Análise da Potência em Circuitos Elétricos com Elementos Indutivos e Capacitivos

A potência p pode tomar valores positivos e negativos dependendo do instante que se considera Uma positiva indica uma transferência de energia da fonte para a estrutura ao passo que o valor negativo de p corresponde a uma transferência de energia da estrutura para a fonte Potência em Regime Estacionário Senoidal Potência Média P Consideremos o caso ideal em que a estrutura passiva consta apenas de um elemento indutivo e aplicamos a ela uma tensão senoidal da forma v V sen ωt A corrente resultante terá a forma i I sen ωt π2 A potência em qualquer instante será p vi V Im sen ωt sen ωt π2 Como sen ωt π2 cos ωt e 2 sen x cos x sen 2x temos p 12 V Im sen 2ωt O resultado acima está ilustrado na Fig 72 Quando v e i são positivos a potência p é positiva e a energia é fornecida da fonte para a indutância Quando v e i são sinais opostos a potência é negativa e a energia retorna da indutância para a fonte A potência tem uma frequência dupla da tensão da corrente O valor médio da potência indicado por P é nulo para um ciclo completo Figura 72 Estrutura com L pura No caso ideal de uma estrutura capacitiva pura obtêmse resultados análogos como mostra a Fig 73 Se aplicarmos agora uma tensão v Vm sen ωt a uma estrutura que só contenha resistência a corrente será i Im sen ωt e a potência correspondente p vi Vm Im sen² ωt Como sen² x 12 1 cos 2x temos p 12 Vm Im 1 cos 2ωt A Fig 74 ilustra este resultado Verificase que também aqui a potência tem frequência dupla da tensão ou da corrente Além disso a potência é sempre positiva e varia de zero ao valor máximo Vm Im O valor médio da potência é P 12 Vm Im Figura 74 Estrutura com R pura POTÊNCIA E CORREÇÃO DO FATOR Introdução Em diversos equipamentos elétricos o maior interesse reside na potência Por exemplo temos interesse na potência gerada por um alternador na potência à entrada de um motor elétrico ou na potência de saída de um transmissor de rádio ou de televisão Se a tensão na Fig 71 for função do tempo a corrente resultante será também função do tempo e sua amplitude dependerá dos elementos da estrutura passiva O produto da tensão pela corrente em qualquer instante se chama potência instantânea e é dado por p vi Finalmente consideremos o caso de um circuito passivo geral Aplicada uma tensão vt Vm sen ωt temos uma corrente resultante i Im sen ωt φ O ângulo de fase φ será positivo ou negativo dependendo do caráter capacitivo ou indutivo da estrutura Então p vi VmIm sen sen ωt φ Como sen α sen β 12 cos α β cos α β e cos α cos α p 12 VmIm cos φ cos 2ωt φ A potência instantânea pode ser vista como um termo senoidal 12 VImcos 2ωt φ cujo valor médio é zero e um termo constante 12 VmIm cos φ Logo o valor médio de p é P 12 VmIm cos φ VI cos φ onde V Vm2 e Im2 são os valores eficazes dos fasores V e I respectivamente O termo cos φ é chamado fator de potência O ângulo φ é o ângulo entre V e I e seu valor está sempre entre 90 e 90 Portanto cos φ consequentemente P são sempre positivos Entretanto para indicar o sinal de φ dizse que um circuito indutivo portanto a corrente está atrasada em relação à tensão tem um fator de potência atrasado Num circuito capacitico a corrente está adiantada em relação à tensão dizse que ele tem um fator de potência adiantado A potência média P pode também ser obtida da expressão P 1T 0T p dt Onde W W e o quilowatt kW 1000 W são unidades usadas para a potência média Potência Aparente N O produto VI chamase potência aparente e representase pelo símbolo N A unidade N é o voltamper VA e o seu múltiplo mais usado é o quilovoltamper kVA 1000 VA Potência Reativa Q O produto VI sen φ chamase potência reativa e indicase pelo símbolo Q Sua unidade é o voltamperes reativo VAR e o seu múltiplo mais empregado é o quilovoltamperes reativo kVAR 1000 VAR Triângulo das Potências As equações que exprimem as potências médias aparente e reativa podem ser desenhadas geometricamente em um triângulo retângulo chamado triângulo das potências Dado um circuito indutivo representase a corrente atrasada e a tensão nos terminais como mostra a Fig 76a tomando V como referência Na Fig 76b representouse a corrente com seus componentes em fase e em quadratura A componente em fase está em fase com V e a componente em quadratura ou reativa é normal a V ou 90 fora de fase Na Fig 76c repetese o diagrama multiplicando I I sen φ e I cos φ pelo valor eficaz da tensão V Temse Potência média P tensão componente em fase da corrente VI cos φ Potência aparente N tensão corrente VI Potência reativa Q tensão componente em quadratura da corrente VI sen φ Potência Complexa Exemplo 1 Dado um circuito de impedância Z 3 j4 e uma tensão aplicada V 10030º determine o triângulo das potências Correção