Modelo de Reatores Parcialmente Misturados e Fluxo Pistão em Engenharia Ambiental

Curso de Graduação em Engenharia Ambiental Modelagens de Sistemas Ambientais Prof Gustavo Barbosa Lima da Silva Modelo de Reator Parcialmente Misturado Reator de Fluxo Pistão Advectivo Reator de Fluxo Combinado Advectivo DifusivoDispersivo Consideração dos mecanismos processos de transferência de massa desconsiderados no modelo de reator completamente misturado Consequentemente a concentração passa a ser função do espaço e do tempo Cxyzt Estudo de dois modelos idealizações Modelagem matemática de sistemas parcialmente misturados Modelo de Reator Parcialmente Misturado Fluxo unidimensional direção x Regime de escoamento do fluido permanente Hipóteses gerais Concentração de massa poluente varia com x e t C Cxt Modelo de Fick usado para representar os efeitos de difusãodispersão Concentração uniforme não varia nas demais direções y e z x y z sistema de coordenadas Modelo de Reator Parcialmente Misturado transporte de massa apenas por advecção Modelo de fluxo pistão x y z sistema de coordenadas Q vazão constante Ac área constante U velocidade constante C Cxt Considere o sistema idealizado abaixo através do qual ocorre o transporte de uma substância por advecção atendendo as hipóteses anteriores Q Q x Para cada seção x a cada instante de tempo t corresponde um valor de concentração C xt Mas em cada seção x a cada instante de tempo a concentração é uniforme não varia nas demais direções y e z U Ac Modelo de Reator Parcialmente Misturado transporte de massa apenas por advecção Modelo de fluxo pistão x y z sistema de coordenadas Então em cada seção x a cada instante de tempo t atravessa um fluxo de massa J devido apenas à advecção O comportamento do sistema concentrações ao longo do espaço e tempo é governado pela lei de conservação de massa de modo que essa lei tem que ser satisfeita em qualquer ponto do sistema Q vazão constante Ac área constante U velocidade constante C Cxt Q Q x U Ac J xt U Cxt Fluxo advectivo Modelo de Reator Parcialmente Misturado Vamos delimitar um volume de controle de comprimento infinitesimal Ax em torno de uma secdo x qualquer e analisar as taxas de variacdo de massa que ocorrem em um intervalo infinitesimal At AV AAx volume do elemento a Ax QO x xAx2 x xAx2 Se a concentracgGo na segdo x em um instante de qualquer tempo t é dada por Cx por meio expansGo da fungdo C em série de Taylor em torno de x podemos fazer Ax Ax OC Ax Ax OC Ax x secao de entrada C F Cx a D 1x 5 UCx US 5 Ax Ax OC Ax Ax OC Ax x secdo de saida F C a ix 5 UCx Un 5 Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx eee 0 Q Ax p e 2 2 xAx2 x xAx2 X Logo as taxas de entrada e de saida de massa podem ser expressas por Ax Ax OC Ax x secao de entrada J 5 Ac UAcCx UAc Ax Ax OC Ax x secao de saida Jx 7 Ac UAcCx UAC Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx QO Ax QO 2 ix2 er Oo xAx2 x xAx2 X Por outro lado se analisarmos as variagées em um intervalo infinitesimal de tempo At a massa acumulada no elemento varia 6 uma funcdo m mxt dado que a concentracdo é varidvel no tempo Se em um instante t qualquer a massa acumulada no elemento segGo x 6 m no instante t At podemos dizer que esse valor variou para m Am mt At mt Assim a taxa de acumulagdo de massa no elemento no intervalo At pode ser expressa por acumulacao rr mt At mt om No limite quando At tende a zero lim mt At mt Taxa