário para separar as placas é a diferença entre a energia final e a energia inicial W Uf Ui 749 pJ Constante Dieléctrica κ b A nova capacitância é C Cκkar 50 pF5610 28 10² pF 028 nF 48 A Fig 2547 mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A 556 cm² e uma distância entre as placas d 556 mm A parte esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dieléctrica κ₁ 700 a parte direita é preenchida por um material de constante dieléctrica κ₂ 120 Qual é a capacitância O capacitor pode ser visto como dois capacitores C1 e C2 ligados em paralelo com placas de área A2 e distância d entre as placas cujos dielétricos têm constantes dielétricas κ1 e κ2 Assim em unidades do SI temos C C1 C2 ε0A2κ1d ε0A2κ2d ε0Adκ1 κ22 885 x 1012 C²Nm²556 x 104 m²700 x 101200556 x 103 m2 841 x 1012 F 841 pF Vamos supor que há uma carga q em uma das placas e uma carga q na outra placa O campo elétrico na parte inferior da região entre as placas é E1 qκ1ε0A na qual A é a área das placas O campo elétrico na parte superior da região entre as placas é E2 qκ2ε0A Seja d2 a espessura de cada dielétrico Como o campo elétrico é uniforme em cada região a diferença de potencial entre as placas é V Ed2 Ed2 qd2ε0A 1κ1 1κ2 qd2ε0A κ1 κ2κ1κ2 e portanto C qV 2ε0Aκ1κ2