do Fator de Potência aparente diminuem e obtémse uma utilização mais eficiente do sistema de distribuição Quando isto não ocorre tornase necessário efetuar uma correção do fator de potência do circuito Exemplo 2 Corrigir para 09 atrasado o fator de potência do circuito do exemplo 1 acrescentando capacitores em paralelo Achar N após a correção e os vários capacitores necessários Partimos do triângulo das potências do Exemplo 1 Como cos φ 09 vem N Pcos φ 1200cos 26 1333 Então Q N sen φ 1333 sen 26 585 VAR atrasado A potência reativa dos capacitores será Q Q 1600 585 1015 adiantado P1200 N2000 Como P permanece invariável não muda também o trabalho após a correção do fator de potência O valor de N entretanto foi reduzido de 2000 para 1333 VA Problemas Resolvidos 71 Dado um circuito em que aplicada a tensão V 150 sen ωt 10 a corrente resultante é i 5 sen ωt 50 determinar o triângulo das potências V 150 210 10610 e I 52 50 354 50 Então N V I 106 10354 50 375 60 1875 j325 onde P Re V I 1875 W Q Im V I 325 VAR atrasado N V I 375 VA fp cos 60 05 atrasado 72 Em um circuito em série de dois elementos a potência é 940 watts e o fator de potência é 0707 adiantado Sendo v 99 sen 6000t 30 a tensão aplicada determinar as constantes do circuito Sob a forma de fasor a tensão aplicada é V 99 2 80 70 80 P VI cos φ 940 70I0707 I 19 amperes Como o fator de potência é 0707 adiantado o fasor corrente está adiantado em relação à tensão do ângulo arc tg 0707 45 Logo I 195 A impedância do circuito Z VI 70 2 195 368 45 26 j26 Por ser Z R jXc e Xc 1ωC temos R 26 ohms e C 16000 26 641 µF Outro método Fazendo I 19 amperes em P R I² resulta 940 R19² R 26 ohms Então Z Z 45 26 jXc e Xc 2 6 Logo C 1ωXc 641 µF 73 Dado o circuito em série da Fig 711 determinar o triângulo das potências Da Fig 711 Z 3 j6 31 e I VZ 5090 531 101431 Então N V I 5090101431 50031 300 j400 As componentes do triângulo das potências estão indicadas na Fig 712 I₁ VZ₁ V3 j4 V5531 I₁ VZ₁ 2060430 530 Ir 30 l0 I₂ 30 l05 j39 j3 1845 l255 e I₁ 30 l049 j3 1271845 I₂ VZ 20603560 40 De P PR temos I²P2 20 e I₁ 316 amperes Como I₁ 2 j5 538682 V I₁Z₁ 316682 17 volts Sendo V 170 então I₁ VZ₁ ou I₂ 967 j557 ou I₁ 1116299A A Fig 718 mostra os triângulos das potências de cada carga e o total Pr 588 W Qr 181 Atrasado Observese que com a adição de cargas com fator de potência unitário o fator de potência do conjunto foi melhorado pois agora fp cos 398 0768 atrasado Como N2 P2 jQ2 111 j64 12830 temos N2 128 kVA Portanto devem ser adicionados 128 kVA de cargas novas com fator de potência 0866 adiantado para fazer com que o transformador operando a 12 kV com fator de potência 06 atrasado passe a funcionar na sua potência nominal de 25 kVA P VI cos φ 500 06 300 kW φ arc cos 06 531 Q VI sen φ 500 sen 531 400 kVAR atrasado Quando cos φ 09 atrasado φ arc cos 09 26 N 30009 333 kVA Q 333 sen 26 146 kVAR atrasado Como o fator de potência dos motores substituídos é 0707 adiantado φ₂ arco cos 0707 45 Aplicando a lei de seno a Fig 722b N₂ 132 sen 531 1 N₂ 1065 kVA Então P₂ 1065 cos φ₂ 753 kW A porcentagem de carga substituída é 753 500 100 15 721 A corrente eficaz em uma dada impedância é 18 amperes e acarreta 3500 voltamperes com fator de potência 076 atrasado Calcular a impedância Resp Z 821 j70 722 Um circuito em série de dois elementos em que a corrente instantânea é i 424 sen 5000t 45 tem potência de 180 watts e um fator de potência 08 atrasado Calcular as constantes do circuito Resp R 20 ohms L 3 mH 727 Duas impedâncias Z₁ 430 e Z₂ 560 estão em paralelo submetidas ao fator V 200 Determinar o triângulo das potências de cada ramo e combinar as potências para obter o total Resp P 1266 W Q 193 VARS atrasado cos φ 099 atrasado 728 Em um circuito constituído de R 10 ohms em paralelo com Z 830 a corrente eficaz total é de 5 amperes Determinar os elementos do triângulo das potências Resp P 11 W Q 33 VARS atrasado cos φ 0957 adiantado A potência total no circuito em paralelo da Fig 728 é 1500 watts Determinar o triângulo das potências Resp N 1500 j2480 cos φ 0518 atrasado Sendo 2000 watts a potência total no circuito da Fig 729 qual é a potência em cada resistor Resp P15 724 W P8 1276 W Q total no circuito em paralelo da Fig 730 é 2500 VARS atrasado Determinar o triângulo das potências Resp N 3920 VA P 3020 W cos φ 0771 atrasado Resp P 1386 kW W 438 kVAR atrasado N 1455 kVA cos φ 0965 atrasado 752 Um transformador de 250 kVA funciona a plena carga com fator de potência 08 atrasado O fator de potência deve ser corrigido para 09 atrasado por meio de capacitores em paralelo a Quantos kVAR de capacitores são necessários b Quantos kW de carga com fator de potência unitário podem ser acrescentados agora sem que se exceda o regime dos kVA do transformador Resp 525 kVAR 300 kW