de acumulagao At0 At ot am ac ac Como o valor de m no elemento pode ser expresso por m AVC a AV Tx de acumulacao AcAx a Modelo de Reator Parcialmente Misturados AV AAx eee 0 xAx2 x xAx2 X Considerando que a substdGncia segue reacdo de 1a ordem a taxa de variacGo de massa no elemento devida a reacdo em um instante qualquer fica reacao kAVC reacdo kAcAxC Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx eee 0 0 Ax Ax T Ix ixF xAx2 x xAx2 X Entdo a lei de conservacdo de massa para um elemento genérico qualquer fica acumulacao taxa de entrada taxa de saida taxa de reacao 0c OC Ax OC Ax dc OC Achx UAcCx UAc5 UAcC UA kAcAxC AAx a UAc 5 Ax kAcAxC Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx eee Ax QO pl xAx2 x xAx2 X Entdo a lei de conservacdo de massa para um elemento genérico qualquer fica 0c OC Ax OC Ax 0c Oc 0c Oc 0c Oc Fazendo Ax 0ou sejao elemento tenderaumponto Ac UAc kAcC U kC ot Ox Ot Ox Garante a validade da lei de conservacgdo de a Equacdo governante massa em qualquer ponto secdo do sistema Modelo de Reator Parcialmente Misturado OC 0c Modelo de reator advectivo fluxo pistao rr U ax kC x Lo dC dC i Sistema em estado estaciondrio permanente a 0 cCCXx D U kC0 x dc k dc k dc k aul ore ege k k oe InC axtA Cxe Ue4 m Cx Ae F condicdo de contorno em x 0C0Co A C k Cx Cye U Modelo de Reator Parcialmente Misturado oe aC aC Modelo de reator advectivo fluxo pistao ne U ax kC x i Sistema em estado estaciondrio permanente ye kC DB Cx Ceo condiao de contorno dx em x O CO Co C Cc C k C Cx Coe U xX x Modelo de Reator Parcialmente Misturado ii Sistema variável com o tempo 𝐶 𝑡 𝑈 𝐶 𝑥 𝑘𝐶 𝐶𝑥 𝑡 Caso estudado derrame instantâneo de poluente em t 0 e x 0 C Co x C C0 U x t deslocamento em movimento uniforme Relação entre deslocamento x do poluente e o tempo t Modelo de Reator Parcialmente Misturado ii Sistema variável com o tempo 𝐶 𝑡 𝑈 𝐶 𝑥 𝑘𝐶 𝐶𝑥 𝑡 Como C Cx t matematicamente é possível afirmar que 𝑑𝐶 𝑑𝑡 𝐶 𝑡 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝐶 𝑑𝑡 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝐶 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑢𝑚 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑚 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑛ℎ𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶 𝑡 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝐶 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑢𝑚 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑥𝑜 Caso estudado derrame instantâneo de poluente em t 0 e x 0 C Co Modelo de Reator Parcialmente Misturado dx oC 8 ae y xUt ot Ox Entao temos duas condicées dt Temos que para que o sistema seja oc oCdx dC satisfeito dc s kC Ct Coe at ax dt dt dt P CO Co y Oc OCdx dC dx Oc dc UkC uCkC 0 Ox dxdt dt dt ax dt A concentragao Co vai diminuir exponencialmente ao longo do tempo Cc C Mas a cada instante de tempo estarad ocupando uma posido oy x Ut Xx Modelo de Reator Parcialmente Misturado 0c 0c dx y ke aU xUt at ox c Entdo temos duas condicdes Temos que que satisfazem o sistema 0c 0Cdx dC dc kC Ct Coe Kt at dxdt dt dt 2 CO Co C Mas se Rk O substdncia conservativa concentragado Co nado C diminui ao longo do tempo o Apenas se deslocard ocupando diferentes posicdes x Ut ao x longo do reator Modelo de Reator Parcialmente Misturado Modelo de fluxo misto combinado advecdo difusdodispersdo Ac A O vazGo constante oe Se Shoe GS a U velocidade constante x C Cxt Agora em cada secdo x a cada instante de tempo t atravessa um fluxo de massa devido a dois processos combinados adveccdo difusdodispersdo es 0c Para o fluxo difusivodispersivo J D ax lei de Fick x D coefficient de difusdodispersdo c processos agregados em um Unico coeficiente Modelo de Reator Parcialmente Misturado O comportamento do sistema é governado pela lei de conservacdo de massa de modo que essa lei tem que ser satisfeita em qualquer ponto do sistema a cada instante de tempo Entdo vamos delimitar um volume de controle infinitesimal de comprimento Ax em torno de uma secdo x qualquer e analisar as variagdes de massa em intervalo de tempo infinitesimal At At AV AAx volume do elemento a 0 Jadv Jaav O lp 7 Jp X xAx2 x xAx2 Nas secdes de entrada e saida do elemento o fluxo de massa total por Grea em um instante qualquer é dado por J Jaav Jp Fluxo advectivo s Fluxo dispersivodifusivo Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento Be 0 Jaav Jaav 9 lp 7 Ip X xAx2 x xAx2 Se a concentracgGo na segdo x em um instante de qualquer tempo t é dada por Cx por meio expansGo da fungdo C em série de Taylor em torno de x podemos fazer Ax Ax OC Ax Ax OC Ax x secdo de entrada C 2 Cx an J 2 UCx Ua AX ous Ax ac Ax Ax ac Ax x secdo de saida oxF cop eS Ix co ue 3 Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento ee 0 Jaav Jaav O Ip Jp X xAx2 x xAx2 Se o gradiente de concentracgdo na secdo x em um instante de qualquer tempo t é dada por CC ox por meio expansdo da fungdo oC ox em série de Taylor em torno de x podemos fazer Ax ac Ax 0C a 0C Ax ac Ax ac 07C Ax x secao de entrada 2 seg ax a 36 ax Ox 2 0c Pela lei de Fick Jp D ax Entdao Ax ac Ax Ax 0c 07C Ax p D D Jox os Jox ax OO P FD Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento ee 0 Jaav Jaav O Ip Jp X xAx2 x xAx2 Se o gradiente de concentracgdo na secdo x em um instante de qualquer tempo t é dada por CC ox por meio expansdo da fungdo oC ox em série de Taylor em torno de x podemos fazer Ax ac Ax 0C a 0C Ax ac Ax ac 07C Ax x secao de saida 2 seg t 50 55 5 me t ax 0 yz D Pela lei de Fick poe ela lei de Fick D i i Ip Ax Ax ac Ax Ax 0c 07C Ax p Dx D Iox oo 5 Iox5 ax RD Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento ee 0 Jaav Jaav O lp 7 Ip X xAx2 x xAx2 Como ja analisado anteriormente a taxa de acumulacdo de massa no elemento no intervalo At fica Agora essa acumulacgdo é decorrente da oc jagéio do fluxo advectivo dispersivodifusi Tx de acumulagio AcAx variacdo do fluxo advectivo dispersivodifusivo Ot no intervalor At no elemento Considerando que a substdGncia segue reacdo de 1a ordem a taxa de variagao de massa no elemento devida a reacdo no intervalo At fica reacao kAVC reacdo kAcAxC Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento Se 0 Jaav Jaav O Ip Jp X xAx2 x xAx2 Entdo a lei de conservacdo de massa para um elemento genérico qualquer fica acumulacao taxa de entrada taxa de saida taxa de reacao Achar ape a poe 4 4uc au ee ac gC Ax dC Ax at ME AR TOON Qx2 DQ TUE ax 2 Acd acd 555 TACUC ACU RAcAxC A ee Ax Ax Ax Ax Ip xF ac Jaav xF ac Ip x4 ae Jaav x4 Fac Modelo de Reator Parcialmente Misturado AV AAx volume do elemento ee 0 Jaav Jaav O lp 7 Jp X xAx2 x xAx2 Oc 0c 02C Fazendo Ax 00u sejao elemento tenderaum ponto Ac Ot AcU AcD Ox2 kAC 2 oC Gre D ee kC Equacdo governante ot Ox Ox Termo advectivo Termo difusivodispersivo Modelo de Reator Parcialmente Misturado 2 Modelo de reator advectivo dispersivodifusivo oc U oe D ore kc Ot Ox Ox i Sistema em estado estaciondrio permanente 0 CCx Entdo a eq governante fica dC dc D U kC0 EDO de 2a ordem linear e homogénea dx dx Para esse tipo de equacdo a solugdo geral 6 dada por Cx Fe41 Ge42 F G constantes de integragdo Ay Ay raizes da equacdo caracteristica Modelo de Reator Parcialmente Misturado dC dc D U kC 0 EDO de 2a ordem linear e homogénea dx dx Para esse tipo de equagdo a solugdo geral 6 dada por Cx Fe41 Ge42 F G constantes de integragdo hy A raizes da equagdo caracteristica AMC A equacdéo caracteristica é obtida substituindo na EDO 7 AeC1 x U k Ay Entéo py2UAk0 M 22A0 Yl44432 DD w 2 Modelo de Reator Parcialmente Misturado pis y oe kCO0 m Ayx A2x 1 2 dx dx Cx Fe1 Ge Para determinar as constantes F G precisamos conhecer duas condicdes em duas secdes x distintas A especificagdo dessas condiées vai determinar a solucdo particular para o problema correspondente Entdo vamos considerar o seguinte caso Na secado de entrada do reator uma O reator é longo o suficiente para que o concentracao er é introduzida efeito de dispersGodifusGo na saida promova permanentemente no sistema como um pistGo a mistura completa da substdncia no meio Condicdo de contorno de montante Condigdo de contorno de jusante Condicdes de contorno de Danckwert Modelo de Reator Parcialmente Misturado pie y Xe kCO0 wm A4x 12x 1 2 dx dx Cx Fe1 Ge Na secado de entrada do reator uma O reator é longo o suficiente para que o concentracdo Ce introduzida efeito de dispersGodifusaGo na saida promova permanentemente no sistema como um pistao a mistura complete da substadncia no meio Condido de contorno de montante Condigdo de contorno de jusante C Ce Contorno de jusante 0 x O contorno de montante xL x Modelo de Reator Parcialmente Misturado pie y oe kcC0 Ayx A2Xx 1 2 dx dx Cx Fe1 Ge 1 Cc Na secGo de entrada do reator uma adveccao difusGodispersao concentragdéo or é introduzida permanentemente no sistema como um pistdo QCe a C0 AD ac 0 v c dx Condigdo de contorno de montante x0 x dC Ac dC Balanco de massa na secao x O resultaem QC QC0 AcD ax 0 UC UC0 D cx 0 x Entado UC UFG DFAG1 UC U Da F U DAG 2 ee 247 ae C0 ax 8 Modelo de Reator Parcialmente Misturado pis y oe kC0 Fe Ger2x 1 2 dx dx Cx e1 Ge O reator é longo o suficiente para que o dC efeito de dispersGodifusGo na saida promova o C cte na secdo L dx L 0 a mistura complete da substdncia no meio Condicdo de contorno de jusante AyFe AGe240 3 Cc Ce Contorno de jusante 0 x O contorno de montante xL x Modelo de Reator Parcialmente Misturado pit yt kC 0 A1x A2x 1 2 x Tx Cx Fet1Ge UC U Da F U DAG Entdo de 2 e 3 Duas equacées e duas incégnitas F e G A Fe 1Ge24 0 AgL AqL a a U DAAze224 U Daz A e414 U DAzA e414 U DA Az e224 Cx Fe1 Ger2 Modelo de Reator Parcialmente Misturado Aplicagado Em um canal com comprimento total de 800 m uma concentragdo de 5 mgL de um poluente ndoconservativo Rk 10h é mantida constante imediatamente a montante da secdo de entrada As condicdes de escoamento sdo tais que o canal se comporta aproximadamente como um reator de fluxo combinado adveccdo dispersGodifusGo com velocidade U 2000 mh e coeficiente de difusGodispersGo D 100000 m72h Nesse trecho as condigdes de contorno de Dankwert sGo obedecidas Considerando o sistema em estado estaciondrio determine a expressGo da variagdo da concentracdo no trecho e esboce o grafico correspondente ResolugGo em planilha Ce 5 mgL Cx Fe Ge disponibilizada ee xO x 800 m Ay U AkD F UCAze42 G UCA e411 a 2D 1 j1 y2 U DA Aze22 U DaAzA ent U DaAzA ent U DAAz e422 2 Modelo de Reator Parcialmente Misturado ope OC 0c 02C Modelo de reator advectivo dispersivodifusivo a Ux D xt 7 kC x x ii Solugdes varidveis com o tempo C Cx t Caso estudado derrame instantGneo de massa m de poluente fn OC a2C Mp 82 om 1 DifusGo de um poluente conservativo p Cxt rere wt at ax eo 2VvnDt mp Ac y t t t x O secdo do derrame x Modelo de Reator Parcialmente Misturado pep om ps Oc Oc 02C 2 AdvecdodifusGodispersGo de um poluente conservativo y4 p ot Ox Ox J m U My xUt Cxt e 4Dt xt 2vmDt x O secdo do derrame C t t ts x Modelo de Reator Parcialmente Misturado 3 Adveccdodifusdodispersao de um poluente ndo conservativo ac ac ac p p U DkC ot Ox Ox J m U Mp xUt k Cx t e 4Dt xt 2vVmDt x O secdo do derrame Cc t 1 t ts x Modelo de Reator Parcialmente Misturado Vamos analisar a variagGo da concentracdo no reator em um instante qualquer t Nesse caso o comportamento da concentragdo segue a forma geral mostrada na figura C x Considere um comprimento qualquer infinitesimal dx que define um determinado elemento infinitesimal entre duas secdes do ol reator A massa elementar dm nesse elemento pode ser expressa por dm CdV dx Xx Logo dmCAcdx Integrando ao longo de x dm CAcdx m Ac Cdx e area sob a curva Entdao se a substdncia é conservativa em qualquer instante de tempo a massa total dentro do reator é a mesma ou seja o valor da Grea sob a curva de concentragdo nado muda Modelo de Reator Parcialmente Misturado 2 4 Solugdo para um langamento continuo oC y 2 D orc kC ot Ox ax C C Co Co t caso 1 lancamento continuo caso 2 langamento continuo na da secdo x 0 sego x O por um intervalo de tempo O ttT Modelo de Reator Parcialmente Misturado 2 4 Solugdo para um langamento continuo OC y 2 D orc kC Ot Ox 0x Cc Caso1 Corf 0 t ver a funcdo and Cof ux xUIt ux x UIt Cxt 0 emt erfc teDtl erfe 7 poem ver a fungdo funerro 2 2Dt 2 Dt L no excel a n kD erfcb 1 erfb fundo erro complementar U2 9 b erfb ePd funcdo erro r T J B fung Modelo de Reator Parcialmente Misturado 2 4 SolugGo para um langamento continuo oc y Oe D one kC Ot Ox 0x Cc Caso 2 Co T t Parat tT Col Yar UX yr yl Cxt e 2D 4 e2D 7 0 F fe erfc DDE e erfc a DE equacdo anterior Parat T Co YX 4p x UTt T UX 4 sry x UTt 7 Cx t 4e 20 er fc erfc e 2D erfc erfc f 2VDt f 2Dt T f 2VDt f 2Dt T Modelo de Reator Parcialmente Misturado Aplicagao em um trecho de rio com 12 km de extensGo ocorre um derrame instantGneo de 5 Kg de um poluente conservativo na secdo x O Determine a concentracdo dessa substancia nesse trecho em t 3h 6 h e9h considerando que o rio se comporta aproximadamente como um reator advectivo difusivodispersivo m5kg O 2ms 2 x0O Ac 10m x 12 km D 10 ms R0 m xUt Cxt ie wm 2vmDt Modelo de Reator Parcialmente Misturado m5kg QO 2 m xUt Cxt RLe me xO x 12 km Q 2 O 2m3s U UV U02ms Ac 10 Ac 10m m 5 2 2 D 10 m2s My my My 05 kgm m500gm R0 500 x02t Logo Cxte 4t a Modelo de Reator Parcialmente Misturado 0 000000 000000 000000 400 000000 000000 000000 ee ee ee rs ee ee rn ee ee ee 500 ot i At Cx t 5 Vat 00 04 08 12 16 0 2000 4000 6000 8000 10000 C mgL x m Modelo de Reator Parcialmente Misturado t 3h Modelo de Reator Parcialmente Misturado 00 04 08 12 16 20 0 2000 4000 6000 8000 10000 C mgL x m t 6h Modelo de Reator Parcialmente Misturado 00 04 08 12 16 20 0 2000 4000 6000 8000 10000 C mgL x m t 9h